Bảng tóm tắt công thức Toán Lớp 12

BAÛNG TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC TOAÙN 12 
COÂNG THÖÙC LUÕY THÖØA 
Cho caùc soá döông ,a b vaø ,m n . Ta coù: 
 0 1a  
 . ...........n
n thöøa soá
a a a a vôùi 
*n 
 
1n
n
a
a
  
 ( ) ( )
m n mn n ma a a   .m n m na a a   
m
m n
n
a
a
a
 
 ( )
n n na b ab  
nn
n
a a
b b
 
  
 
  
1
2
1
3 3
n
m n m
a a
a a
a a
 

 
COÂNG THÖÙC LOGARIT 
Cho caùc soá , 0, 1a b a  . Ta coù: 
 loga b a b
    10lg log logb b b   ln logeb b 
 log 1 0a   log 1a a   log
b
a a b 
 
1
log logm aa b bm
  log log
n
a ab n b  log logm
n
aa
n
b b
m
 
 log ( ) log loga a abc b c   log log loga a a
b
b c
c
 
  
 
  
log
log log
a
b b
b
c a
a b
a c
 


 log .log loga b ab c c  
log
log
log
a
b
a
c
c
b
  
1
log
log
a
b
b
a
 
HAØM SOÁ LUÕY THÖØA – MUÕ – LOGARIT 
HAØM LUÕY THÖØA HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT 
 Daïng: 
y x
y u




 vôùi u laø ña 
thöùc ñaïi soá. 
 Taäp xaùc ñònh: 
Neáu .
ÑK
u 
Neáu 0.
ÑK
u 
Neáu 0.
ÑK
u 
 Ñaïo haøm: 
1
1.
y x y x
y u y u u
 
 




  
   
 Daïng: 
x
u
y a
y a
 vôùi 
0
.
1
a
a
 Taäp xaùc ñònh: .D 
 Ñaïo haøm: 
ln
ln .
x x
u x
y a y a a
y a y a a u
. 
Ñaëc bieät: 
( )
( ) .
x x
u u
e e
e e u
. 
 Söï bieán thieân: xy a 
Neáu 1a thì haøm ñoàng bieán 
treân . Neáu 0 1a thì 
haøm nghòch bieán treân . 
 Daïng: 
log
log
a
a
y x
y u
 vôùi 
0
.
1
a
a
 Ñaëc bieät: ln ;a e y x
10 log lga y x x . 
 Ñieàu kieän xaùc ñònh: 0u . 
 Ñaïo haøm: 
1
log
ln
log
ln
a
a
y x y
x a
u
y u y
u a
 . 
Ñaëc bieät: 
1
(ln )
(ln )
x
x
u
u
u
 . 
 Söï bieán thieân: log
a
y x
Neáu 1a : haøm ñoàng bieán 
treân (0; ) . Neáu 0 1a : 
haøm nghòch bieán treân (0; ) 
ÑOÀ THÒ HAØM MUÕ VAØ HAØM LOGARIT 
ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ MUÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ LOGARIT 
 Ta thaáy: 0 1; 0 1x xa a b b . 
 Ta thaáy: 1; 1.x xc c d d 
 So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân 
töø traùi sang phaûi, truùng 
x
a tröôùc neân a b . 
 So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân 
töø traùi sang phaûi, truùng 
x
c tröôùc neân .c d 
 Vaäy 0 1 .b a d c 
 Ta thaáy: log 0 1; log 0 1
a b
x a x b . 
 Ta thaáy: log 1; log 1.
c d
x c x d 
 So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân 
töø phaûi sang traùi, truùng log
b
x tröôùc: .b a 
 So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân 
töø phaûi sang traùi, truùng log
d
x tröôùc: .d c 
 Vaäy 0 1a b c d . 
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT 
Phöông trình muõ Phöông trình Logarit 
 Daïng cô baûn: 
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   
 Daïng cô baûn: 
log ( ) log g( ) ( ) ( ) 0a af x x f x g x    
 Daïng logarit hoùa: 
( )
( ) ( )
( ) log
( ) ( ).log
f x
a
f x g x
a
a b f x b
a b f x g x b
  
  
 Daïng muõ hoùa: log ( ) ( )
b
a f x b f x a   
(khoâng caàn ñieàu kieän) 
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT 
Baát Phöông trình muõ Baát Phöông trình Logarit 
 Daïng cô baûn: 
1
( ) ( )
0 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
f x g x
a
f x g x
a a f x g x
a a f x g x

 
   
   
 Daïng cô baûn: 
1
0 1
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )
a
a a
a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x

 
    
    
COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM 
 0k  
Vôùi k laø haèng soá 
 
1( )x x    
1( ) .u u u     
   1
2
x
x

 
 
2
u
u
u

  
 
2
1 1
x x
 
  
 
2
1 u
u u
  
   
 
  x xe e  
  .u ue e u   
   lnx xa a a  
  .ln .u ua a a u   
  sin cosx x  
 sin cosu u u   
  cos sinx x   
 cos sinu u u    
   22
1
tan 1 tan
cos
x x
x
    
   22tan 1 tancos
u
u u u
u
     
    22
1
cot 1 cot
sin
x x
x
      
   22cot 1 cotsin
u
u u u
u
       
COÂNG THÖÙC NGUYEÂN HAØM 
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x    
 . ( ) ( )k f x dx k f x dx    ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx      kdx kx C  
1) kdx kx C   2 2dx x C   ( 3) 3dx x C    
2) 
1
1
x
x dx C




 

11 ( )
( ) .
1
MR ax bax b dx C
a




   

 
4
3
4
x
x dx C   
3
1 2
32
2
3 / 2 3
x
xdx x dx C x C      
 
11 11
10 1 (1 ) (1 )(1 2 ) .
2 11 22
x x
x dx C C
 
    
 
3) 
1 1 1
ln lnMRdx x C dx ax b C
x ax b a
     
 
  
1 1
ln 1 3
1 3 3
dx x C
x
  
 
4) 
2 2
1 1 1 1 1
.
( )
MRdx C dx C
x x ax b a ax b

     
  
  
2
1 1 1 1
.
(2 3) 2 2 3 4 6
dx C C
x x x

    
  
 
3
2
2
1 1 1
10 ln 10
3
x
x dx x x C
x x x
 
        
 
  
5 5
41 1 ln
5
x x
dx x dx x C
x x
  
     
 
  
5) 
1MRx x ax b ax be dx e C e dx e C
a
        
1
1
x x xe dx e C e C     

6) 
ln
x
x aa dx C
a
  
1
.
ln
bx c
MR bx c aa dx C
b a

   
 
5
5
ln 5
x
x dx C   
2 93 9
ln 9
x
x xdx dx C    
 
2 5 2 5
2 5 1 3 33 .
2 ln3 2ln3
x x
x dx C C
 
     
    1 2 1 2 1
1
2 2 2
2
x x x x x xe e dx e e dx e e C          
1 1 1 62 .3 2 .3 . 6
3 3 3ln 6
x
x x x x xdx dx dx C       
7) sin cosxdx x C   
1
sin( ) cos( )MR ax b dx ax b C
a
      
 
4;
2
1
sin 4 cos 4
2 4 2
a b
x dx x C

 
 
   
       
   
 
8) cos sinxdx x C  
1
cos( ) sin( )MR ax b dx ax b C
a
     
 
1;
3
1
cos sin sin
3 1 3 3
a b
x dx x C x C

  
 
     
            
     
 
  3sin 2cos 3cos 2sinx x dx x x C     
  2
1 1 1
sin 1 cos 2 sin 2
2 2 2
xdx x dx x x C
 
     
 
  
 (haï baäc) 
9)  22
1
1 tan tan
cos
dx x dx x C
x
     
 
 2
1 1
tan
cos
MR dx ax b C
ax b a
   

 
2
2 2
1 2cos 1
2 tan 2
cos cos
x
dx dx x x C
x x
  
     
 
  
 
2
1 1
tan3
cos 3 3
dx x C
x
  
   2
1
1 tan tanMR ax b dx ax b C
a
       
    2
2;
1
1 tan 2 tan 2
2
a b
x dx x C

 
 
 
     
  
 
 
10)  22
1
1 cot cot
sin
dx x dx x C
x
      
 
 2
1 1
cot
sin
MR dx ax b C
ax b a
    

   2
1
1 cot cotMR ax b dx ax b C
a
         
 
2 2
2 2
sin 1 1
cot
sin sin 2
x x x
dx x dx x C
x x
  
     
 
  
 
2
1 1
cot8
sin 8 8
dx x C
x
   
 2
1
1 cot 3 cot 3
3
x dx x C      
 
2 2
2 2 2 2 2 2
1 sin cos 1 1
tan cot
sin cos sin cos cos sin
x x
dx dx dx x x C
x x x x x x
  
      
 
   
DIEÄN TÍCH VAØ THEÅ TÍCH 
 Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng ( )y f x , 
truïc Ox , ,x a x b  thì coù dieän tích: 
( )
b
a
S f x dx  
 Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng ( )y f x , 
( )y g x , ,x a x b  thì coù dieän tích: 
( ) ( )
b
a
S f x g x dx  
 Khi xoay hình phaúng 
( )
,
y f x
x a x b


 
 quanh Ox , 
ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích 
2 ( )
b
a
V f x dx  
 Khi xoay hình phaúng 
( )
( )
,
y f x
y g x
x a x b



  
 quanh Ox , 
ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích 
2 2( ) ( )
b
a
V f x g x dx  
 Xeùt hình khoái ñöôïc giôùi haïn bôûi hai maët phaúng ,x a x b  . Khi caét khoái naøy ta ñöôïc thieát dieän coù 
dieän tích ( )S x (laø haøm lieân tuïc treân [a;b]). Theå tích khoái naøy treân  ;a b laø: ( )
b
a
V S x dx  . 
COÂNG THÖÙC CHUYEÅN ÑOÄNG 
Xeùt haøm quaûng ñöôøng ( ),S t haøm vaän toác ( )v t vaø haøm gia toác ( )a t . Ba haøm naøy seõ bieán thieân theo t . 
 ( ) ( ) ( ) ( )S t v t dt v t S t    ( ) ( ) ( ) ( )v t a t dt a t v t   
COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 
1. Heä thöùc cô baûn: 
 2 2sin cos 1    
sin
tan
cos



  
cos
cot
sin



  tan .cot 1   
 
2
2
1
1 tan
cos


   
2
2
1
1 cot
sin


   
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
k
k
  
  
 

 
  
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
  
  
 

 
2. Cung lieân keát: 
Ñoái:  vaø  Buø:  vaø   Phuï:  vaø 
2

 Khaùc pi: ;   Khaùc : ;
2 2
Pi 
  
sin( ) sin    sin( ) sin    
sin cos
2

 
 
  
 
sin( ) sin    
sin cos
2

 
 
  
 
cos( ) cos   cos( ) cos     cos sin
2

 
 
  
 
 cos( ) cos     cos sin
2

 
 
   
 
tan( ) tan    tan( ) tan     tan cot
2

 
 
  
 
 tan( ) tan    tan cot
2

 
 
   
 
cot( ) cot    cot( ) cot     cot tan
2

 
 
  
 
 cot( ) cot    cot tan
2

 
 
   
 
Cos Ñoái Sin Buø Phuï Cheùo 
Khaùc pi 
Tang, Cotang 
Khaùc pi chia 2 
Sin baïn cos 
3. Coâng thöùc coäng: 
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
a b a b b a
   
   
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
   
   
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 

4. Coâng thöùc nhaân ñoâi, nhaân ba: 
sin 2 2sin .cos   
2 2
2 2
cos 2 cos sin
2cos 1 1 2sin
  
 
 
   
2
2 tan
tan 2
1 tan





3sin3 3sin 4sin    3cos3 4cos 3cos    
3
2
3tan tan
tan 3
1 3tan
 





5. Coâng thöùc haï baäc 
2 1 cos 2sin
2



 2
1 cos 2
cos
2



 2
1 cos 2
tan
1 cos 2






6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích: 
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
 
  cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
 
   
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
 
  sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
 
  
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

  
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

  
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
 
   
   
       
    
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
 
   
   
        
    
7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång: 
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b     
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b     
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b    
Cos.Cos thì Cos coäng coäng Cos tröø Sin.Sin thì Cos tröø tröø Cos coäng Sin.Cos thì Sin coäng coäng Sin tröø 
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 
 
2
sin sin ( )
2
u v k
u v k
u v k

 
 
     
   
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k


 
     
Ñaëc bieät: 
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
u u k
u u k
u u k





   
     
  
  k Ñaëc bieät: 
cos 1 2
cos 1 2
cos 0
2
u u k
u u k
u u k

 


  
    
 ... OÙP THÖÔØNG GAËP 
1. Hình choùp coù caùc ñænh nhìn moät caïnh 
döôùi moät goùc vuoâng. 
2. Hình choùp ñeàu. 
 Xeùt hình choùp coù 
( )SA ABC vaø 
 Xeùt hình choùp coù 
( )SA ABCD vaø 
ABCD laø hình chöõ 
 Xeùt hình choùp tam 
giaùc ñeàu coù caïnh beân 
baèng b vaø ñöôøng cao 
 Xeùt hình choùp töù giaùc 
ñeàu coù caïnh beân baèng 
b vaø chieàu cao SO h 
090ABC . 
 Ta coù 
0
90SAC SBC 
neân maët caàu ngoaïi 
tieáp hình choùp coù taâm 
I laø trung ñieåm SC , 
baùn kính .
2
SC
R 
nhaät hoaëc hình vuoâng. 
 Ta coù: SAC SBC 
0
90SDC 
Suy ra maët caàu ngoaïi 
tieáp hình choùp coù taâm 
I laø trung ñieåm SC , 
baùn kính .
2
SC
R 
SH h . 
 Baùn kính maët caàu 
ngoaïi tieáp hình choùp 
treân laø 
2
2
b
R
h
. 
 Baùn kính maët caàu 
ngoaïi tieáp hình choùp 
treân laø 
2
2
b
R
h
. 
3. Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi 
maët phaúng ñaùy. 
4. Hình choùp coù maët beân vuoâng goùc vôùi 
maët ñaùy. 
 Xeùt hình choùp coù 
SA (ñaùy) vaø 
SA h ; baùn kính 
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp 
cuûa ñaùy laø 
ñ
r . 
 Khi ñoù maët caàu ngoaïi 
tieáp hình choùp coù baùn 
kính 
2
2
2
ñ
h
R r . 
 Neáu ñaùy laø tam giaùc 
ñeàu caïnh a thì 
3
3
ñ
a
r . 
 Neáu ñaùy laø hình vuoâng 
caïnh a thì 
2
2
ñ
a
r . 
 Neáu ñaùy laø hình chöõ 
nhaät caïnh ,a b thì 
2 2
2
ñ
a b
r . 
 Xeùt hình choùp coù maët beân ( )SAB (ñaùy), baùn 
kính ngoaïi tieáp ñaùy laø 
ñ
r , baùn kính ngoaïi tieáp 
SAB laø 
b
r , ( )d AB SAB (ñaùy). 
 Khi ñoù baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø 
2
2 2
4
ñ b
d
R r r . 
HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN 
1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz: 
 Heä truïc goàm ba truïc , ,Ox Oy Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau. 
 Truïc :Ox truïc hoaønh, coù vectô ñôn vò (1;0;0)i . 
 Truïc Oy : truïc tung, coù vectô ñôn vò (0;1;0)j . 
 Truïc :Oz truïc cao, coù vectô ñôn vò (0;0;1).k 
 Ñieåm (0;0;0)O laø goác toïa ñoä. 
2. Toïa ñoä vectô: Vectô ( ; ; )u xi y j zk u x y z . 
Cho 
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b . Ta coù: 
 
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b 
 a cuøng phöông b ( )a kb k R
1 1
31 2
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, ( , , 0).
a kb
aa a
a kb b b b
b b b
a kb
 
1 2 3
( ; ; )ka ka ka ka 
 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
 
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b  2 2 2
1 2 2
a a a a  
2
2 2 2 2
1 2 3
a a a a a 
 
1 1 2 2 3 3
. 0 0a b a b a b a b a b 
 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
. .
a b a b a ba b
a b
a b a a a b b b
3. Toïa ñoä ñieåm: ( ; ; ) ( ; ; )M x y z OM x y z . Cho ( ; ; ) , ( ; ; ) , ( ; ; )
A A A B B B C C C
A x y z B x y z C x y z , ta coù: 
 ( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z  2 2 2( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z 
 Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: 
; ; .
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M 
 Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: 
; ; .
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G 
4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô: 
 Ñònh nghóa: Cho 
1 2 3
( , , )a a a a , 
1 2 3
( , , )b b b b , tích coù höôùng cuûa a vaø b laø: 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
. 
 Tính chaát: [ , ]a b a [ , ]a b b [ , ] . .sin ,a b a b a b 
 Ñieàu kieän cuøng phöông của hai vectô &a b laø 
, 0a b vôùi 0 (0;0;0). 
 Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô ,a b vaø c 
laø [ , ]. 0.a b c 
 Dieän tích hình bình haønh ABCD: 
, .
ABCD
S AB AD 
 Dieän tích tam giaùc ABC: 
1
, .
2
ABC
S AB AC 
 Theå tích khoái hoäp: 
. ' ' ' '
[ , ]. ' .
ABCD A BC D
V AB AD AA  Theå tích töù dieän: 
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD . 
5. Phöông trình maët caàu: 
Daïng 1: 
2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R 
( )
2
( ; ; )
Maët caàu S coù
I a b c
R R
Daïng 2: 
2 2 2
( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cz d 
( )
2 2 2
( ; ; )
Maët caàu S coù
I a b c
R a b c d
 Phöông trình 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d laø phöông trình maët caàu 2 2 2 0a b c d     . 
Baøi toaùn 5.1. Vieát phöông trình maët caàu taâm 
I vaø ñi qua ñieåm M. 
 Böôùc 1: Tính baùn kính R IM . 
 Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. 
Baøi toaùn 5.2. Vieát phöông trình maët caàu coù 
ñöôøng kính AB. 
 Böôùc 1: Tìm taâm I laø trung ñieåm AB. Baùn kính 
2
AB
R IA IB   . 
 Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. 
6. Phöông trình maët phaúng: 
 Löu yù: Vectô phaùp tuyeán (VTPT) cuûa maët 
phaúng laø vectô khaùc 0 naèm treân ñöôøng thaúng 
vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñoù. 
 Maët phaúng 0 0 0
( ; ; )
( )
( ; ; )
qua M x y z
P
VTPT n a b c
 thì phöông 
trình 
0 0 0
( ) : ( ) ( ) ( ) 0P a x x b y y c z z . 
 Ngöôïc laïi, moät maët phaúng baát kyø ñeàu coù phöông 
trình daïng 0ax by cz d , maët phaúng 
naøy coù ( ; ; )VTPT n a b c . 
Baøi toaùn 6.1. Vieát phöông trình maët phaúng 
trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. 
Baøi toaùn 6.2. Vieát phöông trình maët phaúng 
ñi qua ba ñieåm A, B, C. 
  Böôùc 1: Tìm trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB vaø tính 
toïa ñoä AB . 
 Böôùc 2: Phöông trình 
qua
mp( )
VTPT
I
P
n AB
 . 
 Böôùc 1: Tính toïa ñoä ,AB AC vaø suy ra 
,AB AC  
. 
 Böôùc 2: Phöông trình 
qua
mp( )
VTPT ,
A
P
n AB AC   
Baøi toaùn 6.3. Vieát phöông trình maët phaúng 
qua M vaø chöùa ñöôøng thaúng d vôùi M d . 
 Böôùc 1: Choïn ñieåm A d vaø moät VTCP .du 
Tính , dAM u  
. 
 Böôùc 2: Phöông trình 
qua
mp( )
VTPT , d
M
P
n AM u   
Baøi toaùn 6.4. Vieát phöông trình maët phaúng 
caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi ( ; 0; 0), (0; ; 0),Aa B b 
(0; 0; )C c vôùi , , 0a b c . 
 Phöông trình maët 
phaúng ñöôïc vieát 
theo ñoaïn chaén 
( ) : 1 .
x y z
P
a b c
Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song 
 Cho 
0 0 0( ; ; )
( ) : 0
M x y z
mp P ax by cz d


   
 . 
 Khi ñoù:   0 0 0
2 2 2
, ( )
ax by cz d
d M P
a b c
  

 
. 
 Cho hai maët phaúng
1
2
( ) : 0
( ) : 0
P ax by cz d
Q ax by cz d
   

   
 . 
 Khi ñoù:   1 2
2 2 2
( ), ( )
d d
d P Q
a b c


 
 vôùi 1 2d d . 
Goùc giöõa hai maët phaúng Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng 
 Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: 
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
P a x b y c z d
Q a x b y c z d
   

   
 Goùc giöõa ( ) &( )P Q ñöôïc tính: 
  1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ), ( )
. .
P Q
P Q
n n a a b b c c
P Q
n n a b c a b c
 
 
   
 Chuù yù:  0 00 ( ), ( ) 90P Q  . 
Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: 
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
P a x b y c z d
Q a x b y c z d
   

   
. Ta coù: 
 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
a b c d
P Q
a b c d
    . 
 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
a b c d
P Q
a b c d
     . 
 ( ) &( )P Q caét nhau 1 1 1 2 2 2: : : :a b c a b c  . 
 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0P Q a a bb c c     . 
 Löu yù: Caùc tæ soá treân coù nghóa khi maãu khaùc 0. 
Ví trò töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu 
Cho maët phaúng ( ) : 0P ax by cz d    vaø maët caàu ( )S coù taâm I vaø baùn kính R. 
 Tröôøng hôïp 1:  , ( )d I P R  ( )P vaø ( )S khoâng coù ñieåm chung. 
 Tröôøng hôïp 2:  , ( )d I P R  ( )P vaø ( )S coù  Tröôøng hôïp 3:  , ( )d I P R  ( )P caét ( )S 
moät ñieåm chung. Khi ñoù ta noùi ( )P tieáp xuùc 
( )S hoaëc ( )P laø tieáp dieän cuûa ( ).S 
Ta coù: ( )IM P vôùi M laø tieáp ñieåm. 
theo giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn. 
Ñöôøng troøn giao tuyeán coù taâm H (laø trung ñieåm 
AB), baùn kính 
2 2r R IH  vôùi  , ( ) .IH d I P 
7. Phöông trình ñöôøng thaúng: 
 Ñöôøng thaúng 
1 2 3
qua ( ; ; )
VTCP ( ; ; )
A A AA x y z
d
u u u u
 coù: 
 Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng d laø 
vectô khaùc 0 , coù giaù naèm treân d hoaëc song song vôùi d. 
 Phöông trình tham soá 
1
2
3
:
A
A
A
x x u t
d y y u t
z z u t
 

 
  
 vôùi 
t laø tham soá. 
 Phöông trình chính taéc 
1 2 3
: A A A
x x y y z z
d
u u u
  
  vôùi 1 2 3. . 0u u u  . 
 Löu yù: Neáu coù caëp vectô khaùc 0 khoâng cuøng phöông sao cho 
a d
b d
 


 thì d coù VTCP laø: ,du a b   
. 
7.1. Ví trò töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng: 
Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng vôùi 
1
1
qua
VTCP
M
d
u
 , 
1
2
qua
VTCP
N
d
u
. 
Böôùc I Böôùc II Keát luaän 
 Hai ñöôøng thaúng 
 song song hoaëc truøng nhau. 
 
(Hai ñöôøng thaúng truøng nhau) 
 
 Hai ñöôøng thaúng 
caét nhau hoaëc cheùo nhau. 
 caét 
 cheùo nhau 
7.2. Ví trò töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: 
Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . 
Böôùc I: 
Böôùc II:Giaûi PT (*), ta gaëp 
1 trong 3 tröôøng hôïp sau 
Keát luaän 
 Thay phöông trình tham soá vaøo  PT (*) voâ nghieäm 
1 2
,d d
1 2
, 0u u
1 2
,d d
1
; 0u MN 1 2
d d
1
; 0u MN
1 2
d d
1 2
, 0u u
1 2
,d d 1 2
, . 0u u MN
1
d
2
d
1 2
, . 0u u MN
1 2
&d d
0 1
0 2
0 3
:
x x u t
d y y u t
z z u t
( ) : 0P ax by cz d
d ( )d P
phöông trình , ta ñöôïc PT (*): 
  PT (*) coù 1 nghieäm 
0
0
0
x x
y y
z z



 
 caét taïi ñieåm 
coù toïa ñoä 0 0 0( ; ; )x y z . 
 PT (*) coù voâ soá nghieäm 
7.3. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng: 
 Cho ñieåm M vaø ñöôøng thaúng d (coù 
phöông trình tham soá hoaëc chính taéc). 
 Böôùc 1: Choïn ñieåm A d vaø moät VTCP du . 
 Böôùc 2:  
,
,
d
d
u AM
d M d
u
 
 
 . 
7.4. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: 
 Cho hai ñöôøng thaúng 1 2,d d laàn löôït coù VTCP laø 1 2,u u .  Ta coù:  
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
u u
d d
u u
 . 
7.5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: 
 Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø maêt phaúng ( )P coù VTPT n .  Ta coù:  
.
sin , ( )
.
u n
d P
u n
 . 
8. Hình chieáu vaø ñieåm ñoái xöùng: 
Baøi toaùn Phöông phaùp 
 Tìm hình chieáu 
cuûa ñieåm treân 
maët phaúng . 
 Goïi d laø ñöôøng thaúng 
qua
( )
A
P
 Vieát pt tham 
soá cuûa d vôùi VTCP cuûa d cuõøng laø VTPT cuûa (P). 
 Goïi ( )H d P  . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt 
mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H. 
 Tìm ñieåm 
ñoái xöùng vôùi qua 
. 
 Ta coù H laø trung ñieåm 
2
2
2
A H A
A H A
A H A
x x x
AA y y y
z z z



 

  
  
 . 
 Tìm hình chieáu 
cuûa ñieåm treân 
ñöôøng thaúng d. 
Caùch I 
 Goïi ( )H theo t (döïa vaøo pt tham soá cuûa d). 
 . 0dAH d AH u    Tìm ñöôïc Toïa ñoä H. 
Caùch II 
 Goïi 
qua
( )
( )
A
P
P d
 Vieát pt mp( )P . 
 Goïi ( )H d P  . Thay pt tham soá cuûa 
d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H. 
 Tìm ñieåm 
ñoái xöùng vôùi qua 
ñöôøng thaúng d. 
 Ta coù H laø trung ñieåm 
2
2
2
A H A
A H A
A H A
x x x
AA y y y
z z z



 

  
  
. 
Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn 
Email goùp yù: thayxuannhan@gmail.com 
( )P
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0a x u t b y u t c z u t d
d ( )P
( )d P
A
( )P
A
A
( )P
A
.......t
A
A