Bàn về tính đơn điệu của các hàm số

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
5 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. ðịnh nghĩa : 
Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là 
• ðồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ < ⇒ < 
• Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ 
2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu : 
Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I 
• Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ 
• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ 
3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu : 
ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange): 
Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có ñạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại ít nhất một ñiểm ( );c a b∈ 
sao cho ( ) ( ) ( ) ( )'f b f a f c b a− = − 
ðịnh lý 2 : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại 
mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) .Khi ñó : 
• Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I 
• Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I 
• Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không ñổi trên khoảng I 
Chú ý : 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có ñạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng ( );a b thì hàm số f ñồng biến 
trên ;a b   
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có ñạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng ( );a b thì hàm số f nghịch 
biến trên ;a b   
TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
6 
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 
Ví dụ 1: 
 Xét chiều biến thiên của các hàm số : 
Giải : 
( ) 3 21) 3 8 2
3
a f x x x x= − + − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) 2' 6 8f x x x= − + 
( )' 0 2, 4f x x x= ⇔ = = 
Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : 
x −∞ 2 4 +∞ 
( )'f x + 0 − 0 + 
( )f x +∞ 
 −∞ 
Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( );2−∞ và ( )4;+∞ , nghịch biến trên khoảng ( )2;4 
( )
2 2
)
1
x x
b f x
x
−
=
−
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp { }\ 1ℝ . 
Ta có ( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
1 12 2
' 0, 1
1 1
xx x
f x x
x x
− +− +
= = > ≠
− −
Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : 
x −∞ 1 +∞ 
( )'f x + + 
 +∞ +∞ 
( )f x 
 −∞ −∞ 
( ) 3 21) 3 8 2
3
a f x x x x= − + − 
( )
2 2
)
1
x x
b f x
x
−
=
−
( ) 3 2) 3 3 2c f x x x x= + + + 
( ) 3 21 1) 2 2
3 2
d f x x x x= − − + 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
7 
Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ 
( ) 3 2) 3 3 2c f x x x x= + + + 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) ( )22' 3 6 3 3 1f x x x x= = + = + 
( )' 0 1f x x= ⇔ = − và ( )' 0f x > với mọi 1x ≠ − 
Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ −  và )1;− +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . 
Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : 
x −∞ 1− +∞ 
( )'f x + 0 + 
( )f x +∞ 
 1 
 −∞ 
Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ −  và )1;− +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . 
( ) 3 21 1) 2 2
3 2
d f x x x x= − − + Tương tự bài )a 
Ví dụ 2: 
Giải : 
( ) 3 2) 2 3 1a f x x x= + + 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) 2' 6 6f x x x= + 
( ) ( ) ( ) ( )' 0, ; 1 , 0;f x x f x> ∈ −∞ − +∞ ⇒ ñồng biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )0;+∞ . 
( ) ( ) ( )' 0, 1;0f x x f x< ∈ − ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;0− . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải ( )' 0f x = , tìm ra hai nghiệm 1, 0x x= − = , kẻ bảng biến thiên rồi kết 
luận. 
Xét chiều biến thiên của các hàm số : 
( ) 3 2) 2 3 1a f x x x= + + 
( ) 4 2) 2 5b f x x x= − − 
( ) 3 24 2) 6 9
3 3
c f x x x x= − + − − 
( ) 2) 2d f x x x= − 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
8 
( ) 4 2) 2 5b f x x x= − − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) 3' 4 4f x x x= − 
( ) ( ) ( ) ( )' 0, 1;0 , 1;f x x f x> ∈ − +∞ ⇒ ñồng biến trên mỗi khoảng ( )1;0− và ( )1;+∞ . 
( ) ( ) ( ) ( )' 0, ; 1 , 0;1f x x f x< ∈ −∞ − ⇒ nghịch biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )0;1 . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải ( )' 0f x = , tìm ra hai nghiệm 1, 0, 1x x x= − = = , kẻ bảng biến thiên rồi 
kết luận. 
( ) 3 24 2) 6 9
3 3
c f x x x x= − + − − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) ( )22' 4 12 9 2 3f x x x x= − + − = − − 
( ) 3' 0
2
f x x= ⇔ = và ( )' 0f x < với mọi 3
2
x ≠ 
Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 
3
;
2
 
−∞ 
 
và 
3
;
2
 
+∞
 
nên hàm số nghịch biến trên ℝ . 
( ) 2) 2d f x x x= − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên 0;2   . 
Ta có ( ) ( )
2
1
' , 0;2
2
x
f x x
x x
−
= ∈
−
( ) ( ) ( )' 0, 0;1f x x f x> ∈ ⇒ ñồng biến trên khoảng ( )0;1 
( ) ( ) ( )' 0, 1;2f x x f x< ∈ ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;2 
Hoặc có thể trình bày : 
( ) ( ) ( )' 0, 0;1f x x f x> ∈ ⇒ ñồng biến trên ñoạn 0;1   
( ) ( ) ( )' 0, 1;2f x x f x< ∈ ⇒ nghịch biến trên ñoạn 1;2   
Ví dụ 3: 
Giải : 
Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục trên ñoạn 0;2   và có ñạo hàm ( ) 2' 04
x
f x
x
−
= <
−
 với mọi 
( )0;2x ∈ . Do ñó hàm số nghịch biến trên ñoạn 0;2   . 
Chứng minh rằng hàm số ( ) 24f x x= − nghịch biến trên ñoạn 0;2   
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
9 
Ví dụ 4: 
Giải : 
1. 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) 2' 3 1 sinf x x x= + + 
Vì 23 0, 1 sin 0,x x x x≥ ∈ + ≥ ∈ ℝ ℝ nên ( )' 0,f x x≥ ∈ ℝ . Do ñó hàm số ñồng biến trên ℝ . 
2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) ( )' 2 sin2 1 0,f x x x= − + ≤ ∀ ∈ ℝ và ( )' 0 sin2 1 ,
4
f x x x k k
π
π= ⇔ = − ⇔ = − + ∈ ℤ 
Hàm số nghịch biến trên mỗi ñoạn ( ); 1 ,
4 4
k k k
π π
π π
 
− + − + + ∈ 
 
ℤ . Do ñó hàm số nghịch biến trên 
ℝ . 
Ví dụ 5: 
Giải : 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên khoảng ( )0;2π và có ñạo hàm ( ) ( )' cos , 0;2f x x x π= ∈ . 
( ) ( ) 3' 0, 0;2 ,
2 2
f x x x x
π π
π= ∈ ⇔ = = 
Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : 
x 0 
2
π
3
2
π
 2π 
( )'f x + 0 − 0 + 
( )f x 1 0 
 0 1− 
Hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng 0;
2
π 
 
 
và 
3
;2
2
π
π
 
 
 
, nghịch biến trên khoảng 
3
;
2 2
π π 
 
 
. 
1. Chứng minh rằng hàm số ( ) 3 cos 4f x x x x= + − − ñồng biến trên ℝ . 
2 . Chứng minh rằng hàm số ( ) cos2 2 3f x x x= − + nghịch biến trên ℝ . 
Tìm khoảng ñơn ñiệu của hàm số ( ) sinf x x= trên khoảng ( )0;2π 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
10 
Ví dụ 6: 
Giải : 
Xét hàm số ( ) sin tan 2f x x x x= + − liên tục trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
.Ta có : 
( ) ( )22 2
1 1
' cos 2 cos 2 0, 0;
2cos cos
f x x x x f x
x x
π 
= + − > + − > ∀ ∈ ⇒ 
 
là hàm số ñồng biến trên 
0;
2
π 

 
và ( ) ( )0 , 0;
2
f x f x
π 
> ∀ ∈  
 
 hay sin tan 2 , 0;
2
x x x x
π 
+ > ∀ ∈  
 
. 
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ðẠI SỐ 
Ví dụ 1: 
Giải : 
ðặt 
2sin ; 0 1t x t= ≤ ≤ . 
Khi ñó phương trình ( ) 5 5 81* 81 (1 ) , 0;1
256
t t t  ⇔ + − = ∈   
Xét hàm số 
5 5( ) 81 (1 )f t t t= + − liên tục trên ñoạn 0;1   , ta có: 
4 4'( ) 5[81 (1 ) ],t 0;1f t t t  = − − ∈   
4 4
81 (1 ) 1
'( ) 0
40;1
t t
f t t
t
 = −
= ⇔ ⇔ =
 ∈  
Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có: 
1 81
( ) ( )
4 256
f t f≥ = 
Vậy phương trình có nghiệm 
21 1 1sin cos2 ( )
4 4 2 6
t x x x k k Z
π
π= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ . 
Chứng minh rằng : sin tan 2 , 0;
2
x x x x
π 
+ > ∀ ∈  
 
 . 
Giải phương trình : ( )10 10 81 81sin cos *
256
x x+ = 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
11 
Ví dụ 2: 
Giải : 
2 21. 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0 (1)x x x x x+ + + + + + + = 
Phương trình (1) ( ) 2 23 (2 ( 3 ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3) (2)x x x x⇔ − + − + = + + + + 
ðặt 3 , 2 1, , 0u x v x u v= − = + > 
Phương trình (1) 2 2(2 3) (2 3) (3)u u v v⇔ + + = + + 
 Xét hàm số 4 2( ) 2 3 , 0f t t t t t= + + > 
Ta có ( )
3
4 2
2 3
'( ) 2 0, 0
3
t t
f t t f t
t t
+
= + > ∀ > ⇒
+
 ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ . 
Khi ñó phương trình (3) 
1
( ) ( ) 3 2 1
5
f u f v u v x x x⇔ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ = − 
Vậy 
1
5
x = − là nghiệm duy nhất của phương trình. 
Chú ý : 
Nếu hàm số ( )y f x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) thì 
số nghiệm của phương trình : ( )f x k= sẽ không nhiều hơn một và ( ) ( )f x f y= khi và chỉ khi 
x y= . 
2tan2. os =2 , - ;
2 2
xe c x x
π π 
+ ∈  
 
Xét hàm số : 
2tan( ) osxf x e c x= + liên tục trên khoảng - ;
2 2
x
π π 
∈  
 
. Ta có 
Giải phương trình : 
2 21. 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + = 
2tan2. osx=2 , - ;
2 2
xe c x
π π 
+ ∈  
 
 . 
3. 2003 2005 4006 2x x x+ = + 
3
4. 3 1 log (1 2 )x x x= + + + 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
12 
2
3
2
3
tan
tan
2
1 2e os
'( ) 2 tan . sin sin
cos os
x
x c xf x x e x x
x c x
 − = − =
 
 
Vì 
2
3tan2 2 os 0xe c x≥ > > 
Nên dấu của '( )f x chính là dấu của sinx . Từ ñây ta có ( ) (0) 2f x f≥ = 
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất 0x = . 
3. 2003 2005 4006 2x x x+ = + 
Xét hàm số : ( ) 2003 2005 4006 2x xf x x= + − − 
Ta có: '( ) 2003 ln2003 2005 ln2005 4006x xf x = + − 
2 2''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 0 "( ) 0 x xf x x f x= + > ∀ ⇒ = vô nghiệm 
( )' 0f x = có nhiều nhất là một nghiệm . Do ñó phương trình ( ) 0f x = có nhiều nhất là hai nghiệm 
và ( ) ( )0 1 0f f= = nên phương trình ñã cho có hai nghiệm 0, 1x x= = 
Chú ý : 
• Nếu hàm số ( )y f x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) 
và hàm số ( )y g x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên 
D , thì số nghiệm trên D của phương trình ( ) ( )f x g x= không nhiều hơn một. 
• Nếu hàm số ( )y f x= ) có ñạo hàm ñến cấp n và phương trình ( )( ) 0kf x = có m nghiệm, khi ñó 
phương trình ( 1)( ) 0kf x− = có nhiều nhất là 1m + nghiệm 
3
4. 3 1 log (1 2 )x x x= + + + 
1
2
x > − 
Phương trình cho 
( )3 3 33 1 2 log (1 2 ) 3 log 3 1 2 log (1 2 ) *x x xx x x x x⇔ + = + + + ⇔ + = + + + 
Xét hàm số: 
3
( ) log , 0f t t t t= + > ta có ( ) ( )1' 1 0, 0
ln 3
f t t f t
t
= + > > ⇒ là hàm ñồng biến 
khoảng ( )0;+∞ nên phương trình 
( ) ( )* (3 ) (1 2 ) 3 2 1 3 2 1 0 * *x x xf f x x x⇔ = + ⇔ = + ⇔ − − = 
Xét hàm số: 2( ) 3 2 1 '( ) 3 ln 3 2 "( ) 3 ln 3 0x x xf x x f x f x= − − ⇒ = − ⇒ = > 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
13 
( ) 0f x⇒ = có nhiều nhất là hai nghiệm, và ( )(0) 1 0f f= = nên phương trình ñã cho có hai 
nghiệm 0, 1x x= = . 
Ví dụ 3: 
Giải : 
ðiều kiện 2 3 2 0 1 2x x x x− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ 
ðặt 2 3 2, 0u x x u= − + ≥ 
Phương trình ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
3 3
 ... 3
x ta có ( ) π ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 
 
5
0 1
3 4
y y y y nên phương trình cho không có nghiệm ( )∈ −1;1m 
π
π
 
• ∈  
 
 ;
3
x ta có ( ) ππ  ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
 
5
1
3 4
y y y y . Theo ñịnh lý về giá trị trung gian của hàm số 
liên tục với ( )  ∀ ∈ − ⊂ − 
 
5
1;1 1;
4
m , tồn tại một số thực 
π
π
 
∈  
 
;
3
c sao cho ( ) = 0y c . Số c là nghiệm 
của phương trình + =2sin cosx x m và vì hàm số nghịch biến trên ñoạn 
π
π
 
 
 
;
3
nên trên ñoạn này , 
phương trình có nghiệm duy nhất . 
Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc ñoạn π  0; . 
10. Cho ( ) ( )−1;1 , 2;4A B là hai ñiểm của parabol = 2y x .Xác ñịnh ñiểm C thuộc parabol sao cho tiếp 
tuyến tại C với parabol song song với ñường thẳng AB . 
11. Với giá trị nào của a hàm số ( ) 3f x x ax= − + nghịch biến trênℝ . 
12. Với giá trị nào của m , các hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó ? 
) 2
1
m
a y x
x
= + +
−
( )22 2 3 1
)
1
x m x m
b y
x
− + + − +
=
−
Hướng dẫn : 
( )
= + + ⇒ = − ≠
− −
2
) 2 ' 1 , 1
1 1
m m
a y x y x
x x
• ≤ 0m thì > ∀ ≠' 0; 1y x . Do ñó hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( )−∞;1 và ( )+∞1; . 
• > 0m thì 
( )
( )
( )
− −
= − = ≠
− −
2
2 2
1
' 1 , 1
1 1
x mm
y x
x x
 và = ⇔ = ±' 0 1y x m . Lập bảng biến thiên ta 
thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( )−1 ;1m và ( )+1;1 m ; do ñó không thoả ñiều kiện . 
Vậy :hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó khi và chỉ khi ≤ 0m 
Chú ý : Bài toán trên ñược mở rộng như sau 
1
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )−∞ −; 1 
2
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )+∞2; 
3
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số nghịch biến trong khoảng có ñộ dài bằng 2. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
41 
4
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( )0;1 và ( )1;2 . 
5
)a Gọi <
1 2
x x là hai nghiệm của phương trình ( )− − =21 0x m . Tìm m ñể : 
5.1
)a =
1 2
2x x 
5.2
)a <
1 2
3x x 
5.3
)a + < +
1 2
3 5x x m 
5.4
)a − ≥ −
1 2
5 12x x m 
( )
( )
2
2
2 2 3 1 1 2 2 1
) 2 ' 2
1 1 1
x m x m m m
b y x m y
x x x
− + + − + − −
= = − + + ⇒ = − +
− − −
1
' 0, 1
2
m y x• ≤ ⇒ < ≠ , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ( );1 à 1;v−∞ +∞ 
1
2
m• > phương trình ' 0y = có hai nghiệm 
1 2
1x x< < ⇒ hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng 
( ) ( )1 2;1 à 1;x v x , trường hợp này không thỏa . 
13. Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên ℝ 
( )3 21 2 2 1 3 2
3
y x x m x m= − + + + − + 
Hướng dẫn : 
( )3 2 21 2 2 1 3 2 ' 4 2 1, ' 2 5
3
y x x m x m y x x m m= − + + + − + ⇒ = − + + + ∆ = + 
• = − 
5
2
m thì ( )= − − ≤2' 2 0y x với mọi ∈ =ℝ, ' 0x y chỉ tại ñiểm = 2x . Do ñó hàm số nghịch biến 
trên ℝ . 
( )• < − ∆ < 5 ' 0
2
m hay thì < ∀ ∈ ℝ' 0,y x . Do ñó hàm số nghịch biến trên ℝ . 
( )• > − ∆ > 5 ' 0
2
m hay thì =' 0y có hai nghiệm ( )< 1 2 1 2,x x x x . Hàm số ñồng biến trên khoảng 
( ) 1 2;x x . Trường hợp này không thỏa mãn . 
Ngoài ra ta có thể trình bày : Hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi 
1 0 5
2 5 0
' 0 2
a
m m
 = − <
⇔ + ≤ ⇔ ≤ −∆ ≤
Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi ≤ − 
5
2
m 
Chú ý : Bài toán trên ñược mở rộng như sau 
1
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )− −2; 1 
2
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )0;1 và ( )2;3 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
42 
3
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến trong khoảng có ñộ dài bằng 1. 
4
)a Tìm giá trị của m ñể hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0;1 . 
14. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 21 21 2 3
3 3
f x x m x m x= + − + − − 
)a Với giá trị nào của m , hàm số ñồng biến trên ℝ 
)b Với giá trị nào của m , hàm số ñồng biến trên : 
( )1) 1;b +∞ 
( )2) 1;1b − 
(3) ; 1b −∞ −  
4
) 1;0b  −  
15. Cho hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − 
)a Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
. 
)b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x+ > với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
. 
Hướng dẫn : 
)a Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nữa khoảng 0;
2
π 

 
Hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − liên tục trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và có ñạo hàm 
( ) ( ) ( )
2
3 2
2 2 2
1 cos 2 cos 11 2 cos 1 3 cos
' 2 cos 3 0, 0;
2cos cos cos
x xx x
f x x x
x x x
π− +  + −
= + − = = > ∀ ∈  
 
Do ñó hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − ñồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
)b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x+ > với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
Hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − ñồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và 
( ) ( )0 0, 0;
2
f x f x
π 
≥ = ∀ ∈  
 
; do ñó 2 sin tan 3 0x x x+ − > mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
 hay 
2 sin tan 3x x x+ > với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
16. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
43 
)a Chứng minh rằng tanx x> với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
. 
)b Chứng minh rằng 
3
tan
3
x
x x> + với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
. 
Hướng dẫn : 
)a Chứng minh rằng hàm số ( ) tanf x x x= − ñồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
. 
Hàm số ( ) tanf x x x= − liên tục trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và có ñạo hàm 
( ) 22
1
' 1 tan 0, 0;
2cos
f x x x
x
π 
= − = > ∀ ∈  
 
. 
Do ñó hàm số ( ) tanf x x x= − ñồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và ( ) ( )0 0, 0;
2
f x f x
π 
> = ∀ ∈  
 
hay tanx x> . 
)b Chứng minh rằng 
3
tan
3
x
x x> + với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
. 
Xét hàm số ( )
3
tan
3
x
g x x x= − − trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
. 
Hàm số ( )
3
tan
3
x
g x x x= − − liên tục trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và có ñạo hàm 
( ) ( ) ( )2 2 22
1
' 1 tan tan tan 0, 0;
2cos
g x x x x x x x x x
x
π 
= − − = − = − + > ∀ ∈  
 
 câu )a 
Do ñó hàm số ( )
3
tan
3
x
g x x x= − − ñồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và 
( ) ( )0 0, 0;
2
g x g x
π 
> = ∀ ∈  
 
 hay 
3
tan
3
x
x x> + với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
. 
17. Cho hàm số ( ) 4 tanf x x x
π
= − với mọi 0;
4
x
π 
∈  
 
)a Xét chiều biến thiên của hàm số trên ñoạn 0;
4
π 
 
 
. 
)b Từ ñó suy ra rằng 
4
tanx x
π
≥ với mọi 0;
4
x
π 
∈  
 
. 
Hướng dẫn : 
)a Xét chiều biến thiên của hàm số trên ñoạn 0;
4
π 
 
 
. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
44 
Hàm số ( ) 4 tanf x x x
π
= − liên trục trên ñoạn 0;
4
π 
 
 
 và có ñạo hàm 
( ) ( ) 22
4 1 4 4
' tan , 0; , ' 0 tan
4cos
f x x x f x x
x
π π π
π π π
 − −
= − = − ∀ ∈ = ⇔ = 
 
Vì 
4
0 1 tan
4
π π
π
−
< < = nên tồn tại một số duy nhất 0;
4
c
π 
∈  
 
 sao cho 
4
tanc
π
π
−
= 
( ) ( ) ' 0, 0;f x x c• > ∈ ⇒hàm số ( )f x ñồng biến trên ñoạn 0;x c ∈   
( ) ' 0, ;
4
f x x c
π 
• < ∈ ⇒ 
 
 hàm số ( )f x nghịch biến trên ñoạn ;
4
x c
π 
∈  
 
)b Dễ thấy ( ) ( ) 4 40 ; 0; tan 0 tan
4
f x f c x x x hay x x
π
π π
 
≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≥ ≥ 
 
 với mọi 0;
4
x
π 
∈  
 
. 
18. Chứng minh rằng các bất ñẳng thức sau : 
)a sinx x , sinx x> với mọi 0x < 
)b 
2
cos 1
2
x
x > − với mọi 0x ≠ 
)c
3
sin
6
x
x x> − với mọi 0x > , 
3
sin
6
x
x x< − với mọi 0x < 
)d sin tan 2x x x+ > với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
Hướng dẫn : 
)a sinx x . 
Hàm số ( ) sinf x x x= − liên tục trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và có ñạo hàm 
( ) 2' 1 cos 2 sin 0, 0;
2 2
x
f x x x
π 
= − = > ∀ ∈  
 
. Do ñó hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
và ta có 
( ) ( )0 0, 0;
2
f x f x
π 
> = ∀ ∈  
 
, tức là sin 0, 0; sin , 0;
2 2
x x x hay x x x
π π   
− > ∀ ∈ > ∀ ∈   
   
 . 
)b 
2
cos 1
2
x
x > − với mọi 0x ≠ 
Hàm số ( )
2
cos 1
2
x
f x x= − + liên tục trên nửa khoảng )0; +∞ và có ñạo hàm ( )' sin 0f x x x= − > 
với mọi 0x > ( theo câu a ). Do ñó hàm số ( )f x ñồng biến trên nửa khoảng )0; +∞ và ta có 
( ) ( )0 0, 0f x f x> = ∀ > , tức là 
2
cos 1 0, 0
2
x
x x− + > ∀ > 
Với mọi 0x < , ta có ( ) ( )
2
2
cos 1 0, 0 cos 1 0, 0
2 2
x x
x x hay x x
−
− − + > ∀ ∀ < 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
45 
Vậy 
2
cos 1
2
x
x > − với mọi 0x ≠ 
)c Hàm số ( )
3
sin
6
x
f x x x= − − . Theo câu b thì ( )' 0, 0f x x< ∀ ≠ . Do ñó hàm số nghịch biến trên ℝ . 
Và 
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
f x f khi x
f x f khi x
 > <


)d sin tan 2x x x+ > với mọi 0;
2
x
π 
∈  
 
Hàm số ( ) sin tan 2f x x x x= + − liên tục trên nửa khoảng 0;
2
π 

 
 và có ñạo hàm 
( ) 22 2
1 1
' cos 2 cos 2 0, 0;
2cos cos
f x x x x
x x
π 
= + − > + − > ∀ ∈  
 
. Do ñó hàm số ñồng biến trên nửa 
khoảng 0;
2
π 

 
và ta có ( ) ( )0 0, 0;
2
f x f x
π 
> = ∀ ∈  
 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG KỲ THI TÚ TÀI &TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
1 Tìm tham số m ñể ñồ thị của hàm số ñồng biến trên ℝ : 
)a 3 2
1
(3 2)
3
m
y x mx m x
−
= + + − 
)b ( )3 21 2 1 1
3
y x x m x= − + + − 
2 Tìm m ñể các hàm số sau nghịch biến trên ℝ 
 ( ) ( )3 21 2 2 2 2 5
3
m
y x m x m x
 −
= − − + − + 
 
3 Tìm m ñể các hàm số sau ñồng biến trên ℝ 
)a siny x m x= + 
)b 
1 1
sin sin2 sin 3
4 9
y mx x x x= + + + 
)c 2 2
1
2 2 cos sin cos cos 2
4
y mx x m x x x= − − + 
 )d ( 3) (2 1)cosy m x m x= − − + 
4 Tìm tham số m ñể ñồ thị của hàm số : 
)a 3 23 ( 1) 4y x x m x m= + + + + nghịch biến trên ( )1;1− 
)b 3 2 2(2 7 7) 2( 1)(2 3)y x mx m m x m m= − − − + + − − ñồng biến trên )2; +∞ 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Tính ñơn ñiệu của hàm số 
46 
)c 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên ñoạn có ñộ dài bằng 1. 
)d 
2(2 1) 3 5
1
m x mx
y
x
− − +
=
−
 ñồng biến trên ñoạn 2;5   
)e 
22 3
2 1
x x m
y
x
− − +
=
+
 nghịch biến trên khoảng 
1
;
2
 
− +∞ 
 
)f 
2 8
8( )
x x
y
x m
−
=
+
 ñồng biến trên khoảng ( )1;+∞ 
)g 
2
1
mx x m
y
mx
+ +
=
+
 ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ . 
5 Chứng minh rằng : 
)a sin tan 12 2 2 , 0;
2
x x x x
π+  + > ∈  
 
)b 2
2
1 cos , 0;
4 4
x x x
π π +
< < ∈  
 
)c 0 05 tan6 6 tan 5> 
)d 2009 20082008 2009> 
)e
2 2
tan tan ,0
2cos cos
a b a b
a b a b
b a
π− −
< − < < < < 
6 Chứng minh rằng : 
)a ln , 0
b a b b a
a b
a a b
− −
> > < < 
)b 
( )
1
lg lg 4
1 1
0 1;0 1,
y x
y x y x
x y x y
 
− > − − − 
< < < < ≠
)c , 0, 0,
ln ln 2
a b a b
ab a b a b
a b
− +
 > ≠
−
)d
1
lg ( 1) lg ( 2), 1
x x
x x x
+
+ > + > 
)e , 0
2 ln ln
x y x y
x y
x y
+ −
> > >
−