Bài tập Tích phân ôn thi đại học

TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 1
 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM 
* dx x C  
*

 


   

1
,( 1)
1
x
x dx C 
 * 1 lndx x C
x
  =>   Cuduu ln
1 
* x xe dx e C  => Cedue uu  
* (0 1)
ln
x
x aa dx C a
a
    
* cos sinxdx x C  =>   Cuudu sincos 
* sin cosxdx x C   
 



2
2
1* tan
cos
1 1* tan(ax+b)+C
os (ax+b)
dx x C
x
dx
ac
*
2
1 cot
sin
dx x C
x
   
* 1 (ax+b)(ax+b) . , 0dx C a
a




  
 
*




 

u
u du C 
*    
1cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
* 1 1 lndx ax b C
ax b a
  

*     
1sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
*   
1ax b ax be dx e C
a
*   Cxxdx coslntan 
*   Cxxdx sinlncot 
* C
ax
ax
a
dx
ax




 ln2
11
22 
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa 
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên 
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: 
 ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a  
Chú ý: -Nếu  ( )
b
a
f x dx = ( ) baF x thì  ( ) ( )
b
b
a
a
f u du F u với u = u(x) 
 -Nắm vững bảng các nguyên hàm;Nắm vững phép tính vi phân.chú ý: ,
( )
( )
du xdx
u x
 
 - Chú ý đến phép chia đa thức, phân tích. 1 1 1 1( )
( )( )x a x b a b x a x b
 
    
....,phép nhân liên hợp.. 
1. Tích phân hàm số hữu tỷ 
1. 
1
3
0 ( 1)
x dx
x  
1
8
 2)
1 2
0
2 3
2
x x dx
x
 
 
1 3ln 2
2
  
3) 
2
3
1
dx
x x 
1 8ln
2 5
 4)
 
2
3
1 1
dx
x x  
1 16ln
3 9
5)

4
2
1
1
( 1)
dx
x x
 5 3ln
8 4
 6)  
1
2
0
1
4


x x
dx
x
 31 ln 2 ln 3
2
  
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 2
7)
 
3 2
3
2
1
1
 


x x dx
x
 5ln 2
4
 8)  
 
2
2
1
5 1
6
x
dx
x x
 4ln2-3ln3 
9) 
1
2
0
xI dx
1 x

 
1 ln 2
2
 10) 
4
2
3
4x 3I dx
x 3x 2


  18ln 2 7ln3 
11) 
 
3
2 2
1
dx
x x 1 
31
3 12

  12)
4
0
sin ( 1) cos
sin cos
x x x x dx
x x x

 
 
2 2ln( )
4 8 2
 
  
2. Tính các tích phân vơ tỷ: 
1)
2
2 3
0
x 1 x dx. 
52
9
 2) 
1
2
0
I x x 1dx  
2 2 1
3
 
3) 
7
3
0
x 2 dx
x 1


231
10
 4) 
3
3 2
1
x x 1dx 
14 3
5
5) 
7
3
3
0
1
3 1
x dx
x


46
15
 6)
1
0
dx
x 3 x 1   
2 23- 3-
3
7)
1 3
2
0
x dx
x x 1 
  2 2 1
15

 8) 
2
1
2x x dx 
32 2 3
15 5
 
3. Tính các tích phân lượng giác sau: 
1) 
4
0
cos2xI dx
1 2sin 2x


 
1 ln 3
4
2) 


32
0
4sin x dx
1 cosx
2 
3) 



36
0
sin3x sin 3x dx
1 cos3x
1 1 ln 2
6 3
  
4)  


4
4 4
0
cos x sin x dx 
1
2
5) 


2
0
sin xsin 2xdx 
2
3
6)  


2 32
0
sin2x 1 sin x dx 
15
4
7)



24
0
1 2sin
1 s 2
x
dx
in x
1
ln 2
2
 8)
/2
4 4
/6
cos 2 (sin cos )x x x dx


 7 332 
9) 
/2
3 3
0
(cos sin )x x dx

 
4
3
 10) 
/4
6 6
0
sin 4
sin cos
x dx
x x

 
2
3 ln 4 
11) 
/4
4
0 cos
dx
x

 
4
3
 12) 
/3
3
0
tan x dx

 
3 ln 2
2
 
13) 
/4
4
0
tan x dx

 
2
4 3

 14.



4
0
sin 2 cos
3 sin cos
x x
dx
x x
 1(ln4 )2 4 
15.
2
3
0
5cos 4sin
( osx+sinx)
x x dx
c


 ½ 
16) 
3
2 3 sinx-cosx
dx
 
 1
4 3
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 3
17)
/4
6
0
dx
cos x

 2815 18).  
2
3
0
sin
sin 3 cos



xdx
x x
 3
6
4. Tích phân hàm số mũ – logarits 
1).
1 2 x 2 x
x
0
x e 2x e dx
1 2e
 
 
1 1 1 2ln
3 2 3
e   
 
 2) 
ln 2
2
0 ( 1)
x
x
e dx
e  
1
6
3) 
e
1
1 ln xdx
x

  
2 2 2 1 .
3
 5.  


2
sin
0
cos cosxe x xdx  1 4e 
8.  
4
sin
0
)cosxtgx e x dx

 
1
2ln 2 1 e 9) 
e
1
2 ln xdx
2x

 
1 (3 3 2 2).
3
 
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 
Giả sử ta cần tính I= ( )
b
a
g x dx .Nếu viết được g(x) dưới dạng:  ( ) ( ) . '( )g x f u x u x thì đặt 
( ) '( )t u x dt u x dx   .Khi đĩ I = 
( )
( )
( ) ( )
u bb
a u a
g x dx f u du  
Một số dạng thường gặp: 
*Nếu tích phân chứa ( )n u x thì cĩ thể đặt t = ( )n u x hoặc t = u(x) 
*Nếu tích phân chứa mẫu số cĩ thể đặt t = mẫu số 
* Dạng (s inx).cosxf dxcĩ thể đặt t = biểu thức chứa sinx... 
*Dạng ( osx).sinxf c dx cĩ thể đặt t = biểu thức chứa cosx.... 
* Dạng 2f(tanx).
1
cos x
dx, cĩ thể đặt t = biểu thức chứa tanx.... 
*Dạng f(sinx+cosx).(cosx-sinx)dx, đặt t = sinx+cosx.... 
*Dạng 1(ln )f x dx
x
, đặt t = biểu thức chứa lnx 
*Dạng ( ).x xf e e dx , đặt t =biểu thức chứa xe ... 
2.1. Tính các tích phân hữu tỷ: 
1) 
2 2
4
1
x 1.dx
x 1

 
1 19 6 2ln
172 2

 2)   
2 2
2 2
1
(x 1)dx
x 5x 1 x 3x 1

   
 1 7ln
8 15
3) 
3 2
4
1
x 1.dx
x 1

 
1t x
x
  4)
2 3
6 4 2
1
(x x)dx
x 4x 4x 1

   
1t x
x
  
2.2. Tích các tích phân vơ tỷ: 
1) 
1
3 2
0
1x x dx 
2 ( 2 1)
15
 
2) 
2 5 3
2
0
x 2x .dx
x 1

 
26
5
3) 
3
0 2 1 2
dx
x x   3
1
2
3ln2  4) 
2
1 1 1
x dx
x 
11 4ln 2
3
 
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 4
5) 
1
0 1
dx
x 
2(1 – ln2) 
6)  
2
1 10
1 dx
x
xx 
62 30 ln 2
3
 
7).
4
2
7
dx
x. x 9
 1 7ln6 4 
8).
10
5 2 1

 
dxI
x x
 2ln2 1 
9).
 
2 2
1
1
2 2
x dx
x x

  
52 3
3
 10) 
4
0
4x 1 dx
2x 1 2

  
34 310 ln
3 5
 
11)
2 3
2
5 4
dx
x x 
 1 5ln4 3
 12)
1 3
2
3 2
2
x x dx
x


 
 
 82ln 3
3
 
13).
64
3
1
dx
x x
 211 6 ln
3
 14)
ln3 2
ln 2 1 2
x
x x
e dx
e e  
2ln3 – 1 
15)  
x x x dx
x
32 2 3
4
1
2011 
321 7
128
+ 14077
16
 16) 
5 2
1
1
3 1
x dx
x x


100 9ln .
27 5
 
17) 
5
2
ln( 1 1)
1 1
x dx
x x
 
  
 2 2ln 3 ln 2 18) 
1
2
1 1 1
dx
x x   
 
1 
2.3. Tích các tích phân lượng giác: 
a)   sin .cos
b
a
f x xdx hoặc   cos .sin
b
a
f x xdx 
1.


2
0
sin2 cos
1 cos
x x dx
x
 2ln2 1 2).
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x dx
x


 
34
27
3).
/2
0
cos .
13 10sin cos 2
x dx
x x

  
1 4ln
2 3
 4),
/2
0
sin 2
3 4sin cos 2
x dx
x x

  ln2 - 2
1 
5).
4
0
dx
cos x

 ln(1 2) 6) 
/2
/3 sin
dx
x


 
1 ln 3
2
7) 
/2
0
cos sin cos
2 sin
x x x dx
x
 
 
21 ln
3
 8) 
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4 os
x x dx
x c x


 
ln 3
2 3

 
9) 
2
3 2
0
(cos x 1) cos xdx

 415
8 
 10)  
2
0
53 cossincos1

xdxxx 
12
91
11) 
/2
2 3
0
sin x.cos x.dx

 2
15
 12.
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x dx
x x


 
2
3
13.
32
2
0
sin cos
1 cos


x x dx
x
 1 ln 2
2
 14.
32
0
4cos
1 sin


x dx
x
 2 
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 5
b.   2
1.
cos
f tgx dx
x


 hoặc   2
1.
sin
f cotgx dx
x


 
1)
0
/ 4 cos .cos
4
    
 

dx
x x
2 ln 2 2).
3
3
4
sin .cos
dx
x x


 ln 3 1 
3).
3
6
sin .sin
3
dx
x x

   
 
 2 ln 2
3
 4) 
/6 4
0
tan
cos 2
x dx
x

 . 
1 10 3ln(2 3)
2 27
  
5)
 
2 1
sin cos sin
3
dx
x x x


 
 3 1ln
3
 6) 
2
0 1 s inx+cosx
dx

 
1/6 
7) 
3
3 54
4
sin .cos
dx
x x


  84 3 1 8)
4
3
0
2 .sin x .dx
cos x 4
     


9)
 
/4
2
0
dx
sin x 2cos x

10
24
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5)
xdx
x x x



  

 
2 32 ln
3 8
 11) 
3
6
cotx dx
s inx.sin x
4

   
 
 
22 ln 3
3
 
 
 
12) 
4
2
6
tan
cos 1 cos
x dx
x x

 
 
3 7
3
 13) 
 
4
2
0
tan x dx
4 tan x cos x

 
44ln 1
3
 
c)    .
b
a
f sinx cosx  cosx sinx dx hoặc    .
b
a
f sinx cosx  cosx sinx dx 
1).
/2
3
0
cos 2
(sin cos 3)
x dx
x x

  
1
32
 2)
 
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
   
 
  
x dx
x x x
4 3 2
4
 
3. 
4
0
sin cos
3 sin 2
x x dx
x


 6
 4) 
4 sin cos .
3 sin 20
x x dx
x


 
1 4ln
4 3
5) 
0
s inx-cosx+1
s inx+2cosx+3
dx

 ln 5  6).
2
3
0
sin
(sin cos )
xdx
x x

 
1
2
7.
4
0
cos 2
1 sin 2 2 sin( )
4
x
dx
x x


  
 ln(4 2 2) 
d) Các dạng khác. 
1.
/ 4
2 2
0
(sin2x 2x)dx
cos x(1 x.tan x)
 
 Đặt t 1 x.tan x  2) 
/2
4
0
sin2x .dx
1 sin x

 4

TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 6
3) 
 
/2
2
0
sin x x.cosx .dx
1 x.sin x
 
 
(t 1 x.sin x)  4)
 
4 s in2x 2x
.dx20 x.cos x sin x




5)
 /2 s in2x 2x dx
2 2/4 sin x(1 x.cot x)





2.4. Tích phân mũ – logaris 
1.
3
1 1
x
dx
e  
22 ln( 1)e e    2.
 
ln 3
3
0 1

x
x
e dx
e
 2 1 
3)
ln 8 2
ln 3 3 1 3
x
x x
e dx
e e  
11- 24ln2 
4)
 
1 2
1
0
2
2 9 3 2
x
x x
dx
 
 
1 9ln
5 ln 2 14
5).
  x x
dx
e e
ln 5
ln3 2 3
 3ln 2 6.
ln 2 2
0 2

x
x
e dx
e
 82 3
3
 
7. 
e x x
dx
x1
1 3ln ln 116
135
 8.
1
3 2ln
1 2 ln
e x dx
x x


 10 112
3 3
 
9.
3
2
2
1
log
1 3ln
e x dx
x x
. 
2ln27
4
3 10.
3 2
1
ln . 1 ln

e x x dx
x
 33 ( 16 1)
8
 
11. 2
1
ln
(2 ln )
e x dx
x x 
3 1ln
2 3
   
 
 12.
1
ln sin(ln ) ln 1e x x x dx
x
 
 os1+sin1c +
4 2 2
3 3
 
12) 
2e
2 2
e
1 ln x .dx
x .ln x
  t x.ln x 13) 
/4
2
0
log (1 tan x)dx

 8
 x t
4
       
14. 
2
2
1 1
ln ln
e
e
dx
x x
  
 
  2
2
e e
 15) 
4 3
2
1
(5 ) . 5ln x x xdx
x
  
 
3 164ln 4
5 15
 
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 
3.1.Dạng ( ). n
b
a
P x l xdx 
1. 
3
2
2
ln( )x x dx 
3ln3 – 2 2. 
2
1
3
ln dx
x
x 16
2ln23 
3. 3 2
1
ln 
e
I x x dx 
45 1
32
e 4.
 21
ln
1



e
e
x x dx
x
 2
1 e
5. 
3
2
1
3 ln x dx
(x 1)

 
3 (1 ln 3) ln 2
4
  6. 
2
0
s inx.ln(1+cosx)dx

 2ln2-1 
7.
3
2
6
ln(s inx)dx
osc x


 3 3 3ln3 2 6

 8.  
1
2
0
ln 1 x x dx 
1ln 2
2
 
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 7
9) 
1
32 ln
e
x xdx
x
  
 
2
1
2
e
 10.  
3
4
ln
sin 2
tgx
dx
x


 2
1 ln 3
16
11. 
1 2
3
2
0
4ln
4
xx dx
x
 
  
 
3ln 2
5
   
 
 12.
0
lne x dx
x
 4 2 e 
13.
3
2 x x
ln dx
2 21 1 x 1 x
2

 
  3 3 ln3 ln 2 ... 1.  
2
0
2 cos)sin(

xdxxx 
2
2 3

 2. 
/4
2
0
tanG x xdx

  
2 1 ln 2
4 32 2
 
  
3. 
2
0
sinx x dx

 
82 2  4. 
2
2
0
cos x dx
 
 
 
 
 – 2 
5. 
4
0
3cos
sin

dx
x
xx 
2
1
4

 6.
4
0 1 cos 2


x dx
x
 1 ln 2
8 4

 
7. 
3
2
0
1 sin
cos
x x dx
x


 
2 1 2 33 ln
3 2 2 3
 
 

 8. 2
0
.sin .cosx x x dx

 3
 
3.3 Dạng ( ).
b
x
a
P x e dx 
1. 
1
2
0
( 2 ). xx x e dx 
e 2.
 
1 2
2
0 2

xx e dx
x
 3
3
e 
3.
 
1 2 2
2
0 1

xx e dx
x
 1
2
 4.
1 3
2
2
0 4
 
 
 
 x
xxe dx
x
2 613 3
4 12
 
e 
5.
2
sin x
0
cos 3x.e dx

 7 3e 6.
2
3
0
sin 5xe xdx

 
3
23. 5
34

e 
7).
/ 2
2
0
cos

 xe xdx 2
1 2 3
5
e
 
 
 
 8.
2
0
1 sin
1 cos
xx e dx
x


 
2e

TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 8
Dạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số lượng giác 
 Giả sử ta cần tính ( )f x dx


.Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = 
x(b)thì  ( ) ( ) '( ) ( )
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt   


   ( ) ( ) . '( )g t f x t x t 
4.1. Dạng f(x) có chứa 2 2a x thì đặt sin ,
2 2
x a t t     
1. 
2/2 2
2
0 1
x dx
x
1
8 4

 2. 2
2
1
1 ln
4 ln
e
x dx
x x
 
 
 
 26 e

  
3.
1 2
2
0 4
x dx
x
 đ 3
3 2

 4. 
1
2 2
0
4 3x x dx 
2π 1
+
129 3
5.
2 / 3
2
2 1

dx
x x
12

 6.
1 2
2
1/ 2 2 

x dx
x x
 7 3 2
4 8

  
7.
2 2
2
1
4 x dx
x

 . 
3
3

 8. 
1 2
2
0 3 2
x dx
x x 
 3 3 4
2 2

  
9. 
2
1 1 ln
e dx
x x
 6
 10.
1
ln 1 ln
1 ln
e x x dx
x x


 1 4

 
4.2. Dạng f(x) có chứa 2 2a x thì đặt tan ,
2 2
x a t t     
1. 
1
2
0
1 x dx 
2 1 ln( 2 1)
2 2
  2. 
1
2
0 1
dx
x
 ln( 2 1)  
3. 
0
2
1 2 4
dx
x x  
 
3
18

 4.
1 4
6
0
1
1
x dx
x

 3
 
5. 
6 10
22
4
1
1
1
x dx
x


 
2
6
 6.
 3
2
0
cos cos sin( )
1 cos
x x xx dx
x

 
 
2
2
4


7. 
1 2
3
0
5 4
1
x dx
x

 
4 3 3ln 2
9

 8.
1
4 2
0 4 3
dx
x x  
3
8 36
 
 
9. 
2
2
0
s inx
1 os
dx
c x


 
10. dx
x
xe


1
2 )ln1ln( ln2 – 2 + 2
 
Các dạng khác 
1. 
2
0
( 2)
4
xx dx
x

 
4  
2. 
2/2
0
1
1
x dx
x

 
21
4 2

  
3. 
1
0
1
3
xC dx
x


 
3 2
3

  4.  
1
0
1 2 ln 1
1
x x x dx
x
     
 
3
2 2

 
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 9
Dạng 5: Tích phân một số hàm đặc biệt 
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ 
  Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì ( ) 0
a
a
f x dx

 
  Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì 
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx

  
 Bước 1: Phân tích 
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
 
     
0
0
( ) ; ( )
a
a
J f x dx K f x dx

 
   
 
  
 Bước 2: Tính tích phân 
0
( )
a
J f x dx

  bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. 
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: 
0
( ) ( )
1x
f x dx f x dx
a


 
 

 (với   R+ và a > 0) 
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1x x x
f x f x f xI dx dx dx
a a a 
  
  
  
 
 
0
0
( ) ( );
1 1x x
f x f xJ dx K dx
a a
 
     
 


 Để tính J ta cũng đặt: t = –x. 
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;
2
 
  
 thì 
2 2
0 0
(sin ) (cos )f x dx f x dx 
 
 Đặt 
2
t x  
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và ( ) ( )f a b x f x   hoặc ( ) ( )f a b x f x    thì đặt: t = a + b – x 
 Đặc biệt, nếu a + b =  thì đặt t =  – x 
 nếu a + b = 2 thì đặt t = 2 – x 
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ 
Bài 1. Tính các tích phân sau (dạng 1): 
 a) 
7 5 34
4
4
1
cos
x x x x
dx
x

   



 b) 
2
2
2
cos ln( 1 )x x x dx

 


 c) 
1
2
1
2
1cos .ln
1
x
x dx
x

 
 
 
 d)  
1
2
1
ln 1x x dx

  e) 
1
4 2
1 1
x dx
x x  
 f) 
1 4
2
1
sin
1
x xdx
x


 
Bài 2. Tính các tích phân sau (dạng 2): 
 a) 
1 4
1 2 1x
x dx
 
 b) 
1 2
1
1
1 2x
x dx



 c) 
1
2
1 ( 1)( 1)x
dx
e x  
 
 d) 
2sin
3 1x
xdx
 



 e) 
 
3
3
2
21
1dxx x f) 
1
2
1 (4 1)( 1)x
dx
x  
 
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 10
Bài 3. Tính các tích phân sau (dạng 3): 
 a)
2
0
cos
cos sin
n
n n
x dx
x x


 (n  N*) b) 
72
7 7
0
sin
sin cos
x dx
x x


 c) 
2
0
sin
sin cos
x dx
x x


 d) 
20092
2009 2009
0
sin
sin cos
x dx
x x


 e) 
42
4 4
0
cos
cos sin
x dx
x x


 f) 
42
4 4
0
sin
cos sin
x dx
x x


 
Bài 4. Tính các tích phân sau (dạng 4): 
 a) 
2
0
.sin
4 cos
x x dx
x


 b) 
2
0
cos
4 sin
x x dx
x




 c) 
2
0
1 sinln
1 cos
x dx
x
 
 
 

 d) 
4
0
ln(1 tan )x dx

 e) 
2
3
0
.cosx xdx

 f) 3
0
.sinx xdx

 g) 
0 1 sin
x dx
x

 h) 
0
sin
2 cos
x x dx
x

 i) 
2
0
sin
1 cos
x x dx
x


 k) 
4
0
sin 4 ln(1 tan )x x dx

 l) 
2
0
sin
9 4 cos
x x dx
x


 m) 4
0
sin cosx x xdx

Bài 5. Tính các tích phân sau (dạng 5): 
 a) 
2
0
sin
sin cos
x dx
x x

 b) 
2
0
cos
sin cos
x dx
x x

 c) 
2
0
sin
sin cos
x dx
x x

 d) 
2
0
cos
sin cos
x dx
x x

 e) 
42
4 4
0
sin
sin cos
x dx
x x


 f) 
42
4 4
0
cos
sin cos
x dx
x x


Dạng 6: Ứng dụng của tích phân 
1. Diện tích hình phẳng 
  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
{Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b];Trục hoành;Hai đường thẳng x = a, x = b.} 
 là: ( )
b
a
S f x dx  (1) 
  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
{Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b];Hai đường thẳng x = a, x = b.} 
 là: ( ) ( )
b
a
S f x g x dx  (2) 
 Chú ý: 
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 11
  Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx  
  Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích 
phân. Ta có thể làm như sau: 
 Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm 
 được 2 nghiệm c, d (c < d). 
 Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: 
 ( ) ( ) ( ) ( )
b c d b
a a c d
f x dx f x dx f x dx f x dx      = ( ) ( ) ( )
c d b
a c d
f x dx f x dx f x dx    
* Trường hợp giới hạn bởi nhiều hơn hai đường đường cĩ thể vẽ đồ thị để thiết lập cơng thức tính` 
  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) 
 – Hai đường thẳng x = c, x = d. ( ) ( )
d
c
S g y h y dy  
2. Thể tích vật thể 
  Thể tích của khối tròn xoay: 
 Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: 2( )
b
a
V f x dx  
* Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) ;x = a, x = b quay quanh Ox thì 
 2 2( ) ( )
b b
a a
V f x dx g x dx   
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh 
trục Oy:(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là: 2( )
d
c
V g y dy  
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 2 4 6, 0, 2, 4y x x y x x       b) 
2
ln( 2)
4
x xy
x



 và trục hồnh 
 c) 
1 ln
, 0, 1,
x
y y x x e
x

    d) ln , 0, , 1
2
x
y y x e x
x
    
 e) 1ln , 0, ,y x y x x e
e
    f) 3, 0, 2, 1y x y x x     
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 3 1, 0, 0
1
xy y x
x
 
  

 b) , 2 , 0y x y x y    
 c) , 2, 1xy e y x   d)   
2 2x xy 4 , y
4 4 2
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 12
 e) 2 22 , 2 1, 2y x y x x y     f)    1 , 1    xy e x y e x .A07 
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 2 24 , 2y x y x x    b) 2 4 3 , 3y x x y x     
 c) 2 2à 2  y x v y x d) 
2
2
1 ,
21
x
y y
x
 

 e) 2, 2y x y x   f) 21 2  y x x và y = 1 
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a) 2 2,y x x y   b) 2 5 0, 3 0y x x y      
 c) 2 2 0, 0y y x x y     d) 2 2 1, 1y x y x    
 e) 
3
1 , 0
s inx.cos
y y
x
  và hai đt ,
4 3
x x   f) 3 1 0, 1 0x y x y      
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
 a)  2
1
0 à 
1

 

x x
y v y
x
 b) 
2 2 1( ) : , 0
2
x x
C y y
x
 
 

, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2 
 c) 3 2( ) : 2 4 3, 0C y x x x y     và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. 
 d) 3( ) : 3 2, 1C y x x x     và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2. 
 e) 2( ) : 2C y x x  và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C). 
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể 
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox: 
 a) 21 2 ( ); 1( )y x x C y D    b) .
1


x
x
x ey
e
, trục hồnh và đường thẳng 1x  
 c) 6 6sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x      d) , 4y x x  
 e) 3 1, 0, 1, 1y x y x x      f) 2 ,y x y x  
 g) / lny x x , 0, y y e h) 2 4 , 2y x x y x     
 i) sin , cos , ,
4 2
y x y x x x     k) 2
1
xy
x



 và hai trục tọa độ. 
 l) 2 24 6, 2 6y x x y x x       m) ln , 0, 2y x y x   
Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Oy: 
 a) 2 , 1, 4x y y
y
   b) 2 , 4y x y  
 c) , 0,xy e x y e   d) 2 , 1, 2y x y y   
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: 
i) trục Ox ii) trục Oy 
 a) 2( 2) , 4y x y   b) .ln , 0, 1,y x x y x x e    
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp 
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 
 13
 c) 2 ,y x y x  d) 22 , 0y x x y  