Bài tập hình học 11- Quan hệ vuông góc trong không gian

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I) vÐc t¬ trong kh«ng gian
1. Cho tứ diện đều ABCD , gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh : 
a. IJ vuông góc với AB và CD.	b. AB vuông góc CD
2. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD. 
 a. Chứng minh ; 
 b. Trên AC và BD lấy M,N sao cho . C/m khi k thay đổi MN và IJ luôn vuông góc với nhau.
3. Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông tại B . Tam giác SAC vuông tại A , SA vuông góc AC . Hạ đường cao AH của tam giác SAB . Chứng minh SBC vuông tại B và AH vuông góc SC.
4. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Gọi I là trung điểm CD , J là trung điểm A’D’. 
a. Chứng minh B’I vuông góc C’J.
b. Trên AB,B’C’,CC’,D’A’ lấy M,N,P,Q sao cho .
Tìm hệ thức liên hệ của x,y sao cho MN vuông góc PQ.
5. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng a ,đáy hình vuông .Gọi N là trung điểm SB. 
a. Chứng minh SAC và SBD là các tam giác vuông 
b. Tính góc giữa hai đường thẳng AN và CN, AN và SD.
6. Cho tứ diện đều ABCD , gọi I,J là trung điểm AB và CD, O là trọng tâm tứ diện. Tính góc giữa hai đường thẳng IJ & BC; OC&OD.
7. Cho tứ diện ABCD biết AB=AD =a, CB=CD,BD=b,AC=c. . Trên AB lấy M và AM=x,0<x<a. Mặt phẳng (P) qua M song song AC và BD cắt BC ,CD ,DA tại N,P,Q.
a. Thiết diện MNPQ là hình gì?
b.Tính diện tích thiết diện theo a,b,c,x.Xác định vị trị M sao cho S thiết diện lớn nhất.
8. Cho tứ diện ABCD biết AB=CD =a, AC=BD=b,AD=BC=c. . Trên AB lấy M và AM=x,0<x<a. Mặt phẳng (P) qua M song song AC và BD cắt BC ,CD ,DA tại N,P,Q.
a. Thiết diện MNPQ là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a,b,c,x . Xác định vị trị M sao cho S thiết diện lớn nhất.
II) Hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc:
 1) Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh b»ng a. Gäi M, N, P, Q, R lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD, AD, BC vµ AC. CMR: 	 a) MN ^ RP 	b) MN ^ RQ	c) AB ^ CD
 2) Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC vµ AD. BiÕt: AB = CD = 2a; MN = a. TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB vµ CD.
 3) Cho tø diÖn ®Òu ABCD cã c¹nh b»ng a. gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DBCD. C/m: AO ^ CD.
III) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng:
 j Gãc cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:
1) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = a, SA ^ (ABCD). TÝnh gãc cña :
 a) SC víi (ABCD).	 b) SC víi (SAB).	 c) SB víi (SAC).
2) Cho DABC vu«ng c©n t¹i B, AB = a, SA = a, SA ^ (ABC).
 a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBC).	b) TÝnh gãc hîp bëi SB vµ (SAC).
3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a vµ SO ^ (ABCD) (O lµ t©m ®¸y). Gäi M, N lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC. BiÕt gãc cña MN vµ (ABCD) lµ 600
 a) TÝnh MN vµ SO.	 b) TÝnh gãc cña MN víi mÆt ph¼ng (SBD)
4) Cho h×nh vu«ng ABCD vµ DSAB ®Òu c¹nh a n»m trong hai mp vu«ng gãc. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB.
 a) CM: SI ^ (ABCD) vµ tÝnh gãc hîp bëi SC víi (ABCD).
 b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn mÆt ph¼ng (SAD). Suy ra gãc cña SC hîp víi (SAD).
 c) J lµ trung ®iÓm cña CD. CM: (SIJ) ^ (ABCD). TÝnh gãc hîp bëi ®­êng th¼ng SI vµ (SDC).
 k) Chøng minh ®­êng vu«ng gãc víi mÆt, ®­êng vu«ng gãc víi ®­êng
1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O; SA ^ (ABCD). gäi H, I, K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SB, SC, SD.
 a) Chøng minh r»ng: BC ^ (SAB); CD ^ (SAD); BD ^ (SAC).
 b) Chøng minh r»ng: AH ^ SC; AK ^ SC. Tõ ®ã suy ra AH, AI, AK ®ång ph¼ng.
 c) Chøng minh r»ng: HK ^ (SAC); HK ^ AI
2) Cho h×nh chãp S.ABCD c㮸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O. BiÕt SA = SC; SB = SD.	
 a) CM: SO ^ (ABCD).	 b) Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC. CMR: IJ ^ (SBD).
3) Cho tø diÖn ABCD cã ABC vµ DBC lµ hai tam gi¸c ®Òu. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC.
 a) CM: BC ^ (AID).	b) H¹ AH ^ ID (H Î ID). CM: AH ^ (BCD)
4) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. DSAB ®Òu; DSCD vu«ng c©n ®Ønh S. I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD.
 a) TÝnh c¸c c¹nh cña DSIJ. CMR: SI ^ (SCD); SJ ^ (SAB)	
 b) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn IJ. CMR: SH ^ AC.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu, SC = a. Gäi H, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD. 
 a) CMR: SH ^ (ABCD)	 b) CMR: AC ^ SK; CK ^ SD.
6) Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O lªn (ABC). CMR: a) BC ^ (OAH)	b) H lµ trùc t©m cña DABC
 c) 	 d) C¸c gãc cña DABC ®Òu nhän.
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = a; BC = a, mÆt bªn SBC vu«ng t¹i B, mÆt bªn SCD vu«ng t¹i D cã SD = a
 a) CM: SA ^ (ABCD) vµ tÝnh SA.
 b) Trong mp (ABCD) kÎ ®­êng th¼ng qua A ^ víi AC c¾t c¸c ®­êng th¼ng CB, CD lÇn l­ît t¹i I, J. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SC. H·y X¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm K, N cña SB, SD víi mÆt ph¼ng (HIJ).
 CMR: AK ^ (SBC) AN ^ (SCD) c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AKHN.
8) Gäi I lµ mét ®iÓm bÊt kú ë trong ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. CD lµ d©y cung cña ®­êng trßn (O) qua I. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn (O) t¹i I ta lÊy ®iÓm S víi OS = R. gäi E lµ ®iÓm ®èi t©m cña D trªn ®­êng trßn (O). CMR: a) DSDE vu«ng.	 	b) SD ^ CE.	 	 c) DSCD vu«ng.
9) Cho DMAB vu«ng t¹i M ë trong mp (a). Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mp (a) t¹i A ta lÊy hai ®iÓm C, D ë hai bªn ®iÓm A. Gäi C' lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn MD, H lµ giao ®iÓm cña AM vµ CC'.
 a) CM: CC' ^(MBD). b) Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn AB. CMR: K lµ trùc t©m cña DBCD.
10) Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB= 2R; (O) ë trong mÆt ph¼ng (a). Dùng AS = 2R vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (a). Gäi T lµ mét ®iÓm di ®éng trªn tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i A. §Æt = j. ®­êng trßn BT gÆp ®­êng trßn (O) t¹i M. Gäi N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SM. 
 a) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB ®Òu lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
 b) CMR: khi T ®i ®éng ®­êng th¼ng TN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh H.
 c) TÝnh j ®Ó DAHN c©n.
11) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B; SA ^ (ABC). AH lµ ®­êng cao kÎ tõ A cña DSAB . HK ^ SB (K Î SC). CM: a) BC ^ (SAB)	b) AH ^ (SBC) 	c) KH ^ (SAB)
12) Cho ba tia Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. A Î Ox, B Î Oy, C Î Oz. Gäi H lµ trùc t©m DABC. CMR: OH ^ (ABC).
13) Cho tø diÖn SABC cã SA ^ (ABC). H, K lµ trùc t©m DABC vµ SBC. CMR: 
 a) AH, SK, BC ®ång quy.	 b) SC ^ (BHK).	 c) HK ^ (SBC).
14) Cho tø diÖn ABCD. SA ^ (ABC). Dùng ®­êng cao AE cña DABC.
 a) CM: SE ^ BC.	 b) H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SE. CM: AH ^ SC.
15) Cho tø diÖn ®Òu, CMR hai c¹nh ®èi cña tø diÖn nµy vu«ng gãc víi nhau.
16) Cho mÆt ph¼ng (a) vµ mét ®­êng trßn (C) ®­êng kÝnh AB chøa trong mÆt ph¼ng ®ã. M Î (C) kh«ng trïng víi A vµ B. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (a) t¹i A ta lÊy ®iÓm S.
 a) CM: c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
 b) Mét mÆt ph¼ng (b) qua A vu«ng gãc víi SB t¹i D c¾t SM t¹i E. CM: DAED vu«ng.
17) Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA ^ (ABCD) ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D víi 
AD = DC = . I lµ trung ®iÓm cña AB.
 a) CM: CI ^ SB vµ DI ^ SC. b) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
 l) ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc:
1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B víi AB = BC = a, AD = 2a, SA ^ (ABCD) vµ SA = 2a. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB; (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vu«ng gãc víi AB. §Æt x = AM (0 < x < a).
 a) T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng (a). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
 b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
2) Cho tø diÖn SABC cã DABC ®Òu c¹nh a, SA ^ (ABC) vµ SA = 2a. Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua B vµ vu«ng gãc víi SC. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn t¹o vëi mÆt ph¼ng (a) vµ tÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn.
3) Cho tø diÖn SABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA ^ (ABC) vµ SA = a. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn SABC víi mÆt ph¼ng (a) vµ tÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn trong c¸c tr­êng hîp sau:
 a) (a) qua S vµ vu«ng gãc víi BC.	b) (a) qua A vµ vu«ng gãc víi trung tuyÕn SI cña DSBC.
 c) (a) qua trung ®iÓm M cña SC vµ ^ AB
4) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh B, AB = a. SA ^ (ABC) vµ SA = a. M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB, §Æt AM = x (0 < x < a) Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vµ vu«ng gãc víi AB.
 a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn SABC t¹o bëi mÆt ph¼ng (a).
 b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn nµy theo a vµ x.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD vµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA ^ (ABCD) vµ SA = a. VÏ ®­êng cao AH cña DSAB.
 a) CMR: 
 b) Gäi (a) lµ mp qua A vµ vu«ng gãc víi SB, (a) c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
6) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng a; SA ^ (ABCD) vµ SA = a. Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC; (a) c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i M, N, P.
 a) CMR: AM ^ SB, AD ^ SD	và SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2
 b) CM: tø gi¸c AMNP néi tiÕp ®­îc vµ cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau.
 c) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; K = AN Ç MP. CMR: S, K, O th¼ng hµng
 d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AMNP.
7) Cho h×nh thoi ABCD cã t©m O víi c¸c ®­êng chÐo AC = 4a, BD = 2a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) t¹i O lÊy ®iÓm S víi SO = 2a. mÆt ph¼ng (a) qua A vµ ^ SC c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i B', C', D'.
 a) Chøng minh tø gi¸c AB'C'D' cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau.
 b) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB'C'D'	 c) CMR: DB'C'D' lµ tam gi¸c ®Òu
8) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. SA ^ (ABC) vµ SA = a. Gäi M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn AC, (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vµ ^ AC.
 a) Tuú theo vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn c¹nh AC, cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn t¹o bëi mp (a) víi tø diÖn SABC
 b) §Æt CM = x (0 < x < a). TÝnh diÖn tÝch S cña thiÕt diÖn trªn theo a vµ x vµ X¸c ®Þnh x ®Ó diÖn tÝch nµy cã GTLN. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.
9) Cho h×nh l¨ng trô ABC.AB'C' cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA' ^ (ABC) vµ AA' = a. Cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn cña l¨ng trô t¹o bëi mÆt ph¼ng (a) trong mçi tr­êng hîp sau:
 a) (a) qua A vµ ^ B'C	b) (a) qua B' vµ ^ A'I (I lµ trung ®iÓm cña BC). 	
III) Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc:
 j ) NhÞ diÖn - gãc cña hai mÆt ph¼ng:
1) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, vÏ SA = a, SA ^ (ABCD). TÝnh sè ®o cña c¸c nhÞ diÖn sau:	 
 a) (S, AB, C)	b) (S, BD, A)	c) (SAB, SCD)
2) Cho h.vu«ng ABCD c¹nh a t©m O; SA ^ (ABCD). TÝnh SA theo a ®Ó sè ®o nhÞ diÖn (B, SC, D) b»ng 1200.
3) Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã t©m O vµ OB = . VÏ SO ^ (ABCD) vµ SO = .
 a) CM: gãc ASC = 300.	b) Chøng minh c¸c mÆt ph¼ng (SAB); (SAD) ^ víi nhau.
4) Cho tø diÖn SABC cã SA, SB, SC ®«i mét vu«ng gãc vµ SA = SB = SC. Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AB, BC. TÝnh gãc hîp bëi hai mÆt ph¼ng (SAJ) vµ (SCI).
5) Cho tø diÖn ABCD cã mÆt ABC lµ tam gi¸c ®Òu, mÆt DBC vu«ng c©n t¹i D. BiÕt AB = 2a, AD = a. TÝnh sè ®o gãc nhÞ diÖn c¹nh BC.
6) Cho ba nöa ®­êng th¼ng Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng víi gãc xOy = 900 gãc yOz = 600. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn t¹o bëi hai mÆt ph¼ng xOz, zOy.
7) Cho h. chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, DSAB ®Òu vµ (ABCD). Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB.
 a) CM: SH ^ (ABCD).	 b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. CM: SC ^ DI. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn (B, SC, D)
k øng dông cña ®Þnh lý diÖn tÝch h×nh chiÕu cña ®a gi¸c
1) Cho DABC ®Òu c¹nh a ë trong mÆt ph¼ng ( ... ×nh hµnh ABCD. Mét mÆt ph¼ng (P) c¾t SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i A’, B’, C’, D’. Chøng minh hÖ thøc: 
bµi10: Hai h.chãp tam gi¸c ®Òu cã chung chiÒu cao, ®Ønh, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp trïng víi t©m cña h×nh chãp kia, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp nµy c¾t c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp kia. C¹nh bªn l cña h×nh chãp thø nhÊt t¹o víi ®­êng cao gãc a. C¹nh bªn cña h×nh chãp thø hai t¹o víi ®­êng cao gãc b . TÝnh thÓ tÝch phÇn chung cña hai h×nh chãp 
bµi11: Trong mÆt ph¼ng (a) cho DOAB vµ mét ®iÓm di ®éng M trªn ®o¹n AB. Tõ M ta dùng hai ®­êng th¼ng song song víi OB vµ OA, LÇn l­ît c¾t OA, OB t¹i P vµ Q; Gäi I lµ giao ®iª,r cña AQ vµ BP. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mp(a) t¹i M ta lÊy ®iÓm S ¹ M. §Æt OA = a, OB = b
Chøng minh: . Tõ ®ã suy ra thÓ tÝch hai h×nh chãp SOPIQ vµ SIAB b»ng nhau
Cho gãc AOB = 600, a = 2b vµ SM = b. Gäi j1, j2 lÇn l­ît lµ gãc ph¼ng cña hai nhÞ diÖn t¹o bíi (SOA) vµ (SOB) víi mp(a). CMR: khi M ®i ®éng trªn ®o¹n AB th× ta lu«n cã hÖ thøc: 
bµi12: §¸y cña h×nh chãp lµ tam gi¸c vu«ng cã diÖn tÝch Q vµ gãc nhän a. MÆt bªn qua c¹nh ®èi víi a vu«ng gãc víi mÆt ®¸y; hai c¹nh bªn cßn l¹i hîp víi mÆt ®¸y gãc b 
TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo a, b, Q
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× tiÕp tuyÕn ®ã lín nhÊt (Q, b kh«nh ®æi) 
bµi13: Trong mp (P) cho h×nh thang c©n ABCD ngo¹i tiÕp ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD tho¶ m·n ®iÒu kiÖn AB/CD = ¼ . Trªn ®­êng th¼ng d vu«ng gãc v¬Ý (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = 2R
TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp SABCD
b)Chøng minh O c¸ch ®Òu bèn mÆt cña h×nh chãp SABCD tõ ®ã t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp 
bµi14: Chøng minh r»ng nÕu h×nh chãp cã c¸c mÆt bªn lµm víi mÆt ®¸y mét gãc b»ng nhau th× h×nh chãp cã mÆt cÇu néi tiÕp. §iÒu ng­îc l¹i cã ®óng kh«ng? 
bµi15: Cho h. chãp tam gi¸c ®Òu SABC cã ch©n ®­êng cao SH = h. Gäi I, J, K lÇn l­ît lµ trùc t©m c¸c mÆt bªn cña h. chãp 
Chøng minh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp SIJK cã t©m trªn SH
Gäi r lµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy. TÝnh thÓ tÝch cña SABC theo r vµ h 
bµi16: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu SABC víi c¹nh ®¸y AB = a vµ ®­êng cao SH = h
TÝnh theo a vµ h c¸c b¸n kÝnh r, R cña c¸c mÆt cÇu néi tiÕp, ngo¹i tiÕp h×nh chãp 
Gi¶ sö a cè ®Þnh, h thay ®æi. X¸c ®Þnh ®Ó r/R lín nhÊt 
bµi17: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã diÖn tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp lµ S vµ diÖn tÝch mÆt cÇu néi tiÕp lµ s
Chøng minh: S ³ 9s	b)TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo S vµ s 
 	..
Mét sè ®Ò thi ®¹i häc tõ 2002-2009
1.(§Ò CT- K A - 08)Cho l¨ng trô ABC.A'B'C' cã ®é dµi c¹nh bªn b»ng 2a,®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng tai A , AB =a,AC = a vµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®Ønh A' trªn mÆt ph¼ng (ABC) lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC .TÝnh theo a thÓ tÝch khèi chãp A'.ABC vµ tÝnh cosin cña gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AA' ,B'C'.
2 . (§Ò CT- K B - 08)Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a,SA=a,SB=a vµ mp (SAB) vu«ng gãc víi mp ®¸y .Gäi M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB ,BC.TÝnh theo a thÓ tÝch cña khèi chãp S.BMDN vµ tÝnh cosin cña gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng SM,DN.
3. (§Ò CT- K D - 08) Cho l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng AB =BC =a,c¹nh bªn AA' = a.Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh Bc.TÝnh theo a thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô ABC.A'B'C' vµ kho¶ng c¸ch hai ®­êng th¼ng AM,B'C.
4. (KA - 07)Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAD lµ tam gi¸c ®Òu vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y .Gäi M,N,P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB,BC,CD . chøng minh AM vu«ng gãc víi BP vµ tÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖnCMNP .
5. (KB - 07)Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a .Gäi E lµ ®iÓm ®èi xøng cña D qua trung ®iÓm cña SA ,M lµ trung ®iÓm cña AE ,N lµ trung ®iÓm cña BC . Chøng minh MN vu«ng gãc víi BD vµ tÝnh (theo a) kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng MN vµ AC. 
6. (KD - 07)Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang ,, BA=BC=a,AD=2a. C¹nh bªn SA vu«ng gãc vãi ®¸y vµ Hlµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB.Chøng minh tam gi¸c SCD vu«ng vµ tÝnh theo a kho¶n c¸ch tõ H ®Õn mp (SCD).
7. (DBKA - 07)Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã AB =a, AC =2a, AA' =2a vµ gãc Gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh CC'.CMR MB vu«ng gãc víi MA' vµ tÝnh kho¶ng c¸ch d tõ ®iÓm A tíi mp (A'BM).
8. (DBKA - 07)Cho h×nh chãp S.ABCD cã gãc = 600 , ABC vµ SBC lµ c¸c tam gi¸c ®Òu c¹nh a. TÝnh theo a kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn mÆt ph¼ng (SAC).
9. (DBKB - 07)Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O. SA vu«ng gãc víi ®¸y h×nh chãp .Cho AB = a,SA =a.Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB,SD.Chøng minh SC (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch khèi chãp OAHK.
10. (DBKB - 07)Trong mp (P) cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB=2R vµ ®iÓm C thuéc nöa ®­êngTrßn ®ã sao cho AC = R.Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) t¹i A lÊy ®iÓm S sao cho gãc (SAB,SBC) = 600.Gäi H,K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña O trªn SB,SC.Chøng minh tam gi¸c AHK vu«ng vµ tÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABC.
11. (DBKD - 07)Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABCA1B1C1 cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng ,AB=AC =a, AA1=a.Gäi M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AA1 vµ BB1 .Chøng minh r»ng MN lµ ®­êng vu«ng gãc chung cña c¸c ®­êng th¼ng AA1 vµ BB1 . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp MA1BC1.
12. (DBKD - 07)Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng a.M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AA1.Chøng minh r»ng vµ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a BM vµ B1C.
13. (KA - 06)Cho h×nh l¨ng trô cã ®¸y lµ hai h×nh trßn t©m O vµ O’ ,b¸n kÝnh ®¸y b»ng chiÒu cao vµ b»ng a .Trªn ®­êng trßn ®¸y t©m O lÊy ®iÓm A ,trªn ®­êng trßn ®¸y t©m O’ lÊy ®iÓm B sao cho AB = 2a.TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn OO’AB.
14. (DBKA - 06)Cho h×nh hép ®øng ABCD.A’B’C’D’ cã c¸c c¹nh AB =AD = a, AA’ = vµ gãc BAD =600.Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh A ‘D’ vµ A’B’.Chøng minh AC’ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BDMN) .TÝnh thÓ tÝch khèi chãp A.BDMN.
15. (DBKA - 06)Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB =a,AD = 2a.C¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y ,c¹nh SB t¹o víi mÆt ph¼ng ®¸y mét gãc 600. Trªn c¹nh SA lÊy ®iÓm M sao cho AM = .mp (BCM) c¾t c¹nh SD t¹i ®iÓm .TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.BCNM.
16. (KB - 06) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB = a,AD = a, SA = a vµ SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) .gäi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AD vµ SC ;I lµ giao ®iÓm cña BM vµ AC.Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (SAC) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SMB) .TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ANIB.
17. (DBKB - 06) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi c¹nh a ,gãc BAD =600,SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD),SA=a.Gäi C’ lµ trung ®iÓm cña SC.MÆt ph¼ng (P) ®i qua AC’ vµ song song víi BD,c¾t c¸c c¹nh SB,SD cña h×nh chãp lÇn l­ît t¹i B’,D’.TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AB’C’D’.
18. (DBKB - 06) Cho l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã A’.ABC lµ h×nh chãp tam gi¸c ®Òu ,c¹nh ®¸y AB=a,c¹nh bªn A’A=b.Gäi lµ gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (ABC) vµ (A’BC) .TÝnh tg vµ thÓ tÝch cña khèi chãp A’.BB’C’C.
19. (KD - 06) Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a,SA = 2a vµ SA vu«ng gãc víi mp (ABC) .Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn c¸c ®­êng th¼ng SB vµ SC.TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp A.BCNM.
20. (DBKD - 06) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a,gäi SH lµ ®­êng cao cña h×nh chãp . Kho¶ng c¸ch tõ trung ®iÓm I cña SH ®Õn mÆt bªn (SBC) b»ng b. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp SABCD.
21. (DBKD - 06) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a vµ ®iÓm k thuéc c¹nh CC’ sao cho CK = mp®i qua A,K vµ song song víi BD chia khèi lËp ph­¬ng thµnh hai khèi ®a diÖn .TÝnh V cña hai khèi ®a diÖn ®ã.
22. (DB-KD-04)Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh AB = a.Trªn c¸c n÷a ®­êng th¼ng Ax,By vu«ng gãc víi mp (ABCD) vµ n»m vÒ cïng phÝa ®èi víi mp (ABCD) ,lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm M,N sao cho tam gi¸c MNC vu«ng t¹i M .§¹t AM=m,BN=n.CMR , m(n – m ) = a2 vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch h×nh thang ABNM.
23. (CT-KA-03)Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’.TÝnh sè ®o cña gãc ph¼ng nhÞ diÖn [B,A’C,D].
24. (CT-KA-03)Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã A trïng víi gèc hÖ to¹ ®é ,B(a,0,0) ,D(0,a,0),A’(0,0,b)(a > 0,b > 0).Gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh CC’.
 a) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn BDA’M theo a vµ b.
 b) X¸c ®Þnh tû sè ®Ó hai mÆt ph¼ng (A’BD) vµ (MBD) vu«ng gãc víi nhau.
25. (DB -KA-03)Cho l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c c©nvíi AB=AC=a vµ gãc BAC = 1200 ,c¹nh bªn BB’= a.Gäi I lµ trung ®iÓm cña CC’.CMR ,tam gi¸c AB’I vu«ng ë A.TÝnh cosin cña gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (ABC) vµ (AB’I).
26 (CT -KB-03)Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABCD.A’B’C’D’ cã ®¸y ABCD lµ mét h×nh thoi c¹nh a , gãc . Gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh AA’ vµ N lµ trung ®iÓm c¹nh CC’. CMR bèn ®iÓm B’, M, D, N cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. 
H·y tÝnh ®é dµi c¹nh AA’ theo a ®Ó tø gi¸c B’MDN lµ h×nh vu«ng.
27. (DB -KB-03)Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’.T×m ®iÓm M thuéc c¹nh AA’ sao cho mÆt ph¼ng (BD’M) c¾t h×nh lËp ph­¬ng theo mét thiÕt diÖn nhá nhÊt.
28. (DB -KB-03)Cho h×nh chãp ®Òu S.ABC, c¹nh ®¸y b»ng a,mÆt bªn t¹o víi ®¸y mét gãc b»ng TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC vµ kho¶ng c¸ch tõ ®Ønh A ®Õn mÆt ph¼ng (SBC).
29. (CT -KD-03) Cho hai mp (P)vµ (Q)vu«ng gãc víi nhau,cã giao tuyÕn lµ ®­êng th¼ng. Trªn lÊy hai ®iÓm A, B víi AB = a. Trong mp (P) lÊy ®iÓm C, trong mÆt ph¼ng (Q) lÊy ®iÓm D sao cho AC,BD cïng vu«ng gãc víi vµ AC= BD= AB. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (BCD) theo a.
30. (DB -KD-03) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B vµ AB = a, BC = 2a, c¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = 2a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC.CMR, tam gi¸c AMB c©n t¹i M vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB theo a.
31. (DB -KD-03) Cho tø diÖn ABCD cã AD vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) vµ tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. AD=a,AC=b,AB=c.TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c BCD theo a,b,c vµ chøng minh r»ng 2S 
32. (CT -KA-02)Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ®Ønh S,cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a.Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC .TÝnh theo a diÖn tÝch tam gi¸c AMN,biÕt r»ng mp (AMN) vu«ng gãc víi mp (SBC).
33.TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD, biÕt AB =a, AC =b, AD =c vµ gãc BAC = CAD = DAB =600.
34. (CT -KB-02)Cho h×nh lËp ph­¬ng ABSDA1B1C1D1 cã c¹nh b»ng a.
a. TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A1B vµ B1D.
b. Giäi M,N,P lÇn l­ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB1 CD,A1D1.. TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng MP vµ C1N .
35. (DB -KB-02)Cho tø diÖn OABC cã 3 c¹nh OA,OB,OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau .Gäi lÇn l­ît lµ c¸c gãc gi÷a mÆt ph¼ng (ABC) víi c¸c mÆt ph¼ng (OBC), (OCA) , (OAB).Chøng minh r»ng : 
36. (CT -KD-02)Cho h×nh tø diÖn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mp (ABC) ;AC=AD =4 cm;AB =3cm ; BC = 5cm .
 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD). 
37. (DB -KD-02)Cho h×nh tø diÖn ABCD ,c¹nh a = 6.H·y x¸c ®Þnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña hai ®­¬ng th¼ng AD vµ BC.
38. (DB -KD-02)Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a vµ c¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y (ABC) . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (SBC) theo a .biÕt r»ng 
39.( DB -KB-02)Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a,SA vu«ng gãc víi ®¸y (ABCD) vµ SA b»ng a.Gäi E lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD .TÝnh theo a kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm S ®Õn ®­êng th¼ng BE .
	HÕt