Bài tập Tổ hợp - Phần: Nhị thức Niutơn

 §3 . NHỊ THỨC NIUTƠN 
 I. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT CỦA C, Pn , A 
 Trong phần này ta chú ý một số công thức thường sử dụng sau : 
 · = , · A = · Pn = n! 
 · C = C + C · C = C
 BT1 : Chứng minh rằng 
 a) C = C (1 £ m £ n) b) C = C + C ( m.n ³ 1 ) 
 HD 
 a) C = = 
 = = C 
 b) Sử dụng công thức : C = C + C, ta có : 
 C = C + C
 Lại sử dụng công thức : C = C ta có :
 C = C = C
 Þ C= C + C 
 BT2 : Cho a1, a2 , a3, a4 là 4 hệ số liên tiếp của khai triển (1 + x)n chứng minh rằng 
 + = 
 HD
 a1 = = , a2 = = 
 a3 = = , a4 = = 
 Þ = = = 
 Tương tự : = , = 
 Þ + = + = = = 
 Ta có đẳng thức cần chứng minh
 BT3 : 
 1) Tìm x thoả mãn : = 2 
 2) Tìm x thoả mãn : - = 
 3) Tìm n, k thoả mãn = 240A 
 4) Tìm n thoả mãn < 
 HD
 1) Điều kiện : x Ỵ N, x ³ 2
 = 2 Û = 2 Û = 2 Û (x - 1)x = 2 
 Û x2 - x - 2 = 0 Þ x = 2 
 2) ĐK : 0 £ x £ 4, x Ỵ N
 · x = 0 : - = 0, = 1 (loại)
 · x = 1 : 
 - = - = ; = Þ - ¹ (loại)
 · x = 2 :
 - = - = ; = Þ - = (nhận)
 · x = 3
 - = - = ; = Þ - ¹ (loại)
 · x = 4 :
 - = 1 - = ; = Þ - ¹ (loại )
 Vậy x = 2 
 3) Điều kiện : 0 £ k £ n 
 = 240A Û 
 Û (n + 3)!(n + 4)(n + 5) = 240(n + 3)!
 Û (n + 4)(n + 5) = 240 Û n2 + 9n - 220 = 0 
 Û 
 Vậy n = 11, k là số nguyên thoả 0 £ k £ 11 
 4) Điều kiện n ỴN* 
 < Û < 
 Û < Û (n + 3)(n + 4) < 15n
 Û n2 - 8n + 12 < 0 Û 2 < n < 6 
 Vậy n = 3, n = 4, n = 5 
 BL1 : Giải phương trình:
 a) + = b) = 9 
 c) AC = 48 d) C + C + C = x 
 BL2 : Chứng minh rằng 
 a) bằng bình phương của một số nguyên 
 b) 
 e) = + + ... + 
II. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
 1) Công thức nhị thức Niutơn :
 (a + b)n = an + an-1b +...+ an-kbk +...+ bn 
 2) Các tính chất của công thức nhị thức Niutơn :
 · Số các số hạng của công thức bằng n + 1
 · Tổng các số mũ của a và của b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức 
 · Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (a + b)n là 
 Tk+1 = an-kbk 0
 · + +...+ = (1 + 1)n = 2n
 · - + ...+ (-1)k +...+ (-1)n = (1 - 1)n = 0
 · C= ; C= + ; k = n
 BT1 : a) Tìm số hạng chứa x1854 trong khai triển (x > 0)
 b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : ( + )6
 HD 
 a) Số hạng thứ k trong khai triển là 
 Tk = x2004-k+1()k-1 (1 £ k £ 2005) 
 Giải phương trình 2004 - k + 1 - = 1854 ta có k = 101 
 Vậy số hạng chứa x1854 trong khai triển trên là x1854 
 b) Số hạng thứ k + 1 trong khai triển trên là :
 C()6-k()k (0 £ k £ 6, k Ỵ N)
 Để tìm số hạng không chứa x ta giải phương trình :
 - k = 0 Û 6 - k - 3k = 0 Û 6 = 4k Û k = (loại )
 Không có số hạng không chứa x trong khai triển trên
 BT2 : Tìm số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20
 HD 
 (x2 + x + 1)20 = [x(x + 1) + 1]20 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển trên là :
 Cx20-k(x + 1)20-k (0 £ k £ 20) (*)
 Số hạng thứ s + 1 trong khai triển (*)
 Cx20-kC= CC (0 £ s £ 20 - k) (**)
 Để có số hạng chứa x35 ta phải có 
 40 - 2k - s = 35 Û 2k + s = 5 với k, s thoả mãn (*) và (**) 
 Þ (k = 0, s = 5), (k = 1, s = 3), (k = 2, s = 1) 
 Vậy số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20 là 
 (CC + CC + CC)x35 = 38304 x35
 BT3 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (1 + + x)10
 HD
 Đặt x + = t, ta co ù:
 (1 + + x)10 = (1 + t)10 = + t + t2 +  + tk +  + t10 (*)
 Với tk = ( + x)k (**) 
 Số hạng thứ s + 1 trong khai triển (**) là ()k-sxs = 6k-s 
(0 £ k £ 10; 0 £ s £ k) 
 Muốn có số hạng không chứa x trong khai triển (**) ta phải có: 
 s = k - s Û k = 2s, như vậy các giá trị của k chỉ có thể là 0, 2, 4, 6, 8, 10 giá trị của s tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5
 Vậy số hạng cần tìm là 
 (1 + 6 + 62 + 63 + 64 + 65) = 6995053 
 BT4 : Tìm số hạng chứa x20 trong khai triển : (1 + x + x3 + x4)10 
 HD 
 Ta có : 
 (1 + x + x3 + x4)10 = (1 + x)10(1 + x3)10 
 (1 + x)10 = a0 + a1x +. + a10x10 (1)
 (1 + x3)10 = b0 + b3x3 +  + b30 x30 (2)
 Muốn có số hạng chứa x20 trong khai triển tích (1 + x)10(1 + x3)10, ta phải lấy số hạng bậc k trong (1) nhân với số hạng bậc 20 - k trong (2). Vì vậy số hạng chứa x20 trong khai triển đã cho là :
 (b12a8 + b15a5 + b18a2)x20 = (++) x20 
 BL : 1) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển (+)n biết 
C-C = 7(n+3) 
 HD : Từ C-C=7(n+3) tính được n = 12. ĐS : C (ĐH 2003)
 2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2 + x + )12 
 3) Tìm số hạng tử chứa x30 trong khai triển (x2 + x + 1)20 
 BT5 : Cho khai triển : (1 + 2x)13 = a0 + a1x + .+ a13x13. Tìm Max, Min
 HD
 P(x) = (1 + 2x)13 = a0 + a1x +  + a13x13 
 ai = 2i với i = 0, 1,  , 13 
 Xét tính đơn điệu của dãy a0, a1, , a13. Ta có :
 ai+1 - ai = C2i+1 - 2i = 2i+1 - 2i 
 = 2i ( - )
 = 2i (i = 0, 1,  , 12) 
 ai+1 - ai > 0 Û 25 - 3i > 0 Û i < Þ a0 < a1 < a2 <  < a9 
 ai+1 - ai Þ a9 > a10 >  > a13
 Vậy Max{a0, a1,  , a13} = a9 
 Vì = > 1 Þ a13 > a0 
 Vậy Min{a0, a1,  , a13} = a0 
 Chú ý :Vì dãy a0, a1,, a13 giữ nguyên dấu dương, nên để xét tính đơn điệu ta có thể so sánh tỉ số và số 1 
 BT6 : Cho khai triển P(x) = (1 + 6x)13 = a0 + a1x + .+ a13x13. Tính 
 Max{a0; a1;  ; a13 }; Min{a0 , a1 ,  , a13} 
 HD
 Ta có :
 ai = 6i i = 0, 1,  , 13 
 ai+1 - ai = C6i+1 - 6i = 6i+1 - 6i 
 = 6i ( - )
 = 6i (i = 0, 1,  , 12) 
 ai+1 - ai ³ 0 Û 77 - 7i ³ 0 Û i £ 11 Þ a0 < a1 < a2 <  < a11 = a12 
 ai+1 - ai 11 Þ a12 > a13 
 Vậy Max{a0; a1;  ; a13} = a12 = a11
 Dễ thấy : a0 < a13 Þ Min{a0 , a1 ,  , a13 } = a0
 BL : Cho khai triển (1 + x)10 = a0 + a1x + .+ a10x10. Tìm Max, Min 
 ĐS : Max{a0 , a1,  , a10} = a3; Min{a0, a1, ..., a13} = a10
 III. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
 A. PHƯƠNG PHÁP 1 : Xuất phát từ đẳng thức (nhị thức Newton) :
 (a + b)n = an + an-1b ++ an-kbk ++ bn 
 ta thu được các đẳng thức khác nhau bằng cách cho a, b, n các giá trị khác nhau
 BT1 : Chứng minh các đẳng thức 
 1) + +  + = + +  + 
 2) 4n = + 3 + 32 +  + 3k +  + 3n 
 3) C + C + C + ... + C + C = C + C + ... + C + C 
 = 22p-1
 HD 
 1) Ta co ù: (a + b)2m = a2m + a2m-1b + a2m-2b2 + ... + b2m 
 Cho a = 1, b = -1, ta có
 0 = - + - . - + 
 Û + +  + = + +  + 
 2) Ta có : (a + b)n = an + an-1b +  + an-kbk +  + bn 
 Cho a = 1, b = 3, ta có :
 4n = + 3 + 32 +  + 3k +  + 3n
 3) Ta co ù: (a + b)n = an + an-1b +  + an-kbk +  + bn 
 Cho a = b = 1, n = 2p ta co ù:
 (1 + 1)2p = 22p = C + C + C + C + C + ... + C + C (1)
 Cho a = 1, b = -1, n = 2p, ta có :
 (1 - 1)2p = 0 = C - C + C - C + C - ... - C + C (2) 
cộng (2) vế theo vế ta có:
 22p = 2(C + C + C + ... + C + C )
 Þ C + C + C + ... + C + C = 22p-1 
 (1) trừ (2) vế theo vế ta có:
 C + C + ... + C + C = 22p-1 
 BT2 : 1) Tính tổng sau : + 2 + 22 + 23 C + 24 C + 25 C (SBT) 
 2) Tìm số nguyên dương n sao cho + 2 + 4++ 2n= 243 
 HD
 1) Ta co ù: (a + b)n = an + an-1b +  + an-kbk +  + bn 
 Cho a = 1, b = 2, n = 5 ta có :
 (1 + 2)5 = + 2 + 22 + C23 + C24 + C25 
 Þ + 2 + 22 + 23 C + 24 C + 25 C = 35 = 243 
 2) Ta có : (a + b)n = an + an-1b +  + an-kbk +  + bn 
 Cho a = 1, b = 2 ta co ù:
 (1 + 2)n = 3n = + 2 + 22 +  + 2n 
 Þ + 2 + 4 +  + 2n = 3n
 Þ 3n = 243 Û n = 5 
 B. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT
 BT3 : a) Chứng minh : = + +  + = ()2 + ()2 +..+ ()2 
 b) Chứng minh : CC + CC + CC +...+ CC = C
 HD
 a) Ta có : (1 + x)n = + x + .+ xn (*)
 (1 + x)m = + x +  + xm (**)
 Muốn có hạng tử chứa xk trong khai triển tích (1 + x)n(1 + x)m , ta phải lấy hạng tử bậc k - s trong (*) nhân với hạng tử bậc s trong (**) với s = 0, 1, ..., k . Vậy hệ số của xk trong khai triển tích (1 + x)n(1 + x)m là 
 ck = + +.+ (k £ m, k £ n)
 Theo nhị thức Newton, trong khai triển (1 + x)n+m øhệ số của của xk là 
 Vì : (1 + x)n(1 + x)m = (1 + x)n+m
 Þ = ++.+ 
 Cho k = m = n, ta có : 
 = + +  + = ()2 + ()2 + .. + ()2
 b) Ta có : 
 (1 + x)10 = C + Cx + Cx2 + ... + Cx10
 (1 + x)20 = C + x + x2 + ... + Cx20
 Tương tự như câu a, hệ số của x15 trong khai triển của tích (1 + x)10(1 + x)20 là 
 CC + CC + CC + ... + CC
 Theo nhị thức Niutơn, trong khai triển (1 + x)30 hệ số của x15  là C
 Mặt khác ta có : (1 + x)10(1 + x)20 = (1 + x)30 
 Þ CC + CC + CC + ... + CC = C 
 BL : 1) Chứng minh : (Với m £ k £ n)
 2) Chứng minh : + + +...+ = + +...+ C 
 HD : Khai triển (1 - x)2n và cho x = 1 
 3) Tìm số hạng chứa x20 trong khai triển(1 + x2 + x3 + x5)10 
 4) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x + x3 + x4)4 
 ĐS : ()x10
 5) Hãy tính hệ số a12 trong khai triển (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 +  + a15x15
 6) Đa thức P(x)=(1 + x + x2)10 được viết lại dưới dạng a0 + a1x ++ a20x20.Tìm a4 (ĐH 2002)
 7) Đa thức P(x)=(1 + x + x2 + x3)10 được viết lại dưới dạng a0 + a1x ++ a30x30 Tìm a10