Bài tập tham khảo Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng

B.S Phạm Công Như - 1 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
1- Nguyên hàm 
a- Khái niệm: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm 
của f(x) trên K nếu " x Ỵ K : F/(x) = f(x). Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì 
" C Ỵ R, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x). Họ tất cả các nguyên hàm 
của hàm số f(x) là : F(x) + C. Kí hiệu : ( )ị += CxFdxxf )( 
b- Bảng các nguyên hàm: 
ị += Cxdx 
)1( .
1
1
-¹+
+
=ị
+
a
a
a
a Cxdxx 
)0( .ln ¹+=ị xCxx
dx 
.Cedxe xxị += 
ị ¹<+= 1). a(0 .ln Ca
adxa
x
x 
ị += .Cxsinxdxcos 
ị +-= .Cxcosxdxsin 
Ctgx
xcos
dx
2
+=ị 
Cgxcot
xsin
dx
2
+-=ị 
ị += Cudu 
)1( .
1
1
-¹+
+
=ị
+
a
a
a
a Cuduu 
)0( .ln ¹+=ị uCuu
du 
.Cedue uuị += 
ị ¹<+= 1). a(0 .ln Ca
adua
u
u 
ị += .Cusinuducos 
ị +-= Cucosudusin 
Ctgu
ucos
du
2
+=ị 
Cgucot
usin
du
2
+-=ị 
2- Tính chất: ị ị ị+=+ dx)x(gbdx)x(fadx)]x(bg)x(af[ (Với a,b là các hằng số ≠ 0) 
3- Công thức nguyên hàm từng phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ị ị-= dxxuxvxvxudxxvxu // 
4- Công thức đổi biến số: ị ị +=Þ+= CxuFdxxuxufCtFdttf )]([)(')]([)()( 
II. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 
1- Khái niệm: Tích phân từ a đến b của hàm số : f(x) là: )()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
-==ị , trong đó: 
F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) 
2- Công thức đổi biến số:loại 1: ị ị=
b
a
dttutufdxxf
b
a
)(')]([)( , ( a= u(α), b = u(β) ) 
 và loại 2 : ( )[ ] ( )ị ị=
b
a
duufdxxuxuf
b
a
)(/ ( α = u(a), β = u(b) ) 
3- Công thức tích phân từng phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ị ị-=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu // 
4- Diện tích hình phẳng : 
B.S Phạm Công Như - 2 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
a- Hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành, 2 đường 
thẳng đứng: x = a, x = b : S = ị
b
a
dxxf )( 
b- Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b], các 
đường thẳng x = a, x= b : S = ( )ị -
b
a
dxxgxf )( 
5- Thể tích vật thể : 
a- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, 2 đường 
thẳng x = a, x = b; khi D quay quanh trục hoành: V = ( )ị
b
a
dxxf 2p 
b- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: x = g(y) liên tục theo biến y trên đoạn [c;d], 
trục tung, 2 đường thẳng y = c, y = d; khi D quay xung quanh trục tung: V = ( )ị
d
c
dyyg 2p 
III. BÀI TẬP 
1- Tìm nguyên hàm của các hàm số: 
xxf
x
xexd
xcxbxa
8
2
5)1
2
1)
3
1
5
2)
9)2)1)
2
3
2
2
32
+-+
-+-
2- Tìm nguyên hàm của các hàm số: 
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )12)3)
13)32)
33
2
++-
+--+
xxxdxc
xxxbxxa 
3- Tìm : 
( ) ( )
ịị
ịị
++
-+-
dx
x
xddx
x
xc
dx
x
xxbdx
x
xxa
2
22
4
2
2
232
1)2)
154)3)
4- Tìm: 
( )( )
( ) ( )ịị
ịị
ú
û
ù
ê
ë
é
+÷
ø
ư
ç
è
ỉ -++-
+--+
----
-
dxx
x
xxxddxxxxc
dxxxxxbdxxxa
32223
2
1
4
3
3132)42)
12))5()
5- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 21,21)04,4)
3
72,2)51,12)
2
//
2//
=+-==-=
=-==+=
f
x
xxfdfxxxfc
fxxfbfxxfa
6- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 31234)10,111)
21,1)80,23)
23//
33/2/
=-+-==+-+=
=++==+=
fxxxfdfxxxfc
fxxxfbfxxfa 
7- Tìm hàm số f(x) nếu biết f/(x) = ax + 2x
b , f(–1) = 2, f(1) = 4 và f/(1) = 0 
8- Tìm hàm số f(x) biết ( ) ( ) ( ) 94,41,
14
15/ === ffxxf 
9- Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác sau: 
B.S Phạm Công Như - 3 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
a) (2tgx + cotgx)2, b) 
xx 22 cossin
1 c) 3
2
sin 2 x 
10- Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng phương pháp đổi biến: 
a) (5x + 3)5 b) sin4xcosx c)
1+x
x
e
e 
11- Tìm nguyên hàm của các hàm số: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 268
63
49)25)37)
53)14)
-- -+-
+-
xexdxc
xbxa 
12- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
( ) x
xcxxb
x
xa 254
3
cos
sin)1cos2sin)
56
) -
+
13- Tìm nguyên hàm các hàm số bằng phương pháp đổi biến số 
( ) ịị
ịị
-+
+
+
++
dx
xx
xd
x
xdxc
dxxxbdxxxa
54
42)
93
)
.1.3).12)
242
322
14- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số: 
dxxed
xx
dxc
e
dxebdx
x
ea
x
x
xtgx
ịị
ịị
+
-
-
+
4
2
2
2)
ln
)
1
)
cos
)
15- Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng ( )
t
tN
5,01
4000/
+
= , và lúc đầu đám vi 
trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu? 
16- Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc ( ) ( )2/ /
1
3 sm
t
tv
+
= . Vận tốc ban đầu của 
vật là 6m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây ( làm tròn đến hàng đơn vị) 
17- Gọi h(t) (cm) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng h/(t) = 3 8
5
1
+t và 
lúc đầu không có nước. Tìm mức nước ở bần sau khi bơm được 6 giây ( chính xác đến 0,01cm) 
18- Tìm nguyên hàm của các hàm số: 
3
sin)ln)
ln))
xxdxxc
xxbxea x-
19- Tìm nguyên hàm các hàm số sau: 
( ) ịị
ịị
xdxxddxxxc
xdxxbdxexa x
3cos)2ln)
2cos3))
23
22
20- Giả sử sau khi áp dung công thức tính nguyên hàm từng phần ta có : ị f(x)dx = aG(x) – bị f(x)dx . 
Chứng minh rằng : ( ) ( ) C
b
xaGdxxf +
+
=ị 1 
21- Sử dụng kết quả bài 20 để tìm: 
a) ị excosxdx b) ị exsinxdx c) ị ex sin2xdx 
22- Tìm nguyên hàm các hàm số: 
a) x3sinx b) sin(lnx) 
23- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
B.S Phạm Công Như - 4 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
( )
( )
( ) ( )
( )( ) ịịị
ịịị
ịịị
ịịị
ịịị
-+-
+
-
-
+
-
-
+
+
-
-
dx
x
xo
x
dxndx
xx
xm
x
xdxldx
x
xkdxj
dx
xx
xxi
ee
dxh
x
xdxg
x
xdxfdx
xx
e
xx
dxd
dx
x
xcdxxebdxxxa
xx
xx
x
2
32
22
2
3 2
2
2
22
3 32
cos
sin)
1
)
32
4)
sin
)
cos
sinln)32)
cossin
sincos))
cos
sin)
ln)1.1sin)
1
)
1
))1)
2
24- Tìm nguyên hàm các hàm số sau: 
ịịị
ịịị
+
+ dx
x
xf
xx
dxexdxxd
xdxxc
x
dxbxdxa
cos1
sin1)
sincos
)cossin)
cossin)
sin
)sin)
2
44
43
3
4
25- Đặt: In = ị xnexdx ( n Ỵ N*) 
a) Chứng minh rằng : In = xnex – nIn-1 
b) Tìm: I1, I2 , I3 
26- Đặt In = ị sinnxdx ( n Ỵ N*) 
a) Chứng minh rằng : 2
1 1cos.sin
-
- -
+
-
= n
n
n In
n
n
xxI 
b) Tìm I3 
27- Tính các tích phân sau: 
( ) ( )ịị
ịị
-
---
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+
+÷
ø
ư
ç
è
ỉ +
0
2
5
2
4
1
0
2
4
2
2
)43)
1
3)1)
dxexddxxc
dx
x
ebdx
x
xa
x
x
28- Tính các tích phân sau: 
( ) ( ) ( )
( ) ịị
ịịị
+-
-
+--
-
-
3
1
234
1
2
1
0
3
2
0
2
1
42
)1)
1))3)
dx
x
xxxedxxd
dxxxcdxxxxbdxxxa
29- Tính các tích phân : 
( ) ( )
( ) ịị
ịịị
-
-
-
-
-
-+
1
1
21
1
0
1
1
2
1
2
1
0
)1)
)4)1)
dxeedxed
dxeecdx
e
bdxea
xx
xx
x
x
30- Giả sử : 
a) ( )ị 3
3
0
=dxxf và ( ) 74
0
=ị dzzf . Tính ( )ị
4
3
dttf 
b) ( )ị 5
1
1
=
-
dtxtf và ( ) 63
1
=ị- drrf . Tính ( )ị
3
1
duuf 
B.S Phạm Công Như - 5 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
31- Giả sử M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. 
Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( )abMdxxfabm
b
a
-££- ị 
32- a) Dùng bài 29 đánh giá các tích phân: 
ịịị +=+=+=
1
5,0
2
5,0
0
2
1
0
2 1
;
1
,
1 x
dxK
x
dxJ
x
dxI 
 b) Từ công thức I = J + K, hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I 
33- Tính tích phân: ị
e
e
dxx
1
ln 
34- Một vật chuyển động với vận tốc : ( ) ( ) ( )smttv /sin
2
1
p
p
p
+= . Tính quãng đường di chuyển của vật 
đó trong khoảng thời gian 1,5 giây ( chính xác đến 0,01 m) 
35- Một vật chuyển động với vận tốc : ( ) ( )sm
t
ttv /
3
42,1
2
+
+
+= . Tính quãng đường di chuyển của vật 
đó trong khoảng thời gian 4 giây ( chính xác đến 0,01 m) 
36- Tính các tích phân sau: 
ịịị -+-
16
0
2
00 9
)1)cos)
xx
dxcdxxbdxxa
p
37- Tính các tích phân sau: 
ịị
ịịị
-+
+
+
+-
÷
ø
ư
ç
è
ỉ +
-
12
10
2
1
0
3
2
1
1
2
2
1
5
4
2
2
12)
1
2)
1
2)
21
3)1)
dx
xx
xe
x
dxxd
x
xdxcdx
x
bdx
x
xa
38- Tính các tích phân: 
( )
( ) ịịịị +++
3
4
0
12
0
2
2
0 2sin
)2cos)
313cos
)
sin1
cos)
p
p
p
pp
p
x
dxddxxc
xtgx
dxbdx
x
xa 
39- Tính các tích phân: 
( ) ịịị +++ -
2
0
1
1
4
2
1
2
cos1
)23)3)
p
x
dxcdxxbdxxxa 
40- a) Cho a > 0 . Chứng minh rằng: ( )kr
aax
dx
-=
+ị
1
22
b
a
, trong đó r và k là các số thực thỏa mãn : 
a
tgk
a
tgr ab == ; 
b) Tính : ị +
2
0 cos2
p
x
dx 
41- Chứng minh rằng hàm số : ( ) ị
+
=
x
t
tdtxf
0 41
x Ỵ R là một hàm số chẵn 
42- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–a;a], Chứng minh rằng : 
B.S Phạm Công Như - 6 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
( ) ( )
ïỵ
ï
í
ì
= ịị
- 0
2
0
lẻ hàmlà f khi
chẵn hàmlà f khi
a
a
a
dxxfdxxf , Áp dụng tính ( )ị
-
++
2
2
21ln dxxx 
43- Tính các tích phân sau: 
( ) ( )
ịị
ịịị +-
1
01
2
1
0
2
0
3
2
0
)ln)
1ln)sin)cos12)
dxxeexdxxd
dxxxcxdxxbxdxxa
x
e
p
p
44- Tính các tích phân sau: 
( )
ịịị
ịịị
+
+
++
+
---
-
p
0
2
2
1
4
21
1
2
9
1
3
2ln
0
2
1
5
cos1
sin)1)
1
12)
1)1)1)
x
xdxxfdx
x
xedx
xx
xd
dxxxcdxebdxxxa x
45- Đặt: ị=
2
0
sin
p
xdxI nn . Chứng minh rằng : 2
1
-
-
= nn In
nI . Từ đó tính I5, 
46- Đặt: ị=
2
0
cos
p
xdxI nn . Chứng minh rằng : 2
1
-
-
= nn In
nI . Từ đó tính I6, I7. 
47- a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = sinx, trục hoành, trục tung và đường 
thẳng x = 2p 
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = 2 – x, y = x2, trục hoành trong miền x 
≥ 0 
48- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = x3 – 3x2 + 2x, trục hoành trục tung và 
đường thẳng x = 3 
49- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 
a) y = x3 , trục hoành và đường thẳng x = 2 
b) y = 4 – x2 và trục hoành 
c) y = x3 – 4x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2 
d) y = x3 – 4x, trục hoành, trục tung, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4 
e) y = x – x và trục hoành 
50- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 
a) y = ex + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 
b) y = e2x – 1, trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2 
c) y = ex – e –x, trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1 
51- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 
a) y = 
1
2
+x
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4 
b) y = 
x-2
3 , trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1 
52- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 
a) y = 
x
x 1+ , trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = –1 
B.S Phạm Công Như - 7 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
b) y = 2
11
x
- , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 1 
c) y = 2
11
x
- , đường thẳng y = 
2
1 và đường thẳng y = –
2
1 
53- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y2 = 4ax (a > 0) và đường thẳng x = a bằng ka2. 
Tìm k 
54- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
a) Đồ thị hàm số: 
( )21
2
-
=
x
y , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x= 3 
b) Đồ thị hàm số 
( )21
2
-
=
x
y , đường thẳng y = 2 và dtang y = 8 
55- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 
a) y = x2 + 2 , đồ thị hàm số : y = x, và2 đường thẳng x = 0, x = 2 
b) y = 2 – x2 , đồ thị hàm số : y = x và 2 đường thẳng x = 0, x = 1 
c) y = 2 – x2, đồ thị hàm số : y = x 
d) y = x , đồ thị hàm số y = 6 – x và trục hoành. 
56- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : 
a) y = x2 + 4 va ø y = 7 – 2x2 
b) x – y2 = 0 và: x + 2y2 = 3 
c) x = y3 – y2 và x = 2y 
57- Tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị 
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật 
có 2 kích thước là x và 292 x- 
58- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn 
bởi: 
a) Đồ thị hàm số y = x(4–x) và trục hoành 
b) Đồ thị hàm số y = ex , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 3 
c) Đồ thị hàm số: y = 
x
1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1, x = 2 
d) Đồ thị hàm số y = x , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x= 2 
59- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi: 
a) Đồ thị hàm số y = x2 , trục tung và 2 đường thẳng y = 0, y = 4 
b) Đồ thị hàm số y = x3 , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 2 
c) Đồ thị hàm số: y = lnx , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 0 
d) Đồ thị hàm số y = 3 – x2, trục tung và đường thẳng y = 1 
60- Tính đạo hàm các hàm số sau: 
ịị
ịị
==
==
2
01
2
sin
1
2
0
.cos)()sin)()
3)()cos)()
xx
xx
dttxGddttxGc
dttxGbtdtxGa
61- Tính các tích phân sau: 
B.S Phạm Công Như - 8 - 
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 
( ) ( )
( )ịị
ịị
-
-
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
-
+
2
2
4
1
8
1
2
3
3
2
3
1
4
1
2
1
0
2
)3cos(3sin15)1)
1)5sin)
p
p
p
dxxxddxxxc
du
u
ubdtta
62- Tìm f(4) biết rằng : 
a) ( ) ( )xxdttfx pcos
2
0
=ị b) ( )
( )
ị =
xf
xxdtt
0
2 cos p 
63- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
a) parabol: y2 = 2x , tiếp tuyến của nó tại điểm A(2,2) và trục hoành 
b) parabol :y = x2 – 4x + 5 và tiếp tuyến của nó kẻ từ điểm M(
2
5 ;–1) 
c) đồ thị hàm số : y = 
2
12
-
+-
x
xx , tiệm cận xiên của nó và 2 đường thẳng x = 0, x= 1 
64- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : 
a) y = ïx2– 4ï và y = 
2
1 x2 + 4 
b) x + y4 = 2 , 3
2
yx = vàtrục hoành 
c) x = y2 , x + 2y2 = 3 và trục hoành 
65- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi 
các đường sau 
a) y = 2x – x2 và y = 0 
b) y = lnx, y = 0 , x = 2 
c) y = sinxcosx, y = 0, x = 0 x = 
x
p . 
66- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi 
các đường sau: 
a) x = 
1
2
2 +y
y
, y = 0, y = 1 
b) y = 2x – x2 , y = 0, x = 2 
c) Đường tròn tâm I(2,0) , bán kính R = 1 
67- Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt trụ sau: x2 + y2 = a2 và: x2 + z2 = a2 
68- Cho hàm số: y = 
x
x-1 , 0 < x ≤ 1 
a) Tính diện tích hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và đường thẳng x = 
2
1 
b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành 
c) Chứng minh rằng : 21
1
y
x
+
= , và từ câu a) suy ra giá trị của ị +
1
0 21 y
dy