Bài giảng: Phương trình và bất phương trình vô tỷ

Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 1
BÀI GIẢNG: 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
---------------------------------------------------------- 
I- PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN: 
 Dạng 1: 
2
( ) 0 (HoÆc ( ) 0) 
1. ( ) ( ) 
( ) ( )
( ) 0 
2. ( ) ( ) 
( ) ( )
³ ³ì
= Û í =î
³ì
= Û í
=î
f x g x
f x g x
f x g x
g x
f x g x
f x g x
 Dạng 2: 
2
32
1 2 3
( ) 0
 (2). NghiÖm S
( ) 0
3. ( ) ( ) (1) 
( ) 0
 (3). NghiÖm S
( ) ( )
TËp nghiÖm (1): S
( ) 0
 (2). NghiÖm S
( ) 0
4. ( ) ( ) (1) 
é <ì
íê ³îê> Û ê ³ìêíê >îë
= È
£ì
í ³î³ Û
g x
f x
f x g x
g x
f x g x
S S
g x
f x
f x g x
2
32
1 2 3
( ) 0
 (3). NghiÖm S
( ) ( )
TËp nghiÖm (1): S
é
ê
ê
ê ³ìêíê ³îë
= È
g x
f x g x
S S
 Dạng 3: 
2
2
( ) 0
5. ( ) ( ) 
( ) ( )
( ) 0
6. ( ) ( ) 
( ) ( )
>ì
< Û í
<î
³ì
£ Û í £î
g x
f x g x
f x g x
g x
f x g x
f x g x
Lưu ý: Bất phương trình tích. 
Dạng 1: 
( ) 0
( ) 0
 ( ). ( ) 0 
( ) 0
( ) 0
é >ì
íê >îê> Û ê <ìêí <êîë
f x
g x
f x g x
f x
g x
Dạng 2: 
( ). ( ) 0
 ( ). ( ) 0 
( ). ( ) 0
=é³ Û ê >ë
f x g x
f x g x
f x g x
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 2
II- LUYỆN TẬP: 
Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
Bài tập 1: Giải các phương trình sau: 
1) 2 2 2 1 1 4+ + + - + =x x x 2) 2 9 4 3 1+ = - + +x x x 
3) 5 1 3 2 1 0- - - - - =x x x 4) 3 3 5 2 4- - - = -x x x 
5) ( ) 2 23 4 9- - = -x x x 6) 23 9 1 2- + = -x x x 
6) 4 1 2- - = -x x 7) 3 3 3 1 5- - =x x 
 8) 2 1 3 4 1 1 - - + + - - =x x x x 9) 2 1 2 1 2+ - - - - =x x x x 
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau: 
( )21) 3 6 2 2 1 0- + + + - >x x x 22) 3x 13 4 2 0+ + + - ³x x 
 3) 3 7 2 8+ - - > -x x x 24) 2 1 1+ + > +x x x 
 45) 2 2 
2
- - <
-
x
x
2 16 5
6) 3
3 3
-
+ - >
- -
x
x
x x
 7) 1 4 2 1- ³ +x x 
2
1 3 1 1
8) 
4 2
- < -
x x
9) 3 3 35 6 2 11+ + + = +x x x 10) ( ) 2 23 4 9- - £ -x x x 
Bài tập 3:** Giải các bất phương trình sau: 
1) ( ) 22 5 2 5 2 0- - + £x x x 2) ( )2 24 3 4 0- + - >x x x 
3) ( )2
( 1)
2 0
( 2)
-
+ ³
-
x
x x
x
 4) ( ) 2 22 4 4- + £ -x x x 
5) 
( )
2
2
4
2 9
1 1 2
< +
- +
x
x
x
 6) 2 2 2
2 1 1
> +
+ -
x
x
x
7) ( ) ( ) ( )224 1 2 10 1 3 2+ < + - +x x x 8) 
( )
2
2
2
21
3 9 2
£ +
- +
x
x
x
9) ( ) ( ) ( )224 1 2 10 1 3 2+ < + - +x x x 10) ( )2 24 4 2 4+ ³ + - +x x x x x 
Phương pháp 2: ĐẶT ẨN PHỤ 
Đặt ẩn phụ loại I: 
Bài tập 1: Giải các phương trình sau: 
1) 2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + + 2) 2 23 5 8 3 5 1 1x x x x+ + - + + = 
3) 2 25 10 1 7 2x x x x+ + = - - 4) ( ) ( ) 21 4 5 5 28x x x x+ + = + + 
5) ( ) 2 23 3 22 3 7x x x x- + - = - + 6) ( ) 235 2 5 2 2x x x x+ = + - - 
7) 2 24 2 2 4 5x x x x- + = - + 8) ( ) ( ) 24 4 2 2 12x x x x- - + = - - 
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 3
Đặt ẩn phụ loại II: 
Bài tập 2: Giải các phương trình sau: 
1) 221 1
3
x x x x+ - = + - 2) 22 3 1 3 2 2 5 3 2x x x x x+ + + = + + + - 
3) 24 4 16 6
2
x x x x+ + - = + - - 4) 5 15 2 4
22
x x
xx
+ = + + 
5) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + - + + - = - 
6) 2 2 2 1 1 4x x x+ + + - + = 7) 22 1 3 1 0x x x- + - + = 
8) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x- + - = - + - + 9) 312
1
=
+
-
+ x
x
x
x 
Bài tập 3: Giải các bất phương trình sau: 
1) ( ) 23 6 3x x x x+ £ - - 2) ( ) ( ) 24 1 3 5 2 6x x x x+ + - + + < 
3) 2 24 6 2 8 12x x x x- - ³ - + 4) 12 3
1
x x
x x
+
- >
+
 5) 2 14 2 2
2
x x
xx
+ + - 
 7) ( ) ( )3 21 1 3 1 0x x x x+ + + + + > 8) ( ) ( )1 3 2 1 3 4 2x x x x x- + + + - + > -
 9) 2 21 1x x x x+ - £ - 10) ( ) ( )5 3 1 5 3x x x x+ + - - < + + - -
 11) 
2
35
121
xx
x
+ >
-
 12) 2 21 2 2x x x x- £ + 
 13) 2 21 2 2x x x x- ³ - 14) ( ) 3 34 1 1 2 2 1x x x x- + £ + + 
15) 22 12 6 2 1 2x x x x+ + - - > + 16) 22 6 8 2x x x x- + - £ - 
 MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC SẮC 
Bài tập 1: (Ứng dụng biệt số D ) Giải các phương trình sau: 
1) ( ) 2 24 1 1 2 2 1x x x x- + = + + 2) ( ) 2 22 1 2 1 2 1x x x x x- + - = - - 
3) 2 12 1 36x x x+ + + = 4) 24 1 1 3 2 1 1x x x x+ - = + - + - 
5) 2 2 2 2 1x x x- = - 6) 24 1 3 3 1 1x x x x+ - = + - + - 
Bài tập 2: (Lượng liên hợp) Giải các phương trình sau: 
1) 
( )
2
2
4 2 9
1 1 2
x x
x
= +
- +
 2) ( )2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x- + - - = - - - - + 
3) 34 1 3 2
5
xx x ++ - - = 4) 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x- + - - = + + + - + 
Bài tập 3: (Khử trị tuyệt đối) Giải các phương trình sau: 
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 4
1) 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ - - + + - - = 2) 32 1 2 1
2
xx x x x ++ - + - - =
 3) 2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + - + - - - = 4) 2 1 2 1 2x x x x+ - - - - = 
5) 4 22 1 1x x x- + = - 6) 4 2 1 4x x+ = + + 
7) 4 4 4 4 2x x x x- - + + - = 8) 15 8 1 8 6 1 1x x x x+ - - + + - - = 
Bài tập 4: (Kỹ thuật đ ưa về phương trình đẳng cấp) Giải các phương trình sau: 
a) ( )2 32 2 5 1x x+ = + b) 2 32 5 1 7 1x x x+ - = - 
-------------------------------------- 
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG 
Đề 1: (Khối D- 2002) Giải bất phương trình: ( )2 23 2 3 2 0x x x x- - - ³ 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )1; 2;
2
D æ ù= -¥ - È +¥ç úè û
Phương trình
2
2
2
2
3 0
2 3 2 0
3 0
2 3 2 0
x x
x x
x x
x x
é
ê
- =ê
êÛ - - =ê
êì - >ïêí
- - >êïîë
Đề 2: (Dự bị- 2002) Giải bất phương trình: 12 3 2 1x x x+ ³ - + + 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )= +¥3;D 
Phương trình Û + ³ - + - -212 3 2 2 2 5 3x x x x 
( )
£ £ì £ £ìï ïÛ - - £ - Û Ûí í
+ - £- - £ - ïï îî
£ £ìÛ Þ £ £í- £ £î
2
2 22
3 7 3 7
2 5 3 7
9 52 02 5 3 7
3 7
3 4
13 4
x x
x x x
x xx x x
x
x
x
Đề 3: (Dự bị- 2002) Giải phương trình: 24 4 2 12 2 16x x x x+ + - = - + - 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )4;D = +¥ 
Đặt 2 2
4 0
2
4 0
u x
u v x
v x
ì = + ³ï Þ + =í
= - ³ïî
( ) ( ) ( )
( )
( )
22 2
3
1 12 2 12 0
4
u v
u v u v uv u v u v
u v
é + = -
+ = + - + Û + - + - = Û ê
+ =êë
 lo¹i
tt: 
 nhËn
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 5
Đề 4: (Khối A- 2004) Giải bất phương trình: 
( )22 16 73
3 3
x xx
x x
- -
+ - >
- -
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )4;D = +¥ 
Phương trình ( ) ( ) ( )2 22 16 3 7 2 16 10 2x x x x xÛ - + - > - Û - > - 
( )
( ) ( )
2
22
10 2 0
2 16 0
10 2 0
2 16 10 2
x
x
x
x x
é - <ìïêí - ³êïîÛ ê
- ³ìêï
íê - > -ïêîë
Đề 5: (Dự bị- 2004) Chứng minh với mọi 0m ³ , phương trình sau luôn có nghiệm: 
2 2 2 35 4 2 0
3
x m x mæ ö+ - + + - =ç ÷è ø
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: =D R 
Đề 6: (Khối D- 2005) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
( )2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ - - + = - + + - - 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ ]= -1;1D 
Đề 7: (Khối A- 2005) Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x- - - > - 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )= +¥2;D 
Đề 8: (Khối D- 2005) Giải phương trình: 2 2 2 1 1 4x x x+ + + - + = 
Hướng dẫn giải: 
Đk: ( )
2
1 1 0 2 2 1 0
1
1 0 1
ìì + + ³ " Î+ + + ³ï ïÛ Û ³ -í í
+ ³ïî ï ³ -î
x x Dx x
x
x x
Đặt ( )21. Lóc ®ã (1) trë thµnh: 2 1 2 4 2 1 4....t x t t t t t= + + + - = Û + - = 
Đề 9: (Cao đẳng- 2009) Giải bất phương trình: 1 2 2 5 1x x x+ + - > + 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )= +¥2;D 
Đề 10: (Khối D- 2005) Giải phương trình: 22 1 3 1 0x x x- + - + = . 
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 6
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: 1 ;
2
D é ö= +¥÷êë ø
Cách 1: Đặt ẩn phụ hoàn toàn 
Phương trình tương đương: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
1 12 1 2 1 0 2 1 2 1 0
2 4
1 12 1 2 1 2 1 0 2 1 4 2 1 4 2 1 1 0
4 4
x x x x x x x
x x x x x x
æ ö- - - + - = Û - - - + - - =ç ÷è ø
Û - - - + - - = Û - - - + - - = (2)
Đặt 2 1 0t x= - ³ . Ta được phương trình: ( ) ( )4 2 44 4 1 0 1 4 1 0t t t t t t- + - = Û - - - = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
23 2 2
1 1 1 4 1 0 1 1 1 4 0
1 3 1 0 1 2 1 0
t t t t t t t t t
t t t t t t t
é ùÛ - + + - - = Û - + + - =ë û
Û - + - + = Û - + - =
Hoặc: 
( )
22 2 2
4 2 4
1 1 1
§Æt 2 1 . Lóc ®ã (1) trë thµnh: 3 1 0
2 2 2
4 4 1 0 1 4 ( 1) 0......
t t t
t x x t
t t t t t t
æ ö æ ö+ + +
= - Þ = + - + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Û - + - = Û - - - =
Cách 2: Học sinh Dương Phước Hoài 12B5 NK 2008- 2011 
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
22
2 2
2
2
2 1 3 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0
2 12 1 2 1 0 2 1 0
2 1 2 1
2 1 012 1 1 0
2 1 2 1 1
x x x x x x x x x x x
x xx x x x x x
x x x x
x x
x x
x x x x
- + - + = Û - + - - + = Û - - + - + =
- +- -Û + - + = Û - + - =
- + - +
é - + =æ öÛ - + - = Û êç ÷- + - + =è ø êë
Cách 3: Học trò Huy chelsea HBT 12 2012 
( ) ( )2 2
2 2
1 12 1 2 1 2 1 2 1
4 4
1 12 1
2 21 12 1
1 12 2 2 1
2 2
x x x x x x x x
x x
x x
x x
Û - - - = - Û - - - + = - +
é - - = -êæ ö æ ö êÛ - - = - Ûç ÷ ç ÷ æ öè ø è ø ê - - = - -ç ÷ê è øë
Đề 11: (Dự bị- 2005) Giải phương trình: 3 3 5 2 4x x x- - - = - 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ ]= 2;5D 
Đề 12: (Dự bị- 2005) Giải bất phương trình: 2 7 5 3 2x x x+ - - ³ - 
Hướng dẫn giải: 
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 7
TXĐ: é ù= ê úë û
2 ;5
3
D 
Đề 13: (Dự bị- 2005) Giải bất phương trình: 28 6 1 4 1 0x x x- + - + £ 
Hướng dẫn giải: 
Đề 14: (Khối B- 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 
2 2 2 1x mx x+ + = + (1) 
Hướng dẫn giải: 
Ta có: 
( ) ( ) (2)
ì ì³ - ³ -ï ï+ + = + Û Ûí í
ï ï - - - =+ + = + îî
2
2 22
1 1
2 22 2 1
3 4 1 02 2 1
x x
x mx x
x m xx mx x
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 
Û Phương trình (2) có 2 nghiệm 1 2, x x thỏa mãn: 1 2
1
2
x x- £ < 
( )
( ) ( )
2
2
4 12 0
4 1 9
2 6 2 2
1 3 4 1 0 3 4 1
2 4 2
 víi 
m m
S m m
mf f x x m x
ì
ïD = - + > "
ï
-ïÛ = > - Û ³í
ï
ï -æ ö- = + - ³ = - - -ç ÷ï è øî
Cách khác: 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 
Û Phương trình (2) có 2 nghiệm 1 2, x x thỏa mãn: 1 2
1
2
x x- £ < 
Ta có: ( ) ( ) - æ ö- = - Û - = = ³ -ç ÷è ø
2
2 3 1 13 1 4 4
2
xx m x m g x x
x
Tiến hành khảo sát ( ) 1
2
 y g x xæ ö= ³ -ç ÷è ø
, dựa vào bảng biến thiên và đưa ra kết luận. 
Đề 15: (Dự bị- 2006) Giải phương trình: 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x- + - = - + - + 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )= +¥1;D 
( ) ( )2 2
2
§Æt 3 2 1 0 4 3 2 3 2 1 4 3 2 3 5 2
3
Lóc ®ã (1) trë thµnh: 6 .......
2 (lo¹i)
t x x t x x x x x x
t
t t
t
= - + - > Þ = - + - - = - + - +
=é
= - Û ê = -ë
Đề 16: (Dự bị- 2006) Giải phương trình: 22 7 2 1 8 7 1x x x x x+ - = - + - + - + 
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 8
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ ]= 1;7D 
Phương trình ( ) ( ) ( )Û - + - = - + - -1 2 7 2 1 7 1x x x x x 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
é ùÛ - - - - - - - - =ë û
Û - - - - - - - - =
é - =
Û - - - - - = Û ê
- = -êë
1 7 1 2 1 7 0
1 1 7 2 1 7 0
1 2
1 2 1 7 0
1 7
x x x x x
x x x x x
x
x x x
x x
Đề 17: (Khối A- 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
243 1 1 2 1x m x x- + + = - 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )= +¥1;D 
( ) ( )
4
24
4 4
2
1 13 2
1 1
1, 3 2
1
1 21 1 0 1
1 1
3 2 0 1
Ph­¬ng tr×nh ®· cho (1)
§Æt khi ®ã (1) trë thµnh: (2)
V× vµ nªn 
Hµm sè cã b¶ng biÕn thiªn:
x x m
x x
xt t t m
x
xt x t
x x
f t t t t
- -Û - + =
+ +
-
= - + =
+
-
= = - ³ £ <
+ +
= - + £ <
Phương trình đã cho có nghiệm Û Phương trình (2) có nghiệm [ )0;1tÎ 
Dựa vào bảng biến thiên ta có các giá trị m cần tìm là: 11
3
m- < £ . 
Đề 18: (Khối B- 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình 
sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt: ( )2 2 8 2x x m x+ - = - 
Hướng dẫn giải: 
Theo giả thiết 0m > , ta có điều kiện của phương trình là 2x ³ . 
Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )3 2 3 2
2
2 6 32 0
6 32 0
x
x x x m
x x m
=é
- + - - = Û ê + - - =ë
. 
Ta chứng minh phương trình 3 26 32x x m+ - = (1) có một nghiệm thuộc ( )2;+¥ . 
Xét hàm số ( ) ( ) ( )/3 2 26 32 2 3 12 0 2 f x x x x f x x x x= + - > Þ = + > " > . 
Bảng biến thiên: 
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 9
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, với 0m > phương trình (1) luôn có nghiệm thuộc ( )2;+¥ 
nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt. 
Đề 19: (Dự bị- 2007) Tìm m để phương trình: ( )2 2 2 1 (2 ) 0- + + + - £m x x x x có nghiệm 
0;1 3é ùÎ +ë ûx 
Hướng dẫn giải: 
Đề 20: (Dự bị- 2007) Tìm m để phương trình: 4 2 1x x m+ - = có nghiệm. 
Hướng dẫn giải: 
Đề 21: (Dự bị- 2007) Tìm m để phương trình: 3 2 4 6 4 5x x x x m- - - + - - + = có 
đúng 2 nghiệm. 
Hướng dẫn giải: 
Đề 22: (Dự bị- 2007) Tìm m để phương trình: 44 13 1 0x x m x- + + - = có đúng 1 nghiệm. 
Hướng dẫn giải: 
Đề 23: (Khối A- 2008) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 
4 42 2 2 6 2 6x x x x m+ + - + - = 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ ]= 0;6D 
Đặt vế trái của phương trình là ( ) [ ]( ) = + + - + - Î4 42 2 2 6 2 6 0;6f x x x x x x 
Ta có: ( )
( ) ( )
= + - -
--
/
3 34 4
1 1 1 1
2 62 2 2 6
f x
x xx x
( ) ( )
( )( ) 
æ ö æ öç ÷= - + - Îç ÷ç ÷ -è ø-è ø
3 34 4
1 1 1 1 1 0;6
2 2 62 6
x
x xx x
Đặt ( )
( ) ( )
( ) = - = -
--3 34 4
1 1 1 1; .
2 62 6
u x v x
x xx x
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 10
Ta thấy ( ) ( ) ( )/2 2 0 2 0u v f= = Þ = . Hơn nữa ( ) ( ), u x v x cùng dương trên ( )0;2 và cùng 
âm trên khoảng ( )2;6 . 
Ta có bảng biến thiên: 
Suy ra các giá trị m cần tìm là: 42 6 2 6 3 2 6m+ £ < + . 
Đề 24: (Dự bị- 2008) Giải phương trình: ( )
22 1
2 1 3 2
2
x
x x
-
+ + - = 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: 1 3;
2 2
D é ù= -ê úë û
Cách 1: Đặt 2 2
2 1 0
4
3 2 0
u x
u v
v x
ì = + ³ï Þ + =í
= - ³ïî
Lúc đó ta có hệ: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
8
8 8
4
4 4
u v u v
u v u vu v u v
u v
u v u v
ì ì- - ì + - =ï ï ï+ = + =Û Ûí í í
+ =ïï ï î+ = + =î î
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
8 8
2 4 4 2
u v u v u v u v
u v uv u v uv
ì ì+ - = + - =ï ïÛ Ûí í
- + = - = -ï ïî î
 (1)
 (2)
Thay (2) vào (1) ta được: ( ) ( ) 2 8u v u v+ - = . 
Cách 2: Học sinh Phạm Thị Trâm 12B1 NK 2009- 2012 
Phương trình được viết lại: - ++ + - =
24 4 12 1 3 2
2
x xx x 
Đặt ( ) - += + + - = ³
24 4 12 1 3 2 0
2
x xt x x t 
ì -ìì = + + - - + + == + - + + ïïï ïÞ Û Ûí í í- + - + - +=ï ï ï= =î î ïî
2
22 2
2 2
2
42 1 3 2 4 4 34 2 4 4 3
2
4 4 1 4 4 1 4 4 1
2 2 2
tt x x x xt x x
x x x x x xt t t
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 11
ì ìæ ö æ ö- -ï ï- + + = - - = -ç ÷ ç ÷ï ïè ø è øï ï æ ö-ï ïÛ - ³ Û - ³ Þ - = -ç ÷í í
è øï ï- + = - +ï ï=
ï ï
ï ïî î
2 22 2
2 2
22
2 2
2 2
4 44 4 3 4 4 3
2 2
44 0 4 0 2 4
2
4 4 1 2 4 4 1
2
t tx x x x
tt t t
x x t x xt
Đề 25: (Dự bị- 2008) Giải bất phương trình: 2 2
1 31
1 1
x
x x
+ >
- -
Hướng dẫn giải: 
Điều kiện: 1 1x- < < 
2 2 2
2 22 2
1 3
(1) 1 2 3. (2)
1 11 1
x x x x x
x xx x
- +Û + > Û + >
- -- -
2 2
2
2
2
2
2
1
§Æt . Lóc ®ã, (2) trë thµnh: 2 3 3 2 0
21
TH1: 1 : 1 1 .........
1
TH2: 2 : 2 1 .........
21
tx
t t t t t
tx
x
t x x
x
x x
t x
x
<é
= + > Û - + > Û ê >- ë
-
> > Û - <
-
Đề 26: (Dự bị- 2008) Giải phương trình: 10 1 3 5 9 4 2 2x x x x+ + - = + + - 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: 5;
3
D é ö= +¥÷êë ø
Phương trình 10 1 9 4 2 2 3 5x x x xÛ + - + = - - - 
( )
3 3
10 1 9 4 2 2 3 5
1 13 0
10 1 9 4 2 2 3 5
3
x x
x x x x
x
x x x x
x
- -Û =
+ + + - + -
æ öÛ - + =ç ÷+ + + - + -è ø
Û =
Đề 27: (Dự bị- 2008) Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( )221 3 2 3 2 1x x x x x+ - - + + < - - (1) 
Hướng dẫn giải: 
Điều kiện: 1 3x- £ £ 
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 3 2 2
(1) 2 3 2 3 2 1 (2)
§Æt 2 3 0 2 3.
Lóc ®ã (2) trë thµnh: . 2 2 0 2 2 2 0 2.....
x x x x x x
t x x t x x
t t t t t t t t t
Û - - - + + < - + +
= - + + > Þ = - + +
- Û - + + > Û >
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 12
Đề 28: (Khối A- 2009) Giải phương trình: - + - - =32 3 2 3 6 5 8 0x x . 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: 6;
5
D æ ù= -¥ç úè û
( )
( ) ( )
( )
3
3 2
23 2
2 3 8
3 2 6 5 0 .
5 3 8
8 28 2
3 2 43
2 15 26 20 015 4 32 40 0
§Æt vµ Ta cã hÖ: 
 vµ tháa m·n
u v
u x v x v
u v
uu vv
u v
u u uu u u
+ =ì
= - = - ³ í
+ =î
-ì-ì ==ï ïÛ Û Û = - =í í
ï ï + - + =+ - + =î î
Thế vào ta được: 2x = - . 
Đề 29: (Khối A- 2010) Giải bất phương trình: 
( )2
1
1 2 1
x x
x x
- ³
- - +
. 
Hướng dẫn giải: 
Ta có ( )
2
2 1 3 32 1 2 ,
2 2 2
æ ö- + = - + ³ " Îç ÷è ø
x x x x R 
Do đó ( )21 2 1 0- - + <x x 
TXĐ: D R= 
Với điều kiện 0³x , bất phương trình đã cho tương đương với 
 ( )22 1 1- + £ - + +x x x x (1) 
Cách 1: Ta thấy 0=x không thỏa mãn bất phương trình nên 0>x . Vì vậy chia 2 vế của BPT 
cho 0>x ta được: 
 1 12 1 1æ ö+ - £ - + +ç ÷è ø
x x
x x
Đặt 2 21 1 12 2= - Þ = + - Þ + = +t x t x x t
x xx
, bất phương trình được viết lại thành 
 ( )22 1 1+ £ +t t 
Tiếp tục biến đổi tương đương ta được: ( ) ( )22 2
1 0 1
2 1 1 2 1 0
+ ³ì ³ -ìï Ûí í
+ £ + - + £îïî
t t
t t t t
 ( )
2
1
1
1 0
1 1 5 3 51 1 0
2 2
³ -ìïÛ Û =í
- £ïî
- + -Û - = Û + - = Û = Û =
t
t
t
x x x x x
x
Cách 2: 
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 13
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 22 1 2 1 2 1 1 1 1x x x x x x x x- + = - + = + - + ³ - + 
Lúc đó: ( ) ( )2 1 0 3 51 2 1 1
21
x x
x x x x x
x x
ì - + ³ -ïÛ - + = - + Û Û =í
- =ïî
Đề 30: (Khối B- 2010) Giải phương trình: 23 1 6 3 14 8 0x x x x+ - - + - - = . 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: 1 ;6
3
é ù= -ê úë û
D 
Cách 1: Phương trình Û ( ) ( ) 23 1 4 1 6 3 14 5 0+ - + - - + - - =x x x x 
 Û ( ) ( )3 15 5 5 3 1 0
3 1 4 1 6
- -
+ + - + =
+ + + -
x x x x
x x
 Û 5 0- =x hay ( )3 1 3 1 0
3 1 4 1 6
+ + + =
+ + + -
x
x x
 (vô nghiệm) 
Suy ra 5=x là nghiệm của phương trình đã cho. 
Cách 2: Đặt 2 2
3 1 0
3 19
6 0
ì = + ³ï Þ + =í
= - ³ïî
u x
u v
v x
và ( ) ( )2 2 2 2 23 14 8 3 14 6 3 1 3 3- - = - - + + - = - + -x x x x x u v u . 
Lúc đó, phương trình trở thành: ( ) ( )2 2 2 2 23 0 4 1 1 0- - + - = Û - - - - - =u v u v u u u v v 
( ) ( ) ( )2 24 1 1 0 (1)Û - + - + + =u v u v u 
Dễ thấy: 2 2 1 0+ + >u v u 
2
2
* 4 3 3 1 (1) 0 :
* 4 3 3 1 (1) 0 :
* 4 1
> Þ 
 Þ > Þ <
= Þ = Þ
 XÐt VT lo¹i
 XÐt VT lo¹i
 XÐt Tháa m·n (1)
u v v
u v v
u v
( )3 1 4 5+ = Û =VËy Tháa m·n x x 
Đề 30: (Khối B- 2011) Giải phương trình: + - - + - = -23 2 6 2 4 4 10 3x x x x . 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ ]2;2D = - 
Ta có phương trình được viết lại: ( ) 23 2 2 2 4 4 10 3x x x x+ - + + - = - 
( )
[ ]
2 02 2 2 . 3
3
60 : 2 2 2 0 2 4 2
5
3: 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2;2
§Æt Ph­¬ng tr×nh trë thµnh: 
 Víi tháa m·n ®k.
 Víi v« nghiÖm do vµ 
t
t x x t t
t
t x x x x x
t x x x x t
=é
= + - + = Û ê =ë
= + - + = Û + = - Û =
= + = + + + £ + + ³ " Î -
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 14
Hướng khác: Đặt ( )2 23 2 6 2 9 10 3 4 4t x x t x x= + - - Þ = - - - 
Phương trình đã cho trở thành: 2
0
9 0
9
t
t t
t
=é
- = Û ê =ë
 Với 60 : 3 2 6 2
5
t x x x= + = - Û = thỏa 
 Với 9 : 3 2 6 2 9 2 3 2 2t x x x x= + - - = Û + = + - 
( ) [ ]2 9 12 2 4 2 12 2 5 15 0 2;2x x x x x xÛ + = + - + - Û - = - < " Î - 
Hướng khác: Đặt 2u x= + và v = ( )2 , 0v x u v= - ³ . Phương trình đã cho trở thành: 
2 2
2 2
3 6 4 4 (1)
4 (2)
u v uv u v
u v
ì - + = +ï
í
+ =ïî
 (1) ( ) ( )2
2
3 2 2
2 3
u v
u v u v
u v
=éÛ - = - Û ê = +ë
 Với 2u v= ta có (2) 2 4 4 62
5 5 5
v x xÛ = Þ - = Û = . 
 Với 2 3u v= + ta có (2) ( )2 2 22 3 4 5 12 5 0v v v vÛ + + = Û + + = vô nghiệm vì 0.v ³ 
Đề 01: Giải phương trình: ( ) 2 24 1 1 2 2 1x x x x- + = + + (1) 
Hướng dẫn giải: TXĐ: D R= 
Đặt 2 1 1t x t= + Þ ³ . 
Phương trình (1) trở thành: ( ) ( )2 24 1 2 2 1 2 4 1 2 1 0x t t x t x t x- = + - Û - - + - = 
Ta có: ( ) ( ) ( )2 24 1 8 2 1 4 3x x xD = - - - = - . 
 Lúc đó, phương trình 
( ) ( )
( ) ( )
ê
ê
ê
ê
ë
é
-=
-+-
=
=
---
=
Û
12
4
3414
2
1
4
3414
xxxt
xxt
 Lúc đó : 
ê
ê
ê
ë
é
-=+
=+
121
2
11
2
2
xx
x
Đề 01: Giải phương trình: 24 1 1 3 2 1 1x x x x+ - = + - + - (2) 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ ]1;1D = - . Đặt 1t x= - . 
Chú ý rằng: ( ) ( ) ( )23 1 2 1 1 2 1 1x x x t x= - - + + - = - + + - 
Lúc đó phương trình đã cho trở thành: ( )24 1 1 2 1 1 2 1x t x t t x+ - = - + + - + + + 
 ( ) ( )2 2 1 4 1 2 1 0t x t x xÛ - + + + + - + = (*) 
Ta có: ( ) ( ) ( )2 22 1 4 4 1 2 1 2 3 1x x x xé ùD = + + - + - + = - +ë û 
Từ đây: (*)
2 1
2 1
t x
t x
é = +
Û ê
= - +êë
Chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 15
Đề 01: Giải phương trình: ( )2 32 2 5 1x x+ = + 
Hướng dẫn giải: 
TXĐ: [ )1;D = - +¥ . 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 5 1 1 2 1 1 5 1 1x x x x x x x x x xé ù+ = + - + Û + + - + = + - +ë û 
( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 5 1 1x x x x x xÛ + + - + = + - + (1) 
Đặt 
2
1 0
1 0
u x
v x x
ì = + ³ï
í
= - + ³ïî
. 
Phương trình (*1) trở thành: 2 2 2 22 2 5 2 5 2 0u v uv u uv v+ = Û - + = (2) 
* Xét 
2
1 0
0 : 0
1 0
x
v u
x x
ì + =ï= = Þ í
- + =ïî
 vô nghiệm. 
* Xét 0 :v ¹ Chia (2) cho 2v ta được: 
2 2
2 5 2 0
1
2
u
u u v
uv v
v
é =êæ ö æ ö- + = Û êç ÷ ç ÷è ø è ø ê =êë
 + 2 22 1 2 1 4 5 3 0u x x x x x
v
= Þ + = - + Û - + = vô nghiệm. 
 + 2 2
5 37
1 22 1 1 5 3 0
2 5 37
2
 tháa
 tháa
xu x x x x x
v
x
é +
=ê
ê= Þ + = - + Û - - = Û
ê -
=êë