Bài tập Bất đẳng thức – THPT Yên Mô B

Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B 1 
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
Bài 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b c a b c
a b c
3 3 3 21 1 1( ) ( )
 
+ + + + ≥ + + 
 
 b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 23( ) ( )( )+ + ≥ + + + + 
c) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )+ + ≥ + + 
Bài 2. Cho a, b > 0. Chứng minh 
a b a b
1 1 4
+ ≥
+
 (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 
 a) 
a b c a b b c c a
1 1 1 1 1 12
 
+ + ≥ + + 
+ + + 
; với a, b, c > 0. 
 b) 
a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 12
2 2 2
 
+ + ≥ + + 
+ + + + + + + + + 
; với a, b, c > 0. 
 c) Cho a, b, c > 0 thoả 
a b c
1 1 1 4+ + = . Chứng minh: 
a b c a b c a b c
1 1 1 1
2 2 2
+ + ≤
+ + + + + +
 d) ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + ≤
+ + +
; với a, b, c > 0. 
 e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12+ + = . Chứng minh: xy yz xz
x y y z z x
2 8 4 6
2 2 4 4
+ + ≤
+ + +
. 
 f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 12
 
+ + ≥ + + 
− − −  
. 
Bài 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 
a b c a b c
1 1 1 9
+ + ≥
+ +
 (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 
 a) a b c a b c
a b b c c a
2 2 2 1 1 1 3( ) ( )
2
 
+ + + + ≥ + + 
+ + + 
. 
 b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = . Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z
x y z1 1 1
+ +
+ + +
. 
 c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + ≤ . Tìm GTNN của biểu thức: 
 P = 
a bc b ac c ab2 2 2
1 1 1
2 2 2
+ +
+ + +
. 
 d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = . Chứng minh: 
ab bc caa b c2 2 2
1 1 1 1 30+ + + ≥
+ +
. 
 e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
A B C
1 1 1 6
2 cos2 2 cos2 2 cos2 5
+ + ≥
+ + −
. 
Bài 4: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a) A x y y x1 1= + + + , với mọi x, y thoả x y2 2 1+ = . 
Bài 5. 1:0,, ≤++> cbacba . Chứng minh rằng: .9
2
1
2
1
2
1
222 ≥+
+
+
+
+ abcacbbca
Bài 6: : Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 1= . Chứng minh rằng: 
 ab bc ca
a b ab b c bc c a ca5 5 5 5 5 5
1+ + ≤
+ + + + + +
. (*) 
Bài 7: Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c a b c3 3 3+ + ≥ + + , với a, b, c > 0 và abc = 1. 
Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B 2 
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
Bài 1: Cho a, b, c 0≥ và 2 2 2 3a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 3 3
2 2 21 1 1
a b cP
b c a
= + +
+ + +
Bài 2: Cho các số dương , , : 3.a b c ab bc ca+ + = Chứng minh rằng: 
2 2 2
1 1 1 1 .
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
 3a b b c c a
ab c bc a ca b
+ + +
+ + ≥
+ + +
Bài 4: Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
333 3
1
3
1
3
1
accbba
P
+
+
+
+
+
= . (ĐS: minP = 3 khi 4/1cba === ) 
Bài 5: Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 
9 9 9 9 9 9
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z xP
x x y y y y z z z z x x
+ + +
= + +
+ + + + + +
 . (ĐS: minP = 2 khi x = y =z =1) 
Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: ab bc ca 1+ + = . Chứng minh rằng: 
 a b c
a b c2 2 2
3
21 1 1
+ + ≤
+ + +
. 
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện 
1 1 1 2
x y z
+ + ≥ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). 
Bài 8: Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d­¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng 
 1 1 1 1
1 1 1x y y z z x
+ + ≤
+ + + + + +
Bài 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức: 1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
= + +
+ + +
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
12 44
22
ba
baab
A ++
+
+= . 
Trong đó: 1:0;0 =+>> baba . 
Bài 11: 
Bài 12: