Bài giải toán trên Máy tính cầm tay

MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 1 
giải toán trên Máy tính cầm tay 
Quy -ớc. Khi tính gần đúng, chỉ ghi kết quả đã làm tròn với 4 chữ số thập phân. 
Nếu là số đo góc gần đúng tính theo độ, phút, giây thì lấy đến số nguyên giây. 
1. Biểu thức số 
 Bài toán 1.1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
A = cos750 cos150; B = 2 4 8cos cos cos
9 9 9
p p p ; 
 C = 0 0 0 00 0
1 1
tan 9 tan 27 tan 63 tan81
sin18 sin 54
- + - - + . 
KQ: A = 1
4
; B = - 1
8
; C = 6. 
Bài toán 1.2. Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau: 
 A = cos750 sin150; B = sin750 cos150; C = 5sin sin
24 24
p p . 
KQ: A ≈ 0,0670; B ≈ 0,9330; C ≈ 0,0795. 
Bài toán 1.3. Tính gần đúng giá trị của biểu thức 
A = 1 + 2cosα + 3cos2α + 4cos3α 
nếu α là góc nhọn mà sinα + cosα = 6
5
. 
KQ: A1 ≈ 9,4933; A2 ≈ 1,6507. 
Bài toán 1.4. Cho góc nhọn α thoả mãn hệ thức sinα + 2cosα = 4
3
. Tính gần 
đúng giá trị của biểu thức S = 1 + sinα + 2cos2α + 3sin3α + 4cos4α 
KQ: S ≈ 4,9135. 
2. Hàm số 
Bài toán 2.1. Tính gần đúng giá trị của hàm số 
f( x ) = 
2 2
2
2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos
5 tan 2cot sin cos 2 1
2
x x x x
x
x x x
+ + + -
- + + +
tại x = - 2; 
6
p ; 1,25; 3
5
p . 
KQ: f(- 2) ≈ 0,3228; f
6
pổ ử
ỗ ữ
ố ứ
≈ 3,1305; f(1,25) ≈ 0,2204; 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 2 
 f 3
5
pổ ử
ỗ ữ
ố ứ
 ≈ - 0,0351. 
Bài toán 2.2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) 
= cos2x + 3 cosx - 2 . 
 KQ: max f(x) ≈ 1,3178; min f(x) ≈ - 2,7892. 
Bài toán 2.3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 
sin 2cos
3cos 4
x x
x
+
+
. KQ: max y ≈ 0,3466; min y ≈ - 
2,0609. 
3. Hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn 
Bài toán 3.1. Giải hệ ph-ơng trình 
2 5 8
3 7 25.
x y
x y
- =ỡ
ớ + =ợ
 KQ: 
181
29
26
29
x
y
ỡ =ùù
ớ
ù =
ùợ
Bài toán 3.2. Tính a và b nếu đ-ờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2; - 5) 
và B(- 6; 9). KQ: a = - 7
4
; b = - 
3
2
. 
Bài toán 3.3. Tính b và c nếu parabol y = x2 + bx + c đi qua hai điểm A(- 2; 14) 
và B(- 16; 7). KQ: b = 37
2
; c 
= 47. 
Bài toán 3.4. Tính các nghiệm nguyên của ph-ơng trình x2 - y2 = 2008. 
KQ: 1
1
503
501
x
y
=ỡ
ớ =ợ
 2
2
503
501
x
y
=ỡ
ớ = -ợ
 3
3
503
501
x
y
= -ỡ
ớ =ợ
 4
4
503
501
x
y
= -ỡ
ớ = -ợ
 5
5
253
249
x
y
=ỡ
ớ =ợ
 6
6
253
249
x
y
=ỡ
ớ = -ợ
 7
7
253
249
x
y
= -ỡ
ớ =ợ
8
8
253
249.
x
y
= -ỡ
ớ = -ợ
4. Hệ ph-ơng trình bậc nhất ba ẩn 
Bài toán 4.1. Giải hệ ph-ơng trình 
2 3 4 5
3 6
5 6 8 9.
x y z
x y z
x y z
- + =ỡ
ù + - =ớ
ù + + =ợ
 KQ: 
3,704
0,392
0,896.
x
y
z
=ỡ
ù = -ớ
ù = -ợ
Bài toán 4.2. Tính giá trị của a, b, c nếu đ-ờng tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 đi 
qua ba điểm M(- 3; 4), N(- 5; 7) và P(4; 5). KQ: a = 1
23
; b = - 375
23
; c = 
928
23
. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 3 
Bài toán 4.3. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt phẳng ax + by + cz + 1 = 0 đi 
qua ba điểm A(3; - 2; 6), B(4; 1; - 5), C(5; 8; 1). KQ: a = - 95
343
; b = 17
343
; c = - 
4
343
. 
Bài toán 4.4. Tính gần đúng giá trị của , ,a b c nếu đồ thị hàm số y = 
sin cos
cos 1
a x b x
c x
+
+
 đi qua ba điểm A 31;
2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, B(- 1; 0), C(- 2; - 2). KQ: a ≈ 1,0775; b ≈ 
1,6771; c ≈ 0,3867. 
5. Hệ ph-ơng trình bậc nhất bốn ẩn 
Bài toán 5.1. Tính giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 
đi qua bốn điểm A(1; - 3), B(- 2; 4), C(- 1; 5), D(2; 3). 
KQ: a = 5
4
; b = 5
6
; c = - 21
4
; d = 1
6
. 
Bài toán 5.2. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt cầu x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 đi 
qua bốn điểm A(7; 2; - 1), B(5; - 6; 4), C(5; 1; 0), D(1; 2; 8). 
KQ: a = - 21; b = - 5
3
; c = - 47
3
; d = 242
3
. 
6. Ph-ơng trình bậc hai 
Bài toán 6.1. Giải ph-ơng trình 2x2 + 9x - 45 = 0. KQ: x1 = 3; x2 = - 
7,5. 
Bài toán 6.2. Giải gần đúng ph-ơng trình 5x2 - 17,54x + 2,861 = 0. 
KQ: x1 ≈ 3,3365; x2 ≈ 0,1715. 
Bài toán 6.3. Giải ph-ơng trình 9x2 - 24x + 16 = 0. KQ: x = 4
3
. 
7. Ph-ơng trình bậc ba 
Bài toán 7.1. Giải ph-ơng trình x3 - 7x + 6 = 0. KQ: x1 = 2; x2 = - 3; x3 = 
1. 
Bài toán 7.2. Giải gần đúng ph-ơng trình 2x3 + 5x2 - 17x + 3 = 0. 
KQ: x1 ≈ 1,7870; x2 ≈ - 4,4746; x3 ≈ 0,1876. 
Bài toán 7.3. Tính gần đúng góc nhọn α (độ, phút, giây) nếu sin2α+3cos2α= 4tanα. 
KQ: α ≈ 300 20’ 20”. 
8. Hệ ph-ơng trình bậc hai hai ẩn 
Bài toán 8.1. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đ-ờng thẳng 3x - y - 1 = 0 
và elip 
2 2
1
16 9
x y
+ = . 
KQ: x1 ≈ 1,2807; y1 ≈ 2,8421; x2 ≈ - 0,6532; y2 ≈ - 2,9597. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 4 
Bài toán 8.2. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của hai đ-ờng tròn x2 + y2 = 4 
và x2 + y2 - 2x - 6y - 6 = 0. KQ: x1 ≈ - 1,9735; y1 ≈ 0,3245; x2 ≈ 1,7735; y2 ≈ - 
0,9245. 
Bài toán 8.3. Giải gần đúng hệ ph-ơng trình 
2 2 3 3 4
3 2 2 5.
x y x y
xy x y
ỡ + + + =
ớ
- - =ợ
KQ: 1
1
0,2011
3,8678
x
y
ằỡ
ớ ằ -ợ
 2
2
3,8678
0,2011.
x
y
ằ -ỡ
ớ ằợ
Bài toán 8.4. Giải gần đúng hệ ph-ơng trình 
2
2
2 4
2 4.
x y x
y x y
ỡ + - =ù
ớ
+ - =ùợ
KQ: 1
1
2,5616
2,5616
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 2
2
1,5616
1,5616
x
y
ằ -ỡ
ớ ằ -ợ
 3
3
3,3028
0,3028
x
y
ằỡ
ớ ằ -ợ
 4
4
0,3028
3,3028.
x
y
ằ -ỡ
ớ
ợ ;
9. Thống kê 
Bài toán 9.1. Ng-ời ta chọn một số bút bi của hai hãng sản xuất A và B xem sử 
dụng mỗi bút sau bao nhiêu giờ thì hết mực: 
Loại bút A: 23 25 27 28 30 35 
Loại bút B: 16 22 28 33 46 
Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn về thời gian sử dụng của mỗi loại 
bút. 
KQ: Ax = 28; sA ≈ 3,8297; Bx = 29; sB ≈ 10,2372. 
Bài toán 9.2. Một cửa hàng sách thống kê số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 
khách hàng mua sách ở cửa hàng này trong một ngày. Số liệu đ-ợc ghi trong bảng phân 
bố tần số sau: 
Lớp Tần số 
[40; 49] 3 
[50; 59] 6 
[60; 69] 19 
[70; 79] 23 
[80; 89] 9 
 N = 60 
 Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn. 
KQ: x ≈ 69,3333; s ≈ 10,2456. 
10. Ph-ơng trình l-ợng giác 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 5 
Bài toán 10.1. Tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình sinx = 2
3
. 
KQ: x1 ≈ 0,7297 + k2π; x2 ≈ - 0,7297 + (2k + 1)π. 
Bài toán 10.2. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 2sinx - 
4cosx = 3. 
KQ: x1 ≈ 1050 33’ 55” + k3600; x2 ≈ 2010 18’ 16” + k3600. 
Bài toán 10.3. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 2sin2x + 
3sinxcosx - 4cos2x = 0. 
KQ: x1 ≈ 400 23’ 26” + k1800; x2 ≈ - 660 57’ 20” + k1800. 
Bài toán 10.4. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình sinx + 
cos 2x + sin3x = 0. 
KQ: x1 ≈ 650 4’ 2” + k3600; x2 ≈ 1140 55’ 58” + k3600; 
 x3 ≈ - 130 36’ 42” + k3600; x4 ≈ 1930 36’ 42” + k3600. 
Bài toán 10.5. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình sinxcosx 
- 3(sinx + cosx) = 1. 
KQ: x1 ≈ - 640 9’ 28” + k3600; x2 ≈ 1540 9’ 28” + k3600. 
11. Tổ hợp 
Bài toán 11.1. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cần 
chọn 7 học sinh đi tham gia chiến dịch Mùa hè tình nguyện của đoàn viên, trong đó có 4 
học sinh nam và 3 học sinh nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn? 
KQ: 4 320 15.C C = 2204475. 
Bài toán 11.2. Có thể lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 5 chữ 
số khác nhau? KQ: 4 3 39 8 84.8. 41A A A+ = = 13776. 
Bài toán 11.3. Có 30 câu hỏi khác nhau cho một môn học, trong đó có 5 câu hỏi 
khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ các câu hỏi đó có thể lập đ-ợc bao 
nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề phải có đủ ba 
loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? KQ: 
2 1 2 2 1 3 1 1
15 5 10 5 10 15 5 10( . . ) . .C C C C C C C C+ + = 56875. 
12. Xác suất 
Bài toán 12.1. Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên từ 1 đến 200. Tính gần đúng xác 
suất để 5 số này đều nhỏ hơn 50. KQ: 
5
49
5
200
C
C
≈ 0,0008. 
Bài toán 12.2. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. 
Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn đ-ợc hai viên bi 
cùng mầu và xác suất để chọn đ-ợc hai viên bi khác mầu. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 6 
Chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn đ-ợc ba viên bi 
hoàn toàn khác mầu. 
KQ: P(hai bi cùng mầu) = 
2 2 2
4 3 2
2
9
5
18
C C C
C
+ +
= ; 
 P(hai bi khác mầu) = 1 - P(hai bi cùng mầu) = 13
18
; 
 P(ba bi khác mầu) = 
1 1 1
4 3 2
3
9
. . 2
7
C C C
C
= . 
Bài toán 12.3. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một ng-ời bắn cung là 0,3. 
Ng-ời đó bắn ba lần liên tiếp. Tính xác suất để ng-ời đó bắn trúng mục tiêu đúng một 
lần, ít nhất một lần, đúng hai lần. 
KQ: P (trúng mục tiêu đúng một lần) = 1 23 0,3 (1 0,3)C ´ ´ - = 0,441; 
 P (trúng mục tiêu ít nhất một lần) = 1- (1 - 0,3)2 = 0,657; 
 P (trúng mục tiêu đúng hai lần) = 2 23 0,3 (1 0,3)C ´ ´ - = 0,189. 
Bài 12.4. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong một cỗ bài tú lơ khơ. Tính gần đúng 
xác suất để trong 5 quân bài đó có hai quân át và một quân 2, ít nhất một quân át. 
KQ: P (hai quân át và một quân 2) = 
2 1 2
4 4 44
5
52
. .C C C
C
≈ 0,0087; 
 P (ít nhất một quân át) = 1 - 
5
48
5
52
C
C
 ≈ 0,3412. 
13. Dãy số và giới hạn của dãy số 
Bài toán 13.1. Dãy số an đ-ợc xác định nh- sau: 
a1 = 2, an + 1 = 
1
2
(1 + an) với mọi n nguyên d-ơng. 
Tính giá trị của 10 số hạng đầu, tổng của 10 số hạng đầu và tìm giới hạn của dãy số 
đó. 
KQ: a1 = 2; a2 = 
3
2
; a3 = 
5
4
; a4 = 
9
8
; a5 = 
17
16
; a6 = 
33
32
; a7 = 
65
64
; 
 a8 = 
129
128
; a9 = 
257
256
; a10 = 
513
512
; S10 = 
6143
512
; lim an = 1. 
Bài toán 13.2. Dãy số na đ-ợc xác định nh- sau: 
1a = 1, 1na + = 2 + 
3
na
 với mọi n nguyên d-ơng. 
Tính giá trị 10 số hạng đầu và tìm giới hạn của dãy số đó. 
KQ: a1 = 1; a2 = 5; a3 = 
13
5
; a4 = 
41
13
; a5 = 
121
41
; a6 = 
365
121
; 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 7 
 a7 = 
1093
365
; a8 = 
3281
1093
; a9 = 
9841
3281
; a10 = 
29525
9841
; lim an = 3. 
Bài toán 13.3. Dãy số an đ-ợc xác định nh- sau: 
a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = 
1
2
(an + 1 + an) với mọi n nguyên d-ơng. 
Tính giá trị của 10 số hạng đầu của dãy số đó. 
KQ: a1 = 2; a2 = 3; a3 = 
5
2
; a4 = 
11
4
; a5 = 
21
8
; a6 = 
43
16
; a7 = 
85
32
; 
 a8 = 
171
64
; a9 = 
341
128
; a10 = 
683
256
. 
Bài toán 13.4. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là un = 
3 3 3 ... 3+ + + + (n dấu căn). KQ: lim un ≈ 2,3028. 
Bài toán 13.5. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là un = 
sin(1 - sin(1 - sin(1 - . . . - sin1))) (n lần chữ sin). KQ: lim un ≈ 0,4890. 
14. Hàm số liên tục 
Bài toán 14.1. Tính nghiệm gần đúng của ph-ơng trình x3 + x - 1 = 0. 
KQ: x ≈ 0,6823. 
Bài toán 14.2. Tính nghiệm gần đúng của ph-ơng trình x2cosx + xsinx + 1 = 0. 
KQ: x ≈ ±2,1900. 
Bài toán 14.3. Tính nghiệm gần đúng của ph-ơng trình x4 - 3x2 + 5x - 6 = 0. 
KQ: x1 ≈ 1,5193; x2 ≈ - 2,4558. 
 ...  
b) Đ-ờng thẳng y = mx + n là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành 
độ x = 3 - 1. Tính gần đúng giá trị của m và n. 
m ằ ; n ằ 
Bài 39. Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 
2sin x + 4sin x = 3. 
x1 ằ + k 3600 ; x2 ằ + k 3600 
Bài 40. Tính gần đúng khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm 
số y = x3 - 5
6
x2 - 7
3
x + 1. 
d ằ 
_____________________________ 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo 
góc thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 41. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức A = 
2
2
2 8 1
2
x x
x x
- +
+ +
. 
min A ằ ; max A ằ . 
Bài 42. Tính gần đúng diện tích tứ giác ABCD có các cạnh AB = 4 dm, BC = 8 dm, 
CD = 6 dm, DA = 5 dm và góc BAD = 700. 
 S ằ dm2 
Bài 43. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 
sin x cos x + 3 (sin x - cos x) = 1. 
x1 ằ + k 360
0; x2 ằ + k 360
0 
Bài 44. Tìm a, b, c nếu đ-ờng tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 đi qua ba điểm M(1; 
2), N(3; - 4), P(- 2; - 5). 
 a = ; b = ; c = . 
Bài 45. Tính gần đúng các nghiệm của hệ ph-ơng trình 
3 3 6
3 4
x y xy
x y xy
ỡ + + =
ớ
+ + =ợ
 1
1
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 2
2
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 . 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 20 
Bài 46. Tính gần đúng thể tích của hình chóp S.ABCD có đ-ờng cao SA = 5 dm, 
đáy ABCD là hình thang với AD // BC, AD = 3 dm, AB = 4 dm, BC = 8 dm, CD = 7 dm. 
 V ằ dm3 
Bài 47. Tìm a, b, c nếu đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c đi qua các điểm A(- 4; 3), 
B(7; 5), C(- 3; 6). 
a = ; b = ; c = . 
Bài 48. Tứ giác ABCD có các cạnh AB = 5, BC = 8, CD = 9, DA = 4 và đ-ờng chéo BD 
= 6. Tính gần đúng số đo (độ, phút, giây) của góc ABC. Góc ABC ằ . 
Bài 49. Tìm chữ số hàng đơn vị của số 52006 + 32007 + 42008. 
N = . 
Bài 50. Tìm a và b nếu đ-ờng thẳng y = ax + b đi qua điểm M(3; - 4) và là tiếp 
tuyến của parabol y2 = 4x. 
a1 = ; b1 = ; a2 = ; b2 = . 
_____________________________________ 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo 
góc thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 51. Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = 
22 5 4
3
x x
x
- +
-
. 
yCĐ ằ ; yCT ằ . 
 Bài 52. Tìm nghiệm nguyên d-ơng của ph-ơng trình x2 - y2 = 2008. 
1
1
x
y
=ỡ
ớ =ợ
 2
2
x
y
=ỡ
ớ =ợ
 . 
Bài 53. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD biết rằng BC = 6 dm, 
BD = 9 dm, AB = AC = AD = CD = 7 dm. 
Vằ dm3 
Bài 54. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 
8cos 3x - 5sin 3x = 7. 
x1 ằ + k 120
0; x2 ằ + k 120
0 
Bài 55. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A = a5 + b5 + 4(a4 + b4) + 5a2b + 5ab2 
nếu a và b là hai nghiệm của ph-ơng trình 3x2 - 7x + 2 = 0. 
A ằ . 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 21 
Bài 56. Hai đ-ờng tròn bán kính 5 dm và 4 dm tiếp xúc ngoài với nhau tại A. BC là 
tiếp tuyến chung ngoài của hai đ-ờng tròn đó với các tiếp điểm là B và C. Tính gần đúng 
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng BC và hai cung nhỏ AB, AC. 
S ằ dm
2 
Bài 57. Tính gần đúng các nghiệm của hệ ph-ơng trình 
2
2
5
5.
x y
y x
ỡ - =ù
ớ
- =ùợ
1
1
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 2
2
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 3
3
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 4
4
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 . 
Bài 58. Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A(- 3; 4), B(1; 3), C(5; - 6), D(- 2; - 3). 
S = . 
Bài 59. Tìm a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đi qua các điểm A(3; 
7), B(5; - 3), C(- 2; 14), D(2; 5). 
a = ; b = ; c = ; d = . 
Bài 60. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 f(x) = 1x - + 23 x- . 
max f(x) ằ ; min f(x) ằ . 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc 
thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 61. Đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d thoả mãn các điều kiện sau: P(- 2) = 
4, P(- 1) = - 2, P(1) = - 11, P(2) = 6. 
a) Tính giá trị của a, b, c, d. 
a = ; b = ; c = ; d = . 
b) Tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó. 
x1 ằ ; x2 ằ . 
Bài 62. Tính gần đúng nghiệm của ph-ơng trình 2 1 3 1x x+ + + = 3. 
 x ằ . 
Bài 63. Tính giá trị của a, b, c, d nếu phân thức 
2
2
ax bx c
x d
+ +
+
 nhận các giá trị 3, - 4, 5, 
7 tại x t-ơng ứng bằng 1, 2, 3, 4. 
a = ; b = ; c = ; d = . 
Bài 64. Tính gần đúng khoảng cách lớn nhất giữa đỉnh của parabol y = x2 - 3x + 2 và 
điểm nằm trên parabol đó có hoành độ thuộc đoạn [- 1; 3]. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 22 
 d ằ . 
Bài 65. Tính gần đúng các nghiệm của hệ ph-ơng trình 
2 2
2 2
2 3 7
4 3
x y
x y xy
ỡ + =ù
ớ
- + =ùợ
 1
1
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 2
2
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 3
3
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 4
4
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 . 
Bài 66. Tính giá trị của a15 nếu dãy số (an) đ-ợc xác định nh- sau: 
a1 = 2, a2 = - 3, an + 2 = 
1
2
an + 1 + 3an với mọi n nguyên d-ơng. 
a15 = . 
Bài 67. Tính gần đúng diện tích phần chung của hai hình tròn có bán kính 5 dm và 6 
dm nếu khoảng cách giữa hai tâm của chúng là 7 dm. S ằ dm2 
Bài 68. Tính gần đúng diện tích của hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 3 dm, 
các cạnh bên BC = 6 dm, AD = 5 dm, hai đ-ờng chéo vuông góc với nhau. 
S ằ dm2 
Bài 69. Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 4 cos 2x + 
cos 3x = 1. 
x1 ằ + k 360
0; x2 ằ + k 360
0 
Bài 70. Tính gần đúng (độ, phút, giây) các góc của tứ giác nội tiếp ABCD có các 
cạnh AB = 5, BC = 7, CD = 11, AD = 9. 
A ằ ; B ằ ; C ằ ; D ằ . 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc 
thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 71. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 2cos2x + 5cosx = 1. 
x1 ≈ + k 3600; x2 ≈ + k 3600 
Bài 72. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD nếu AB = 4 dm, 
BC = BD = 5 dm, CD = CA = 6 dm, DA = 7 dm. 
 Stp ≈ dm2 
Bài 73. Tìm nghiệm gần đúng của hệ ph-ơng trình 
5 3 1
25 4 3 7.
x y
x y
ỡ - =ù
ớ
+ ´ =ùợ
 x ằ ; y ằ . 
Bài 74. Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ 
nhật, cạnh SA vuông góc với đáy, BC = 7 dm, BD = 8 dm, SB = 9 dm. 
V ≈ dm3 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 23 
Bài 75. Dãy số (an) đ-ợc xác định nh- sau: a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = 3an + 1 
- an với mọi n nguyên d-ơng. Tính tổng của 20 số hạng đầu của dãy số đó. 
 S20 = . 
Bài 76. Tính a, b, c nếu đồ thị hàm số 
2 2x x c
y
ax b
+ +
=
+
 đi qua ba điểm A(2; 5), B(1; 
3), C(3; - 4). 
a = ; b = ; c = . 
 Bài 77. Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số y = ax3 + bx2 - 5x + 2 
nếu đồ thị của hàm số đó đi qua hai điểm A(1; 4) và B(- 5; 2). 
 yCT ≈ ; yCĐ ≈ . 
 Bài 78. Tính p và q nếu parabol y = 2x + p x + q đi qua hai giao điểm của đ-
-ờng thẳng 4 5 28 0x y+ - = và elip 
2 2
25 16
x y
+ = 1. 
 p = ; q = . 
Bài 79. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( )f x = 
2 1 5x x+ + - . 
 min ( )f x ≈ ; max ( )f x ≈ . 
 Bài 80. Tính gần đúng toạ độ giao điểm có các toạ độ d-ơng của đ-ờng tròn 2 2x y+ 
= 9 và hypebol 
2 2
4 3
x y
- = 1. 
 x ằ ; y ằ . 
____________________________________ 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc 
thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 81. Tính gần đúng khoảng cách giữa điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị 
hàm số y = 
2
2
2 7 5
3
x x
x x
- +
+ +
. 
d ằ . 
Bài 82. Từ điểm A(3; - 5) vẽ hai tiếp tuyến với parabol y = x2 + 2x - 4. Gọi B và C là 
hai tiếp điểm t-ơng ứng. Tính giá trị của a, b, c nếu đ-ờng tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 là 
đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
a = ; b = ; c = . 
Bài 83. Điểm E nằm trên cạnh CD của hình chữ nhật ABCD với AB = 8 dm, 
BC = 4 dm. Tính gần đúng độ dài DE nếu chu vi tam giác ADE bằng hai lần chu vi tam 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 24 
giác BCE. 
 DE ằ dm 
Bài 84. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 
sin 2x + 3sin x - 4cos x = 1. 
x1 ằ + k 360
0; x2 ằ + k 360
0 
Bài 85. Tính gần đúng diện tích tứ giác nội tiếp ABCD có các cạnh AB = 5 dm, 
BC = 8 dm, CD = 9 dm, Ĉ = 800. 
S ằ dm2 
Bài 86. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
 f(x) = 3x + 2 + 25 3x x- - . 
min f(x) ằ ; max f(x) ằ . 
Bài 87. Tính giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx+d đi qua các 
điểm A(- 4; 3), B(7; 5), C(- 5; 6), D(2; 8). 
a = ; b = ; c = ; d = . 
Bài 88. Tam giác ABC có các cạnh AB = 5 dm, BC = 8 dm, AC = 7 dm. M là điểm 
nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2MB và N là điểm nằm trên cạnh AC sao cho MN chia 
tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính gần đúng độ dài MN. 
MNằ dm. 
Bài 89. Tính gần đúng nghiệm của hệ ph-ơng trình 
2 3 4
3 2 5
y
x
x
y
ỡ + =ù
ớ
+ =ùợ
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 . 
Bài 90. Tính gần đúng thể tích khối chóp S.ABCD có đ-ờng cao SA = 3 dm, đáy 
ABCD là hình thang với AD//BC, AD = 4 dm, AB = 5 dm, BC = 7 dm, CD = 6 dm. 
V ằ dm3 
_________________________________ 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc 
thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 91. Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a4 + b4 nếu a2 + b = 1 và ab = - 3. 
M ằ . 
Bài 92. Cho bốn điểm A, B, C, D trên đ-ờng tròn tâm O sao cho AB là đ-ờng kính, 
OC vuông góc với AB và CD đi qua trung điểm của OB. Gọi E là trung điểm của OA. 
Tính gần đúng góc CED (độ, phút, giây). 
góc CED ằ . 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 25 
Bài 93. Tính gần đúng nghiệm của hệ ph-ơng trình 
3 5 4
27 125 24
x y
x y
ỡ + =ù
ớ
+ =ùợ
1 2
1 2
x x
y y
ằ ằỡ ỡ
ớ ớằ ằợ ợ
 . 
Bài 94. Tính gần đúng bán kính đ-ờng tròn nội tiếp và bán kính đ-ờng tròn ngoại 
tiếp của tứ giác ABCD nội tiếp đ-ợc trong một đ-ờng tròn và có các cạnh AB = 6 dm, 
BC = 7 dm, CD = 5 dm, AD = 4 dm. 
r ằ dm; R ằ dm 
Bài 95. Ba số d-ơng lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 2007. Số thứ nhất, 
số thứ hai và bình ph-ơng của số thứ ba lập thành một cấp số nhân. Tính gần đúng giá 
trị của số thứ nhất. 
a1 ằ ; a2 ằ . 
Bài 96. Tính gần đúng diện tích của tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 4 dm, 
CD = 6 dm, DA = 8 dm và góc ABC = 1000. 
 S ằ dm2 
Bài 97. Tính gần đúng các nghiệm của hệ ph-ơng trình 
2
2
2
6
2
6
x
y
y
x
ỡ + =ùù
ớ
ù + =ùợ
 1
1
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 2
2
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 3
3
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 4
4
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 5
5
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 . 
Bài 98. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD có các cạnh BC = 14 
dm, CD = 15 dm, DB = 16 dm, DA = 18 dm, cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD).
 S ằ dm2 
Bài 99. Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 6. Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 
của biểu thức A = (x2 + 3)(y2 + 3). min A = ; max A = . 
Bài 100. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y = x2 + 3x - 2 và đ-ờng 
tròn x2 + y2 - 12x + 5 = 0. 
A( ; ); B( ; )