Bài tập Số phức luyện thi đại học

===========================
SỐ PHỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC
===========================
HUỲNH ĐỨC KHÁNH - 0975.120.189
BÀI TẬP
SỐ PHỨC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
QUY NHƠN - 2012
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
DẠNG 1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
Bài 1. Tìm số phức z, nghịch đảo của số phức
1
z
, số phức liên hợp z, số phức đối −z.
1. Cho số phức z = −1
2
+
√
3
2
i. Tính
1
z
; z; z2; (z)3; 1 + z + z2.
2. Tìm số phức z, biết z =
(√
2− i)3
1 +
√
2i
.
3. Tìm số phức z sao cho z.z + 3(z − z) = 1− 4i.
4. Tìm z, biết
|z| = 1∣∣∣∣z + iz
∣∣∣∣ = 2 .
Bài 2. Tìm phần thực, phần ảo của số phức.
1. Xác định phần ảo của số phức z, biết z−1 = 1−√2i.
2. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z = (2− 2i) (3 + 2i) (5− 4i) −
(2 + 3i)3.
3. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i. Xác định phần thực và phần ảo
của số phức z1 − 2z2 và z1z2.
4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
(
1 +
√
3i
1 + i
)3
.
5. Tìm số thực k, để bình phương của số phức z =
k + 9i
1− i là số thực.
Bài 3. Tính môđun của số phức.
1. Tìm môđun của số phức z, biết
1− i
z
=
(2− 3i) z
|z|2 + 2− i.
2. Cho các số phức z1 = 4− 3i + (1− i)3, z2 = 1 + 2i− (1− i)
3
1 + i
. Tính môđun của
số phức z = z1.z2.
3. Tính môđun của số phức z, biết z =
1− 5i
1 + i
+ (2− i)3.
4. Cho số phức z thỏa mãn z2 − 6z + 13 = 0. Tính
∣∣∣∣z + 6z + i
∣∣∣∣.
5. Cho số phức z thỏa mãn z =
(
1−√3i)3
1− i . Tìm môđun của số phức z + iz.
6. Tìm môđun của số phức z, biết z3 + 12i = z và z có phần thực dương.
7. Tính môđun của số phức z, biết (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1− i) = 2− 2i.
8. Tìm môđun của số phức z =
x2 − y2 + 2xyi
xy
√
2 + i
√
x4 + y4
và z =
√
x2 + y2 + i
√
2xy
(x− y) + 2i√xy .
1
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức P = (1 +
√
3i)
2
+ (1−√3i)2.
Bài 5. Xét số phức z =
i−m
1−m (m− 2i) ,m ∈ R. Tìm m để z.z =
1
2
.
Bài 6*. Cho z1, z2 ∈ C, sao cho |z1 + z2| =
√
3; |z1| = |z2| = 1. Tính |z1 − z2|.
Bài 7*. Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa
z
z2
là số thực và |z − z| = 2√3. Tính |z|.
Bài 8**. Cho số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 − z2| = |z1| = |z2| > 0. TínhA =
(
z1
z2
)4
+
(
z2
z1
)4
.
DẠNG 2. TÍNH in VÀ ÁP DỤNG
Nếu n nguyên dương thì : i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i.
Nếu n nguyên âm thì : in =
(
i−1
)−n(1
i
)−n
= (−i)−n.
Bài 1. Tính các giá trị biểu thức.
1. Tính S = in + in+1 + in+2 + in+3, (n ∈ N).
2. Tính S = i105 + i23 + i20 − i34.
3. Tính giá trị biểu thức P =
i2 + i4 + ... + i2008
i + i2 + i3 + ... + i2009
.
4. Tính giá trị biểu thức Q =
i5 + i7 + i9 + ... + i2009
i4 + i5 + i6... + i2010
.
Bài 2. Cho z = a + bi. Tính z2012 và z2013, biết
1. Phần thực bằng phần ảo (Rez = Imz).
2. Phần thực và phần ảo đối nhau (Rez = −Imz).
Bài 3. Tính toán rồi tìm phần thực, phần ảo của số phức.
1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1 + i + i2 + ... + i2010.
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ...+
(1 + i)20.
3. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n, n ∈ N. Trong đó n thỏa mãn
log4 (n− 3) + log5 (n + 6) = 4.
4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (z + 2− 3i) (1− i) =
(1 + i)2011.
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn iz =
(
1 + i
1− i
)11
+
(
2i
1 + i
)8
. Tính mô đun của số phức
z + iz.
Bài 5. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z
2−4z+5 = 0. Tính (z1 − 1)2012+
(z2 − 1)2012.
Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn
(
1 +
√
3i
)
z = 4i. Tính z2012.
2
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài 7. Tìm số n nguyên nếu :
1. (1 + i)n = (1− i)n.
2.
(
1 + i√
2
)n
+
(
1− i√
2
)n
= 0.
Bài 8. Cho z =
(
1 + i
1− i
)2013
. Chứng minh rằng zk + zk+1 + zk+2 + zk+3 = 0, k ∈ N.
DẠNG 3. TÌM CÁC SỐ THỰC x, y THỎA MÃN ĐẲNG THỨC
Bài 1. Tìm các số thực x, y thỏa mãn x (3 + 5i) + y(1− 2i)3 = 9 + 14i.
Bài 2. Tìm các số thực x, y thỏa mãn
x(3− 2i)
2 + 3i
+ y(1− 2i)3 = 11 + 4i.
Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (3x− 2) + (2y + 1) i = (x + 1)− (y − 5) i.
Bài 4. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức (1− 2x)− i
√
3 =
√
5 + (1− 3y) i.
Bài 5. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (2x + y) + (2y − x) i = (x− 2y + 3) + (y + 2x + 1) i.
DẠNG 4. TÌM SỐ PHỨC z THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện cho trước.
1. Tìm số phức z thỏa mãn z2 = z.
2. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z − (2 + i)| = √10 và z.z = 25.
3. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
∣∣∣∣z − 1z − i
∣∣∣∣ = 1 và ∣∣∣∣z − 3iz + i
∣∣∣∣ = 1.
4. Tìm số phức z thỏa mãn |z|2 + 2z.z + |z|2 = 8 và z + z = 2.
5. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 1| = 5 và 17 (z + z)− 5z.z = 0.
6. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z| = 1 và ∣∣z2 + (z)2∣∣ = 1.
7. Tìm số phức z sao cho |z| = 1 và
∣∣∣∣zz + zz
∣∣∣∣ = 1.
8. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 2 + i| = 2. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3
đơn vị.
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước và đồng thời nó là số thực (hoặc
số thuần ảo).
1. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = √2 và z2 là số ảo.
2. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z − 2− 2i| và z − 2i
z − 2 là số thuần ảo.
3. Tìm số phức z thỏa mãn |z + 1− 2i| = |z + 3 + 4i| và z − 2i
z + i
là một số ảo.
4. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = 5 và z + 7i
z + 1
là số thực.
3
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
DẠNG 5. TÌM TẬP HỢP SỐ PHỨC z TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Oxy
Bài 1. Số phức z chạy trên đường thẳng.
1. Tìm tất cả các số phức z sao cho (z − 2) (z + i) là số thực.
2. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa
điều kiện |z| = |z¯ − 3 + 4i|.
3. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho
z + i
z + i
là
một số thực.
4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện
∣∣∣∣ z + iz − 3i
∣∣∣∣ = 1.
Bài 2. Số phức z chạy trên đường tròn.
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện |z − (3− 4i)| = 2.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện |z − i| = |(1 + i) z|.
3. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ phức biểu diễn cho số phức z
thỏa mãn (2− z) (z + i) là số thuần ảo.
4. Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| =
∣∣∣∣1z
∣∣∣∣.
5. Tìm các điểm biểu diễn số phức z sao cho
∣∣∣∣z + 1z
∣∣∣∣ = 2 (*).
Bài 3. Tìm tập hợp số phức z′ thông qua điều kiện cho trước của số phức z.
1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức
z′ = (1 + i
√
3)z + 2 biết rằng số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2.
2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức
z′ = (1 + i
√
3)z + 2 biết rằng số phức z thỏa mãn |z − 1| ≤ 2.
3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức
z′ = (1 + 2i)z +
√
3 với
∣∣∣z +√3∣∣∣2 = 2zz
5
.
4. Trong mặt phẳng phức Oxy xác định tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
z′ = (1 + i)z + 1 biết rằng |z − 1| ≤ 1.
Bài 4. Số phức z chạy trên Elip. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu
diễn số phức z thỏa mãn điều kiện.
1. |z − 2|+ |z + 2| = 5.
2. |z + i|+ 2 |z − i| = 4.
3. |z − i + 1|+ |z + i− 1| = 9.
4
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
DẠNG 6. TÌM SỐ PHỨC z CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
Bài 1. Số phức z chạy trên đường thẳng, tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
1. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − i| = |z − 2− 3i|, hãy tìm số phức z
có môđun nhỏ nhất.
2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |iz − 3| = |z − 2− i|, hãy tìm số phức có
|z| nhỏ nhất.
3. Tìm số phức z thỏa mãn (z − 1) (z + 2i) là số thực và |z| nhỏ nhất.
4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − i| = |z + 1|, hãy tìm số phức có
|z − (3− 2i)| nhỏ nhất.
Bài 2*. Số phức z chạy trên đường tròn, tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
1. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 2 + 2i| = 2√2, hãy tìm số phức có
|z| nhỏ nhất ; lớn nhất.
2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
∣∣∣∣(1 + i) z1− i + 2
∣∣∣∣ = 1, hãy tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất ; lớn nhất.
3. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 2 + 2i| = 1, hãy tìm số phức có
môđun nhỏ nhất ; lớn nhất.
4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 2− 4i| = √5, hãy tìm số phức có
môđun nhỏ nhất ; lớn nhất.
5. Trong mặt phẳng phức, gọiM là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 2− 3i| =√
5, và điểm A(4;−1). Hãy tìm số phức z sao cho MA nhỏ nhất ; lớn nhất.
6. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn log 1
3
( |z − 3 + 4i|+ 1
2 |z − 3 + 4i|+ 8
)
= 1, hãy tìm
số phức có môđun nhỏ nhất ; lớn nhất.
7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z + i| = |z − 2 + i| và zz ≤ 5. Tìm môđun
nhỏ nhất ; lớn nhất của |z − 5|.
Bài 3*. Xét số phức z =
i−m
1−m (m− 2i) ,m ∈ R. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất.
DẠNG 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - ỨNG DỤNG VI-ET
Bài 1. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.
1. Giải phương trình : 8z2 − 4z + 1 = 0 trên tập số phức.
2. Giải phương trình : z2 − 4z + 7 = 0 trên tập số phức.
3. Giải phương trình : x2 − 4x + 7 = 0 trên tập số phức.
4. Giải phương trình : 3x2 − 2x + 1 trên tập số phức.
5. Giải phương trình : 2y2 − 5y + 4 = 0 trên tập số phức.
6. Giải phương trình : y2 + 5y + 6 trên tập số phức.
5
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài 2. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z
2 + 4z+ 20 = 0. Tính giá trị các
biểu thức.
1. A = |z1|2 + |z2|2.
2. B =
z21 + z
2
2
|z1|2 + |z2|2
.
3. C =
|z1|2 + |z2|2
(z1 + z2)
2012 .
4. D = |z1|4 + |z2|4.
Bài tập rèn luyện, như các câu hỏi bài trên với phương trình 2z2 − 4z + 11 = 0.
Bài 3. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z
2 − (1 + i√2) z + 2 − 3i = 0.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau.
1. A = z21 + z
2
2 .
2. B = z21z2 + z1z
2
2 .
3. C = z31 + z
3
2 .
4. D = z31z2 + z1z
3
2 .
5. E =
z1
z2
+
z2
z1
.
6. F = z1
(
1
z2
+
2
z1
)
+ z2
(
1
z1
+
2
z2
)
.
Bài 4*. Cho số phức z là nghiệm của phương trình z2 + z + 1 = 0. Rút gọn biểu thức
P =
(
z +
1
z
)2
+
(
z2 +
1
z2
)2
+
(
z3 +
1
z3
)2
+
(
z4 +
1
z4
)2
.
Bài 5. Tính căn bậc hai của các số phức : 24 + 70i ; −63− 16i ; −56− 90i và 72 + 54i.
Bài 6. Giải phương trình bậc hai với hệ số phức.
1. z2 + 3(1 + i)z − 6− 13i = 0.
2. z2 − 8(1− i)z + 63− 16i = 0.
Bài 7. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng −1−2i và tích của chúng bằng 1 + 7i.
Bài 8. Trên tập số phức cho phương trình z2 + az + i = 0. Tìm a để phương trình trên
có tổng các bình phương của hai nghiệm bằng −4i.
Bài 9. Tìm a, b ∈ R để phương trình z2 + az + b = 0 có nhận số phức z = 1 + i làm
nghiệm.
Bài 10. Tìm m ∈ R để phương trình 2z2 + 2 (m− 1) z+ 2m+ 1 = 0 có hai nghiệm phân
biệt z1, z2 ∈ C thỏa mãn |z1|+ |z2| =
√
10.
6
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
DẠNG 8. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc hai. Tìm z, biết
1. z2 + z = 0.
2. z2 + |z| = 0.
3. z2 = |z|2 + z.
4.
2 + i
1− iz =
−1 + 3i
2 + i
.
5. z − (2 + 3i)z = 1− 9i.
6. |z| − z = 1
2
+ i.
7. z +
25
z
= 8− 6i.
8. z |z| − 3z − i = 0.
9. z − 5 + i
√
3
z
− 1 = 0.
10. z2 =
(1− i)10(√3 + i)5(−1− i√3)10 .
Bài 2. Phương trình bậc ba.Tìm z, biết
1. z3 − 8 = 0.
2. z3 + 27 = 0.
3. z3 − 1 = 0
4. z3 − i = 0.
5. z3 + i = 0.
6.
(
z + i
i− z
)3
= 1.
7. z3 − 2 (1 + i) z2 + 3iz + 1− i = 0.
8. z3− 2(1 + i)z2 + 4(1 + i)z− 8i = 0, biết phương trình có một nghiệm thuần ảo.
9. z3− (5+ i)z2 +4(i−1)z−12+12i = 0, biết phương trình có một nghiệm thực.
10. Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn z3 + (2− i)z2 + 2(1− i)z−2i = (z−ai)(z2 +
bz + c). Từ đó, hãy giải phương trình z3 + (2− i)z2 + 2(1− i)z − 2i = 0.
Bài 3. Phương trình bậc bốn.Tìm z, biết
1. z4 + 16 = 0.
2. z4 − 16 = 0.
3.
(
z + i
z − i
)4
= 1.
4. z4 − z3 + 6z2 − 8z − 16 = 0.
5. z4 − z3 + z
2
2
+ z + 1 = 0.
7
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
6. Tìm các số thực a, b thỏa mãn z4−4z2−16z−16 = (z2 − 2z − 4) (z2 + az + b).
Từ đó, hãy giải phương trình z4 − 4z2 − 16z − 16 = 0.
7. (z2 + 3z + 6)
2
+ 2z (z2 + 3z + 6)− 3z2 = 0.
8. (z2 − z)(z + 3)(z + 2) = 10.
9. (z + 1)4 + 2(z + 1)2 + (z + 4)2 + 1 = 0.
10. Gọi z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm của phương trình z
4− 2z3 + 6z2− 8z+ 8 = 0.
Tính tổng
1
z41
+
1
z42
+
1
z43
+
1
z44
.
DẠNG 9. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các hệ phương trình.
1.
{
z1 + z2 = 4 + i
z21 + z
2
2 = 5− 2i
2.
{
z1z2 = −5− 5i
z21 + z
2
2 = −5 + 2i
3.
{
z1 + z2 = 2i
z21 + z
2
2 + 4z1z2 = 0
4.
{
z21 − z2 + 1 = 0
z22 − z1 + 1 = 0
5.
z1z2 =
1
2
z1 + 2z2 =
√
3
6.
z1 − z2 = 2− 2i1
z2
− 1
z1
=
1
5
− 3
5
i
7.
z1 + z2 = 3− i1
z1
+
1
z2
=
3 + i
5
Bài 2. Giải các hệ phương trình.
1.
{
z − w = i
iz − w = 1
2.
{
z + w = 4 + 3i
z − iw = 3− 2i
3.
{
z − w − zw = 8
z2 + w2 = −1
4.
{
z + w = 3 (1 + i)
z3 + w3 = 9 (−1 + i)
8
www.VNMATH.com
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài 3. Giải các hệ phương trình.
1.

∣∣∣∣z − 1z − i
∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣z − 3iz + i
∣∣∣∣ = 1
2.

∣∣∣∣z − 12z − 8i
∣∣∣∣ = 53∣∣∣∣z − 4z − 8
∣∣∣∣ = 1
Bài 4. Giải các hệ phương trình.
1.
{
2 |z − i| = |z − z + 2i|∣∣z2 − (z)2∣∣ = 4
2.
{
|z − 2i| = |z|
|z − i| = |z − 1|
3.
{
(1− 2i) z + (1 + 2i) z = 6
|z|2 + 2i (z − z) + 3 = 0
——— HẾT ———
9
www.VNMATH.com