Bài tập về nguyên hàm và tích phân

NGUYÊN HÀM
Định nghĩa nguyên hàm :
Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác định trên tập D.
F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) Û F’(x) = f(x), "xỴD
Định nghĩa tích phân không xác định :
Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số. Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác định của hàm f(x).
Ký hiệu : . (Họ các nguyên hàm)
Bảng các nguyên hàm :
TÍCH PHÂN
Định nghĩa tích phân xác định :
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K
F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a;b]
Ký hiệu : 
Ta có : 
Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)
a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân
Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b Ỵ K
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng :
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y1 = f1(x), y2 = f2(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong đó y1, y2 là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau :
Thể tích vật thể tròn xoay :
Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, x = a, x = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : 
Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : (Dành cho ban nâng cao!)
Chủ đề III : NGUYÊN HÀM
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = ĐS. F(x) = 
2. f(x) = ĐS. F(x) = 
3. f(x) = ĐS. F(x) = 
4. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 
5. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
6. 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 
7. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = 
8. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C 
9. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = 
10. 	11/ ; 12/ 13/
2/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ?
1. f(x) = 2 – x2 và F(2) = 7/3 ĐS. F(x) = 
2. f(x) = 4 và F(4) = 0 ĐS. F(x) = 
3. f (x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3 ĐS. F(x) = x4 – x3 + 2x + 3
4. , ĐS ?
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = bằng cách đặt U = u(x)
Đặt U = u(x)
I = 
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5a.; b. 
6. ; 7. ; 8.; 9. ; 10. ; 11. ;12.; 
 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 
Cố gắng các em nhé !
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên K thì 
Hay
 ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
 19. ; 20.  ; 21. ; 22.; 23.; 24.
25; 26.; 27. ; 28.; 29. ; 30. ; 31. ; 32.; 33.; 34.; 35. ; 36. ; 37.; 38.
 TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG. 
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng định nghĩa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
 Bài 1 : Tính các tích phân :
	1/  ; 2/ ; 3/ ; 	4/
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/ ; 	 2/  ; 3/  ; 4/  ; 5/ 	6/ ; 7/  ; 8/  ; 9/ ; 10/
Bài 3 : Tính các tích phân :
	1/ ; 2/  ; 3/  ; 4/ 
5/ ;	 6/ ; 7/  ; 8/
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ( trong đó u(x) là hàm số biến x)
*Phương pháp: 
 + Đặt U = u(x) dU = u’(x)dx
 + Đổi cận : Khi x = aU = u(a), khi x = b U= u(b)
 + Thay thế : 
 Khi đó = .
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, ...
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/  ; 2/  ; 3/ ; 4/ ;	5/ ;	6/
Bài 2 : Tính các tích phân :
	1/ ;	 2/ ; 3/ ; 4/ ; 5/ ; 6/
Bài 3 :Tính các tích phân :
	1/ ; 2/	; 3/ ; 4/ ; 5/ ; 6/	7/ ; 8/ ; 9/ ; 10/ ; 11/	
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ( trong đó u(x), v’(x) là những hàm số biến x)
*Phương pháp: 
 + Đặt ta có 
 Khi đó = -
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, ...
 - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv( cụ thể Thầy đã dạy ở phần lý thuyết)
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/ ; 2/ ; 3/ ; 4/ ; 5/ ; 6/	7/ ; 8/ ; 9/ ; 10/ ;11/ ; 12/	
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* Aùp dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức ,mà không thể tính bằng các phương đã học .
*Phương pháp: 
 + Đặt biến mới 
 -Dạng chứa  : Đặt x = asint, t
 - Dạng chứa  : Đặt x = atant, t
 + Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính các tích phân sau :
	1/ ( a > 0 ) 2/	3/
	4/	5/	6/
	7/	8/	9/
	ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN	
BÀI TOÁN 1: Cho hàm số liên tục trên . Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi (Chỉ Thầy Trò ta ký hiệu thế này thôi nhé !!! L )
Đồ thị hàm số 
Trục : ( )
Hai đường thẳng 
Được xác định bởi công thức : 
Tính , biết giới hạn bởi đồ thị: , và trục .
Tính , biết 
 Tính với 
 Tính , với 
 Tính , 
 Tính , 
Tính 
 Tính , 
BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi : (Xem kỷ lại lý thuyết Thầy đã dạy)
+ , 
+ đường thẳng 
 Được xác định bởi công thức: 
PP giải: B1: Giải phương trình : tìm nghiệm 
	 B2: Tính 	
 Tính , 
Tính , 
 Tính , 
 Tìm sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và các đường thẳng bằng 
BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị: . 
Khi đó diện tích với là nghiệm duy nhất của phương trình .
 Tính , với 
Tính , 
 Tính 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 
 Tính , 
BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số: 
PP giải: B1: Giải phương trình có nghiệm 
	 B2: Ta có diện tích hình : 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và 
 :ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi các đường: ; ; xung quanh trục ”.
PP giải: Ta áp dụng công thức 
Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi các đường: ; ; xung quanh trục ”.
PP giải: Ta áp dụng công thức 
Cho hình phẳng giới hạn bởi : 
Tính diện tích hình phẳng 
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục 
Cho hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng . Tính thể tích khối tròn xoay khi lần lượt quay hình phẳng quanh trục .
 BÀI TOÁN II: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi các đường: ; ; xung quanh trục ”.
PP giải: Ta áp dụng công thức 
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 Cho hình phẳng giới hạn bởi . Quay xung quanh ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này.
BÀI TẬP 
 Tính biết: 
 Cho là miền giới hạn bởi đồ thị 
Tính diện tích miền phẳng 
Cho quay quanh , tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành.
 Tính biết: 
 Tính biết: 
 Tính biết: 
 Tính biết: 
 Tính biết: 
 Tính biết: 
 CÁC BÀI TẬP DỄ VÀ HAY
, trục Ox, x=1, x = 2 .
y = lnx , x =1 , x = 2 và trục Ox.
y = x3 + 1, Ox, Oy và x = 1.
y = 1 – x2 , y = 0.
y = cosx, y = 0, x = 0 và x = .
y = tanx , y = 0, x = 0 và x = .
y2 = x3 , y = 0, x = 1
y = sin2x, y = 0, x = 0 và x = .
y = , y = 0, x = 0, x = 1
 y = -x2 + 2x, trục hoành.