Bài tập ôn Lượng giác

Bài 1.
Cho tam giác ABC có các góc A, B, C và các cạnh tương ứng a, b, c. Chứng minh:
sin(A+B) = sinC
cos(A+B) = - cosC
tan(A+B) =- tanC
sin = cos
cos = sin
tan= cot
a = b.cosC + c.cosB
a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC 
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
 S = pr = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB. 
(p là nửa chu vi, r là bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC).
sinA + sinB + sinC = 4
cosA + cosB + cosC = 1 + 4
sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
cos2A + cos2B + cos2C = - 1 - 4cosA.cosB.cosC
sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosA.cosB.cosC
cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ( tam giác ABC không vuông)
cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.
Bài 3. 
Chøng minh 
tana + cota = 
cota – tana = 2cot2a
sinx + cosx = sin=cos
sinx – cosx = sin= - cos
sinx + cosx = 2sin= 2cos 
sinx - cosx = 2sin= - 2cos
sina.sin
cosa.cos
cos2a + cos2 + cos2
sin2 
Bµi 4. TÝnh (kh«ng dïng b¶ng sè hay m¸y tÝnh) 
A = cos
B = cos
C = sin6o.sin42osin66osin78o
D = cos10ocos50ocos70o
E = 
F = 8(sin318o + sin218o)
Bµi 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
	P = sin2A + sin2B - sin2C, víi A, B, C lµ ba gãc cña tam gi¸c. 
Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C. 
BiÕt (sinB + sinC)sin2A = (sin2B + sin2C)sinA. Chøng minh cosB + cosC = 1.
Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C. Chøng minh r»ng nÕu: 
sin2A + sin2B = 4sinAsinB th× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C.
 th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A. 
Bµi 8. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C. Chøng minh:
	a) cosA + cosB + cosC sin
b) sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC)
Bµi 9. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C, ®­êng cao AH. Gäi p, p1, p2 lÇn l­ît lµ nöa chu vi cña c¸c tam gi¸c ABC, ABH, ACH. Chøng minh nÕu p2 = p12 + p22 th× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A.
Bµi 10. 
a) Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
cos2A + 2cosB + 2cosC = 3. TÝnh ba gãc cña tam gi¸c.
b) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C tho¶ m·n cos2A + cos2B + cos2C -1. Chøng minh sinA + sinB + sinC 1 + .
Bµi 11. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c sau:
sin4x + cos4x = cos2x
2sin2
tanx – 6cotx + 2 - 3 = 0
2sin2x – 5sinx.cosx – cos2x = -2
cos2x – sin2x = 1
sin=1 – sin2x
3(sinx + cosx) – 2sin2x +2 – 3 = 0
3tan2x - - 5 = 0
(2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
4cos3x + 3sin2x = 8cosx
4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx - 1)
tanx – tan3x = 2sin2x
 cotx – tanx + 4sin2x = 
cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
sinx + cosx – sin2x = 1 + cos2x
2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
cos3x – 4sin3x – 3sin2x.cosx + sinx = 0
1+tan2x = 
sin3x +sin2x = 5sinx
sinx + cosx = 2cos3x
2(1-sin2x) – 5(sinx - cosx) + 3 = 0 
cotx = tanx + 
sin3x – cos3x = cos2x.
8sinx = 
tan tan.sin3x = sinx + sin2x
(cos+sin)2 + cosx = 2
cos23x.cos2x – cos2x = 0
 5sin3x = 3sin5x
tan2x - tanx.tan3x = 2
sinxcos4x - sin22x = 4sin2 
8cos3= cos3x
4sin22x + sin26x - 4sin2xsin26x = 0
(1+cosx)(1+cos2x)(1+cos3x) = 
sin2008x + cos2009x = 1
tan2x = 
sin5x + cos5x = 2 - sin4x
Bµi 12. Cho ph­¬ng tr×nh:	cos2x +(2m+1)sinx + m = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1.
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm thuéc ®o¹n [0; ].
Bµi 13. T×m mäi nghiÖm n»m trong kho¶ng (-;) cña ph­¬ng tr×nh: 
	. HD sin3x = 3sinx – 4sin3x
Bµi 14. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh: 2m(cosx + sinx) = 2m2 + cosx - sinx + 
Bµi 15. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
	(m+1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1.
Bµi 16. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã ®óng hai nghiÖm thuéc [0; ].
Bµi 17. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: (2sinx -1)(2cos2x + 2sinx +m) = 3 - 4cos2x cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt thuéc [ 0 ; ] .
Bµi 18. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mçi biÓu thøc sau:
 A = 
 B = sin2x + sin4y + sin6z khi sinx + siny + sinz = 0.