Bài tập Ứng dụng của tích phân - Trường THPT Phước Long

 Ứng dụng của tích phân Trường THPT Phước Long 
D:\0809\Giaoan12_CB\Ung dung cua tich phan.doc 1 
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
 1. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )y f x= , ( )y g x= , x a= , x b= là: 
( ) ( ) .
b
a
S f x g x dx= −∫ 
 2. Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )y f x= , 0y = , x a= , x b= 
quay quanh trục Ox là: 
2
[ ( )] .
b
a
V f x dxpi= ∫ 
B. BÀI TẬP 
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 1) = 0y , = − 29y x 2) 3 23 , 0y x x y= − + = 
 3) = 0y , = − 22y x x 4) = − −2 2y x x , = 0y 
 5) 3 , y x y x= = 6) = +1y x , = − + +3 23 1y x x x 
 7) = −y x , = − 22y x 8) 2 3, 1y x y x= − = − 
 9) = + 2y x , = +2 2y x x 10) + = 0x y , − + =2 2 0x x y 
 11) =y x , 2sin (0 )pi= + ≤ ≤y x x x 12) = −
2
2
4
x
y , + =2 0x y 
 13) = +2 2y x , = 3y x 14) = +1y x , = − +2( 2) 1y x 
 15) 2 , 2y x y x= = + 16) =y x , = 2y x 
 17) = −2 1y x , = − +2 1y x 18) = 2
1
4
y x , = − +2
1
3
2
y x x 
 19) 2 2 1, 1y x x y x= + − = + 20) = 0y , = − + +3 24 6y x x x 
 21) 2 1, 1y x y x= − = − 22) 2 2 3, 3 4y x x y x= − + + = − 
 23) 2 1, 1y x y x= − = + 24) 
2
4
4
= −
x
y , =
2
4 2
x
y 
 25) 2 21, y x y x x= − = − 26) 
2
, 1
2 2
x x
y x y= − = − 
 27) 
2
1, 
2 2
x x
y y= − = 28) 3 23 4 , 0y x x x y= − − = 
 29) 3 2
1
2 3 , 0
3
y x x x y= − + = 30) 
2
, 
2
x
y y x= = 
 31) 
2 2
, 
2 2
x x
y x y x= − + = − 32) 
2 2
, 0
3
x x
y y
x
+ −
= =
+
 33) 
2
, 
2 2
x x
y y= = 34) 
2 4
, 0
3
x
y y
x
−
= =
+
 35) 
22 5 2
, 0
x x
y y
x
− +
= = 36) 
2 3
, 
2 2
x
y y x= = + 
 37) = 0y , cos ( ; )
2 2
pi pi 
= ∈ −  
y x x 38) ( 1) , (1 )xy e x y e x= + = + 
 39) 
2 8 7 7
, 
3 3 3 3
x x x
y y
x
−
= − + − =
−
 40) 3 23 2, 2y x x y= − + = 
 Ứng dụng của tích phân Trường THPT Phước Long 
2 
 41) = −2 1y x , = + 5y x 42) = − +2 4 3y x x , = + 3y x 
 43) = 2y x , = −2 38( 1)y x 44) = −3 2y x , + =2( 2)y x 
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 1) = 0x , = 2x , =y x 2) = 0y , =1x , = . xy x e 
 3) = 0y , = 0x , 
− −
=
−
3 1
1
x
y
x
 4) 21= +y x x , = 0y , =1x 
 5) = 0y , = −2y x , =y x 6) =1x , = xy e , = + 5( 1)y x 
 7) sin , cos , 0y x y x x= = = 8) 
2 2
4, ( 0), 3 ( 2)
4 2
= = ≤ = − + ≤y yx x y x y y 
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 1) = 0x , =1x , = 0y , = + +4 23 1y x x 2) 24 , 0, 1, 3y x y x x= − = = = 
 3) 24 , 3 , 1, 2y x y x x x= − = = − = 4) = −2x , =1x , = 0y , = 3y x 
 5) = 0x , pi=x , = 0y , = −sin 2 cosy x x 6) = +1y x , = − + +3 23 1y x x x 
 7) = 0x , = 2x , = −1y x , = − +2 3 2y x x 8) =1x , = 2x , = 0y , 2y x= 
 9) 23 2 5, 0, 0, 2y x x y x x= + − = = = 10) = 0x , = 2x , = 0y , = 3y x 
 11) = 0x , =1x , = 0y , = +2 1y x 12) = −2x , = 2x , = + 2y x , = 2y x 
 13) 24 , 3 , 1, 2y x y x x x= − = = − = 14) 23 4 5, 0, 1, 2y x x y x x= − + = = = 
 15) 26 , 0, 1, 3y x x y x x= − = = − = 16) 2 22 , 5 2 , 2, 1y x x y x x x= − = − = − = 
 17) 2 1, 1, 1, 1y x x y x x x= − + = + = − = 18) =1x , =x e , = 0y , 
ln
2
=
x
y
x
 19) = −2x , = 2x , = − + +3 3 1y x x , = + +2 1y x x 20) 1, 0, ln3, ln8xy e y x x= + = = = 
 21) = +(2 cos )siny x x , = 0y , 
pi
=
2
x , 
pi
=
3
2
x 22) 
1
, ln , , 1xy e y x x x
e
= = = = 
 23) 2 2 2, 2 2, 1, 2y x x y x x x= − + = + = − = 24) =
2
1
sin
y
x
, =
2
1
cos
y
x
, 
pi
=
6
x , 
pi
=
3
x 
 25) = 22y x , = 2y x , =1y , = ≥2 ( 0)y x 
Bài 4. Parabol =2 2y x chia diện tích hình tròn + =2 2 8x y theo tỉ số nào? Tính diện tích của mỗi phần 
đó. 
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hình tròn − + ≤2 2( 2) 1x y . Tính thể tích của 
khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình tròn đó một vòng quanh trục Oy . 
Bài 6. Cho hàm số = − +4 24 ( )y x x m C . Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Xác 
định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía 
dưới trục hoành bằng nhau. 
Bài 7. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó 
quay quanh trục Ox . 
 1) 
4
y
x
= , = 0y , =1x , = 4x 2) = 0x , 3x = , = 0y , y x= 
 3) = 0x , =1x , = 0y , =y x 4) cos , 0, 0, 
2
y x y x x
pi
= = = = 
 5) = 0x , pi= 2x , = 0y , = siny x 6) 22 , 0, 1, 2y x y x x= − = = = 
 7) = 0x , 
pi
=
2
x , = 0y , = siny x x 8) = −1x , = 2x , = 0y , = −2 2y x x 
 9) (2 )sin , 0, 0, 
6
y x x y x x
pi
= − = = = 10) 2 2 1, 0, 0, 1y x x y x x= − + = = = 
 Ứng dụng của tích phân Trường THPT Phước Long 
D:\0809\Giaoan12_CB\Ung dung cua tich phan.doc 3 
 11) 23 2 , 0, 2, 3y x x y x x= − = = = 12) cos , 0, 0, 
2
y x x y x x
pi
= = = = 
 13) = lny x , = 0y , =1x , = 2x 14) ( 1) , 0, 1, 2xy x e y x x= − = = = 
 15) = 0y , = +6 6cos siny x x , = 0x , 
pi
=
2
x 16) = 0y , = +4 4cos siny x x , 
pi
=
2
x , pi=x 
 17) 1 , 0, 1, 2xy x e y x x= − = = = 
Bài 8. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó 
quay quanh trục Ox . 
 1) = 0y , = −2 1y x 2) = 0y , = −(4 )y x x 
 3) 2 2 , 0y x x y= − = 4) 3 1, 0, 1y x y x= + = = 
 5) = lny x , = 0y , = 2x 6) = lny x , = 0y , =x e 
 7) = 0y , =1x , = ≤ ≤. (0 1)xy x e x 8) = + 3ln (1 )y x x x , = 0y , =1x 
 9) 2 , 3y x y x= = 10) 2 32 , y x y x= = 
 11) 22 , y x x y x= − = 12) = − +3 10y x , = >2 ( 0)y x x , =1y 
 13) 22 , 1y x y= − = 14) 
4
, 5y y x
x
= = − + 
 15) + − ≤ < ≤2 2 2( ) (0 )x y b a a b 16) + =
2 2
2 2
1
x y
a b
 17) 
2 2
4, ( 0), 3 ( 2)
4 2
= = ≤ = − + ≤y yx x y x y y 
Bài 9. = + −3 2( ) : 3 4C y x x 
 1. Khảo sát hàm số. 
 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. 
Bài 10. 
− +
=
+
2 5 2
( ) : 
2
x x
H y
x
 1. Khảo sát hàm số. 
 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), tiệm cận xiên và các đường thẳng = 2x , = 7x . 
Bài 11. 
+ +
=
−
22 1
( ) : 
1
x x
C y
x
. Lập PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. Tính diện 
tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các tiếp tuyến đó. 
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
+
=
2 4
( ) : 
x
C y
x
, tiệm cận xiên và các đường thẳng 
= 2x , = > ( 2)x k k . Định k để diện tích này bằng 4. 
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
−
=
+
2 1
( ) : 
1
x
C y
x
, trục Oy và đường thẳng =( ) : 1d y . 
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi = − + −4 2( ) : 4 4C y x x và trục Ox . 
Bài 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi = − +3 2( ) : 3 1C y x x và đường thẳng (d) qua hai điểm 
− −( 1 ; 3)A , (3 ; 1)B . 
Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
+ +
=
+
2 3 6
( ) : 
2
x x
C y
x
, tiệm cận xiên, trục Oy và đường 
thẳng = 2x . 
Bài 17. 
+ −
=
+
2 2
( ) : 
1
x x
C y
x
 1. Viết PTTT của (C) đi qua gốc toạ độ. 
 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến vừa tìm. 
 Ứng dụng của tích phân Trường THPT Phước Long 
4 
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 1) = − +3 26 9y x x x , = 0y , =1x , 2x = 2) 
− +
=
+
2
1
x x
y
x
, = 0y 
 3) = − +3 3 1y x x , = 0y , = 0x , = −1x 4) = − +
−
1 1
1
2 1
y x
x
, = 0y , = 2x , = 4x 
 5) = +2 2 1y x , = −1y x 
Bài 19. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi =2( ) : P y x , trục Oy và đường thẳng ∆ =( ) : 2y . 
 1. Tính diện tích hình phẳng (H). 
 2. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Oy . 
Bài 20. = −3
1
( ) : 3
4
C y x x , ∈(2 3 ; ) ( )
M
M y C . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp 
tuyến của nó tại M. 
Bài 21. = − +4 2( ) : 2 1C y x x . Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn 
bởi (C) và trục Ox quanh trục Ox . 
Bài 22. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi 
1
( ) : 
1
−
=
+
x
C y
x
, trục 
Ox và trục Oy xung quanh trục Ox . 
Bài 23. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường tany x= , = 0y , = 0x , 
pi
=
3
x . 
 1. Tính diện tích hình (H). 
 2. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh trục Ox .