Bài tập trắc nghiệm môn Toán Lớp 12 - Mặt cầu. Khối cầu (Có đáp án)

MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Câu 1. Cho đường tròn đường kính và đường thẳng . Để hình tròn xoay sinh bởi khi quay quanh là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
(I)Đường kính thuộc .
(II) cố định và đường kính thuộc .
(III) cố định và hai điểm cố định trên.
A. Chỉ (I). 	B. Chỉ (II). 
C. Chỉ (III). 	D. Không cần thêm điều kiện nào. 
I
N
M
O
Câu 2. Cho mặt cầu tâm , bán kính và mặt phẳng có khoảng cách đến bằng . Một điểm tùy ý thuộc . Đường thẳng cắt tại . Hình chiếu của trên là . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. tiếp xúc với .
B. 
C. Cả A và B đều sai.
D. Cả A và B đều đúng.
Câu 3. Cho mặt cầu và một điểm , biết . Qua kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với tại . Khi đó độ dài đoạn bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. Cho mặt cầu và một điểm , biết . Qua kẻ một cát tuyến cắt tại và sao cho . Khi đó khoảng cách từ đến bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
O
H
r
Câu 5. Cho mặt cầu và mặt phẳng . Biết khoảng cách từ đến bằng . Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng với là một đường tròn có đường kính bằng:
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 6. Cho mặt cầu tâm bán kính . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm một khoảng bằng . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:
A..	B. .	C. .	D. .
Câu 7. Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là . Một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng: 
A.. 	B. .	C. .	D. .
Câu 8. Một hình cầu có bán kính là , một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
A.. 	B. .	C. . 	D. .
A
r
H
O
Câu 9. Cho mặt cầu , là một điểm ở trên mặt cầu và là mặt phẳng qua sao cho góc giữa và bằng 
	Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp có bán kính bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và . Cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên và vuông góc với đáy . Tính theo diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta được:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , . Cạnh bên , hình chiếu của điểm lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Gọi là chiều cao của khối chóp và là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16. Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, đáy lớn , . Cạnh bên và vuông góc với đáy. Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . Tỉ số nhận giá trị nào sau đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Cạnh bên vuông góc với đáy và góc giữa với đáy bằng . Gọi là trung điểm , là chiều cao của khối chóp và là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . Biểu thức liên hệ giữa và là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 18. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Đường thẳng vuông góc với đáy . Gọi là trung điểm , mặt phẳng đi qua hai điểm và đồng thời song song với cắt , lần lượt tại . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm nhận giá trị nào sau đây?
A. 	B. .	C. 	D. 
Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc đáy Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có giá trị nào sau đây?
A. 	B. .	C. 	D. 
Câu 20. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và . Cạnh bên vuông góc với đáy . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh bên và . Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 21. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , . Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy là trung điểm . Đường thẳng tạo với mặt đáy một góc bằng . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nhận giá trị nào sau đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Gọi là trọng tâm tam giác , là bán kính mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 23. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Mặt bên là tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 24. Cho hình chóp có đáy là một tam giác đều cạnh bằng . Cạnh bên và vuông góc với đáy . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 25. Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc và , , . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 26. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , . Cạnh bên vuông góc với đáy . Gọi là trung điểm của , tạo với đáy một góc Gọi lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . Tỉ số bằng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 27. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , góc . Cạnh bên và vuông góc với đáy . 
	Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp nhận giá trị:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 28. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và . Mặt phẳng vuông góc với đáy, , . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 29. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , góc bằng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 30. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Mặt phẳng tạo với mặt đáy góc và điểm là trọng tâm tam giác . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bằng:
A. 	B. .	C. 	D. 
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Chọn C.
Câu 2. Vì là hình chiếu của trên nên mà nên là tiếp điểm của và .
Đường thẳng cắt tại nên vuông góc với tại . Suy ra tiếp xúc với .
Tam giác vuông tại nên . Chọn D.
Câu 3. Vì tiếp xúc với tại nên .
Suy ra Chọn D.
Câu 4. Gọi là hình chiếu của lên . 
Ta có , suy ra là trung điểm của nên .
Suy ra Chọn B.
Câu 5. Gọi là hình chiếu của xuống . 
Ta có nên cắt theo đường tròn .
Bán kính đường tròn là 
Suy ra đường kính bằng Chọn B.
Câu 6. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn .
Vậy . Chọn C.
Câu 7. Hình tròn lớn của hình cầu là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu. Gọi là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là .
Theo giả thiết, ta có và 
Suy ra . Chọn D.
Câu 8. Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là , ta có .
Theo giả thiết và .
Vậy . Chọn A.
Câu 9. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên thì 
● là tâm của đường tròn giao tuyến của và .
● 
Bán kính của đường tròn giao tuyến: .
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: Chọn C.
Câu 10. 
Gọi là tâm của hình vuông . 
Ta có là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.
Gọi là trung điểm của và là chân đường phân giác trong của góc .
Suy ra là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính .
Ta có 
Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có:
 Chọn B.
S
A
B
C
M
I
Câu 11. Gọi là trung điểm , suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Gọi là trung điểm , suy ra 
	 nên .
Do đó là trục của , suy ra 
Hơn nữa, tam giác vuông tại có là trung điểm nên . 
Từ và , ta có 
	 hay là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
I
O
B
D
C
A
S
Vậy bán kính . Chọn C. 
Câu 12. Gọi , suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông .
Gọi là trung điểm , suy ra
Do đó là trục của hình vuông , suy ra 
Tam giác vuông tại có là trung điểm cạnh huyền nên . 
Từ và , ta có: 
Vậy diện tích mặt cầu (đvdt). Chọn B.
Câu 13. Gọi là trung điểm , suy ra 
Tam giác có là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác cân tại .
M
C
A
S
G
B
Ta có , suy ra tam giác đều.
Gọi là trọng tâm , suy ra .	
Tam giác vuông tại , có là trung điểm cạnh huyền nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
Lại có nên là trục của tam giác .
Mà thuộc nên suy ra . 	
Từ và , suy ra 
	 hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Bán kính mặt cầu . Chọn B.
M
I
O
C
B
A
S
Câu 14. Gọi là tâm , suy ra và 
Trong , ta có 
Trong mặt phẳng , kẻ trung trực của đoạn cắt tại , suy ra 
● nên .
● nên .
Do đó nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Gọi là tung điểm , ta có nên
D
I
O
B
C
A
S
d
	 Vậy Chọn C.
Câu 15. Gọi , suy ra .
Ta có .
Trong , ta có .
Ta có là trục của hình vuông .
Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực của đoạn . 
Gọi .
Xét có đều.
Do đó cũng là đường trung tuyến của . Suy ra là trọng tâm .
Bán kính mặt cầu . Suy ra Chọn D.
Câu 16. Ta có hay 
Gọi là trung điểm .
Ta có nên là hình thoi.
Suy ra . 
Do đó tam giác vuông tại . Ta có:
 hay 
Tương tự, ta cũng có hay 
Ta có nên khối chóp nhận trung điểm của làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính . Suy ra Chọn D.
Câu 17. Ta có .
Trong , ta có 
Ta có .
Lại có . Do đó hai điểm cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp nội tiếp mặt cầu tâm là trung điểm , bán kính 
	 Chọn A.
I
O
M
E
B
D
C
A
S
F
Câu 18. Mặt phẳng song song với cắt , lần lượt tại nên .
 cân tại , trung tuyến nên . 
Ta có .
Do đó .
Từ và , suy ra . 
Lại có .
Từ và , suy ra . Tương tự ta cũng có 
Do đó nên năm điểm cùng thuộc mặt cầu tâm là trung điểm của , bán kính . Chọn C.
O
S
A
C
D
B
H
Câu 19. Gọi .
Vì là hình vuông nên .
Ta có .
Lại có . 
Suy ra nên tam giác vuông tại và có là trung điểm cạnh huyền nên suy ra .
Từ và , suy ra 
	 Chọn C.
Câu 20. Theo giả thiết, ta có 
	 và . 	 
Do 
Từ và , suy ra ba điểm cùng nhìn xuống dưới một góc nên hình chóp nội tiếp mặt cầu tâm là trung điểm , bán kính .
Vậy thể tích khối cầu (đvtt). Chọn A.
Câu 21. Ta có .
Trong tam giác vuông , có 
 và 
Trong tam giác vuông , có
Xét tam giác , ta có . 
Suy ra tam giác vuông tại .
Vậy các đỉnh cùng nhìn xuống dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là , bán kính . Chọn C.
Câu 22. Ta có .
Tam giác đều cạnh nên .
Trong tam giác vuông , ta có .
Vì mặt cầu có tâm và tiếp xúc với nên bán kính mặt cầu 
Ta có 
Gọi lần lượt là trung điểm và .
Suy ra và .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , suy ra . 
Ta có 
Từ và , suy ra nên .
Trong tam giác vuông , ta có .
Vậy . Chọn D.
Câu 23. Gọi 
	Suy ra 
Gọi là trung điểm , do tam giác vuông tại nên .
Gọi là hình chiếu của trên . 
Từ giả thiết suy ra 
Ta có nên là trục của tam giác , suy ra 
Từ và , ta có 
Vậy là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp , bán kính . 
Suy ra (đvtt). Chọn A.
Câu 24. Gọi là trọng tâm , suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Từ dựng tia (như hình vẽ). 
Suy ra là trục của tam giác .
Trong mặt phẳng , 
	kẻ trung trực của đoạn thẳng .
Gọi 
.
Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Ta có ; 
	.
Trong tam giác vuông , ta có Chọn C.
Câu 25. Gọi là trung điểm , 
	suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp 
Kẻ (như hình vẽ).
Suy ra là trục của .
Trong mặt phẳng , kẻ trung trực của đoạn thẳng cắt tại . 
Khi đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bán kính mặt cầu: Chọn D.
x
J
I
d
C
B
A
S
Câu 26. Ta có .
Tam giác vuông cân tại , suy ra .
Trong , ta có .
Kẻ (như hình vẽ). 
Suy ra là trục của .
Trong mặt phẳng , kẻ trung trực của đoạn thẳng cắt tại . Khi đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính: nên Chọn B.
Câu 27. Gọi là trọng tâm tam giác đều . Kẻ , suy ra là trục của .
G
S
A
B
C
D
I
E
M
x
d
Trong mặt phẳng , kẻ trung trực của đoạn cắt tại . 
Khi đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Ta có ; 
Suy ra bán kính: 
	 Chọn A.
Câu 28. Gọi là trung điểm , suy ra và .
Do đó là trục của tam giác .
S
A
B
C
M
I
P
Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực của đoạn cắt tại . Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính 
Ta có 
Trong tam giác vuông , ta có 
	.
Ta có , suy ra 
Chọn C.
Câu 29. Ta có .
Trong , ta có 
Trong , ta có 
Gọi là trung điểm , 
	suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Gọi là trung điểm , 
	suy ra . 
Do đó là trục của , suy ra 
Hơn nữa, tam giác vuông tại có là trung điểm nên . 
P
B'
G'
C'
A'
C
B
A
G
I
Từ và , ta có hay là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính . Chọn B.
Câu 30. Gọi là trung điểm , ta có 
	.
Trong , có ; 
	.
Gọi là trọng tâm tam giác đều , suy ra cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp 
Vì lặng trụ đứng nên . 
Do đó là trục của tam giác .
Trong mặt phẳng , kẻ trung trực của đoạn thẳng cắt tại . Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp , bán kính 
Ta có 
	. Chọn D.