Bài tập Toán thực tế Lớp 12 (Có lời giải)

Bài tập toán thực tế Trang 1 
Câu 1: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một 
điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn 
đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 
50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây 
dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông 
góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C 
trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít 
nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: 
A. 6.5km B. 6km C. 0km D.9km
Hướng dẫn giải 
Đặt 
Chi phí xây dựng đường ống là 
Hàm , xác định, liên tục trên và 
; ; 
Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km. 
Câu 2: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ 
biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một 
khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên 
bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị 
trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến 
kho nhanh nhất? 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Đặt . 
Ta có: Thời gian chèo đò từ đến là: 
Thời gian đi bộ đi bộ đến là: 
Thời gian từ đến kho 
' ( ) , [0;9] x B C km x
2 36; 9   BC x AC x
2( ) 130.000 36 50.000(9 ) ( )   C x x x USD
( )C x [0;9]
2
13
'( ) 10000. 5
36
 
  
 
x
C x
x
2'( ) 0 13 5 36   C x x x
2 2 2 25 5169 25( 36)
4 2
      x x x x
(0) 1.230.000C
5
1.170.000
2
 
 
 
C (9) 1.406.165C
2,5x
A
5AB km C B
7km A M
4 /km h C 6 /km h
M
0km 7 km 2 5 km
14 5 5
km
12
( ) 7 ( )BM x km MC x km ,(0 7)x
A M
2 25
( ).
4
AM
x
t h


C
7
( )
6
MC
x
t h


A
2 25 7
4 6
x x
t
 
 
9km
6km
đảo
bờ biển
biển
A
B
B'
Bài tập toán thực tế Trang 2 
C
B
A
G
Khi đó: , cho 
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi 
Câu 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo 
(điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 
100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện 
trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G 
đến C chi phí ít nhất. 
A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km
Hướng dẫn giải 
Gọi (0 100) 100BG x x AG x     
Ta có 2 2 2 3600GC BC GC x   
Chi phí mắc dây điện: 2( ) 3000.(100 ) 5000 3600f x x x   
Khảo sát hàm ta được: 45x  . Chọn B. 
Câu 4: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt 
(tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho 
góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? ( BOC gọi là góc nhìn) 
A. 2,4AO m B. 2AO m C. 2,6AO m D. 3AO m
Hướng dẫn giải 
2
1
64 25
x
t
x
  

0 2 5t x   
2 5( ).x km
O A 
C 
B 
1,4 
1,8 
Bài tập toán thực tế Trang 3 
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất. 
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0, 
ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = 
tan tan
1 tan .tan
AOC AOB
AOC AOB


= 
2
.
1
AC AB
OA OA
AC AB
OA


 = 
2
1,4
3,2.1,8
1
x
x

 = 
2
1,4
5,76
x
x 
Xét hàm số f(x) = 
2
1,4
5,76
x
x 
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có 
f'(x) =
2
2 2
1,4 1,4.5,76
( 5,76)
x
x
 

, f'(x) = 0  x =  2,4
Ta có bảng biến thiên 
Hướng dẫn giải 
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D. 
Thời gian t là: t = 
1 2
AC CD
v v
 = 
1 2
AE CE CD
v v

 = 
= 
1 2
tan sin
h h
v v
 

 =
1 2
.cot
sin
h h
v v




Xét hàm số 
1 2
.cot
( )
sin
h h
t
v v




  . Ứng dụng Đạo hàm ta được ( )t  nhỏ nhất khi
2
1
cos
v
v
  . Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho 2
1
cos
v
v
  . 
Câu 6: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu 
0 
f(x) 
+2,4 
+ _ 
0 
0 
x 
f'(x) 
B A C 
D 
E 
h 

A B C 
D 
E 
h 
Câu 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác 
định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng 
một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên 
đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy 
xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận 
chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất? 
0 
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m. 
cùng khởi hành một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ còn tàu kia chạy về vị trí hiện 
tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách 
của hai tàu là lớn nhất? 
Hướng dẫn giải 
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d. 
Ta có d
2
 = AB1
2
 + AA1
2
 = (5 - BB1)
2
 + AA1
2
 = (5 - 7.t)
2
 +
(6t)
2
Suy ra d = d(t) = 285 70 25t t  . 
Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất 
khi 
7
17
t  (giờ), khi đó ta có d3,25 Hải lý. 
Câu 7: Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 2100( )cm . Hỏi mỗi kích thước của nó bằng 
bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất? 
A. 10 10cm cm B. 20 5cm cm C. 25 4cm cm D. Đáp án khác
( )x cm ( ) ( , 0).y cm x y 
2( ) 2 2P x y x y   
Theo đề bài thì: 100xy  hay 
100
y
x
 . Do đó: 
200
2( ) 2P x y x
x
    với 0x  
Đạo hàm: 
2
2 2
200 2 200
'( ) 2
x
P x
x

   . Cho ' 0 10y x   .
Lập bảng biến thiên ta được: min 40 khi 10 10x y   . 
800( )m
A.200 200m m B.300 100m m C.250 150m m D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải 
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và 
Diện tích miếng đất: 
Theo đề bài thì: hay . Do đó: với 
Đạo hàm: . Cho . 
Lập bảng biến thiên ta được: khi . 
( )x m ( ) ( , 0).y m x y
S xy
2( ) 800x y 400y x 2(400 ) 400S x x x x 0x
'( ) 2 400S x x ' 0 200y x
max
40000S 200 200x y
 

A B 
A1
B1 
d 
Hướng dẫn giải 
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: và 
Chu vi hình chữ nhật là: 
x
P
Câu 8: Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ 
được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng . Hỏi anh ta chọn mỗi kích 
thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất? 
Bài tập toán thực tế Trang 5 
Câu 9: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 180 mét 
thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào 
và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích 
lớn nhất bằng bao nhiêu? 
A. 23600maxS m B.
24000maxS m C.
28100maxS m D.
24050maxS m
Hướng dẫn giải 
Gọi là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và là chiều dài cạnh vuông góc với bờ 
giậu, theo bài ra ta có . Diện tích của miếng đất là . 
Ta có: 
Dấu xảy ra . 
Vậy khi . 
A. 4 ,
4
S
x S y  B. 4 ,
2
S
x S y  C. 2 ,
4
S
x S y  D. 2 ,
2
S
x S y 
Hướng dẫn giải 
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy; 
2
2
S
y x x
x
    . Xét hàm số ( )x 
2S
x
x
 . Ta có '( )x =
2
2S
x

+ 1 =
2
2
2x S
x

. 
'( )x = 0 2 2 0 2x S x S     , khi đó y = 
S
x
= 
2
S
. 
Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của 
mương là 2x S , y = 
2
S
 thì mương có dạng thuỷ động học 
Câu 11: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương 
dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang 
của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,
- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc
gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). 
x y
2 180x y (180 2 )S y y
2 2(2 180 2 )1 1 180
(180 2 ) 2 (180 2 ) 4050
2 2 4 8
y y
y y y y
'' '' 2 180 2 45y y y m
24050
max
S m 90 , 45x m y m
x 
y 
Câu 10: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng 
nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký y
hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ 
dài đường biên giới hạn của tiết diện này, - đặc trưng x
cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi 
là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước 
của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có 
tiết diện ngang là hình chữ nhật) 
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 6 
Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động 
học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật) 
A. 4 ,
4
S
x S y  B. 4 ,
2
S
x S y 
C. 2 ,
4
S
x S y  D. 2 ,
2
S
x S y 
Hướng dẫn giải 
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy; 
2
2
S
y x x
x
    . Xét hàm số ( )x 
2S
x
x
 . Ta có '( )x =
2
2S
x

+ 1 =
2
2
2x S
x

. 
'( )x = 0 2 2 0 2x S x S     , khi đó y = 
S
x
= 
2
S
. 
Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của 
mương là 2x S , y = 
2
S
 thì mương có dạng thuỷ động học 
a
A. ;
4 2
a a
x y  B. ;
3 3
a a
x y 
C. 
2
;
6 3
a a
x y  D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải 
Gọi x là bán kính hình quạt, y là độ dài cung tròn. Ta có chu vi cánh diều là 2a x y  . Ta 
cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính x sao cho diện tích quạt lớn nhất. 
Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt là 
2
360
R
S
 
 và độ dài cung tròn
2
360
R 
 , ta có
diện tích hình quạt là: 
2
R
S . Vận dụng trong bài toán này diện tích cánh diều là: 
( 2 ) 1
2 ( 2 )
2 2 4
x a xxy
S x a x

    .
Dễ thấy S cực đại 2 2
4 2
a a
x a x x y       . Như vậy với chu vi cho trước, diện tích 
của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn. 
y 
x x 
Câu 12: Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho 
với chu vi cho trước là sao cho diện tích của hình quạt là cực 
đại. Dạng của quạt này phải như thế nào? 
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 7 
Câu 13: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác 
vuông, có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số từ tấm gỗ 
trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm 
gỗ này là bao nhiêu? 
A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Kí hiệu cạnh góc vuông 
Khi đó cạnh huyền , cạnh góc vuông kia là 
Diện tích tam giác ABC là: . Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
này trên khoảng 
Ta có 
Lập bảng biến thiên ta có: 
Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi Từ đó chọn đáp án C 
Câu 14: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 
, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn. 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn 
. 
Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là: 
Diện tích hình chữ nhật: 
Ta có 
120cm
40cm 40 3cm 80cm 40 2cm
,0 60  AB x x
120 BC x 2 2 2120 240   AC BC AB x
  2
1
. 120 240
2
 S x x x
 0;60
   2
2 2
1 1 240 14400 360
, 120 240 . ' 0 40
2 2 2 120 240 2 120 240
 
       
 
x
S x x x S x x
x x
x 0 4 ... Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 
114 
Câu 204: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh là a, người ta gấp nó thành 4 phần đều 
nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều (như hình vẽ). Từ một mảnh giấy 
hình vuông khác cũng có cạnh là a, người ta gấp nó thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên 
thành một hình lăng trụ tam giác đều (như hình vẽ). Gọi 
1 2,V V lần lượt là thể tích của lăng 
trụ tứ giác đều và lăng trụ tam giác đều. So sánh 1V và 2V . 
A. 1 2V V B. 1 2V V C. 1 2V V D. Không so sánh được
Ta có 
3
1 . .
4 4 16
a a a
V a 
và 
3
2
1 3 3
. . . .
2 3 2 3 36
a a a
V a  . Do đó 1 2V V . 
Ta chọn phương án C. 
Câu 205: Tốc độ sinh sản trung bình sau thời gian t năm của loài hươu Krata được mô tả 
bằng hàm số:   32.10 . .tv t e t . Hỏi rằng, sau 20 năm số lượng tối thiểu sẽ là bao nhiêu 
 L t
   /dL t dt v t
A. 2017 B. 1000 C. 2014 D. 1002
Ta có: 
     32.10 0t
dL
v t e t L x L
dt
    3
0
2.10
x
te tdt 
      
      
     
   
3
00
3
0
3
0 2.10
0 2.10
0 2.10 1
20; 0 17 20 2017
x x
t t
x
x t
x x
L x L te e dt
L x L xe e
L x L xe e
x L L
 
 
 
   
    
    
   

biết rằng ban đầu có 17 con hươu Krata và số lượng hươu con được tính qua công 
thức: ? 
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 
115 
Vậy đáp án đúng là A 
Câu 206: Một xe tải đang chạy với vận tốc 60 /km h thì tài xế đạp thắng (đạp nhanh). Sau 
khi đạp thắng, xe tải chuyển động chậm dần đều với vận tốc    27 24 /v t t m s   , trong 
đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp thắng. Hỏi từ lúc đạp thắng 
đến khi dừng hẳn, xe tải còn di chuyển khoảng bao nhiêu mét? 
A. 2 mét B. 5 mét C. 8 mét D. 11 mét
Lấy mốc thời gian là lúc xe tải bắt đầu được thắng. Gọi T là thời điểm xe tải dừng hẳn. Ta 
có   0v T  suy ra 
24
27 24 0
27
T T     . Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp thắng 
đến khi dừng hẳn của xe tải là 
24
27
 giây. Trong khoảng thời gian đó, xe tải di chuyển được 
quãng đường là 
 
24
24 27
227
0
0
27 32
24 27 24
2 3
S t dt t t
 
     
 
 (mét) 
Ta chọn phương án D 
 /C mol l
 s km có phương trình:    
2
0,1 /
1
s se
C s mol l
s

 

. Tìm độ sâu  0s km để nồng độ muối 
nơi đó là lớn nhất. 
A.  0
1 5
4
s km
 
 B.  0
1 5
4
s km
 
 C.  0 1,182 /s mol l D. Không tồn tại 0s
Bản chất bài toán này là tìm giá trị lớn nhất của hàm số, ta có: 
   
 
 
 
 
2
2 2
3/2
4 2 1
0,1 '
1 2 1
1 5
4
0
1 5
( )
4
s ss s e s se
C s C s
s s
s loai
C s
s chon
  
    
 
  

 
  


Vì s là độ sâu nên ta chỉ cần xét trong trường hợp 0s  . Do đó, dễ dàng nhận thấy giá trị 
lớn nhất khi 
1 5
4
s
 
 . Vậy đáp án đúng là A. 
Câu 207: Giả sử rằng ở rãnh Mariana ở Tây Bắc Thái Bình Dương (nơi sâu nhất của đại 
dương), nồng độ muối trong nước biển là một hàm phụ thuộc vào độ sâu 
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 
116 
Câu 208: Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vô tính kì lạ (sinh sản vô tính tức là 
sinh sản không cần qua sự giao phối giữa hai con), tại thời điểm 0h có đúng 2 con X. Với 
mỗi con X, sống được tới giờ thứ n (với n là số nguyên dương) thì ngay lập tức thời điểm 
đó nó đẻ một lần ra 2n con X khác, tuy nhiên do chu kì của con X ngắn nên ngay sau khi 
đẻ xong lần thứ 4, nó lập tức chết. Hỏi rằng, lúc 7h có bao nhiêu con sinh vật X đang 
sống? 
A. 19328 B. 14336 C. 19264 D. 20170
Đây là một câu suy luận khá thú vị và hơi trừu tượng đối với học sinh, cần phân tích kĩ. 
Ta sẽ vẽ thành một cái bảng với các hàng thì biểu thị số con sống được 0,1,2,3,4 tiếng 
còn các cột thì biểu thị số con từng thời điểm 0 ,1 ,2 ,3 ,...,7h h h h h . 
0t 1t 2t 3t 4t 
0h 0 
1h 4 2 
2h 16 4 2 
3h 64 16 4 2 
4h 256 64 16 4 2 
5h 960 256 64 16 4 
6h 3712 960 256 64 16 
7h 14336 3712 960 256 64 
Ta sẽ mô tả như sau: tại hàng một, có đúng 2 con sống được 0 tiếng tại thời điểm 0h. Tại 
hàng hai tức là thời điểm 1h, 2 con này sống được 1 tiếng và mỗi con sinh ra 12 2 con 
nên có tổng 4 con mới được sinh ra, hay là 4 con sống được 0 tiếng tại thời điểm này. Tại 
hàng thứ ba tức là thời điểm 2h, 4 con sông được 1 tiếng và 2 con sống được 2 tiếng, khi 
đó, chúng đẻ ra: 1 24.2 2.2 16  con và 16 con này sống được 0 tiếng tại thời điểm này. 
Cứ tiếp tục như vậy ta có bảng trên và thu được, tại thời điểm 7h ta có tổng số con đang 
sống là:14336 3712 960 256 19264    
Vậy đáp án đúng là C. 
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 
117 
Câu 209: Người ta thí nghiệm đo sự phân bố của 1 loại tảo có hại cho cá trong hố rộng, 
và nhận thấy sự phân bố của loại tảo này là 1 hàm  f h theo đọ sâu tính từ mực nước. 
Tức là ở độ sâu  h m , sẽ có   3/f h kg m tảo. Cho  
4
22. 7
4
h
f h h   , tìm độ sâu mà ở 
đó nông độ của tảo là lớn nhất, biết hồ sâu nhất là 4m. 
A. 37( / )kg m B. 33( / )kg m C. 339( / )kg m D. 345( / )kg m
Ta sẽ tìm cực trị và các điểm biên của ( )f h trong khoảng xét  0;4h Và lấy điểm có
( )f h lớn nhất, đó chính là max ( )f h cần tìm.
Cực trị là nghiệm của phương trình ' 3( ) 0 4 0 2f h h h h       hoặc 0h  
Có: (0) 7, (2) 3, (4) 39f f f   
Vậy (4) 39f  là giá trị MAX cần tìm. 
Do đó, đáp án đúng là C. 
 0;0A  0;100B
 60;80C A 10 /m s
20( )m 50( )m 20 10( )m 20 5( )m
Xét ở thời điểm t 
Tọa độ của con chuồn chuồn bay từ B về A là  0;100 5t . 
Do con chuồn chuồn bay từ C về A trên đường thẳng AC có hệ số góc 
4
tan
3
k   nên 
tọa độ của con chuồn chuồn này là: 
3
60 10 .cos 60 10 . 60 6
5
80 10sin 80 8
x t t t
y t



     

    
Như vậy ở thời điểm t khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn sẽ là: 
2 2(60 6 ) (20 3 )d t t   
Câu 210: Hai con chuồn chuồn bay trên hai qu đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. 
Một con bay trên qu đạo đường thẳng từ điểm đến điểm với vận tốc 
. Con còn lại bay trên qu đạo đường thẳng từ về với vận tốc . 5 /m s
Hỏi trong quá trình bay, thì khoảng cách ngắn nhất mà hai con đạt được là bao nhiêu? 
A. B. C. D. 
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 
118 
Khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 2(60 6 ) (20 3 )t t   đạt giá 
trị nhỏ nhất với  0;10t
Xét 2 2( ) (60 6 ) (20 3 )f t t t    trên  0;10
Ta có: 
20
( ) 90 600 0
3
f t t t     
20
min ( ) 2000
3
f t f
 
   
 
 khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con chuồn chuồn trong quá trình bay là
2000 20 5( )m
Do đó, đáp án đúng là D. 
A. 
2 2
2
3
 B. 
2 2
3
3
 C. 
2 3
2
3
 D. 
3 2
2

+ 8 mảnh thu được là như nhau.
+ Phần diện tích tăng lên là rh giới của những lát cắt tạo ra.
+ Diện tích toàn phần ban đầu của cái bánh: 2 2
1 2(2 ) 4.2 . 16S a a a a  
+ Diện tích mỗi phần miếng bánh sau khi cắt ra(bao gồm 2 mặt trên dưới,2 mặt vuông
góc, 1 mặt từ cạnh huyền): 2 2
1
2. 2.( . ) 2.( ) (3 2)
2
s a a a a a a    
Do đó với 8 phần ta có diện tích toàn phần lúc sau là: 22 8 8(3 2)S s a  
Do đó diện tích đã tăng lên: 
  2
1
2
2
8 3 2 3 2
216
aS
S a
 
  
Đáp án đúng là D. 
Câu 211: Vào ngày tết ở Việt Nam,người ta thường chia một cái bánh chưng (coi như là 
một hình hộp với hai mặt trên dưới là hình vuông còn chiều bằng nửa cạnh hình vuông) 
thành 8 phần bằng nhau(bằng những lát cắt là những mặt phẳng vuông góc với đáy và 
chúng được trên mặt phẳng đáy chúng có vết cắt như hình vẽ sau).Hỏi tổng diên tích toàn 
phần của tất cả 8 phần so với diện tích của cái bánh tăng lên bao nhiêu lần? 
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 
119 
Câu 212: Tính thể tích của vật thể mà nó có các hình chiếu sau (đường nét liền là những 
đường nhìn thấy được,đường nét đứt là những đường bị che khuất). 
Hình ( )A là hình chiếu đứng của vật thể có M đồng thời là trung điểm XY và là trung 
điểm của AB . SAB cân tại S với 50 ; 60SA SB mm AB mm   , XYZT là hình chữ nhật 
có 20 ; 15XY mm YZ mm  .Hình ( )B là hình chiếu nằm của vật thể. 
A. 3
11
( )
2
cm

B. 31445 ( )mm C. 3 D. 3
21
( )
2
cm

+ Thể tích hình nón là:
2 2 2 2
2 2 2 3
1 1
1 1 1 60 60
. . . . 50 12000 ( )
3 3 2 2 3 2 2
AB AB
V MA SM SA V mm   
       
             
       
3
1 12 ( )V cm 
+ Thể tích khối lăng trụ là:
2 2
2 3 3
2 2 2
20 3
. . . . .15 1500 ( ) ( )
2 2 2
XY
V MX XT YZ V mm V cm    
   
         
   
+ Thể tích của vật thể là: 3
1 2
21
( )
2
V V V cm   . Vậy đáp án đúng là D. 
Câu 213: Giả sử rằng người anh trong câu chuyện cây khế được phép may tối đa hai cái 
túi (để xách lên hai vai) từ một mảnh vải chọn tùy ý nhưng chỉ có diện tích là 29m .Hỏi 
người anh phải chọn vải và cách may như thế nào để đem được nhiều vàng nhất (tức là 
thu được thể tích lớn nhất), biết rằng mỗi cái túi được coi như một hình hộp chữ nhật? 
A. 
3
2
 
 
 
B. 
3 2
3
2
 
 
 
C. 
3 3
4
D. 1
Đáp án đúng là B. Với một khối hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần không đổi thì 
theertichs của nó lớn nhất khi nó là hình lập phương. Thật vậy gọi ba kích thước của hình 
hộp chữ nhật là a,b,c. Khi đó, ta có: 
 2 onstpS ab bc ca t   ; 
32
( )( )( )
2 6
tpSab bc ca
V abc ab bc ca V
   
       
   
Dấu bằng xảy ra khi a b c  .Với trường hợp trên ta chỉ cần xét trường hợp hai túi đều 
là hình lập phương. Gọi hai cạnh của hình lập phương lần lượt là a,b. Khi đó ta có: 
1450(mm )
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam 
Bài tập toán thực tế Trang 
120 
2 2 2 2 36 6
2
a b a b    ; 
3 2
3 3 3 23
2
tongV a b a a
 
    
 
; 
Xét 
3 2
3 23 3( ) ;0
2 2
f x x x x
 
     
 
Từ đây ta tìm được thể tích đạt giá trị lớn nhất khi: 
3
0;
2
x x  và bằng 
3 2
33
2
m
 
 
 
10km / h
là 1 2 3d ;d ;d . So sánh khoảng cách này. 
A. 1 2 3d d d  B. 2 3 1d d d  C. 3 1 2d d d  D. 1 3 2d d d 
Đáp án D 
 h o á n g đư n g ng dụng c ng h c o ng ch n đ ng chậ d n đề 
2
0 0v v v vt; a
a 2S
 
 
 h o á n g đư n g n ng 
 h nh   20
v v 4
t h a 900km / h
a 60

   
2
0v 4s 60. 6km
2a 60
   ; 1S d 6km  
 ư n g ự 2 3
20
d 8,75km;d km
3
 
Câu 214: Tại một thời điểm t trước lúc đỗ xe ở trạm dừng 
nghỉ, ba xe đang chuyển động đều với vận tốc lần lượt là 
60km/h; 50km/h;40km/h. Xe thứ nhật đi thêm 4 phút thì bắt 
đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút 
thứ 8; xe thứ 2 đi thêm 4 phút thì bắt đầu chuyển động chậm 
dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 13; xe thứ 3 đi thêm 8 
phút và cũng bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn 
ở trạm tại phút thứ 12. Đồ thị biểu diễn vận tốc ba xe theo thời 
gian như sau: (đơn vị trục tung , đơn vị trục tung là 
phút). Giả sử tại thời điểm t trên, ba xe đang cách trạm lần lượt