Bài tập khảo sát hàm số 12

NGUYỄN NGỌC KIÊN 
BÀI TẬP KHẢO SÁT 
HÀM SỐ 12 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 3 
Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số. 
I. Tóm tắt lý thuyết. 
1. Định nghĩa 
- Hàm số ( )y f x đồng biến (tăng) trên ( , )a b nếu 
1 2, ( , )x x a b  : 1 2x x thì 1 2( ) ( )f x f x 
- Hàm số ( )y f x nghịch biến (giảm) trên ( , )a b nếu 
1 2, ( , )x x a b  : 1 2x x thì 1 2( ) ( )f x f x 
2. Định lý: 
Cho hàm số ( )y f x xác định trên  (  có thể là đoạn, khoảng hay nửa đoạn) 
f tăng trên  khi và chỉ khi '( ) 0,f x x   
f giảm trên  khi và chỉ khi '( ) 0,f x x   
3.Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. 
1. Tìm tập xác định 
2. Tính đạo hàm '( )f x . Tìm các điểm tới hạn 
3. Lập bảng biến thiên 
4. Kết luận dựa vào bảng biến thiên 
II. Bài tập: 
Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 
a. 23 2 4y x x   
b. 3 21
3
y x x  
c. 3 22 6 18 2y x x x    
d. 3 21 3 10 2
3
y x x x    
e. 4 22 3y x x   
f. 3 23 3 1y x x x    
g. 
4
2
4
xy x 
Bài 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 
a. 24y x x  
b. 22 3 1y x x   
c. 24 2 1y x x x    
d. 2 20y x x   
e. 22y x x  
Bài 3: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 
a. 1
1
xy
x



b. 3 1
1
xy
x



c. 4
4
y
x


d. 
2 3 3
1
x xy
x
 


e. 
2 2
1
x xy
x



f. 24 1
1
y x
x
  

g. 
2 2 3
1
x xy
x
 


Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số 
2 2 2
1
x m x my
x
  


 đồng biến trên 
từng khoảng xác định của nó 
Bài 5: Chứng minh hàm số 3 2 2( 1) ( 2)y x m x m x m       luôn nghịch biến m 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 4 
Bài 6: Chứng minh hàm số ( 1) 2k xy
x k
 


 đơn điệu trên từng khoảng xác định k 
Bài 7: Chứng minh hàm số 
22 3 1x ax ay
x a
  


 đơn điệu trên từng khoảng xác định a 
Bài 8: Xác định m để hàm số: 
a. 3 21 2 2
3
y x x mx    đồng biến trên  
b. 3 22 1
3 2
my x x mx     nghịch biến trên  
c. 6mxy
x m



 đồng biến trên từng khoảng xác định 
d. 
2 2(2 1) 1
1
mx m x my
x
   


 nghịch biến trên từng khoảng xác định 
d. 
2 2 2x mx my
x m
  


 đồng biến trên từng khoảng xác định 
Bài 9: Xác định m để hàm số: 
a. 2 1y x mx   đồng biến trên (0; ) 
b. 2 ( 6) 3y mx m x    nghịch biến trên (0; ) 
c. 3 21 2 2
3
y x x mx    đồng biến trên ( ;0) 
d. x my
x m



 đồng biến trên (0; ) 
e. 
2 2 2x mx my
x m
  

 
 nghịch biến trên (0; ) 
f. 
2 6 2
2
mx xy
x
 


 giảm trên (0; ) 
Bài 10: Cho hàm số: 
3
2( 1) 4 5
3
xy m x x     
a) Tìm m để hàm số tăng trên  
b) Tìm m để hàm số giảm trên [ 1;0] 
Bài 11: Cho hàm số: 
3
2( 1) ( 3) 4
3
xy m x m x       
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;3) 
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên ( ;0) 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 5 
 Chủ đề 2: Cực trị của hàm số 
I. Tóm tắt lý thuyết 
1. Định nghĩa: 
Cho hàm số ( )y f x xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và ( ; )ox a b 
a) Nếu tồn tại số 0h  sao cho ( ) ( ), ( ; )o o of x f x x x h x h     và ox x thì ta nói 
( )f x đạt cực đại tại ox 
b) Nếu tồn tại số 0h  sao cho ( ) ( ), ( ; )o o of x f x x x h x h     và ox x thì ta nói 
( )f x đạt cực tiểu tại ox 
Ghi chú: 
a) Nếu hàm số ( )f x đạt cực đại (cực tiểu) tại ox thì ox được gọi là điểm cực đại (điểm 
cực tiểu) của hàm số. Điểm ( ; ( ))o oM x f x gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của đồ thị 
hàm số 
b) cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị 
2. Định lý 
Giả sử hàm số ( )y f x liên tục trên khoảng ( ; )o oK x h x h   và có đạo hàm trên 
K hoặc \{ }oK x ( 0)h  thì: 
a) Nếu '( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua ox thì ox là điểm cực đại 
b) Nếu '( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi qua ox thì ox là điểm cực tiểu 
3. Quy tắc tìm cực trị 
a. Quy tắc I 
i. Tìm tập xác định 
ii. Tính '( )f x . Tìm các điểm tại đó '( )f x bằng 0 hoặc không xác định. 
iii. Lập bảng biến thiên 
iv. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị 
b. Quy tắc II 
i. Tìm tập xác định 
ii. Tính '( )f x . Giải phương trình '( ) 0f x  và kí hiệu ix là các nghiệm của nó 
iii. Tính ''( )f x và ''( )if x 
iv. Nếu ''( ) 0if x  thì ix là điểm cực tiểu. Nếu ''( ) 0if x  thì ix là điểm cực đại 
II. Các dạng toán thường gặp 
Dạng 1: Tìm cực trị của các hàm số 
Phương pháp : Áp dụng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 để giải 
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số: 
a. 3 22 3 36 10y x x x   
b. 4 22 3y x x   
c. 3 23 3 2y x x x     
d. 3 23 9 1y x x x     
e. 3 23 3 1y x x x    
f. 4 22 3y x x   
g. 4 21 2 3
4
y x x    
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 6 
Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số: 
a. 
2 2 5
1
x xy
x
 


b. 3 1
1
xy
x



c. 
2 2 3
1
x xy
x
 


d. 1y x
x
  
e. y x x 
f. 3y x x  
g. | | ( 3)y x x  
h. 2 2 | | 2y x x   
i. | | ( 2)y x x  
Bài 3 : Tìm cực trị của các hàm số: 
a. sin 2y x x  
b. sin 2 os2y x c x  
c. 3 2cos os2y x c x  
d. 2sin 2 3y x  
Dạng 2: đường thẳng nối 2 cực trị và các bài toán chứa tham số 
Phương pháp: 
TH1: ( )y f x là hàm đa thức 
Chia ( )f x cho '( )f x ta được ( ) '( ) ( ) ( )f x f x q x r x  . Nếu ( ; )o ox y là điểm cực trị thì 
'( ) 0of x  , do đó: ( ) '( ) ( ) ( ) ( )o o o o o oy f x f x q x r x r x    
Suy ra: ( )y r x là đường thẳng nối cực trị 
TH2: ( )( )
( )
u xy f x
v x
  là hàm phân thức 
Ta có: 
 2
'( ) ( ) ( ) '( )'
( )
u x v x u x v xy
u x

 
Nếu ( ; )o ox y là điểm cực trị thì '( ) 0of x  
 '( ) ( ) ( ) '( ) 0o o o ou x v x u x v x   
 ( ) '( )
( ) '( )
o o
o o
u x u x
v x v x
  
 '( )
'( )
o
o
o
u xy
v x
  
Suy ra: '( )
'( )
u xy
v x
 là đường thẳng nối cực trị 
Bài 1: Xác định m để hàm số:
2 2
2
x x my
x
 


 có 1 cực đại và 1 cực tiểu. Viết phương trình 
đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị 
Bài 2: Xác định m để hàm số: 
a) 23 4y x mx   đạt cực tiểu tại 2x  
b) 
2 4x mxy
x m
 


 đạt cực đại tại 2x  
c) 2 3 2( 5 ) 6 6 5y m m x mx x      đạt cực đại tại 1x  
d) 3 2 22 2y x mx m x    đạt cực tiểu tại 1x  
e) 3( ) 3y x m x   đạt cực tiểu tại 0x  
f) 2 22 1y x mx m m     đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là 6 
Bài 3: Tìm m để hàm số: 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 7 
a) 4 2(1 ) 2 1y m x mx m     có đúng 1 cực trị 
b) 4 2 2( 9) 10y mx m x    có đúng 3 cực trị 
Bài 4: Xác định m để hàm số: 
a) 
2 22
1
x m x my
x
 


 có 2 cực trị nằm 2 phía Ox 
b) 
3
2 ( 6) 2
3
xy mx m x     có cực đại, cực tiểu nằm hai phía Oy 
c) 3 2 23 ( 2 3) 4y x mx m m x      có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía trục tung 
d) 
2
1
x x my
x
 


 có 2 giá trị cực trị trái dấu 
e) 
2 1
1
x x my
x
  


 có 2 giá trị cực trị cùng dấu 
f) 
2 3 2 1
1
mx mx my
x
  


 có cực đại, cực tiểu nằm ở 2 phía đối với trục hoành 
g) 
2 2 3( 1) 4mx m x m my
x m
   


 có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và 1 điểm cực 
trị thuộc góc phần tư thứ (IV). 
Bài 5: Cho hàm số : 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x      
a) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2,x x thỏa : 1 22 1x x  
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2,x x thỏa 1 2| | 1x x  
c)viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị 
Bài 6: cho hàm số : 3 22
1 4 5
3
my x x x    
Tìm m để : 
a) Hàm số không có cực trị 
b) Hàm số đạt cực trị tại các điểm có hoành độ cùng lớn hơn 0 
Bài 7: Cho hàm số : 
2 ( 1) 1x m x my
x m
   


Tìm m để hàm số : 
a) Có 1 cực đại và 1 cực tiểu 
b) Có hai cực trị với hoành độ nhỏ hơn 0 
c) Có hai cực trị với hai giá trị cực trị trái dấu 
Bài 8: Cho hàm số 4 2 22 1y x m x   . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 1 
tam giác vuông cân 
Bài 9: Xác định m để hàm số: 2 22( 1) 4y x m x m m     có cực đại, cực tiểu và các điểm 
cực trị và gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O 
Bài 10: Xác định m để hàm số: 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x      có hai điểm cực trị đối 
xứng nhau qua đường thẳng: 2y x  
Bài 11: Cho hàm số: 
2
1
x mxy
x



. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị 
nào của m thì d(CĐ,CT) = 10 
Bài 12: Xác định m để hàm số: 
2
1
x mx my
x
 


 có 2 cực trị. Tính khoảng cách giữa 2 điểm 
cực trị này 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 8 
Bài 13: Cho hàm số: 
2 2 2
1
x mxy
x
 


. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ,A B . 
Chứng minh rằng khi đó / /( ) : 2 10 0AB d x y   
 Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
hàm số 
I. Tóm tắt lý thuyết 
1. Định nghĩa 
Cho hàm số ( )y f x xác định trên tập D 
a) Số M là GTLN của hàm số ( )y f x trên D (kí hiệu: M = 
D
Max ( )f x ) nếu: 
 : ( )x D f x M   
 : ( )o ox D f x M   
b) Số M là GTNN của hàm số ( )y f x trên D (kí hiệu: m = 
D
Min ( )f x ) nếu: 
 : ( )x D f x m   
 : ( )o ox D f x m   
2. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f x trên 1 đoạn 
i. Tìm các điểm 1 2; ;....; nx x x trên khoảng ( ; )a b tại đó '( ) 0f x  hoặc không xác 
định 
ii. Tính 1 2( ); ( ); ( );.... ( ); ( )nf a f x f x f x f b 
iii. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất trong các số trên 
Chú ý: 
i. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 khoảng ta nên lập bảng biến thiên 
ii. Quy tắc trên chỉ áp dụng cho đoạn 
II. Bài tập: 
Bài 1 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm số : 
a) 3 23 9 5y x x x    trên [ 2;2]; ( 2;2)  và trên [ 2; )  
b) 4 22y x x  trên [ 2;2]; ( 2;2)  và trên[ 2; )  
c)
2 3 1
1
x xy
x
 


 trên [1;4] và trên [1; ) 
d) 2 1
1
xy
x



 trên [0;4] và trên [0; ) 
Bài 2 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm số: 
a) 1y x x   trên [ 1;0] 
b) 2| 3 2 |y x x   trên [ 3;3] 
c) 2 | 2 1|y x x   trên [ 2;2] 
d) 22 1y x x   trên  
e) sin 2y x x  trên ;
2 2
    
Bài 3 : Tìm GTLN,GTNN của các hàm số : 
a) cos 2 siny x x  
b) 2
s inx 1
sin s inx 1
y
x


 
c)
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin os
x xy
x c x
 

 
d) 20 20sin osy x c x  
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 9 
 Chủ đề 4: Đường tiệm cận 
I. Tóm tắt lý thuyết 
Ta chỉ xét tiệm cận của hàm nhất biến: 
Cho hàm số: ax by
cx d



 (hàm số này được gọi là hàm nhất biến) 
i. dx
c
  là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
ii. ay
c
 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
II. Bài tập: 
Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của các đường cong sau: 
a) 2 4
1
xy
x



b) 3
1
y
x


c) 2 5
3
xy
x



Bài 2: Tìm hàm số ax by
cx d



 biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;7) và giao điểm của 2 
đường tiệm cận là I(-2;3). 
 Chủ đề 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 
I. Sơ đồ khảo sát hàm số 
1. Tập xác định 
2. Sự biến thiên 
+ Tính 'y 
+Tìm các điểm tại đó 'y bằng 0 hoặc không xác định 
+Tìm giới hạn, tiệm cận (nếu có) 
+Lập bảng biến thiên 
+Xét tính đơn điệu 
+Xét cực trị 
3. Vẽ đồ thị 
II. Bài tập 
Bài 1: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 
a) 3 26 9 3y x x x    
b) 3 23 5 2y x x x     
c) 3 23 3 5y x x x    
d) 4 24 1y x x   
e) 4 22 4 8y x x    
f) 1
1
xy
x



g) 3 5
2 2
xy
x



Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 10 
 Chủ đề 6: Sự tương giao giữa hai đồ thị 
I. Tóm tắt lý thuyết 
Cho hai đồ thị 1( ) : ( )C y f x và 2( ) : ( )C y g x 
Tọa độ giao điểm của 1( )C và 2( )C là nghiệm của hệ 
( )
( )
y f x
y g x



 (I) 
Giải hệ (I) ta được tọa độ giao điểm của 1( )C và 2( )C . Số nghiệm của hệ (I) chính là số giao 
điểm của 1( )C và 2( )C 
II. Bài tập 
Bài 1: Cho hàm số 4 3
2 1
xy
x



 ( )C 
Biện luận theo m số giao điểm của ( )C và đường thẳng ( ) :d y x m  
Bài 2: Cho hàm số: 34 3 1y x x    ( )C 
Gọi ( )d là đường thẳng đi qua điểm A (-1;0) và có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao 
điểm của ( )d và ( )C 
Bài 3: Cho hàm số: 3 24 4y x x x   có đồ thị là ( )C . Biện luận theo k vị trí tương đối của 
( )C với đường thẳng y kx 
Bài 4: Cho hàm số: 2 1
2
xy
x



 có đồ thị là ( )C . Chứng minh rằng đường thẳng 
( ) : y x m    luôn cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A,B. Định m để AB ngắn nhất 
Bài 5: Cho hàm số: 3 2 2 22 (2 1) ( 1)y x ax a x a a      . Định a để hàm số cắt trục hoành tại 
3 điểm phân biệt có hoành độ dương 
Bài 6: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y x m   cắt đồ thị 
2 1( ) :
1
x xC y
x
 


 tại hai 
điểm phân biệt. 
Bài 7: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) : 2 2d y mx m   cắt đồ thị 
2 2 4( ) :
2
x xC y
x
 


tại 2 điểm phân biệt. 
Bài 8: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) : ( 1) 1d y m x   cắt đồ thị 1( ) : 1
2
C y x
x
  

tại 2 điểm có hoành độ trái dấu. 
Bài 9: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) : 2d y mx m  cắt đồ thị 
22 3( ) :
2
x xC y
x



 tại 2 
điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị 
Bài 10: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) : 1d y mx  cắt đồ thị 
2 1( ) :
1
x xC y
x
 


 tại 2 
điểm thuộc cùng 1 nhánh của hyperbol ( )C 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 11 
Bài 11: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y mx cắt đồ thị 
2 2 5( ) :
1
x xC y
x
 


 tại hai 
điểm A, B phân biệt sao cho gốc tọa độ O làm trung điểm của AB 
Bài 12: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) : ( 5) 10d y m x   cắt đồ thị 
2 2 9( ) :
2
x xC y
x
 


tại 2 điểm phân biệt nhận A(5;10) làm trung điểm. 
Bài 13: Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y m cắt đồ thị hàm số 
2 3 3( ) :
2( 1)
x xC y
x
  


tại 2 điểm A,B sao cho AB=1 
Bài 14:Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y m cắt đồ thị hàm số 1( ) :
1
C y x
x
 

 tại 
hai điểm A,B sao cho OA OB 
Bài 15:Tìm tham số m để đường thẳng ( ) :d y x m   cắt đồ thị 
2 2 2( ) :
1
x xC y
x
 


 tại 
hai điểm đối xưng nhau qua đường thẳng ( ) : 3y x   
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 12 
 Chủ đề 7: biện luận phương trình bằng đồ thị 
I. Tóm tăt lý thuyết 
Bài toán: Cho hàm số ( )y f x có đồ thị ( )C . Dúng ( )C biện luận theo m số nghiệm của 
phương trình ( , ) 0P x m  . 
Giải quyết bài toán: 
i. Biến đổi phương trình ( , ) 0 ( ) ( )P x m f x g m   (1) 
ii. Số nghiệm của (1) chính là số giao ddierm của 2 đồ thị 
( ) : ( )C y f x 
( ) : ( )d y g m 
iii. Khi m thay đổi, điểm số giao điểm của ( )d và ( )C , từ đó suy ra số nghiệm của 
(1) 
Chú ý: ( ) : ( )d y g m là 1 đường thẳng 
II. Bài tập 
Bài 1: Cho hàm số: 34 3y x x  
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
i) 34 3 0x x m   
ii) 34 3 1 0x x m    
Bài 2: Cho hàm số: 3 3 1y x x   ( )C 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số trên 
b) Dùng đồ thị ( )C để biện luận theo m số nghiệm của các phương trinh 
i) 3 3 1 0x x m    
ii) 3 23 2 0x x m    
iii) 
2
3 13 2 2 0mx x
m
 
    
 
Bài 3: Tìm tham số m để phương trình 3 21 2 3 0
3
x x x m    có 3 nghiệm phân biệt 
Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình 
a) 22 (5 ) 4 0x m x m     
b) 3| | 3 | | 0x x m   
c) 
22 3 2 1 0
1
x x m
x
 
  

Bài 5: Định m để phương trình 2 (3 ) 3 2 0x m x m     có nghiệm thuộc (0;1) 
Bài 6: Tìm m để phương trình 2cos (2 ) cos 1 0t m t m     có nghiệm 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 13 
 Chủ đề 8: Tiếp tuyến của đồ thị 
Dạng 1: Tiếp tuyến tại 0 0( , )M x y của đồ thị 
I.Phương pháp giải: 
Cho đồ thị ( )C có phương trình ( )y f x với điểm 0 0( , )M x y ở trên ( )C . Phương trình tiếp 
tuyến với ( )C tại M là: 
'
0 0 0( )( )y y f x x x   
Chú ý : ' 0( )f x là hệ số góc của tiếp tuyến tại M 
II. Bài tập: 
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x tại điểm có hoành độ 0x cho 
dưới đây: 
a) 3 3y x x   tại 0 1x   
b) 2 1
1
xy
x



 tại 0x = 2 
c) 4 2 3y x x   tại 0 1x  
d) 
2 2 4
4 2
x xy
x
 


 tại 0 0x  
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị hàm số 3 23 2y x x   tại điểm uốn 
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số 3 3 2y x x   tại các giao 
điểm với trục hoành 
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị 3 24 3 1y x x x    
Bài 5: Tìm 0 0( ; )M x y thuộc 
3 2( ) : 2 1C y x x x     sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc 
lớn nhất. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó. 
Bài 6: Cho hàm số: 
2 2x mx my
x m
 


. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox 
tại 2 điểm và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. 
Bài 7: Tìm trên đồ thị hàm số 31 2
3 3
y x x   các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông 
góc với đường thẳng 1 2
3 3
y x   
Bài 8: Cho hàm số: 
2 3
1
x mx my
x
 


. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên có 
tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất. chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số có 
điểm cực đại và cực tiểu. 
Dạng 2: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm 
Bài toán : 
Cho hàm số ( )y f x có đồ thị là ( )C . Điểm 0( , )oM x y . Viết phương trình tiếp tuyến của 
( )C đi qua M 
Giải quyết bài toán : 
Gọi ( )T là tiếp tuyến qua M. Phương trình ( )T có dạng : 0 0( )y K x x y   
Do ( )T tiếp xúc với ( )C nên : 0 0'
0
( ) ( )
( )
k x x y f x
k f x
  


 (I) 
Giải hệ ta tìm được k 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 14 
Chú ý : số nghiệm của hệ (I) cũng là số tiếp tuyến của ( )C đi qua M 
Bài tập: 
Bài 1: Cho hàm số 3 23 4y x x x   . Tìm các tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số đi qua 
điểm (3;3)B 
Bài 2: Cho hàm số 4 21 33
4 2
y x x   . Tìm các tiếp tuyến của hàm số đi qua 3(0; )
2
A 
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2
2
xy
x



, biết rằng tiếp tuyến đi qua 
( 6;5)A  
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 
2 4 5
2
x xy
x
 


, biết tiếp tuyến đi qua 
điểm A(1;1) 
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 2y x x   từ điểm A(1;0). 
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 3(0; )
2
A của đồ thị hàm số 4 21 33
2 2
y x x   
Bài 7: Viết phương trình các đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đồ thị hàm số 
3( 1)
2
xy
x



Bài 8: Chứng minh rằng qua A(1;0) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 
2 2 2
1
x xy
x
 


 và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau 
Bài 9: Chứng minh rằng qua A(-1;1) có thể kẻ được tới đồ thị 1
1
y x
x
 

 hai tiếp tuyến 
vuông góc 
Bài 10: Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ điểm đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyên đến đồ 
thị 
2 1
1
x xy
x
 


Bài 11: Tìm trên đường thẳng 2x  các điểm mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới đồ thị 
hàm số 3 3y x x  
Bài 12: Tìm điểm M trên đường thẳng 4y   sao cho qua M kẻ được tới đồ thị 
3 12 12y x x   ba tiếp tuyến 
Bài 13: Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị hàm số 
22 1
1
x xy
x
 


 hai 
tiếp tuyến vuông góc với nhau 
Bài 14: Cho hàm số: 3 23 2y x x   ( )C 
a) Lập phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm A(0;3) 
b) Tìm trên đường thẳng 2y   các điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến 
với ( )C vuông góc với nhau. 
Bài 15: Cho hàm số: 3 23 2y x x   ( )C 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua A(0;3) 
b) Tìm tất cả những điểm M trên ( ) : 2d y  mà qua đó kẻ được 3 tiếp tuyên đến ( )C 
Nguyễn Ngọc Kiên. GV chuyên toán 10-11-12-LTĐH : 098.74.73.509 
 15 
Dạng 3: Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 
I. Bài toán 
Cho hàm số ( )y f x có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C có hệ số góc 0k 
cho trước 
II. Giải quyết bài toán 
Gọi ( )T là tiếp tuyến của ( )C có hệ số góc là 0k 
Phương trình của ( )T có dạng: 0y k x b  (b cần tìm) 
Do ( )T tiếp xúc với ( )C nên 0
0
( )
'( )
k x b f x
k f x
 


 (I) 
Giải (I) ta tìm được b 
Chú ý: Số nghiệm của hệ (I) chính là số tiếp tuyến có thể kẻ đến ( )C 
Bài tập: 
Bài 1: Cho parabol 2( ) : 2 3P y x x   . Tìm phương trình tiếp tuyến với  P thỏa: 
a) Song song với đường thẳng ( ) : 4 2 5 0d x y   
b) Vuông góc với đường thẳng ( ') : 4 0d x y  
Bài 2: Cho hàm số 3 21 2 3 1
3
y x x x     . Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song 
với đường thẳng 
a) 3
4
y x 
b) 2y x 
Bài 3: Tìm a để hàm số 
2 3
1
x x ay
x
 


 có tiếp tuyến vuông góc với y x . Chứng minh 
rằng khi đó hàm số có cực đại, cực tiểu