Bài tập Phương trình và bất phương trình vô tỷ

1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường: 
1/ 3 6 3;2 / 4 1 1 2 ;3/ 9 5 2 4;4 / ( 1) ( 2) ( 3)x x x x x x x x x x x x x                  
2 2 25/ 2 8 6 1 2 2;6 / ( 1) ( 2) 2 ;7 /( 1 1)( 1 1) 2x x x x x x x x x x x x               
8/ 11 11 4;9 / 2 1 2 1 2;10 / 3 4 1 8 6 1 1x x x x x x x x x x x x                    
2 2
4 1 3 20 20 2 2
11/ ;12 / 6;13/ 2 2
2 2 2 2
x x x x
x x x x xx x x x x x
   
     
      
2 2 2 2 2 25 5 1 115/ 1 1 1 1 1 1
4 4 2 2
x x x x x x x x                 
2 216/ ( ) 5 8 4 5f x x x x x       . f(x) nb’ khi 4 2 5x    và đb’ khi 
21 1
2
x

 . Pt có ngdn x = 2. 
2 2 2 2 2 2 2 217 / 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 2 0x x x x x x x x x x x x x x                      
2 2 2 22;18/ 3 7 3 2 3 5 1 3 4( 2)x x x x x x x x x              
2 2 2 2 218/ 7 5 3 2 ( 1);19 / 3 2 1( 5 1 , 0 1)x x x x x x x x x x t t t t                    
2 220/ 2 1 ( 1 1) 0 ( 1 1)( 1 1 ) 0 2x x x x x x x x x x                 . 
221/ 4 1 4 1 1( 1/ 2 1/ 2);22 / ( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2x x x VT VP x x x x x x x                  
( ) ( 6 2).( 2 1 3) ( ). ( ) 4 5f x x x x g x h x x           g(x)&h(x) đồng biến trên (5; )  f(x) đồng 
biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7. 
   23/ ( 1)(4 ) 2(4 1);24 / 1 3 4( 0);25/ 3 2 8 7 ( 4;5 6;7 )x x x x x x x x x x                 
2 2 226/ 2 3 5 2 ( 2 2);27 / 3 2 6 5 2 9 7( 5; 1)x x x x x x x x x x x                   
  2 2 2 228/ 4 3 2 3 1 1 1 (4 13) / 2;1/ 2 ;29 /( 3) 4 9( 13/ 6; 3)x x x x x x x x x x                  
2 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN 
2 2 2
2 2
2
1 1 4 4
30 / 4 ( 1 1) 4( 1 8);31/ 3 3(1 1 4 ),( 1/ 2 0)
(1 1)
x x x
x x x x x x
x xx
 
                 
 
2 2
3 3 3
2 2
12 12 1 1 2
32 / , ( 3; 2 4);33/ ( 1) 1 1 2( 5/ 4)
11 2 9
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
   
                
 
2 21 1 1 1 134 / 0 0;35/ 3 2 1 1( 2; 1)
2 ( 2) 1 1
x
x x x x x x x
x x x x
 
               
   
27 21 11 1336 / 1 4 2 1( 0);37 / 5 9 1 ; ;9 ;38/ 2 6 1 1( 0;0 2)
2 2
x x x x x x x x x x
    
                     
   

3 200139 / 3 1 2 4 3
304
x x x     . Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là  2;0 . 
2 3( 5) 540 / 3 1 6 3 14 8 0 ( 5)(3 1) 0 5
3 1 4 6 1
x x
x x x x x x x
x x
 
              
   
II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ: 
2 2 2 2 21/ 3 3 3 6 3;2 /3 15 2 5 1 2;3/ 7 4 4 ( 2)( 1;2)x x x x x x x x x x x x x t t                  
2 2 2 2 2 2 24/ 4 1 2 2 9;5/ 3 2 1;6 / 11 31x x x x x x x x x x x x                 
2 27 / 3(2 2) 2 6( 2 3;(11 3 5) / 2);7 '/ 3 2 6 2 4 4 10 3x x x x t x x x x x                 
2 2 2 2 2 2 2 28 / / 1 2 2( 1) / ( 1) 2 / 1 8 2 8 0;8'/ ( 5)(2 ) 3 3x x x x x x x x x t t x x x x                  
2 3 2 2 3 2 39/ 2 5 1 7 1( 1 0; 1 0);10 / 2( 3 2) 3 8;11/ 2( 2) 5 1x x x u x v x x x x x x x                  
2 312/ 2 4 2 4 ;13/ 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2 ( 1 3);x x x x x x x x x t x x                
2 214/ 4 4 2 2 16 12;15/ 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x x x x x               
2 2 216/ 2 3 1 3 2 2 5 3 16;17 / 4 2 3 4x x x x x x x x x             
2 2 2 2 218/(4 1) 1 2 2 1( 1 0,5;2 1);19 / 2(1 ) 2 1 2 1x x x x y x y x x x x x x                
2 2 2 2 2 220/ 3 1 ( 3) 1;21/ 5 1 ( 4) 1;22/ 17 17 9x x x x x x x x x x x x x                
3 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN 
2 2 223/ 1 1 (1 2 1 )( ,0 / 2 / 2; / 6);24 / 5 5( 5 )x x x x sint t t x x x t                 
2 3 3 323'/ 1 4 3 ,( ;0 2 / 2; 2 2 / 4);24'/ 6 6 4 4 0,( 2;1 3)x x x x cosx x x x x x                  
2 3 2 2 23 325/ 1 1;26 /3 3 ,( 3 );27 / 1 2 2 1,( 2 1 );28/(3 ) 3 ,( 3 )x x x x x t x x x t x x t x                 
3 3 3 33 3
1 2 327'/8 1 162 27 1 3 3 1 3 1 0 8 6 1 0; 2 3 1 0 ; ;x x u u u u x x x cosy cos y x x x                   
3 2 2 2 3 33 329/ (3 ) 3 3 ( 3) ,( 3 ( 3) );30 / 2 1 1,( 2 ; 1)x a a x a a t x a a x x u x v x                
3 33 3 3 3 3 331/ 7 1;32/ 1 1 2;33/ 4 3 1,( 4; 3 7)x x x x x x u x v x u v                   
3 3 32 2 23 3 3 3 3 334/ 2 1 1 3 1;35/ 2 1 16 2 1;36/ 7 8 6 7 2 13 12 3x x x x x x x x x x x x                  
2 4 4 43 3 4 4
2 1 1 3 2 1 1
37 / 2;38/ 2 4 , 1; ;39 / 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
x x u
x x u x v x x x
x x x x
  
                    
3 34 4 3 3 2 24 41 & 2;40/ 57 40 5;41/ 35 ( 35 ) 30;42/1/ 1/ 2 2,( 2 )u v u v x x x x x x x x y x                 
2 2 2 2 238'/ 2 15 32 32 20 2 15 8(2 1) 28 14 8 28; 14 14 2x x x x x u u u ku u k u k                   
2 2
6 2 2 2 23 3 343/ 1 1 1;44 / 2 ( 1) 3 1 ( 1) 0;45/ 4 1 3 2
5 5
nn n
x u v
x x x x x x x x u v
  
                 
 
233 3
2
3 3
3 3
17 5 2
46 / 6 2 ( ) 0 5 7;47 / 1 (: ; )
37 5
2
a b
ax x
x ab a b x x x t HVNa b
x x
a b

      
              
      
2 2 2 2 5 2 5 2 5 548/ 2 5 4 2 4 3,( 1 4 3 1 4 3);49 / 5 10 1 7 2 , 3; ;1
5 5
x x x x x x x x x
     
                   
   

2 2 250/ 4 (4 )(2 ) 2 12( 1 5);51/ ( 4) 4 ( 2) 2(2 3 2 3)x x x x x x x x x x x                  
3 2 2
052/( 1) ( 1) 3 1 0,( 1 2 3 /9 3 2 0, : 1)x x x x t x x t t TM n x                 
2
0
3 1 1 16 6 7 16 6 7
53/ 3 2 7, 2 3 9 0 3 : 0; ;
2 4 42 2
x x t x t t t n
xx x
     
                     
    
 
4 2 2
022 2 2
35 1225
54 / ( 1) 2 0, : (1;1,25) (5 / 3; )
12 1 1441 1 1
x x x x
x x t n
xx x x
 
           
   
4 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN 
255/ 1 3 2( 3) 2 2(*),( ( 1; 3), (1;1).(*) . . 1 3 5)x x x x u x x v u v u v x x x                  
     
256/ 1 3 2 1,( ( ;1), ( 1; 3 ) . . 1 3 1;1 2)x x x x u x v x x u v u v x x x x                 
     
3 2 2 3 2 257 / 5 1 2( 2);58 / 2( 3 2) 3( 8);59 / 2( 1) 2 1 2 1x x x x x x x x x x             
3 2 3 360 / 3 2 ( 2) 6 0;61/ 24 12 6;62 / 3(2 2) 2 6x x x x x x x x x              
2 2 2 263 / 2 2 4 3;64 / 3 1 6 3 14 8 0;65 / 2 7 10 12 20x x x x x x x x x x x x                
2 2 2 2 266 / 7 7;67 / 2 6 4 4 5;68 / 4 3 5;69 / 7 5 3 2x x x x x x x x x x x x x                
2 2 2 2 2 3 270 / ( 2) 1 2;71/ 2 2 1 1 1 ;72 / 2 1 (1 ) (1 )x x x x x x x x x x x               
2 3 3 2 2 2 3 373 / 1 1 (1 ) (1 ) 2 1 ; 1 , 1 2, ( )(2 )x x x x x u x v u v u v u v uv                   
 
2 2 2 2 2( ) 2( ) 1 2 2 / 2;74 / (3 1) 2 1 5 3 3 / 2u v u v u v x x x x x               
2 2 2 2 2 22(3 1) 2 1 4(2 1) 2 3 2 2(3 1) 4 2 3 2 ' ( 3)x x x x x x t t x x x                
275 / 5 5 / 2 2 4 1/ 2 ;76 / 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x x x x x            
III.Biện luận PT và BPT vô tỉ: 
 Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm: 
21/ 2 2 (2 )(2 ) ;( 2 2 4 2 (2 )(2 ) 2 2 2x x x x m t x x t x x t                   
22 2 4 ( ) 4 2 4;4 2 2 2;2m t t f t m             
   
2 12 / 5 1 5 6 ,(2 2 2 2);3/( 3)( 1) 4( 3) , ( 4)
3
x
x x x x m m x x x m m
x

                 

24/ 3 6 ( 3)(6 ),(3 2 4,5 3);5/ 9 9 ,( 2,25 10)x x m x x m x x x x m m                   
2 26/ 2 1 ,( 2 / 2);7 / 2 1,( 5/8);8/ 4 2,( 4 /3; 0)x x m m x m x m x mx m m m               
2 29/ 2 2( 4) 5 10 3 0( ( ) ( 1) /(2 5)x m x m x PTf x x x m            có nghiệm 3 3)x m   
2 24 410/3 1 1 2 1,( 2 3 ;0 ( 1) /( 1) 1 1 1/3)x m x x m t t t x x m                
2 2 2411/ 1 4 3 2 ( 3) 2 0,( ( ) (3 1) /( 4 );0 1 3/ 4)x m x x m x m f t t t t t m                   
3 3 212/( 1 ) (1 ) ,( 1 1; 2 ( ) ( 1) / 2 1 2 2 0,5)x x x x m t x x f t t t m m                  
 
5 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN 
2 2 4 2 2 2 2 213/ ( 1 1 2) 2 1 1 1 ,( 1 1 2 2;2 2 (5 6 ) /m x x x x x t x x m t t t                     
 
 242 1;1 );14 / ( ) 1 ,( '( ) 0 0 0;1 )f x x x m f x x m             
15/ 12 ( 5 4 ); ( ) ( 12) /( 5 4 )x x x m x x f x x x x x x            là hs đồng biến trên đoạn 
  2 20;4 2 15 4 3 12;16 / 2 2 2 1 2 4 ,( 1)m x x m x x m            
217 / 6 9 6 9 ( ) / 6; 6( 3 3) 9 ( ) 27,( 9 0)x x x x x m m t t t f t t x                  
2 218/ 2 / 3 1 ; 1 1; 2 ( 1) / 3 (1; 2 1/ 3)m x x x x t x x m t t               
 
19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: 2 23 1( ( ) ( 3) / 1)x m x m f x x x        
20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất: 2(3 1) / 2 1 2 1x x x ax     
2( (3 2) / 2 1 (3 1) / 2 ; 0a x x t t t       PT có nghiệm duy nhất với mọi a ) 
21/ Xác định theo m số nghiệm của PT: 4 4 4 44 44 4 6,( 4 2 16 4x x m x x m x x m m x x              
KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm. 
22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn   2 3 21/ 2;1 : ( ) 3 1 2 2 1f x x x x m       . 
2 3 2
3 3 4 3 3 22
'( ) 1 4
21 2 1
x
f x x m m
x x x
   
              
23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 32 2 1 3 4 2x mx x x    
2 3 2 3
3
2 1 3 4 2 (2 1)( 4 2 3 ) 2 3 2
( ) '( )
2 9 / 42 4 2
x x x x x x x m
m f x f x
x mx x x
        
          
24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 8 ( 2)x x m x    
2
0( : 2; 2 ( ) ( 2)( 4) '( ) 3 ( 4) 0n x x m f x x x f x x x           nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và 2 2)x  
25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn: 341 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m       
- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm  0;1a thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì 
a = 1-a 31/ 2 2 2 0; 1a m m m         
- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT. 
6 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN 
26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi   21;1 : 1 ,( 2)x x x m m      
27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm: 3 1mx x m    
2
3 1 1 3 1 3 1
( ) 0;
1 2 4 4
x t
m f t m
x t
      
             
28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi   2 2 20;1 : ( 1) 2 4x x m x x      
2 2( 2 0; 3 ( ) 3 3;3,25 3)t x x m f t t t m              
   
29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x: 22 7a x x a   
2
21 21 21
( ) ;
6 6 62 7 1
x
a f x a
x
  
              
30/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi   24;6 : ( 4)(6 ) 2 ;( 6)x x x x x m m        
31/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi   22;4 : 4 ( 2)(4 ) 2 18;( 10)x x x x x m m          
32/ Tìm các giá trị của m để PT sau có một số lẻ nghiệm: 2 4 23 1 1x x m x x     
2 4 2 2 2 4 2 3/ 2( ) ( 3 1) / 1 '( ) ( 1)(3 3) /( 1) 3 /3;5 3 /3m f x x x x x f x x x x x x m                
-------------------- // --------------------