Bài tập Tiệm cận và khoảng cách

 Bài 4: Tiệm cận và khoảng cách – Khóa LT ðảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
BÀI 4. TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH 
Phần 1: Tiệm cận và ñường cong. 
Bài 1. Cho 
2ax (2 1) 3( ) : ( )
2
a x aC y f x
x
+ − + +
= =
−
 với 1, 0a a≠ − ≠ 
 CMR tiệm cận xiên của (C) luôn ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh. 
Lời giải: Ta có: 
2ax (2 1) 3 9 1( ) ax 4 1
2 2
a x a ay f x a
x x
+ − + + +
= = = + − +
− −
( ) 9 1lim ( ) ax 4 1 lim 0
2x x
af x a
x→∞ →∞
+
⇒ − + − = =  
−
⇒ tiệm cận xiên của (C) là (d): y = ax + 4a – 1 (do 0a ≠ ) 
Gọi ( )0 0,M x y là ñiểm cố ñịnh mà (d) luôn ñi qua, suy ra luôn có: 
 0 0 0 0a 4 1 ( 4) ( 1) 0y x a a x y= + − ⇔ + − + = 
0 0
0 0
4 0 4
1 0 1
x x
y y
+ = = − 
⇔ ⇔ 
+ = = − 
Vậy (d) luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh ( )1, 4M − − 
Bài 2. Tìm các ñường tiệm cận của hàm số 
 a, 
2
1 2
x 5 6( )
2x 1
xy f x
mx
− +
= =
+ +
 b, 
2
2 2
x 4( )
x 1
y f x
mx
−
= =
− +
 c, 3 2
2( )
x 2 3
xy f x
mx
+
= =
− +
 d, ( )
2
4 3
4( )
x 1
xy f x
m x m
−
= =
− + +
Lời giải: a, 
2 2
1 2
2
5 61
x 5 6 1xlim ( ) lim lim 1 22x 1 2
x
x x x
x xf x
mmx
x
→∞ →∞ →∞
− +
− +
= = = ⇒
+ + + +
1
2
y = là TCN 
Xét hàm 2g(x)=2x 1, (1)mx+ + . Ta có 2 8m∆ = − 
• Nếu 2 2 2 2 0 ( ) 0,m g x x− ∀ ⇒ (C) không có TCð 
• Nếu 2 2m = − thì (1) có 1 nghiệm 1
2
2 lim ( )
x
x f x
→
= ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 2x = 
www.VNMATH.com
 Bài 4: Tiệm cận và khoảng cách – Khóa LT ðảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
• Nếu 2 2m = thì (1) có 1 nghiệm 1
2
2 lim ( )
x
x f x
→−
= − ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 
2x = − 
• Nếu 2 2m > ⇒ (1) có 2 nghiệm phân biệt 
2
1,2
8
4
m m
x
− ± −
= . Ta có 
 ( )g 2 2m 5 0= + ≠ (do ñk của m ñang xét) 
19(3) 3 19 0
3
g m m −= + = ⇔ = 
- Nếu 1
19 3( 2)( 3) 3( 3)( )
3 ( 3)(6 1) 6 1
x x x
m f x
x x x
− − − −
= ⇒ = = ⇒
− − −
 TCð: 1
6
x = 
- Nếu 
1 2
1 1
19 lim ( ) lim ( )
3 x x x x
m f x f x
→ →
−
≠ ⇒ = = ∞ ⇒ (C) có 2 TCð: 1x x= và 
2x x= 
ðối với các câu còn lại ta làm hoàn toàn tương tự. 
Bài 3. Tìm m ñể 2
3
x 2
xy
mx m
−
=
+ +
 chỉ có ñúng một tiệm cận ñứng 
Lời giải: ðặt 2f(x)=x 2mx m+ + . Ta có: 2 8m m∆ = − 
• Nếu 0 8 0 ( ) 0,m f x x ∀ ⇒ (C) không có TCð 
• Nếu 0m = thì (1) có 1 nghiệm 
0
0 lim
x
x y
→
= ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 0x = 
• Nếu 8m = thì (1) có 1 nghiệm 
4
4 lim
x
x y
→−
= − ⇒ = ∞ ⇒TCð: 4x = − 
• Nếu 0 8m m ⇒ (1) có 2 nghiệm phân biệt 
2
1,2
8
2
m m m
x
− ± −
= 
 Hàm số chỉ có ñúng một tiệm cận ñứng ⇔ 9(3) 9 5 0
5
f m m −= + = ⇔ = 
Vậy các giá trị càn tìm của m là: 19 ;0;8
3
m
− 
=  
 
Bài 4. Tìm m ñể 2
1
x 1
xy
mx
+
=
+ +
 có 2 tiệm cận 1 2;x x x x= = thỏa mãn 
2 2
1 2
1 1
2 1
7x x
x x
+ > 
www.VNMATH.com
 Bài 4: Tiệm cận và khoảng cách – Khóa LT ðảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
Lời giải: Hàm số 2
1
x 1
xy
mx
+
=
+ +
 có 2 tiệm cận 1 2;x x x x= = 
2f(x)=x 1mx⇔ + + có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x khác -1 
2 4 0 2
( 1) 2 0
m
m
f m
∆ = − >
⇔ ⇔ >
− = − ≠
Với ñk ñó, gọi 1 2;x x là 2 nghiệm của f(x). Theo viet ta có: 1 2x x m+ = − và 1 2. 1x x = 
Do ñó 
2 2
4 4 2 21 2
1 2 1 21 1
2 1
7 7 .x x x x x x
x x
+ > ⇔ + > 
( )
( )
( )
22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
22
1 2 1 2
22 2
2
2 . 7 .
2 . 9
2 9 2 3
5 5
x x x x x x
x x x x
m m
m m
⇔ + − >
 ⇔ + − >  
⇔ − > ⇔ − >
⇔ > ⇔ >
Vậy m cần tìm là: 5m > 
Phần 2: Khoảng cách và diện tích. 
Bài 1. Cho 
22 3 2( ) :
1
x xC y
x
− +
=
−
 1, CMR tích các khoảng cách từ ( )M C∈ ñến 2 tiệm cận không ñổi 
 2, Tìm ( )M C∈ ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 tiệm cận min 
Lời giải: 1, Ta có 
22 3 2 12 1
1 1
x xy x
x x
− +
= = − + ⇒
− −
TCð: x = 1, TCX: y = 2x – 1 
Giả sử 11, 2 1 ( )M m m C
m
 
+ + + ∈ 
 
, khoảng cách từ ñiểm M ñến TCð và TCX lần lượt 
là: 1d m= 
www.VNMATH.com
 Bài 4: Tiệm cận và khoảng cách – Khóa LT ðảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
 2
12( 1) 2 1 1
1
5 5
m m
md
m
 + − + + − 
 
= = 
1 2
1
.
5
d d⇒ = . Vậy tích không cách là hằng số không ñổi 
2, Tổng khoảng cách từ M ñến 2 tiệm cận là: 
 1 2 4
1 1 22 .
5 5 5
d d d m m
m m
= + = + ≥ = 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
4
1 4 4
4
4
2 4 4
1 11 ;2 1 5
5 51
5 1 11 ; 2 1 5
5 5
M
m
M
  
+ + +  
 
= ± ⇔
  
 − − + − 
  
Vậy có 2 ñiểm M thỏa mãn bài toán. 
Bài 2. Cho 
22 1( ) :
1
x xC y
x
+ +
=
+
. CMR tích các khoảng cách từ ( )M C∈ ñến 2 tiệm cận 
 không ñổi 
Lời giải: Ta có: 
22 1 22 1
1 1
x xy x
x x
+ +
= = − + ⇒
+ +
 TCð: x = -1, TCX: y = 2x – 1 
Giả sử 21;2 3 ( )M m m C
m
 
− − + ∈ 
 
, khoảng cách từ ñiểm M ñến TCð và TCX lần lượt 
là: 1d m= 
 2
22( 1) 2 3 1
2
5 5
m m
md
m
 
− − − + − 
 
= = 
1 2
2
.
5
d d⇒ = . Vậy tích không cách là hằng số không ñổi 
www.VNMATH.com
 Bài 4: Tiệm cận và khoảng cách – Khóa LT ðảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
Bài 3. Cho 
( )2 2 21 2( ) : ( )m mx m m x m mC y f x
x m
− + − + − +
= =
−
 ( 0m ≠ ) 
 CMR khoảng cách từ (0;0)O ñến tiệm cận xiên không lớn hơn 2 
Lời giải: Ta có 
( )2 2 21 2 2( ) 1mx m m x m my f x mx m
x m x m
− + − + − +
= = = − + +
− −
Do 0m ≠ nên TCX của ñồ thị là 1 1 0y mx m mx y m= − + ⇔ − − + = 
Khoảng cách từ (0;0)O ñến TCX là: 
2
1
1
m
d
m
−
=
+
Theo BðT bunhiacopxki ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 22 1 1 1 1 1m m m+ = + + − ≥ − 
2
2
2. 1 1
1
2
1
m m
m
m
⇒ + ≥ −
−
⇒ ≤
+
Từ ñó ta có ñpcm. 
 Hết. 
 Nguồn: hocmai.vn 
www.VNMATH.com