Quy tắc cộng:
Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp. Ta sẽ cộng các kết quả lại
Quy tắc nhân:
Nếu phép đếm được chia ra nhiều giai đoạn bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy
BAÛNG TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC TOAÙN 12 COÂNG THÖÙC LUÕY THÖØA Cho caùc soá döông ,a b vaø ,m n . Ta coù: 0 1a . ...........n n thöøa soá a a a a vôùi *n 1n n a a ( ) ( ) m n mn n ma a a .m n m na a a m m n n a a a ( ) n n na b ab nn n a a b b 1 2 1 3 3 n m n m a a a a a a COÂNG THÖÙC LOGARIT Cho caùc soá , 0, 1a b a . Ta coù: loga b a b 10lg log logb b b ln logeb b log 1 0a log 1a a log b a a b 1 log logm aa b bm log log n a ab n b log logm n aa n b b m log ( ) log loga a abc b c log log loga a a b b c c log log log a b b b c a a b a c log .log loga b ab c c log log log a b a c c b 1 log log a b b a HAØM SOÁ LUÕY THÖØA – MUÕ – LOGARIT HAØM LUÕY THÖØA HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT Daïng: y x y u vôùi u laø ña thöùc ñaïi soá. Taäp xaùc ñònh: Neáu . ÑK u Neáu 0. ÑK u Neáu 0. ÑK u Ñaïo haøm: 1 1. y x y x y u y u u Daïng: x u y a y a vôùi 0 . 1 a a Taäp xaùc ñònh: .D Ñaïo haøm: ln ln . x x u x y a y a a y a y a a u . Ñaëc bieät: ( ) ( ) . x x u u e e e e u . Söï bieán thieân: xy a Neáu 1a thì haøm ñoàng bieán treân . Neáu 0 1a thì haøm nghòch bieán treân . Daïng: log log a a y x y u vôùi 0 . 1 a a Ñaëc bieät: ln ;a e y x 10 log lga y x x . Ñieàu kieän xaùc ñònh: 0u . Ñaïo haøm: 1 log ln log ln a a y x y x a u y u y u a . Ñaëc bieät: 1 (ln ) (ln ) x x u u u . Söï bieán thieân: log a y x Neáu 1a : haøm ñoàng bieán treân (0; ) . Neáu 0 1a : haøm nghòch bieán treân (0; ) ÑOÀ THÒ HAØM MUÕ VAØ HAØM LOGARIT ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ MUÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ LOGARIT Ta thaáy: 0 1; 0 1x xa a b b . Ta thaáy: 1; 1.x xc c d d So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø traùi sang phaûi, truùng x a tröôùc neân a b . So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø traùi sang phaûi, truùng x c tröôùc neân .c d Vaäy 0 1 .b a d c Ta thaáy: log 0 1; log 0 1 a b x a x b . Ta thaáy: log 1; log 1. c d x c x d So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø phaûi sang traùi, truùng log b x tröôùc: .b a So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø phaûi sang traùi, truùng log d x tröôùc: .d c Vaäy 0 1a b c d . PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Phöông trình muõ Phöông trình Logarit Daïng cô baûn: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x Daïng cô baûn: log ( ) log g( ) ( ) ( ) 0a af x x f x g x Daïng logarit hoùa: ( ) ( ) ( ) ( ) log ( ) ( ).log f x a f x g x a a b f x b a b f x g x b Daïng muõ hoùa: log ( ) ( ) b a f x b f x a (khoâng caàn ñieàu kieän) BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Baát Phöông trình muõ Baát Phöông trình Logarit Daïng cô baûn: 1 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a f x g x a f x g x a a f x g x a a f x g x Daïng cô baûn: 1 0 1 log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0 log ( ) log ( ) 0 ( ) ( ) a a a a a a f x g x f x g x f x g x f x g x COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM 0k Vôùi k laø haèng soá 1( )x x 1( ) .u u u 1 2 x x 2 u u u 2 1 1 x x 2 1 u u u x xe e .u ue e u lnx xa a a .ln .u ua a a u sin cosx x sin cosu u u cos sinx x cos sinu u u 22 1 tan 1 tan cos x x x 22tan 1 tancos u u u u u 22 1 cot 1 cot sin x x x 22cot 1 cotsin u u u u u COÂNG THÖÙC NGUYEÂN HAØM ( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x . ( ) ( )k f x dx k f x dx ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx kdx kx C 1) kdx kx C 2 2dx x C ( 3) 3dx x C 2) 1 1 x x dx C 11 ( ) ( ) . 1 MR ax bax b dx C a 4 3 4 x x dx C 3 1 2 32 2 3 / 2 3 x xdx x dx C x C 11 11 10 1 (1 ) (1 )(1 2 ) . 2 11 22 x x x dx C C 3) 1 1 1 ln lnMRdx x C dx ax b C x ax b a 1 1 ln 1 3 1 3 3 dx x C x 4) 2 2 1 1 1 1 1 . ( ) MRdx C dx C x x ax b a ax b 2 1 1 1 1 . (2 3) 2 2 3 4 6 dx C C x x x 3 2 2 1 1 1 10 ln 10 3 x x dx x x C x x x 5 5 41 1 ln 5 x x dx x dx x C x x 5) 1MRx x ax b ax be dx e C e dx e C a 1 1 x x xe dx e C e C 6) ln x x aa dx C a 1 . ln bx c MR bx c aa dx C b a 5 5 ln 5 x x dx C 2 93 9 ln 9 x x xdx dx C 2 5 2 5 2 5 1 3 33 . 2 ln3 2ln3 x x x dx C C 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 x x x x x xe e dx e e dx e e C 1 1 1 62 .3 2 .3 . 6 3 3 3ln 6 x x x x x xdx dx dx C 7) sin cosxdx x C 1 sin( ) cos( )MR ax b dx ax b C a 4; 2 1 sin 4 cos 4 2 4 2 a b x dx x C 8) cos sinxdx x C 1 cos( ) sin( )MR ax b dx ax b C a 1; 3 1 cos sin sin 3 1 3 3 a b x dx x C x C 3sin 2cos 3cos 2sinx x dx x x C 2 1 1 1 sin 1 cos 2 sin 2 2 2 2 xdx x dx x x C (haï baäc) 9) 22 1 1 tan tan cos dx x dx x C x 2 1 1 tan cos MR dx ax b C ax b a 2 2 2 1 2cos 1 2 tan 2 cos cos x dx dx x x C x x 2 1 1 tan3 cos 3 3 dx x C x 2 1 1 tan tanMR ax b dx ax b C a 2 2; 1 1 tan 2 tan 2 2 a b x dx x C 10) 22 1 1 cot cot sin dx x dx x C x 2 1 1 cot sin MR dx ax b C ax b a 2 1 1 cot cotMR ax b dx ax b C a 2 2 2 2 sin 1 1 cot sin sin 2 x x x dx x dx x C x x 2 1 1 cot8 sin 8 8 dx x C x 2 1 1 cot 3 cot 3 3 x dx x C 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin cos 1 1 tan cot sin cos sin cos cos sin x x dx dx dx x x C x x x x x x DIEÄN TÍCH VAØ THEÅ TÍCH Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng ( )y f x , truïc Ox , ,x a x b thì coù dieän tích: ( ) b a S f x dx Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng ( )y f x , ( )y g x , ,x a x b thì coù dieän tích: ( ) ( ) b a S f x g x dx Khi xoay hình phaúng ( ) , y f x x a x b quanh Ox , ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích 2 ( ) b a V f x dx Khi xoay hình phaúng ( ) ( ) , y f x y g x x a x b quanh Ox , ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích 2 2( ) ( ) b a V f x g x dx Xeùt hình khoái ñöôïc giôùi haïn bôûi hai maët phaúng ,x a x b . Khi caét khoái naøy ta ñöôïc thieát dieän coù dieän tích ( )S x (laø haøm lieân tuïc treân [a;b]). Theå tích khoái naøy treân ;a b laø: ( ) b a V S x dx . COÂNG THÖÙC CHUYEÅN ÑOÄNG Xeùt haøm quaûng ñöôøng ( ),S t haøm vaän toác ( )v t vaø haøm gia toác ( )a t . Ba haøm naøy seõ bieán thieân theo t . ( ) ( ) ( ) ( )S t v t dt v t S t ( ) ( ) ( ) ( )v t a t dt a t v t COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 1. Heä thöùc cô baûn: 2 2sin cos 1 sin tan cos cos cot sin tan .cot 1 2 2 1 1 tan cos 2 2 1 1 cot sin sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos k k tan( ) tan cot( ) cot k k 2. Cung lieân keát: Ñoái: vaø Buø: vaø Phuï: vaø 2 Khaùc pi: ; Khaùc : ; 2 2 Pi sin( ) sin sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos( ) cos cos sin 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 cot( ) cot cot tan 2 Cos Ñoái Sin Buø Phuï Cheùo Khaùc pi Tang, Cotang Khaùc pi chia 2 Sin baïn cos 3. Coâng thöùc coäng: sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a a b a b b a cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b 4. Coâng thöùc nhaân ñoâi, nhaân ba: sin 2 2sin .cos 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 2 tan tan 2 1 tan 3sin3 3sin 4sin 3cos3 4cos 3cos 3 2 3tan tan tan 3 1 3tan 5. Coâng thöùc haï baäc 2 1 cos 2sin 2 2 1 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 tan 1 cos 2 6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích: cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b sin cos 2.sin 2.cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång: 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b Cos.Cos thì Cos coäng coäng Cos tröø Sin.Sin thì Cos tröø tröø Cos coäng Sin.Cos thì Sin coäng coäng Sin tröø PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 2 sin sin ( ) 2 u v k u v k u v k 2 cos cos 2 u v k u v k u v k Ñaëc bieät: sin 1 2 2 sin 1 2 2 sin 0 u u k u u k u u k k Ñaëc bieät: cos 1 2 cos 1 2 cos 0 2 u u k u u k u u k ... OÙP THÖÔØNG GAËP 1. Hình choùp coù caùc ñænh nhìn moät caïnh döôùi moät goùc vuoâng. 2. Hình choùp ñeàu. Xeùt hình choùp coù ( )SA ABC vaø Xeùt hình choùp coù ( )SA ABCD vaø ABCD laø hình chöõ Xeùt hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh beân baèng b vaø ñöôøng cao Xeùt hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh beân baèng b vaø chieàu cao SO h 090ABC . Ta coù 0 90SAC SBC neân maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù taâm I laø trung ñieåm SC , baùn kính . 2 SC R nhaät hoaëc hình vuoâng. Ta coù: SAC SBC 0 90SDC Suy ra maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù taâm I laø trung ñieåm SC , baùn kính . 2 SC R SH h . Baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp treân laø 2 2 b R h . Baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp treân laø 2 2 b R h . 3. Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. 4. Hình choùp coù maët beân vuoâng goùc vôùi maët ñaùy. Xeùt hình choùp coù SA (ñaùy) vaø SA h ; baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa ñaùy laø ñ r . Khi ñoù maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù baùn kính 2 2 2 ñ h R r . Neáu ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a thì 3 3 ñ a r . Neáu ñaùy laø hình vuoâng caïnh a thì 2 2 ñ a r . Neáu ñaùy laø hình chöõ nhaät caïnh ,a b thì 2 2 2 ñ a b r . Xeùt hình choùp coù maët beân ( )SAB (ñaùy), baùn kính ngoaïi tieáp ñaùy laø ñ r , baùn kính ngoaïi tieáp SAB laø b r , ( )d AB SAB (ñaùy). Khi ñoù baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø 2 2 2 4 ñ b d R r r . HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN 1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz: Heä truïc goàm ba truïc , ,Ox Oy Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau. Truïc :Ox truïc hoaønh, coù vectô ñôn vò (1;0;0)i . Truïc Oy : truïc tung, coù vectô ñôn vò (0;1;0)j . Truïc :Oz truïc cao, coù vectô ñôn vò (0;0;1).k Ñieåm (0;0;0)O laø goác toïa ñoä. 2. Toïa ñoä vectô: Vectô ( ; ; )u xi y j zk u x y z . Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b . Ta coù: 1 1 2 2 3 3 ( ; ; )a b a b a b a b a cuøng phöông b ( )a kb k R 1 1 31 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3 , ( , , 0). a kb aa a a kb b b b b b b a kb 1 2 3 ( ; ; )ka ka ka ka 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 . . . .a b a b a b a b 2 2 2 1 2 2 a a a a 2 2 2 2 2 1 2 3 a a a a a 1 1 2 2 3 3 . 0 0a b a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos( , ) . . a b a b a ba b a b a b a a a b b b 3. Toïa ñoä ñieåm: ( ; ; ) ( ; ; )M x y z OM x y z . Cho ( ; ; ) , ( ; ; ) , ( ; ; ) A A A B B B C C C A x y z B x y z C x y z , ta coù: ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z 2 2 2( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: ; ; . 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô: Ñònh nghóa: Cho 1 2 3 ( , , )a a a a , 1 2 3 ( , , )b b b b , tích coù höôùng cuûa a vaø b laø: 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b . Tính chaát: [ , ]a b a [ , ]a b b [ , ] . .sin ,a b a b a b Ñieàu kieän cuøng phöông của hai vectô &a b laø , 0a b vôùi 0 (0;0;0). Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô ,a b vaø c laø [ , ]. 0.a b c Dieän tích hình bình haønh ABCD: , . ABCD S AB AD Dieän tích tam giaùc ABC: 1 , . 2 ABC S AB AC Theå tích khoái hoäp: . ' ' ' ' [ , ]. ' . ABCD A BC D V AB AD AA Theå tích töù dieän: 1 , . 6 ABCD V AB AC AD . 5. Phöông trình maët caàu: Daïng 1: 2 2 2 2 ( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R ( ) 2 ( ; ; ) Maët caàu S coù I a b c R R Daïng 2: 2 2 2 ( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cz d ( ) 2 2 2 ( ; ; ) Maët caàu S coù I a b c R a b c d Phöông trình 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d laø phöông trình maët caàu 2 2 2 0a b c d . Baøi toaùn 5.1. Vieát phöông trình maët caàu taâm I vaø ñi qua ñieåm M. Böôùc 1: Tính baùn kính R IM . Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. Baøi toaùn 5.2. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB. Böôùc 1: Tìm taâm I laø trung ñieåm AB. Baùn kính 2 AB R IA IB . Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. 6. Phöông trình maët phaúng: Löu yù: Vectô phaùp tuyeán (VTPT) cuûa maët phaúng laø vectô khaùc 0 naèm treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñoù. Maët phaúng 0 0 0 ( ; ; ) ( ) ( ; ; ) qua M x y z P VTPT n a b c thì phöông trình 0 0 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) 0P a x x b y y c z z . Ngöôïc laïi, moät maët phaúng baát kyø ñeàu coù phöông trình daïng 0ax by cz d , maët phaúng naøy coù ( ; ; )VTPT n a b c . Baøi toaùn 6.1. Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. Baøi toaùn 6.2. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C. Böôùc 1: Tìm trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB vaø tính toïa ñoä AB . Böôùc 2: Phöông trình qua mp( ) VTPT I P n AB . Böôùc 1: Tính toïa ñoä ,AB AC vaø suy ra ,AB AC . Böôùc 2: Phöông trình qua mp( ) VTPT , A P n AB AC Baøi toaùn 6.3. Vieát phöông trình maët phaúng qua M vaø chöùa ñöôøng thaúng d vôùi M d . Böôùc 1: Choïn ñieåm A d vaø moät VTCP .du Tính , dAM u . Böôùc 2: Phöông trình qua mp( ) VTPT , d M P n AM u Baøi toaùn 6.4. Vieát phöông trình maët phaúng caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi ( ; 0; 0), (0; ; 0),Aa B b (0; 0; )C c vôùi , , 0a b c . Phöông trình maët phaúng ñöôïc vieát theo ñoaïn chaén ( ) : 1 . x y z P a b c Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song Cho 0 0 0( ; ; ) ( ) : 0 M x y z mp P ax by cz d . Khi ñoù: 0 0 0 2 2 2 , ( ) ax by cz d d M P a b c . Cho hai maët phaúng 1 2 ( ) : 0 ( ) : 0 P ax by cz d Q ax by cz d . Khi ñoù: 1 2 2 2 2 ( ), ( ) d d d P Q a b c vôùi 1 2d d . Goùc giöõa hai maët phaúng Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 P a x b y c z d Q a x b y c z d Goùc giöõa ( ) &( )P Q ñöôïc tính: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos ( ), ( ) . . P Q P Q n n a a b b c c P Q n n a b c a b c Chuù yù: 0 00 ( ), ( ) 90P Q . Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 P a x b y c z d Q a x b y c z d . Ta coù: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c d P Q a b c d . 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c d P Q a b c d . ( ) &( )P Q caét nhau 1 1 1 2 2 2: : : :a b c a b c . 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0P Q a a bb c c . Löu yù: Caùc tæ soá treân coù nghóa khi maãu khaùc 0. Ví trò töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu Cho maët phaúng ( ) : 0P ax by cz d vaø maët caàu ( )S coù taâm I vaø baùn kính R. Tröôøng hôïp 1: , ( )d I P R ( )P vaø ( )S khoâng coù ñieåm chung. Tröôøng hôïp 2: , ( )d I P R ( )P vaø ( )S coù Tröôøng hôïp 3: , ( )d I P R ( )P caét ( )S moät ñieåm chung. Khi ñoù ta noùi ( )P tieáp xuùc ( )S hoaëc ( )P laø tieáp dieän cuûa ( ).S Ta coù: ( )IM P vôùi M laø tieáp ñieåm. theo giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn. Ñöôøng troøn giao tuyeán coù taâm H (laø trung ñieåm AB), baùn kính 2 2r R IH vôùi , ( ) .IH d I P 7. Phöông trình ñöôøng thaúng: Ñöôøng thaúng 1 2 3 qua ( ; ; ) VTCP ( ; ; ) A A AA x y z d u u u u coù: Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng d laø vectô khaùc 0 , coù giaù naèm treân d hoaëc song song vôùi d. Phöông trình tham soá 1 2 3 : A A A x x u t d y y u t z z u t vôùi t laø tham soá. Phöông trình chính taéc 1 2 3 : A A A x x y y z z d u u u vôùi 1 2 3. . 0u u u . Löu yù: Neáu coù caëp vectô khaùc 0 khoâng cuøng phöông sao cho a d b d thì d coù VTCP laø: ,du a b . 7.1. Ví trò töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng vôùi 1 1 qua VTCP M d u , 1 2 qua VTCP N d u . Böôùc I Böôùc II Keát luaän Hai ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng nhau. (Hai ñöôøng thaúng truøng nhau) Hai ñöôøng thaúng caét nhau hoaëc cheùo nhau. caét cheùo nhau 7.2. Ví trò töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Böôùc I: Böôùc II:Giaûi PT (*), ta gaëp 1 trong 3 tröôøng hôïp sau Keát luaän Thay phöông trình tham soá vaøo PT (*) voâ nghieäm 1 2 ,d d 1 2 , 0u u 1 2 ,d d 1 ; 0u MN 1 2 d d 1 ; 0u MN 1 2 d d 1 2 , 0u u 1 2 ,d d 1 2 , . 0u u MN 1 d 2 d 1 2 , . 0u u MN 1 2 &d d 0 1 0 2 0 3 : x x u t d y y u t z z u t ( ) : 0P ax by cz d d ( )d P phöông trình , ta ñöôïc PT (*): PT (*) coù 1 nghieäm 0 0 0 x x y y z z caét taïi ñieåm coù toïa ñoä 0 0 0( ; ; )x y z . PT (*) coù voâ soá nghieäm 7.3. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng: Cho ñieåm M vaø ñöôøng thaúng d (coù phöông trình tham soá hoaëc chính taéc). Böôùc 1: Choïn ñieåm A d vaø moät VTCP du . Böôùc 2: , , d d u AM d M d u . 7.4. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: Cho hai ñöôøng thaúng 1 2,d d laàn löôït coù VTCP laø 1 2,u u . Ta coù: 1 2 1 2 1 2 . cos , . u u d d u u . 7.5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø maêt phaúng ( )P coù VTPT n . Ta coù: . sin , ( ) . u n d P u n . 8. Hình chieáu vaø ñieåm ñoái xöùng: Baøi toaùn Phöông phaùp Tìm hình chieáu cuûa ñieåm treân maët phaúng . Goïi d laø ñöôøng thaúng qua ( ) A P Vieát pt tham soá cuûa d vôùi VTCP cuûa d cuõøng laø VTPT cuûa (P). Goïi ( )H d P . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H. Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi qua . Ta coù H laø trung ñieåm 2 2 2 A H A A H A A H A x x x AA y y y z z z . Tìm hình chieáu cuûa ñieåm treân ñöôøng thaúng d. Caùch I Goïi ( )H theo t (döïa vaøo pt tham soá cuûa d). . 0dAH d AH u Tìm ñöôïc Toïa ñoä H. Caùch II Goïi qua ( ) ( ) A P P d Vieát pt mp( )P . Goïi ( )H d P . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H. Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi qua ñöôøng thaúng d. Ta coù H laø trung ñieåm 2 2 2 A H A A H A A H A x x x AA y y y z z z . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn Email goùp yù: thayxuannhan@gmail.com ( )P 0 1 0 2 0 3 ( ) ( ) ( ) 0a x u t b y u t c z u t d d ( )P ( )d P A ( )P A A ( )P A .......t A A
Tài liệu đính kèm: