Bài tập khối đa diện nâng cao

KHỐI ĐA DIỆN
Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. biết SH vuông góc với mp (ABCD) và . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 
	(Trích đề thi đại học khối A – 2010)
ĐS: ; 
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
(Trích đề thi đại học khối B – 2010)
ĐS: ; 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
(Trích đề thi đại học khối D – 2010)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
(Trích đề thi đại học khối A – 2009)
ĐS: 
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
(Trích đề thi đại học khối B – 2009)
ĐS: 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).	
(Trích đề thi đại học khối D – 2009)
ĐS: ; d(A,IBC) 
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.
(Trích đề thi đại học khối A – 2008)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
(Trích đề thi đại học khối B – 2008)
ĐS: 
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
(Trích đề thi đại học khối D – 2008)
ĐS: .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
(Trích đề thi C Đ – 2009)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = BC = 2a. hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm E của AB, SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho góc và H là hình chiếu vuông góc của S lên MC. Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, và tìm để thể tích đó lớn nhất.
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – A)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của AD và (SMN). Chứng minh rằng và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.
( Trích đề dự bị 2 - 2008 – A)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh = a, . Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – B)
Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC, ABD là các tam giác đều cạnh = a, các mặt ACD, BCD vuông góc nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
( Trích đề dự bị 2 - 2008 – B)
Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mp (MNP) cắt AD tại Q. tính tỉ số và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp (MNP).
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – D)
ĐS: ; 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK.
	( Trích đề dự bị 2 - 2008 – D).
	ĐS: 	
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD).
( Trích đề thi ĐH 2007 – D)
ĐS: 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
( Trích đề thi ĐH 2007 – B)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
( Trích đề thi ĐH 2007 – A)
ĐS: 
Cho lăng trụ đứng có AB = a, AC = 2a, và . Gọi M là trung điểm cạnh CC1. Chứng minh và tính .
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – A)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABC có góc giữa (SBC) và (ABC) là 60o; ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
( Trích đề dự bị 2 - 2007 – A)
ĐS: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, đáy. Cho . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh và tính thể tích khối chóp OAHK.
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – B)
ĐS: .
Trong mp (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy S sao cho góc giữa (SAB) và (SBC) là 60o. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích của khối chóp S.ABC.
(Trích đề dự bị 2 - 2007 – B)
ĐS: .
Cho lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích khối chóp .
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – D)
ĐS: 
Cho lăng trụ đứng có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh và tính .
( Trích đề dự bị 2 - 2007 – D).
ĐS: .
Cho hình hộp ñöùng ABCD. A′B′C′D′ coù caùc caïnh AB = AD = a,vaø . Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåmcuûa caùc caïnh A′D′ vaø A′B′ . Chöùng minh . Tính theå tích khoái choùp A.BDMN.
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – A).
ĐS: .
Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = 2a, caïnh ñaùy, caïnh SB taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 600. Treân caïnh SA laáy ñieåm M sao cho . Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi N. Tính theå tích khoái choùp S.BCNM.
( Trích đề dự bị 2 - 2006 – A)
ĐS: 
Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, , đáy, SA = a. Goïi C’ laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) ñi qua AC’ vaø song song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD cuûa hình choùp laàn löôït taïi B’,D’ . Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AB’C’D’.
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – B)
ĐS: 
Cho hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù A’.ABC laø hình choùp tam giaùc ñeàu, caïnh ñaùy AB = a, caïnh beân AA’ = b. Goïi α laø goùc giöõa 2 mp (ABC) vaø ( A’BC). Tính tgα vaø theå tích khoái choùp A’BB’C’C.
( Trích đề dự bị 2 - 2006 – B)
ĐS: và .
Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a. Goïi SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp. Khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa SH ñeán mp beân (SBC) baèng b. Tính theå tích khoái choùp S.ABCD. 
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – D).
ĐS: .
Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a vaø ñieåm K thuoäc caïnh CC’ sao cho . Maët phaúng (α ) ñi qua A, K vaø song song vôùi BD, chia khoái laäp phöông thaønh hai khoái ña dieän. Tính theå tích cuûa hai khoái ña dieän ñoù.
( Trích đề dự bị 2 - 2006 – D).
ĐS: .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy = a, chiều cao = a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK.
ĐS: .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh = . Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB, AC . Tính thể tích khối chóp S.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó .
ĐS: .