Bài tập Tích phân - Trường THPT Phước Long

Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
D:\0809\Giaoan12_CB\Tich phan.doc 1 
TÍCH PHÂN 
A. Kiến thức cần nhớ 
 1. Bảng các nguyên hàm 
 2. Định nghĩa tích phân 
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫ ( ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x ) 
 Chú ý: 
 1) Trường hợp a b= , ta quy ước ( ) 0
a
a
f x dx =∫ . 
 2) Trường hợp a b> , ta quy ước ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ . 
 3) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du F b F a= = = = −∫ ∫ ∫ 
 3. Tính chất của tích phân. 
 1) . ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ (k là hằng số); 2) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ ; 
 3) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ ( a c b< < ) 
 4. Phương pháp tính tích phân 
 Tính tích phân ( )
b
a
I f x dx= ∫ . 
 a) PP đổi biến số 
 * Dạng 1: B1. Đặt ( ) ( ).d dx t x t tϕ ϕ′= ⇒ = . 
 Khi x a= thì 1t t= , khi x b= thì 2t t= . 
 B2. 
2
1
( ) ( ).
tb
a t
I f x dx g t dt= =∫ ∫ . 
 * Dạng 2: B1. Đặt ( ) ( ).d du u x u u x x′= ⇒ = . 
 Khi x a= thì ( )u u a= , khi x b= thì ( )u u b= . 
 B2. 
( )
( )
( ) ( ).
u bb
a u a
I f x dx g u du= =∫ ∫ . 
 b) PP tích phân từng phần 
 . ( . ) .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −∫ ∫ 
B. BÀI TẬP 
I. Tính các tích phân 
 1) 
3
1
( 4).x dx+∫ 8) 
5
3 2
1
dx
x
∫ 15) (2sin 3cos ).x x dx
pi
pi−
−∫ 
 2) 
2
2
1
x dx
−
∫ 9) 
2
3
1
1x
dx
x
−
∫ 16) 
0
( sin ).x x dx
pi
+∫ 
Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
2 
 3) 
2
2
1
1
dx
x∫
 10) 
2
2
1
1
(1 ).x dx
x
+∫ 17) 
4
2
0
tan .x dx
pi
∫ 
 4) 
2 3
2
1
1x
dx
x
+
∫ 11) 
16
0 9
dx
x x+ −∫
 18) 
3
2 2
6
sin .cos
dx
x x
pi
pi
∫ 
 5) 
8
3
1
.x dx
−
∫ 12) 
1
0 2
x x
e e
dx
−+
∫ 19) 
24
2
6
3 cot
.
cos
x
dx
x
pi
pi
−
∫ 
 6) 
1
3 4
0
( )x x x dx+ +∫ 13) 
2
0
cos .x dx
pi
∫ 20) 
34
2
6
1 sin
.
sin
x
dx
x
pi
pi
−
∫ 
 7) 
1 2
3
1
4
.
3
x dx
−
∫ 14) 
2
2
4
sin
dx
x
pi
pi
∫ 
II. Đổi biến 
Bài 1. Tính: 
 1) 
2
5
1
(2 1) .x dx−∫ 6) 
1 2
3 3
0 1
x
dx
x+
∫ 11) 
4
0
tan .x dx
pi
∫ 
 2) 
2
2
0
4 .x x dx−∫ 7) 
6
0
cos3 .x dx
pi
∫ 12) 
4
6
cot .x dx
pi
pi
∫ 
 3) 
2
1
0
. .xe x dx−∫ 8) 
0
cos( ).
4
x dx
pi
pi
−
+∫ 13) 
6
sin
0
.cos .xe x dx
pi
∫ 
 4) 
2
1
0
. xx e dx∫ 9) 
6
0
1 4sin .cos .x x dx
pi
+∫ 14) 
1
1 lne x
dx
x
+
∫ 
 5) 
4
1
x
e
dx
x
∫ 10) 
2
3
0
sin .cos .x x dx
pi
∫ 
Bài 2. Tính: 
 1) 
1
3
2 (11 5 )
dx
x
−
−
+∫
 2) 
4
2
0 4
x
dx
x +∫
 3) 
2
2
1
6 1
3 1
x
dx
x x
+
+ −∫
 4) 
1
2
0
2
4 5
x
dx
x x
−
− +∫
 5) 
1
20
0
(1 )x x dx−∫ 6) 
1
3 2 3
0
(1 )x x dx+∫ 
 7) 
1
0
1x xdx−∫ 8) 
1
3
0
. 1 .x x dx−∫ 9) 
1 2
3
0 2
x
dx
x +∫
 10) 
2
3
0
8 4 .x dx−∫ 11) 
1
0 3 2
dx
x−
∫ 12) 
1
0
.
2 1
x dx
x +∫
 13) 
2
3
0
1
3 2
x
dx
x
+
+∫
 14) 
1
2
0
1.x x dx+∫ 15) 
2
2 3
0
1.x x dx+∫ 
Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
D:\0809\Giaoan12_CB\Tich phan.doc 3 
 16) 
1
3 2
0
1 .x x dx+∫ 17) 
3
3 2
1
1.x x dx−∫ 18) 
1
3 2
0
1 .x x dx−∫ 
 19) 
1
5 3
0
1 .x x dx−∫ 20) 
2
4
1 ( 1)
dx
x x +∫
 21) 
8
3
1
dx
x x+∫
 22) 
1 5 3
2
0
2
1
x x
dx
x
+
+
∫ 23) 
2
2
0
1
1
x
dx
x
+
−
∫ 24) 
2
2
1 1
dx
x x+
∫ 
 25) 
3
2
2
1
2
1
dx
x x−
∫ 26) 
ln 2
0 5
x
dx
e +∫
 27) 
1
0 1
x
dx
e +∫
 28) 
2
1
.
1
x
x
e dx
e −∫
 29) 
1
0
.
1
x
x
e dx
e
−
− +∫
 30) 
1
2
0
x x
dx
e e+∫
 31) 
1
0
.
xx e
e dx
+
∫ 32) 
ln 4
ln3 4
x x
dx
e e
−
−
∫ 33) 
1
2
2
1
xe
dx
x∫
 34) 
2ln 2
ln 2 1
x
dx
e −∫
 35) 
ln 2
0
1.xe dx−∫ 36) 
ln 2
0 1x
dx
e +
∫ 
 37) 
1
1 lne x
dx
x
+
∫ 38) 
1
sin(ln )e x
dx
x∫
 39) 
2
2
0
cos
sin 5sin 6
x
dx
x x
pi
− +∫
 40) 
2
0
cos
1 sin
x
dx
x
pi
+∫
 41) 
2
0
sin
1 3cos
x
dx
x
pi
+∫
 42) 
2
3
6
cos
sin
x
dx
x
pi
pi
∫ 
 43) 
32
2
6
cos
sin
x
dx
x
pi
pi
∫ 44) 
34
3
2
cos
sin
x
dx
x
pi
pi
−
−
∫ 45) 
2
5
0
cos .x dx
pi
∫ 
 46) 
4
2
0
sin 4
1 cos
x
dx
x
pi
+∫
 47) 
4
3
0
tan .x dx
pi
∫ 48) 
0
2
2
sin 2
d
(2 sin )
x
I x
xpi
−
=
+∫
Bài 3. Tính: 
 1) 
1
2
1
2
1 .x dx
−
−∫ 2) 
1
2 2
0
1 .x x dx−∫ 3) 
1
2 2
0
4 3 .x x dx−∫ 
 4) 
1 2
2
2
2
1
.
x
dx
x
−
∫ 5) 
3
2
1
3
1
dx
x+∫
 6) 
1
2 23
1
2
4
(4 )
dx
x−
∫ 
 7) 
1 2
2 3
0 ( 1)
x
dx
x +∫
 8) 
1
2
1 1
x
dx
x x
−
+ +∫
 9) 
1
4
0
.
1
x dx
x +∫
 10) 
1 3
8
0 1
x dx
x +∫
 11) 
3
2
2
1
2
1
dx
x x−
∫ 12) 
ln 2
0
1.xe dx−∫ 
Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
4 
 13) 
ln5
0
1
.
3
x x
x
e e
dx
e
−
+∫
 14) 
1 2
2 3
0
.
(4 )
x
dx
x−
∫ 
III. Tích phân từng phần 
Bài 1. Tính: 
 1) 
2
0
(2 1).cos .x x dx
pi
+∫ 2) 
2
0
.sin .x x dx
pi
∫ 3) 
0
.sin .x x dx
pi
∫ 
 4) 
2
2
0
.cos .x x dx
pi
∫ 5) 
3
2
4
.
sin
x
dx
x
pi
pi
∫ 6) 
4
2
0
.
cos
x
dx
x
pi
∫ 
 7) 
3
2
3
.sin
.
cos
x x
dx
x
pi
pi
−
∫ 8) 
2
6
sin
.
1 cos
x x
dx
x
pi
pi
+
+
∫ 9) 
1
2
0
(1 ) .xx e dx−∫ 
 10) 
ln 2
0
. .xx e dx−∫ 11) 
1
2 2
0
( 1) . .xx e dx+∫ 12) 
1
2
1
. .xx e dx
−
∫ 
 13) 
4
1
.xe dx∫ 14) 
2
0
.cos .xe x dx
pi
∫ 15) 
2
0
.sin .xe x dx
pi
∫ 
 16) 
2
2
0
.sin .xe x dx
pi
∫ 17) 
1
2
0
.sin ( ).xe x dxpi∫ 18) 
4
3
0
.sin 4 .xe x dx
pi
∫ 
 19) 
1
.ln .
e
x x dx∫ 20) 
2
1
.ln .
e
x x dx∫ 21) 
2
1
.ln .
e
x x dx∫ 
 22) 2
1
( 1).ln .
e
x x x dx− +∫ 23) 
2
1
(3 2).ln .x x dx+∫ 24) 
1
2
0
.ln(1 ).x x dx+∫ 
 25) 2
1
(1 ln ) .
e
x dx−∫ 26) 
2
1
( .ln ) .
e
x x dx∫ 27) 
5
2
2
.ln( 1).x x dx−∫ 
 28) 
2
2
1
ln
.
x
dx
x
∫ 29) 
2
0
sin .ln(1 cos ).x x dx
pi
+∫ 30) 
2
1
cos(ln ).
e
x dx
pi
∫ 
 31) 
23
2
1
1
.
x
dx
x
+
∫ 32) 
21
2
0
.ln(1 1 )
.
1
x x
dx
x
+ +
+
∫ 
IV. Tích phân dạng ( ) .
b
a
f x dx∫ . 
 Cách giải: “Tìm nghiệm - Tách cận - Khử dấu giá trị tuyệt đối”. 
Bài 1. Tính: 
 1) 
2
2
1 .x dx
−
+∫ 2) 
4
1
2 .x dx−∫ 3) 
1
1
.
x
dx
x
−
∫ 
 4) 
2
2
0
.x x dx−∫ 5) 
2
2
0
2 3 .x x dx+ −∫ 6) 
3
2
3
1 .x dx
−
−∫ 
 7) 
2
4
2
1 .x dx
−
−∫ 8) 
5
3
( 2 2 ).x x dx
−
+ − −∫ 9) 
1
2
1
( 2 1 ) .x x dx
−
− −∫ 
Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
D:\0809\Giaoan12_CB\Tich phan.doc 5 
 10) 
2
1
2
1
.x dx
x
−∫ 11) 
2
0
1 sin .x dx
pi
−∫ 12) 
0
1 sin 2 .x dx
pi
−∫ 
 13) 
0
1 sin .x dx
pi
+∫ 14) 
0
1 sin .x dx
pi−
−∫ 15) 
2
0
1 cos
.
2
x
dx
pi
−
∫ 
 16) 
4
2
4
1 tan .x dx
pi
pi
−
+∫ 17) 
2
2
sin x dx
pi
pi
−
∫ 18) 
2
0
cos . sin .x x dx
pi
∫ 
 19) 
0
1 cos 2
.
2
x
dx
pi +
∫ 
Bài 2. 3 2( ) 3 4 1f x x x x= − − + ; 3 2( ) 2 3 1g x x x x= + − − 
 1. Giải bất phương trình: ( ) ( )f x g x≥ 2. Tính: 
2
1
( ) ( ) .I f x g x dx
−
= −∫ 
V. Tích phân dạng 
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x∫
Tính các tích phân: 
 1) 
1
0
2 1
1
x
dx
x
+
+∫
 2) 
1 2
0 1
x
dx
x +∫
 3) 
1 2
0
3 2
3
x x
dx
x
+ +
+∫
 4) 
3 2
1
2 3 1
2
x x
dx
x
+ +
+∫
 5) 
2 3
2
0 2 1
x
dx
x x+ +∫
 6) 
1
1
2
( 2)( 3)
dx
x x
−
− +∫
 7) 
1
2
1 4
dx
x
−
−
∫ 8) 
0
2
1 4 3
dx
x x
−
− +∫
 9) 
5
2
3
1
3 2
x
dx
x x
+
− +∫
 10) 
1
42
2
0 1
x
dx
x −∫
 11) 
2
2
1
dx
x x+∫
 12) 
1
2
0 2
dx
x x− −∫
 13) 
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +∫
 14) 
5
2
4
3 7
5 6
x
dx
x x
−
− +∫
 15) 
1
3
0
2
( 1)
x
dx
x +∫
 16) 
1
3
0 (2 1)
x
dx
x +∫
 17) 
3
2
2 4 5
dx
x x− +∫
 18) 
1
2
0
1
3 2
I dx
x x
=
+ +∫
 19) 
1
2
0
4 5
3 2
x
I dx
x x
+
=
+ +∫
 20) 
1 2
2
0
3 10
2 9
x x
dx
x x
+ +
+ +∫
 21) 
1 3 2
2
0
2 10 1
2 9
x x x
dx
x x
+ + +
+ +∫
VI. Lượng giác. 
Bài 1. Tính: 
 1) 
2
0
cos5 .cos .x x dx
pi
∫ 2) 
2
0
sin 2 .cos3 .x x dx
pi
∫ 3) 
6
0
sin .sin 4 .x x dx
pi
∫ 
 4) 2
0
sin .x dx
pi
∫ 5) 
2
4
0
cos 2 .x dx
pi
∫ 6) 
4
4
0
sin .x dx
pi
∫ 
 7) 
2
2
0
cos .cos 4 .x x dx
pi
∫ 8) 
2
3
0
cos .sin 2 .x x dx
pi
∫ 9) 
2
2 3
0
sin .cos .x x dx
pi
∫ 
Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
6 
 10) 
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
pi
+∫
 11) 
32
0
cos
cos 1
x
dx
x
pi
+∫
 12) 
2
4 4
0
cos 2 .(sin cos ).x x x dx
pi
+∫ 
 13) 
2
0
sin
1 cos
x
dx
x
pi
+∫
 14) 
4
4
0
tan .x dx
pi
∫ 15) 
2
2 3
0
sin 2 .(1 sin ) .x x dx
pi
+∫ 
 16) 
2
3 3
0
(sin cos ).x x dx
pi
+∫ 17) 
4
4
0 cos
dx
x
pi
∫ 18) 
3
3
0
sin .x dx
pi
∫ 
 19) 
34
2
0
sin
cos
x
dx
x
pi
∫ 20) 
2
0
sin 3
1 cos
x
dx
x
pi
+∫
 21) 
32
0
4sin
cos 1
x
dx
x
pi
+∫
 22) 
2
4
sin cos
sin cos
x x
dx
x x
pi
pi
−
+∫
 23) 
2
2
0
cos
11 7sin cos
x
dx
x x
pi
− −
∫ 24) 
3
0 cos
dx
x
pi
∫ 
 25) 
2
0 2 cos
dx
x
pi
+∫
 26) 
26
0
sin
cos
x
dx
x
pi
∫ 27) 
2
0 2 sin
dx
x
pi
+∫
 28) 
2
0 1 sin cos
dx
x x
pi
+ +∫
 29) 
2
0 1 sin 2
dx
x
pi
+∫
 30) 2
0
.sin .cos .x x x dx
pi
∫ 
Bài 2. 
2
2 2
0
cos .cos 2 .I x x dx
pi
= ∫ ; 
2
2 2
0
sin .cos 2 .J x x dx
pi
= ∫ 
 1. Tính I J+ và I J− . 2. Tính I và J. 
VII. Chứng minh 
Bài 1. 
 1) 
2
2
1
2 1
5 1 2
x
dx
x
≤ ≤
+∫
 2) 
3
4
3 cot 1
12 3
x
dx
x
pi
pi
≤ ≤∫ 
 3) 
1
2
2000
0
1
42 1
dx
x
pi≤ ≤
−
∫ 4) 
2
1
0
1 xe dx e≤ ≤∫ 
 5) 
1
0
1
(1 )
4
x x dx− ≤∫ 6) 
1
2
0
4
(1 )
27
x x dx− ≤∫ 
 7) 
3
4
3 sin 1
4 2
x
dx
x
pi
pi
< <∫ 8) 
1
2 3
0
2
6 84
dx
x x
pi pi≤ ≤
− −
∫ 
Bài 2. Chứng minh: 
2 2
0 0
(sin ). (cos ).f x dx f x dx
pi pi
=∫ ∫ 
Bài 3. Chứng minh: 
0 0
. (sin ). (sin ).
2
x f x dx f x dx
pi pipi
=∫ ∫ . Áp dụng tính: 2
0
.sin
1 cos
x x
dx
x
pi
+∫
Bài 4. Chứng minh nếu ( )f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ ; ] ( 0)a a a− > thì 
Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
D:\0809\Giaoan12_CB\Tich phan.doc 7 
0
( ). 2 ( ).
a a
a
f x dx f x dx
−
=∫ ∫ . Áp dụng: 
1 1
cos cos
1 0
. 2 .x xe dx e dx
−
=∫ ∫ 
Bài 5. Chứng minh nếu ( )f x là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ ; ] ( 0)a a a− > thì ( ). 0
a
a
f x dx
−
=∫ . 
Áp dụng: 
8
6 7
8
sin . 0x x dx
pi
pi
−
=∫ 
Bài 6. Chứng minh nếu ( )f x là hàm số lẻ thì ( ). ( ).
x x
a a
f t dt f t dt
−
−
=∫ ∫ 
Bài 7. Chứng minh: 
 1) sin . (cos ). 0
a
a
x f x dx
−
=∫ 2) 
2 2
0
cos . ( ). 2 cos . ( ).
a a
a
x f x dx x f x dx
−
=∫ ∫ 
 3) 
1 1
0 0
(1 ) . (1 ) .m n n mx x dx x x dx− = −∫ ∫ 4) cos .cos . sin .sin . ( ) 0mx nx dx mx nx dx m n
pi pi
pi pi− −
= ≠ =∫ ∫ 
 5) 
2 2
0 0
(tan ). (cot ).f x dx f x dx
pi pi
=∫ ∫ 6) 
0 0
( ). ( ).
b b
f x dx f b x dx= −∫ ∫ 
 7) 
2
3 2
0 0
1
. ( ). . ( ). ( 0)
2
a a
x f x dx x f x dx a= >∫ ∫ 
VIII. Bài tập tổng hợp 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 1) 
2
sin
0
( ).cos .xe x x dx
pi
−∫ 2) 
1
2
0
( sin )xe x dxpi pi−∫ 3) 
6
5 3
6
( 3 )cos .x x x x dx
−
− +∫ 
 4) 
1
2 2
0 ( 3 2)
dx
x x+ +∫
 5) 
1
2
2 2
2
2
1 3
( )
1
dx
x x
−
−
∫ 6) 
1
2
0
1
( )
1
x
e dx
x
−
+∫
 7) 
3
2
2 1
dx
x −
∫ 8) 
36
0
tan
.
cos 2
x
dx
x
pi
∫ 9) 
0
cos . sin .x x dx
pi
∫ 
 10) 
2
2
1 1
( )
ln ln
e
e
dx
x x
−∫ 11) 
2sin
.
3 1x
x
dx
pi
pi− +
∫ 12) 
ln( 3 1)
ln 2
1.xe dx
+
−∫ 
 13) 
2
0
1 sin
(1 cos ) x
x
dx
x e
pi
−
+∫
 14) 2 2ln( ).
a
a
x x b dx
−
+ +∫ 15) 
1
2
1
2
1
cos .ln
1
x
x dx
x
−
+
−
∫ 
 16) 
1
3
0
3
1
dx
x+∫
 17) 
2
2
0
cos
.
1 cos
x
dx
x
pi
+
∫ 18) 
2
0
sin .cos .x x x dx
pi
∫ 
 19) 
2
2
0
cos .x x dx
pi
∫ 20) 
2
2
0
sin
.
cos 3
x
dx
x
pi
+∫
 21) 
44
0
tan
.
cos 2
x
dx
x
pi
∫ 
Nguyễn Anh Thương Trường THPT Phước Long 
8 
 22) 
2
0
1 sin
1 cos
xx
e dx
x
pi
+
+∫
 23) 
4
0
ln(1 tan ).x dx
pi
+∫ 24) 
1
2
0
ln(1 )
1
x
dx
x
+
+∫
 25) 
1 4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+∫
 26) 
3 2
1
4 x
dx
x
−
∫ 27) 
1
2
0 ( 1) 1
dx
x x x+ + +
∫ 
 28) 
2
1 1 1
xdx
x+ −∫
 29) 
1
0
(4 3)
2 3 1
x dx
x
−
+ +∫
 30) 
24
4 2
4
sin .
cos (tan 2 tan 5)
x dx
x x x
pi
pi
−
− +∫
 31) 
2
2
sin .sin 2 .cos5
1x
x x x
dx
e
pi
pi
−
+∫
 32) 
2 3
2
5
1
4
I dx
x x
=
+
∫ 33) 
2
4 2
1
3 1
x
dx
x x
+
− +∫
 34) 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
pi
+
=
+∫
 35) 
2
0
2sin 2 sin
6cos 2
x x
J dx
x
pi
+
=
−
∫ 36) 
1
3 1
0
x
I e dx
+
= ∫ 
 37) 
1 2
2
0 4
x
I dx
x
=
+
∫ 38) 
2
1
ln
ln
1 ln
d
e
x
I x x
x x
 
= + 
+ 
∫ 39) 
32
4 2
0
cos
cos 3cos 3
x
I dx
x x
pi
=
− +∫
 40) 
3
2
4
tan
cos 1 cos
x
I dx
x x
pi
pi
=
+
∫ 41) 
2
3
1
1
1
I dx
x x
=
+
∫ 42) 
2
4
0
sin 2
1 cos
x
I dx
x
pi
=
+∫
 43) 
( )11 3 3
4
1
3
x x
I dx
x
−
= ∫ 44) 
42
0
tan
cos 2
x
I dx
x
pi
= ∫ 45) 
2
3
0
sin
(sin 3 cos )
x
I dx
x x
pi
=
+∫
 46) 
2
2 sin
0
2cos cos
2
xx
I x x e dx
pi
 
= + 
 ∫
 47) 
1
2 2
3
4
2tan
cos
d
xe x
I x x x
x x
pi
pi
 
  
= + +    ∫
Bài 2. a)Tính: 
4
4
0
tan . ( )nnI x dx n
pi
= ∈∫ N . b) Tìm 0x > sao cho 
2
2
0
.
1
( 2)
x t
t e
dt
t
=
+∫
. 
 c) Giải PT: 2
0
sin 2 . 1 cos . 0
x
t t dt+ =∫ . 
Bài 3. 
26
0
sin
.
sin 3 cos
x
I dx
x x
pi
=
+∫
; 
26
0
cos
.
sin 3 cos
x
J dx
x x
pi
=
+∫
 a. Tính I J+ và 3I J− . b. Tính I, J, 
5
3
3
2
cos 2
.
cos 3 sin
x
K dx
x x
pi
pi
=
−
∫ 
Bài 4. 
22
0
sin
2cos 3sin
x
I dx
x x
pi
=
+∫
, 
22
0
cos
2cos 3sin
x
J dx
x x
pi
=
+∫
 a) Tính 9 4I J− và I J+ 
 b) Tính I và J.