Bài tập khảo sát hàm số - Nguyễn Văn Xá

Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
1.BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ 
A. BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ðA THỨC BẬC BA 
1. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 21(C) y x x .
3
= − b) Viết PTTT của (C) bíêt tiếp tuyến ñi qua A(3;0). 
2. Cho 3 2 3(C) y x 3mx 4m .= − + a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1. 
b) Tìm m ñể hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x. 
3. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
3 2– x 3x m 0.+ − = 
4. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = 2x3 + 3x2 – 1 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
+ + = 3 22x 3x log m 0. 
5. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 6x 9x 1.= − + − 
b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(2;1) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. 
6. Cho 3 21(C) y x mx (2m 1)x m 2.
3
= − + − − + a) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (C) luôn ñi qua với mọi m. 
b) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 2. 
c) Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị có hoành ñộ dương. 
7. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 3x 1.= − + + 
b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(–1;5) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. 
8. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x mx m= − + + khi m = 3. 
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) ñã cho tiếp xúc với trục hoành. 
9. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2 và viết PTTT của ñồ thị biết tiếp tuyến vuông góc với 
ñường thẳng xy 2.
9
= − + 
10. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 22 8y x – x 4x (C)
3 3
= − + và viết PTTT của ñồ thị biết tiếp tuyến 
song song với ñường thẳng 4x y 0.+ = 
b) Tìm m ñể 8(d) y mx
3
= + cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. 
11. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3y x 3x 1= − − và viết PTTT của ñồ thị biết tiếp tuyến song song với 
ñường thẳng y 9x 1.= − 
12. Cho 3 2(C) y x (2m 1)x (m 1)x m 1.= − + + − + + a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ cùng dấu. 
13. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 3x 2= − + và viết PTTT của (C) bíêt tiếp tuyến ñi qua A(2;–7). 
14. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x2 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
- 
3 2x 3x 1 2m 0.+ − = 
15. Cho 3 2(C) y x mx x 1.= − + + a) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. 
b) Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (1; 2). c) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = – 2. 
16. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = – x3 + 3x2 – 4 và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
- 
3 2x 3x 5 m 0.+ − = 
b) Tìm M (C)∈ sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất. Viết PPTT ñó. 
17. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 3x 4.= − + 
b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(1;2) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt A, M, 
N sao cho A là trung ñiểm của MN. 
1
1
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
18. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x (2m 1)x (2 m)x 2= − − + − + khi m = 2. 
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) ñã cho có 2 ñiểm cực trị có hoành ñộ dương. 
19. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x 3x 2.= − + 
b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(3;10) và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. 
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình − = −3 3x 3x m 3m. 
20. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 3mx 9x 1= − + + khi m = 2. 
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) ñã cho có ñiểm uốn thuộc ñường thẳng y = x + 1. 
21. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 21 m 1(C) y x x
3 2 3
= − + khi m = 2. 
b) Cho MM (C), x 1.∈ = − Tìm m ñể tiếp tuyến của (C) tại M song song với ñường thẳng 5x – y = 0. 
22. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y 4x 6x 1= − + và viết PTTT của (C) kẻ từ ñiểm A(–1;–9). 
23. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2 2 2(C) y x 3x 3(m 1)x 3m 1= − + + − − − khi m = 1. 
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) có hai ñiểm cực trị cách ñều gốc toạ ñộ O. 
24. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 21(C) y x 2x 3x
3
= − + và chứng minh tiếp tuyến của (C) tại ñiểm uốn 
có hệ số góc nhỏ nhất. Viết PTTT ñó. 
25. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 3x m= − + khi m = 2. 
b) Tìm m ñể trên ñồ thị hàm số (C) ñã cho tồn tại hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua toạ ñộ O. 
26. a) Khảo sát, vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y 2x 9x 12x 4= − + − và viết PTTT của ñồ thị (C) tại tâm ñối xứng 
của (C). 
b) Tìm m ñể phương trình 3 22 | x | 9x 12 | x | m− + = có 6 nghiệm phân biệt. 
27. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2 2 3 2(C) y x 3mx 3(1 m )x m m= − + + − + − khi m = 1. 
b) Tìm k ñể phương trình 3 2 3 2x 3x k 3k 0− + + − = có 3 nghiệm phân biệt. 
c) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại và cực tiểu, viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó. 
28. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 21 3(C) y x x 5
4 2
= − + và tìm m ñể PT 3 2x 6x m 0− + = có 3 nghiệm 
phân biệt. 
29. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 2x (1 m)x m= − + − + khi m = 1. 
b) Tìm k ñể phương trình 3 2sin x 2 sin x k− = có nghiệm. 
c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 thoả mãn 2 2 21 2 3x x x 4.+ + < 
d) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
30. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x mx 2= + + khi m = – 3. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại ñúng 1 ñiểm. 
31. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 21 2(C) y x mx x m
3 3
= − − + + khi m = 0. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 thoả mãn 2 2 21 2 3x x x 15.+ + > 
32. a) Tìm m ñể M(–1;2) là ñiểm uốn của ñồ thị hàm số 3 2(C) y mx 3mx 4= + + . Với m vừa tìm ñược 
hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt. 
33. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2 2(C) y x 3mx (m 2m 3)x 4= − + + − + khi m = 1. 
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) có hai ñiểm cực trị nằm ở hai phía trục tung. 
34. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x mx (2m 1)x m 2= − + + − − khi m = 0. 
b) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (C) luôn ñi qua với mọi m. 
2
2
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương. 
35. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2 2(C) y x 3(m 1)x 2(m 7m 2)x 2m(m 2)= − + + + + − + khi m = 0. 
b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; viết PT ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó. 
c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x 1.≥ 
36. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x mx 4= − + − khi m = 0. 
b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; tìm toạ ñộ hai ñiểm cực trị ñó và tìm quĩ tích trung ñiểm I của 
ñoạn thẳng nối ñiểm cực ñại với ñiểm cực tiểu. 
37. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3y x 3x (C)= − và trên ñường thẳng y = 2 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 
tiếp tuyến tới (C). 
38. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x 3x 1= − + và viết PTTT của (C) kẻ từ ñiểm 2A( ;3).
3
− 
b) Tìm m ñể phương trình 3 mx 3x 6 2 0−− + − = có 3 nghiệm phân biệt. 
39. a) Chứng minh rằng ñồ thị 3(C) y (m 1)x (2m 1)x m 1= + − + − + luôn ñi qua ba ñiểm cố ñịnh thẳng 
hàng bất chấp mọi giá trị của tham số m. 
b) Tìm m ñể ñồ thị (C) có tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ñi qua ba ñiểm cố ñịnh nói trên. 
40. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x 3mx 3m 2= − + − khi m = 1. 
b) Chứng minh tiếp tuyến của (C) tại tâm ñối xứng của (C) là ñường thẳng luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. 
41. a) Tìm m ñể hàm số 3 2 2(C) y x 3mx 3(m 1)x m= − + − + ñạt cực tiểu tại x = 2. Với m vừa tìm ñược 
hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. 
b) Viết PTTT của ñồ thị hàm số ở câu a biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(0;6). 
42. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 3x mx 1= + + + khi m = 3 
b) Chứng minh (C) luôn cắt 3 2(C ') y x 2x 7= + + tại hai ñiểm phân biệt A, B. Tìm quĩ tích trung ñiểm I 
của ñoạn AB. 
c) Tìm m ñể (C) cắt ñường thẳng y = 1 tại 3 ñiểm phân biệt D, E, F(0;1) sao cho tiếp tuyến của (C) tại D 
và E vuông góc với nhau. 
43. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x (m 1)x m= + − − khi m = 4. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt. 
44. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 21 11(C) y x x 3x .
3 3
= − + + − 
b) Tìm trên ñồ thị (C) cặp hai ñiểm M, N ñối xứng với nhau qua Oy. 
45. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x (1 2m)x (2 m)x m 2= + − + − + + khi m = 2. 
b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu, và xCT > 1. 
46. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y 3x x= − và tìm m ñể PT 2sin x.cos x 2 sin x m 0+ − = có 
nghiệm. 
47. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x 3x.= − 
b) Tìm m ñể ñường thẳng y = mx + m + 2 cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt A, B, I(–1;2) sao cho tiếp tuyến 
của (C) tại A và B vuông góc với nhau. 
c) Biện luân theo k số nghiệm của phương trình − =3x 3x 2k. 
48. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 6x 9x= − + và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
3 2| x | 6x 9 | x | 3 m 0.− + − + = 
49. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 3 2 2 3 2y x (2m 1)x (m 3m 1)x 2m 2m= − + − − − + − cắt ñường phân giác của góc 
phần tư thứ nhất tại ba ñiểm phân biệt có tung ñộ lập thành cấp số nhân. 
50. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2 33 1(C) y x mx m
2 3
= − + khi m = 1. 
3
3
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
b) Tìm m ñể ñiểm cực ñại và cực tiểu của (C) ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x. 
c) Tìm m ñể ñường thẳng y = x cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt M, N, P theo thứ tự, và MN = NP. 
51. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1= − + + + + ứng với m = 1. Khi 
ñó hãy tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ tới ñồ thị (C) 3 tiếp tuyến trong ñó có 2 tiếp 
tuyến vuông góc với nhau. 
b) Chứng minh với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị và hình chiếu của hai ñiểm cực 
trị ñó trên Ox là hai ñiểm có khoảng cách không ñổi. 
c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – 5. 
d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16. 
e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi. 
f) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số ñã cho. 
52. Tìm m ñể hàm số 3 21y (m 1)x (2m 1)x 3(2m 1)x 1
3
= + − − + − + 
a) Nghịch biến trên .ℝ 
b) Nghịch trên khoảng ( ; 1).−∞ − 
c) ðồng biến trên khoảng (1; ).+∞ 
d) ðồng biến trên ñoạn [ 1;1].− 
53. Tìm m ñể hàm số 3 2 21y x mx (m m 1)x 1
3
= − + − + + 
a) Có cực trị trên khoảng ( ;1).−∞ 
b) Có cực trị trên khoảng (1; ).+∞ 
c) Có hai cực trị 1 2x , x thoả mãn 1 2x 1 x .< < 
d) Có hai cực trị 1 2x , x thoả mãn 1 21 x x .< < 
e) Có hai cực trị 1 2x , x thoả mãn 1 2x x 1.< < 
B. BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ðA THỨC BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG 
54. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 2y x x 1 (C).= − + 
b) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ñúng 3 tiếp tuyến tới ñồ thị (C). 
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2x x 2m 0.− + = 
d) Tính diệ ...  ñi qua ñiểm A( 2;0). 
b) Tìm m ñể hàm số có 3 ñiểm cực trị. 
57. Cho 4 2y x 4x +m (C).= − a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 3. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt, trong ñó hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox có diện tích 
phần bên trên Ox và phần bên dưới Ox bằng nhau. 
58. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 2y x 5x 4.= − + − 
b) Tìm m ñể phương trình 4 2 2x 5x m m 3 0− − + = có 4 nghiệm phân biệt. 
59. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 2y x 5x 4.= − + 
b) Tìm m ñể parabol 2 2y x m= + tiếp xúc với ñồ thị hàm số ñã cho. Khi ñó hãy tìm toạ ñộ tiếp ñiểm. 
c) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 4 2x 5x 4 k.− + = 
60. Cho 4 2y x 2x + 2 - m (C).= − a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 0. 
b) Tìm m ñể (C) và Ox có ñúng 2 ñiểm chung. 
4
4
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
61. Cho 4 2y mx (m 1)x + 1 - 2m (C).= + − a) Khi 1m ,
2
= khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, viết phương trình 
tiếp tuyến của ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua gốc toạ ñộ O. 
b) Tìm m ñể hàm số chỉ có một ñiểm cực trị. 
62. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 21 9y x 2x .
4 4
= − − 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại giao ñiểm của ñồ thị với Ox. 
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2 mx 8x 9 2 .− − = 
63. Cho 4 2y x mx - (m + 1) (C).= + a) Khi m 1,= khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. 
b) Tìm các ñiểm cố ñịnh mà ñồ thị hàm số luôn ñi qua với mọi m. 
c) Gọi A là ñiểm cố ñịnh có hoành ñộ dương mà ñồ thị (C) luôn ñi qua. Tìm m ñể tiếp tuyến của (C) tại 
A là ñường thẳng song song với (d) : y 2x.= 
64. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 4 2y x 2(m 1)x m= − + + có 3 ñiểm cực trị A, B, C sao cho A Oy∈ , OA = BC. 
65. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 4 21y x (3m 1)x 2(m 1)
4
= − + + + có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác ñều. 
66. Tìm m ñể hàm số 4 2y x mx= + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0. 
C. BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT 
67. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C)
x 2
+
=
−
, viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến ñi 
qua ñiểm A(-6; 5). 
b) Tìm trên ñồ thị hàm số những ñiểm cách ñều hai trục toạ ñộ. 
c) Vẽ ñồ thị x 2(C ') : y .
x 2
+
=
−
68. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số xy (C)
1 x
=
+
, viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến có 
hệ số góc bằng 1. 
b) Gọi I là giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C). Chứng minh I là tâm ñối xứng của (C). Chứng minh 
không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua I. 
c) Chứng minh rằng a b a b , a, b .
1 a b 1 a b
+ +
≤ ∀ ∈
+ + + +
ℝ 
69. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C)
x 3
+
=
−
, viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến 
song song với ñường thẳng 15x + 12y + 8 = 0. 
b) Tìm những ñiểm trên (C) mà cách ñều hai ñường tiệm cận của (C). 
c) Vẽ ñồ thị x 2(C ') : y .
x 3
+
=
−
d) Tìm 2 ñiểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài AB nhỏ nhất. 
70. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 4y (C).
x 1
− −
=
+
b) Biện luận theo m số giao ñiểm của (C) và d : y x m.= + Trong trường hợp (C) cắt d tại hai ñiểm phân 
biệt A, B, hãy tìm quĩ tích trung ñiểm của ñoạn AB. 
c) Vẽ ñồ thị 2 x 4(C ') : y .
x 1
− −
=
+
d) Tìm 2 ñiểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài MN nhỏ nhất. 
71. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(x 1)y (C).
x 2
+
=
−
b) Tìm trên (C) những ñiểm có toạ ñộ nguyên. 
5
5
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm O. 
d) Vẽ ñồ thị 3(x 1)(C ') : y .
x 2
+
=
−
72. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3x 1y (C).
x 3
+
=
−
b) Tìm một hàm số mà ñồ thị (C’) của nó ñối xứng với (C) qua ñường thẳng x + y – 3 = 0. 
c) Gọi M là ñiểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai ñường tiệm cận của (C) ở A, B. Chứng 
minh M là trung ñiểm của AB và tam giác tại bởi tiếp tuyến nói trên với hai ñường tiệm cận của (C) có 
diện tích không ñổi. 
73. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C).
x 1
+
=
−
b) Cho A(0;a). Tìm a ñể từ A kẻ ñựơc 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2 phía Ox. 
c) Vẽ ñồ thị x 2(C ') : y .
x 1
+
=
−
74. Cho mx 1y (C).
x 2m 1
−
=
− +
 a) Với m = 0 hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. 
b) Vẽ ñồ thị 1(C ') : y .
x 1
−
=
+
c) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng của (C). 
75. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C).
x
+
= 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác cân. Khi ñó 
hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến ñó và hai ñường tiệm cận của (C). 
c) Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng 
cách từ I tới tiếp tuyến ñó là lớn nhất. 
76. Cho 
2(2m 1)x my (C).
x 1
− −
=
−
 a) Với m = - 1 hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi ñồ thị hàm số với các trục toạ ñộ. 
b) Tìm m ñể (C) tiếp xúc với ñường thẳng y = x. 
77. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x(C) : y .
x 2
=
−
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai ñường tiệm cận của (C) một tam giác 
có chu vi lớn nhất, và khi ñó tính chu vi, diện tích của tam giác nói trên. 
78. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
−
=
−
b) Gọi I là tâm ñối xứng của (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M sao cho tiếp tuyến ñó vuông 
góc với IM. 
79. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 3(C) : y .
x 1
+
=
−
b) Gọi I là tâm ñối xứng của (C). Gọi M là ñiểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai ñường 
tiệm cận của (C) ở A, B. Chứng minh M cách ñều 3 ñiểm I, A, B. 
c) Vẽ ñồ thị x 3(C ') : y .
x 1
+
=
−
80. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 3(C) : y .
x 2
+
=
+
b) Chứng minh với mọi m ñường thẳng 1d : y x m
2
= − luôn cắt (C) ở 2 ñiểm phân biệt A, B. Tìm m ñể 
ñộ dài AB nhỏ nhất. 
c) Vẽ ñồ thị 1(C ') : y 1 .
x 2
= +
+
6
6
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
81. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 1(C) : y .
x 1
+
=
−
b) Chứng minh : y x∆ = là một trục ñối xứng của (C). 
c) Tìm m ñể d : y 2x m= + cắt (C) ở 2 ñiểm A, B mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. 
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ I(1; 1) tới tiếp tuyến là lớn nhất. 
e) Tìm M (C)∈ sao cho ñoạn IM nhỏ nhất. 
82. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 1(C) : y .
x 1
−
=
+
b) Lấy tuỳ ý M (C)∈ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ M tới hai ñường tiệm cận của (C). 
c) Tìm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C) và ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất. 
83. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
−
=
+
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những ñiểm có toạ ñộ nguyên thuộc (C). 
c) Gọi I là tâm ñối xứng của (C). Tìm M (C)∈ mà tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. 
84. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x(C) : y .
x 1
=
+
b) Tìm M (C)∈ ñể khoảng cách từ M tới : 3x 4y 0∆ + = bằng 1. 
85. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x(C) : y .
x 1
=
+
b) Tìm M (C)∈ biết tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác có diện tích bằng 0,25. 
86. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2(C) : y .
2x 3
+
=
+
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những ñiểm có toạ ñộ nguyên thuộc (C). 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB 
có AB OA. 2= . 
87. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
+
=
+
b) Tìm m ñể : 2x y m∆ + = cắt (C) ở A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 . 
c) Vẽ ñồ thị 2 x 1(C ') : y .
x 1
+
=
+
88. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 1(C) : y .
2x 1
− +
=
−
b) Chứng minh với mọi m ñường thẳng : y x m∆ = + luôn cắt (C) ở A, B phân biệt. Gọi 1 2k , k lần lượt 
là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B. Tìm m ñể tổng 1 2k k+ lớn nhất. 
c) Vẽ ñồ thị x 1(C ') : y .
2 x 1
− +
=
−
89. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
+
=
+
b) Tìm m ñể : y mx 2m 1∆ = + + cắt (C) ở A, B sao cho khoảng cách từ A và B tới Ox bằng nhau. 
90. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x(C) : y .
x 1
=
−
b) Tìm m ñể : y x m∆ = − + cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B và tìm quĩ tích trung ñiểm của ñoạn 
thẳng AB. 
91. Cho ax b(C) : y (a b 0).
x 1
+
= + ≠
−
 a) Tìm a, b ñể (C) cắt Oy tại A(0; -1) và tiếp tuyến của (C) tại A có hệ 
số góc bằng – 3. 
b) Với a, b vừa tìm ñược hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho. 
7
7
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
92. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 2
+
=
−
 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñó 
song song với ñường thẳng 5x + y = 22. 
b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm I(2; 2). 
c) Vẽ ñồ thị x x 1(C ') : y .
x 2
+ +
=
−
93. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
−
=
−
b) Tìm m ñể d : y 2x m 1= − + − cắt (C) tại A, B sao cho AB = 2. 
c) Vẽ ñồ thị x x 1(C ') : y .
x 2
+ −
=
−
94. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
−
=
+
b) Tìm M (C)∈ ñể tiếp tuyến của (C) tại M và ñường thẳng IM có tích hai hệ số góc bằng – 9, với I là 
tâm ñối xứng của (C). 
c) Vẽ ñồ thị 2 x 1(C ') : y .
x 1
−
=
+
95. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 1 x(C) : y .
2x 1
−
=
+
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A (với A là giao ñiểm của Ox với 
một ñường tiệm cận nào ñó của (C)). 
c) Tìm những ñiểm nguyên của ñồ thị (C). 
96. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
+
=
−
b) Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của (C). Chứng minh I là tâm ñối xứng của (C). 
c) Tìm A (C)∈ sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt tiệm cận ñứng của (C) ở B và 2 2 2IA IB AB 24+ + = . 
97. Cho x my (C).
x 1
+
=
−
 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 1. 
b) Gọi I là tâm ñối xứng của (C), A (C)∈ và Ax 2,= ñường thẳng qua A và vuông góc với IA cắt ñồ 
(C) thị tại ñiểm thứ hai B. Tìm m ∈ℤ ñể 730IB .
3
= 
98. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 1(C) : y .
x 1
+
=
−
b) Gọi I là giao của hai ñường tiệm cận của (C), chứng minh I là tâm ñối xứng của (C). 
c) Tìm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho IAB∆ cân ở I và có diện tích bằng 4. 
d) Vẽ ñồ thị 2x 1(C ') : y .
x 1
+
=
−
99. Cho (m 1)x my (C).
x m
+ +
=
+
 a) Khi m = 1 hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, tìm trên ñồ thị những ñiểm có 
tổng khoảng cách tới hai ñường tiệm cận là nhỏ nhất. 
b) Tìm m ñể tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ 0x m= cắt hai ñường tiệm cận tạo thành tam giác 
có diện tích bằng diện tích của tam giác tạo bởi tiếp tuyến ñó với hai trục toạ ñộ. 
100. a) Tìm m ñể hai ñường tiệm cận của 2x m(H) : y
mx 1
+
=
−
 cùng với hai trục tọa ñộ tạo thành hình chữ nhật 
có diện tích bằng 8. 
b) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số với m < 0 vừa tìm ñược ở trên 
8
8