Bài giảng Giải tích lồi

GIẢI TÍCH LỒI
Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế
20/10/2005
1Mục lục
Mục lục 1
Chương 1 Tập lồi 3
1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Định lý Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. . . . . . 7
1.2.3. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. . . . . . . 16
1.4.2. Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 21
2.1. Định lý tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Định lý Tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3. Định lý Tách mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1. Tôpô yếu trên X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Tôpô yếu* trên X∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4. Không gian Banach phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3 Hàm lồi 28
3.1. Cấu trúc hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4. Dưới vi phân hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Chương 1
TẬP LỒI
1.1. Tập lồi - Đa tạp affine.
1.1.1. Đa tạp affine.
Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) lần lượt
là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x
và y. Tức là
L(x, y) = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ R},
[x, y] = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ [0, 1]},
(x, y) = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ (0, 1)},
[x, y) = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ (0, 1]}.
Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi
cặp điểm x, y ∈M ta có L[x, y] ⊂M . Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau
a) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine.
Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệu
Aff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A. Từ tính chất a) Aff(A) là một
đa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A.
Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi
véctơ có dạng
x =
m∑
i=1
λiai, với λi ∈ R thoả mãn
∑
λi = 1
là một tổ hợp affine của các véctơ {a1, a2, · · · , am}. Ta nhận được các tính chất sau
b) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine của các vectơ thuộc A}.
4c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức là
A =
{ m∑
1
λiai | m ∈ N∗; ai ∈ A; λi ∈ R :
∑
λi = 1
}
d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈M ta có M −m ≤ X, tức là
M = m+ V, với V là một không gian con của X.
Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V :
dimM := dimV ; codimM := codimV.
Nếu codimM = 1 ta nói M là một siêu phẳng.
Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian
các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X# := L(X,R), là
không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.
e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X# \ {0} và α ∈ R sao cho
M = f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}.
f) Nếu codimM = k ∈ N thì tồn tại các siêu phẳng M1, M2, · · · ,Mk sao cho
M =
k⋂
1
Mi.
1.1.2. Tập lồi.
Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C.
a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi.
Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu coA, là giao
của tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên coA cũng là một tập lồi và là tập
lồi bé nhất chứa A.
Một tổ hợp affine x =
∑m
i=1 λiai với các λi ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồi
của các véctơ {a1, · · · , am}.
b) coA = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}.
c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = coC, tức là
C =
{ m∑
1
λiai | m ∈ N∗; ai ∈ C; λi ≥ 0 :
m∑
1
λi = 1
}
.
Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C):
dimC := dimAff(C).
d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A+B, αA cũng lồi.
51.1.3. Nón lồi.
Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có
λk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyến
tính
∑m
i=1 λiai sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi ≥ 0 với mọi i, là tổ hợp
dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λi dương chặt.
a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi.
Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con coA, là nón lồi bé nhất
chứa A. Lúc đó,
b) con coA = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A}.
c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con coK, tức là
K =
{ m∑
1
λiki | m ∈ N; ki ∈ K; λi ≥ 0 :
m∑
1
λi > 0}.
d) Nếu K1, K2 là các nón lồi chứa gốc thì K1 +K2 = co(K1 ∪K2).
1.1.4. Định lý Carathéodory.
Định lý 1.1. Cho A ⊂ X. Lúc đó, với mọi k ∈ con coA \ {0}, tồn tại hệ độc lập
tuyến tính {a1, a2, · · · , am} ⊂ A và các số dương λ1, · · · , λm sao cho
k =
m∑
1
λiai.
Chứng minh. Giả sử k ∈ con coA \ {0}, lúc đó k được biểu diễn dưới dạng tổ
hợp dương của các vectơ thuộc A: k =
∑m
1 λiai với λi > 0 với mọi i. Nếu hệ
{a1, a2, · · · , am} phụ thuộc tuyến tính, thì tồn tại bộ hệ số (µ1, · · · , µm), với ít nhất
một µj > 0, sao cho
∑m
1 µiai = 0. Bây giờ nếu đặt
t0 = min
{λj
µj
∣∣∣ µj > 0} = λs
µs
,
ta được λi := λi − t0µi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, và
k =
∑
i6=s
λiai;
∑
i6=s
λi = 1.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2 (Carathéodory). Giả sử dimX = n <∞ và A ⊂ X. Lúc đó, với mọi
x ∈ coA, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n+ 1 vectơ thuộc A. Tức là, tồn tại
hệ {a0, a1, · · · , am} ⊂ A và các số λ0, · · · , λm ≥ 0, với m ≤ n, sao cho
m∑
0
λi = 1 và x =
m∑
0
λiai.
6Chứng minh. Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X × R. Dễ thấy coB = coA× {1}.
Do đó, với mọi x ∈ coA ta có y = (x, 1) ∈ coB ⊆ con coB. Theo Định lý 1.1 tồn
tại m vectơ độc lập tuyến tính {(a0, 1), (a1, 1), · · · , (am, 1)} ⊆ B và các số dương λi
sao cho
(x, 1) =
m∑
0
λi(ai, 1),
tức là
x =
m∑
0
λiai;
m∑
0
λi = 1.
Cuối cùng, chú ý rằng dimY = n+1 nên m ≤ n và định lý đã được chứng minh.
1.2. Định lý tách tập lồi.
1.2.1. Định lý Hahn-Banach.
Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm
hàm dưới tuyến tính nếu
a) ϕ(x+ y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X;
b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X.
Định lý 1.3 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M
là một không gian con của X và f ∈M# thoả mãn
f(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈M.
Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho
a) F |M = f ;
b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g) trong đó
M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y #, g|M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y . Trên U ta định nghĩa
quan hệ hai ngôi α xác định bởi
(Y, g)α(Z, h)⇔ Y ≤ Z; h|Y = g.
Có thể kiểm chứng được (U, α) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắp
thẳng đều tồn tại phần tử chận trên. Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tối
đại (Y, g). Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh.
Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y . Với mọi cặp y1, y2 ∈ Y ta có
g(y1)− g(y2) = g(y1 − y2) ≤ ϕ(y1 − y2) ≤ ϕ(y1 + v) + ϕ(−y2 − v)
7⇒ λ = sup{g(y1)− ϕ(y1 + v) | y1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y2) + ϕ(−y2 − v) | y2 ∈ Y }.
Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y+ tv) = g(y)− tλ. Dễ kiểm chứng được rằng
h ∈ Z#, với Z là không gian con sinh bởi Y và v, thỏa mãn h|Y = g. Mặt khác,
h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với mọi y + tv ∈ Z. Vậy (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g)α(Z, h),
mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại. Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X. Lúc
đó, với mọi f ∈M∗, tồn tại F ∈ X∗ sao cho
F |M = f và ‖F‖ = ‖f‖.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.3 với ϕ(x) = ‖f‖‖x‖.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x0 ∈ X \ {0}. Lúc đó, tồn tại
f ∈ X∗ sao cho
‖f‖ = 1 và f(x0) = ‖x0‖.
Chứng minh. Sử dụng Hệ quả 1.1 với M = span{x0} và f(λx0) = λ‖x0‖.
1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii.
Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu
∀v ∈ X, ∃ > 0, (−v, v) ⊂ A
hay, một cách tương đương,
∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA.
Một điểm x0 được gọi là điểm bọc của A nếu A− x0 là hấp thụ. Tập tất cả các
điểm bọc của A, ký hiệu coreA, được gọi là lõi của A. Như vậy,
x0 ∈ coreA⇔ ∀v ∈ X,∃ > 0,∀λ ∈ (−, ) : x0 + λv ∈ A.
Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong của không
gian định chuẩn. Hơn nữa, ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.4. Nếu X là một không gian định chuẩn và A ⊂ X, thì
a) IntA ⊂ coreA.
b) Nếu dimX <∞ và A lồi, thì IntA = coreA.
8Chứng minh. Khẳng định a) suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Để chứng minh b) ta
giả thiết {e1, e2, · · · , en} là một cơ sở của X. Vì mọi chuẩn trên X đều tương đương
nên không mất tính tổng quát ta có thể xét chuẩn ‖ · ‖1 xác định bởi
‖
n∑
i=1 ...  của f là hàm cof := co f .
Mệnh đề 3.13. f¯ (cof) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong số các hàm đóng
(lồi đóng) non hơn f . Hơn nửa,
epi f¯ = epi f ; epi(cof) = co(epi f).
Chú ý: co f¯ không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co f¯ 6= cof .
Mệnh đề 3.14. Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì không nhận giá trị hữu
hạn nào.
Mệnh đề 3.15.
a) f đóng khi và chỉ khi f = f¯ .
b) Nếu f lồi thì f¯ lồi và do đó cof = f¯ .
c) Nếu f1, f2 đóng thì f1 + f2 đóng.
d) Nếu fα đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα đóng.
e) Nếu fα lồi, đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα lồi, đóng.
3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi.
Một hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận gốc
lồi, cân đối V và hằng số K > 0 sao cho
|f(x)− f(x′)| ≤ KpV (x− x′); ∀x, x′ ∈ x0 + V.
f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập mở U ⊂ X nếu nó Lipschitz địa phương
tại mọi điểm thuộc U . Dễ thấy các định nghĩa này không phụ thuộc vào lân cận
V được chọn và, khi X là không gian định chuẩn, ta nhận được định nghĩa hàm
Lipschitz thông thường bằng cách chọn V là hình cầu đơn vị.
32
Định lý 3.16. Cho f lồi chính thường, các phát biểu sau là tương đương.
a) f liên tục tại một điểm x¯ ∈ X.
b) f bị chặn trên trong một tập lồi mở khác rỗng nào đó.
c) Int(epi f) 6= ∅.
d) Int(dom f) 6= ∅ và f Lipschitz địa phương trên Int(dom f).
e) Int(dom f) 6= ∅ và f liên tục tại mọi điểm thuộc Int(dom f).
Hệ quả 3.5. Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì f liên tục trong tôpô tương
đối của Aff(dom f) tại mọi điểm x ∈ ri(dom f).
3.3. Hàm liên hợp.
3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine.
Nhắc lại rằng, một hàm affine trên X là hàm có dạng
ϕ(x) = 〈x∗, x〉+ α,
với x∗ ∈ X# và α ∈ R. Lúc đó, ϕ là liên tục khi và chỉ khi x∗ ∈ X∗. Ký hiệu AX là
họ tất cả các hàm affine liên tục trên X.
Cho f là một hàm trên X. Ta ký hiệu
A(f) := {ϕ ∈ AX | ϕ ≤ f}; L(f) := {x∗ ∈ X∗ | x∗ ≤ f}.
Định lý 3.17. Cho f là hàm chính thường. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi
f =
∨
ϕ∈A(f)
ϕ.
Hệ quả 3.6. Cho f là hàm chính thường, thuần nhất dương. Lúc đó, f lồi đóng khi
và chỉ khi
f =
∨
ϕ∈L(f)
ϕ.
Hệ quả 3.7. Cho f : X → R. Lúc đó,
cof =
∨
ϕ∈A(f)
ϕ.
Hệ quả 3.8. Cho f là hàm lồi, đóng, chính thường trên X. Lúc đó, tồn tại x∗ ∈ X∗
sao cho hàm g(x) := 〈x∗, x〉 − f(x) bị chặn trên.
33
3.3.2. Hàm liên hợp.
Cho hàm f : X → R. Ta gọi hàm f ∗ : X∗ → R được xác định như sau là hàm
liên hợp (hay biến đổi Fenchel - Moreau) của f :
f ∗(x∗) := sup{〈x∗, x〉 − f(x) | x ∈ X} = sup{〈x∗, x〉 − f(x) | x ∈ dom f}.
Ví dụ 3.1. Với
f(x) = 〈x∗0, x〉+ α; x ∈ X,
ta có
f ∗(x∗) =
{
−α; x∗ = x∗0,
+∞; x∗ 6= x∗0.
Với tôpô σ(X∗, X), thì đối ngẫu của X∗ chính là X. Do đó, nếu g : X∗ → R là
một hàm trên X∗ thì ta cũng có định nghĩa hàm liên hợp của g là hàm g∗ : X → R
xác định bởi
g∗(x) := sup{〈x∗, x〉 − g(x∗) | x∗ ∈ X∗} = sup{〈x∗, x〉 − g(x∗) | x∗ ∈ dom g}.
Ta ký hiệu f ∗∗ := (f ∗)∗ và gọi là hàm liên hợp bậc hai của f .
Ví dụ 3.2. Cho ∅ 6= C ⊂ X. Lúc đó
(δC)
∗(x∗) = sup
x∈C
〈x∗, x〉 = σC(x∗).
Nói cách khác, liên hợp của hàm chỉ là hàm tựa. Ngược lại, nếu C lồi đóng thì ta
cũng có
(σC)
∗ = δC .
Vậy, nếu C lồi đóng thì δ∗∗C = δC .
Mệnh đề 3.18.
a) f ∗(x∗) + f(x) ≥ 〈x∗, x〉 với mọi x∗ ∈ X∗, x ∈ X.
b) f ∗∗ ≤ f .
c) f ∗ là hàm lồi đóng trên X∗.
Hệ quả 3.9. f ∗∗ ≤ cof.
Mệnh đề 3.19. Nếu f lồi, đóng, chính thường thì f ∗ cũng vậy.
Định lý 3.20 (Fenchel-Moreau). Cho f : X → (−∞,+∞]. Lúc đó, f = f ∗∗ khi và
chỉ khi f lồi, đóng.
Hệ quả 3.10. Giả sử cof chính thường. Lúc đó,
cof = f ∗∗; (cof)∗ = f ∗.
34
3.4. Dưới vi phân hàm lồi.
3.4.1. Định nghĩa.
Trong mục này ta luôn giả thiết f : X → R là một hàm lồi chính thường và
f(x0) <∞.
Một phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient của hàm f tại x0 nếu
f(x) ≥ f(x0) + 〈x∗, x− x0〉; ∀x ∈ X.
Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm affine
φ(x) := f(x0) + 〈x∗, x− x0〉; x ∈ X
có đồ thị là một siêu phẳng nằm dưới epi f và tựa vào epi f tại điểm (x0, f(x0)).
Mệnh đề 3.21. Ba phát biểu sau là tương đương:
a) x∗ là dưới gradient của f tại x0,
b) f(x0) + f
∗(x∗) = 〈x∗, x0〉,
c) (x∗,−1) ∈ Nepi f (x0, f(x0)).
Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f
tại điểm đó và được ký hiệu là ∂f(x0). Vậy,
∂f(x0) = {x∗ ∈ X∗ | f(x)− f(x0) ≥ 〈x∗, x− x0〉; ∀x ∈ X}.
Nếu ∂f(x0) là tập khác rỗng ta nói f khả dưới vi phân tại x0. Từ Hệ quả 2.6 ta
nhận được kết quả sau
Định lý 3.22. Nếu f lồi, chính thường và liên tục tại một điểm nào đó, thì tại mọi
điểm x0 ∈ Int(dom f), ∂f(x0) là tập lồi, compact yếu*, khác rỗng.
Ví dụ 3.3.
Nếu f là hàm affine liên tục: f(x) = 〈x∗, x〉+α, thì ∂f(x0) = x∗ với mọi x0 ∈ X.
Nếu f là hàm chỉ của tập lồi C: f(x) = δC(x), thì
∂δC(x0) = {x∗ ∈ X∗ | 〈x∗, x− x0〉 ≤ 0; ∀x ∈ C} = NC(x0).
Nếu f là hàm chuẩn trong không gian định chuẩn X: f(x) = ‖x‖, thì
∂f(x0) =
{
{x∗ | ‖x∗‖ = 1, 〈x∗, x0〉 = ‖x0‖}; x0 6= 0,
{x∗ | ‖x∗‖ ≤ 1}; x0 = 0.
35
3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng.
Cho hàm f : X → R và x0 ∈ X sao cho f(x0) ∈ R. Với mỗi vectơ d ∈ X, ta
định nghĩa đạo hàm của f theo hướng d là giới hạn sau, nếu nó tồn tại, hữu hạn
hoặc vô hạn:
f ′(x0; d) := lim
λ→0+
f(x0 + λd)− f(x0)
λ
.
Ví dụ 3.4. Cho f, g : R→ R, xác định bởi
f(x) =
{
x sin 1
x
; x > 0,
0; x ≤ 0; g(x) =
3
√
x; x ∈ R.
Lúc đó, f ′(0; 1) không tồn tại, f ′(0;−1) = 0, g′(0; 1) = +∞, g′(0;−1) = −∞.
Qua ví dụ này ta thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặc không, tuỳ theo
từng trường hợp. Tuy vậy, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của nó theo mọi hướng
luôn luôn tồn tại. Điều đó được khẳng định trong định lý sau đây
Định lý 3.23. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x0 ∈ dom f . Với mỗi
d ∈ X, ta có
a) Hàm số sau
ϕd(λ) :=
f(x0 + λd)− f(x0)
λ
; λ ∈ (0,+∞)
không giảm trên khoảng (0,+∞).
b) Đạo hàm của f theo hướng d tồn tại và
f ′(x0; d) = inf
λ>0
ϕd(λ).
c) f(x0 + d)− f(x0) ≥ f ′(x0; d), với mọi d ∈ X.
Định lý 3.24. Cho f là hàm lồi chính thường trên X và x0 ∈ dom f .
a) f ′(x0; ·) là hàm lồi thuần nhất trên X.
b) Nếu x0 ∈ Int dom f thì hàm f ′(x0; d) hữu hạn với mọi d ∈ X.
c) Nếu f liên tục tại x0 thì f
′(x0; d) hữu hạn và liên tục tại mọi d ∈ X.
Bổ đề 3.2. Cho g : X → R thuần nhất dương. Lúc đó
a) Nếu g liên tục tại v ∈ X thì g cũng liên tục tại mọi điểm λv với λ > 0.
b) Nếu g liên tục trong một lân cận của 0 thì g liên tục (tại mọi điểm).
36
Mệnh đề 3.25. Nếu f là hàm lồi chính thường thì tại mọi điểm x0 ∈ dom f ta có
∂f(x0) = ∂f
′(x0; ·)(0) = dom(f ′(x0; ·))∗.
Hơn nữa, ∂f(x0) 6= ∅ khi và chỉ khi f ′(x0; ·) nửa liên tục dưới tại gốc, khi ấy
f ′(x0; d) = sup{〈x∗, d〉 | x∗ ∈ ∂f(x0)}.
Hệ quả 3.11. Nếu một hàm lồi f liên tục tại x0 thì
f ′(x0; d) = max{〈x∗, d〉 | x∗ ∈ ∂f(x0)}.
Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x0 ∈ X nếu tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho
lim
λ→0
f(x0 + λd)− f(x0)
λ
= 〈x∗, d〉; ∀d ∈ X.
Phiếm hàm f ′G(x0) = x
∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàm
Gâteaux của f tại x0.
Định lý 3.26. Nếu một hàm lồi f liên tục tại x0 và có tập ∂f(x0) chỉ gồm một
phần tử {x∗}, thì f khả vi Gâteaux tại x0 và
f ′G(x0) = x
∗.
Ngược lại, nếu f lồi, khả vi Gâteaux tại x0 thì ∂f(x0) = {f ′G(x0)}.
3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân.
Mệnh đề 3.27. Cho f là hàm lồi chính thường trên X và λ > 0. Lúc đó
∂(λf)(x) = λ ∂f(x); ∀x ∈ dom f.
Định lý 3.28 (Moreau-Rockafellar). Nếu f1, f2, · · · , fm là các hàm lồi chính thường
trên X thì
∂(f1 + f2 + · · ·+ fm)(x) ⊃ ∂f1(x) + ∂f2(x) + · · ·+ ∂fm(x); ∀x ∈ ∩ dom fi.
Nếu tồn tại một điểm x1 ∈ ∩ dom fi tại đó có đến m− 1 hàm fi liên tục, thì
∂(f1 + f2 + · · ·+ fm)(x) = ∂f1(x) + ∂f2(x) + · · ·+ ∂fm(x); ∀x ∈ ∩ dom fi.
Cho f1, f2, · · · , fm là các hàm lồi trên X và f = ∨fi. Với mỗi x0 ∈ X ta ký
hiệu I(x0) = {i ∈ {1, 2, · · · ,m} | fi(x0) = f(x0)}. Mệnh đề sau cho ta công thức
tính dưới vi phân của hàm f tại x0.
37
Định lý 3.29. Với mọi x0 ∈ X ta có
∂f(x0) ⊃ co
⋃
i∈I(x0)
∂fi(x0).
Nếu các hàm f1, f2, · · · , fm đều liên tục tại x0 thì
∂f(x0) = co
⋃
i∈I(x0)
∂fi(x0).
Bây giờ cho {fi | i ∈ I}, với I là tập tuỳ ý, là một họ các hàm lồi trên X. Đặt
f =
∨
i∈I
fi và với mỗi x0 ∈ X : I(x0) = {i ∈ I | fi(x0) = f(x0)}.
Định lý 3.30. Với mọi x0 ∈ X ta có
∂f(x0) ⊃ co
⋃
i∈I(x0)
∂fi(x0).
Nếu I là không gian tôpô compact, hàm f(i, x) = fi(x) nửa liên tục trên, theo biến
i, trên I và các hàm fi, i ∈ I, đều liên tục tại x0, thì
∂f(x0) = co
⋃
i∈I(x0)
∂fi(x0).
Hệ quả 3.12. Cho I là không gian tôpô compact và f(i, x) : I × Rn → R là hàm
nửa liên tục trên theo biến i, lồi và liên tục theo biến x. Ký hiệu fi(x), f(x) và I(x0)
tương tự như định lý trên. Lúc đó, với mọi y∗ ∈ ∂f(x0) tồn tại i1, i2, · · · , ik ∈ I(x0)
với k ≤ n+ 1 sao cho
y∗ =
k∑
j=1
αjy
∗
j , với αj ≥ 0, y∗j ∈ ∂fij(x0); 1 ≤ j ≤ k :
k∑
j=1
αj = 1.
3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi.
Cho f là một hàm lồi chính thường trên X và C là một tập con lồi khác rỗng
của X. Ta quan tâm đến bài toán quy hoạch lồi sau đây
P(C; f) :
{
f(x)→ min,
x ∈ C.
Một điểm x0 ∈ C được gọi là điểm cực tiểu của hàm f trên C, hay là một nghiệm
của Bài toán P(C; f), nếu
f(x0) ≤ f(x); ∀x ∈ C.
38
C được gọi là tập chấp nhận được còn f là hàm mục tiêu của bài toán. Khi C = X,
ta gọi đó là bài toán không có ràng buộc và viết một cách đơn giản là P(f). Kết
quả sau là một mở rộng của Định lý Fermat trong giải tích cổ điển.
Mệnh đề 3.31. Một điểm x0 ∈ X là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi P(f) khi
và chỉ khi 0 ∈ ∂f(x0).
Trong trường hợp tổng quát ta có kết quả sau
Định lý 3.32. Cho x0 ∈ C,
a) Nếu ∂f(x0) ∩ (−NC(x0)) 6= ∅, thì x0 là nghiệm của Bài toán P(C; f).
b) Ngược lại nếu x0 là nghiệm của Bài toán P(C; f) và f liên tục tại một điểm
x ∈ C, thì ∂f(x0) ∩ (−NC(x0)) 6= ∅.
Trường hợp C là một đa tạp affine song song với một không gian con V thì
NC(x0) = V
⊥ tại một điểm bất kỳ x0 ∈ C. Vì vậy, ta có hệ quả sau
Hệ quả 3.13. Nếu C là một đa tạp affine song song với không gian con V trong
X và f liên tục tại một điểm x ∈ C, thì một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toán
P(C; f), khi và chỉ khi ∂f(x0) ∩ V ⊥ 6= ∅.
Đặc biệt nếu C là đa tạp affine có đối chiều hữu hạn được cho bởi
C = {x ∈ X | 〈x∗i , x〉 = αi; 1 ≤ i ≤ m} 6= ∅, (3.1)
trong đó, x∗i ∈ X∗ và αi ∈ R, thì NC(x0) = span{x∗1, x∗2, · · · , x∗m}. Vì vậy, ta có hệ
quả sau
Hệ quả 3.14. Giả sử C được cho bởi (3.1) và f liên tục tại một điểm x ∈ C. Lúc
đó, một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toán P(C; f) khi và chỉ khi tồn tại các số
thực λi ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, sao cho
∑
λix
∗
i ∈ ∂f(x0).
39
Tài liệu tham khảo
[1] Ha¨ım Brezis, Giải tích hàm - Lý thuyết và ứng dụng, (N.H. Nghĩa, N.T. Long
dịch), Nxb ĐHQG Tp. HCM, 2002.
[2] I. Ekeland, R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-
Holland, American Elsevier, 1973.
[3] R.B. Holmes, Geometric Functional Analysis and Its Applications, Springer-
Verlag, 1975.
[4] B.N. Pshenhichnyi, Giải tích lồi và Bài toán cực trị (tiếng Nga), Nauka, 1980.
[5] A.P. Robertson, W. Robertson, Không gian vectơ tôpô, (P. Đ. Chính dịch), Nxb
ĐH&THCN, 1977.
[6] R.T. Rockafellar, Convex analysis, Princeton University Press, 1970.
[7] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2003.