Bài 1: Chuyên đề Tiếp tuyến

 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 
 Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp 
Ví dụ 1: 
 Cho hàm số 3 23 2 5 ( )y x x x C    . viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 
Bài giải : 
 Với x = 1 y  - 4 (1, 5)M  ( )C 
 ' 2 '3 6 2 (1) 1y x x y      ; vậy tiếp tuyến tại M có dạng : 1( 1) 5 4y x y x        
Ví dụ 2 : (Dự bị D2006) 
 cho hàm số 3 ( )
1
xy C
x



 . cho m 0 0( , ) ( )M x y C . tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số 
(C) tại hai điểm A, B . chứng minh rằng M là trung điểm AB . 
 bài giải: 
 00 0
0
3( , ) ( )
1o
xM x y C y
x

  

 , ' 2 2
0
4 4
( 1) ( 1)
y k
x x
 
  
 
 , tiếp tuyến tại M có dạng (d) : 
2
0 0 0
0 0 02 2 2 2
0 0 0 0 0
3 5 34 4 4( ) ( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x xy x x y y x x y x
x x x x x
    
         
    
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 
2
0 0
2 2 0
0 0 0
0
0
15 34
7(1, )( 1) ( 1) 7
1
11
xx xy x xAx x xy x
xx
   
   
         
Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ : 
2
0 0
02 2
00 0
5 34 2 1
(2 1,1)( 1) ( 1)
1
1
x xy x x x
B xx x
y
y
  
   
    
 
Nhận xét : 
0
0
0
0 0
0
1 2 1
2 2
7 à trung diem AB 1
1 3
2 2 1
A B
M
A B
M
xx x x x
x M l
x xy y y
x
    

    
  

(đpcm) 
Ví dụ 3 : (D2005) 
Cho hàm số 3 21 1 ( )
3 2 3 m
my x x C   . cho M ( )mC , biết rằng 1Mx   , tìm m để tiếp tuyến tại M 
song song với đường thẳng 5x - y = 0 
Bài giải : 
' 2y x mx   hệ số góc tiếp tuyến tại M '( 1) 1k y m    , để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x – 
y = 0 1 5 4k m m      
 Nha Trang 8/2009 
Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm 0 0M( , ) ( ) : ( )x y C y f x  
Cách giải : 
 * tính ' '( )y f x ; tính ' 0( )k f x ( hệ số góc của tiếp tuyến ) 
 * tiếp tuyến tại M có dạng : 0 0( )y k x x y   
 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 
Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000) 
Cho hàm số 3 3 1 ( )y x x C   , và điểm 0 0( , )A x y  (C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại 
điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo 0x 
Bài giải : 
 Vi điểm 0 0( , )A x y  (C) 
3
0 0 03 1y x x    , 
' 2 ' 2
0 03 3 ( ) 3 3y x y x x     
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng : 
' 2 3 2 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )( ) (3 3)( ) 3 1 (3 3)( ) 2 1 ( )y y x x x y y x x x x x y x x x x d                phương trình 
hoành độ giao điểm của (d) và (C) : 
3 2 3 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
2
00
0
00
3 1 (3 3)( ) 2 1 3 2 0 ( ) ( 2 ) 0
( ) 0
( 0)
22 0
x x x x x x x x x x x x x x
x xx x
x
x xx x
              
   
       
Vậy điểm B có hoành độ 02Bx x  
 Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho 
tiếp tuyến song với đường thẳng : 1y k x m   hệ số góc của tiếp tuyến 1k k . Nếu bài toán cho tiếp 
tuyến vuông góc với đường thẳng : 2y k x m   hệ số góc của tiếp tuyến 2
2
1 ( . 1)k do k k
k

   . 
Nếu bài toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : 'y k x m  một góc là  , các em có thể dùng công 
thức sau để tìm k : 
'
'tan 1
k k
kk




 ( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí 
nhớ Toán học , Nguyễn Dương 2008) 
 Một số ví Dụ Điển Hình 
Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001) 
 cho hàm số 31 2
3 3
y x x   , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
1 2 ( )
3 3
y x d   
  Nha Trang 8/2009 
Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số ( )y f x (C) khi biết trước hệ số góc của nó 
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau 
Cách 1 : 
 Tiếp tuyến (d) có dạng y kx m  ( k đã biết ) 
 (d) tiếp xúc (C ) 
'
( ) (1)
( ) (2)
f x kx m
f x k
 
 

có nghiệm 
Từ phương trình 2 ta giải ra được 0x x ( hoành độ tiếp điểm ) thế vào (1) ta tìm được k  tiếp 
tuyến 
Cách 2 : 
Gọi 0 0( , )M x y là tiếp điểm , giải phương trình 
'
0 0( )f x k x x   , 0 0( )y f x 
Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi : 0 0( )y k x x y   
 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 
Bài giải : 
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)  tiếp tuyến có dạng : 3y x m  
Điều kiện tiếp xúc : 
3
2
1 2 3 (1)
3 3
1 3 (2)
x x x m
x
    

  
 có nghiệm 
3
3
2
1 241 2 144 3 3 2,
3 3 32
2, 64
2
x x m
x x m x m
x
x mx
x
                        
Với 14
3
m   tiếp tuyến có dạng 143
3
y x  
Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6 
Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998) 
Cho hàm số 
2 3 3
2
x xy
x
 


 ; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng : 
 y = -3x +2 
Bài giải : 
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2  tiếp tuyến có dạng y = -3x + m 
Điều kiện tiếp xúc 
2
2
2
3 3 3 (1)
2
4 3 3 (2)
( 2)
x x x m
x
x x
x
  
   

   
 
có nghiệm 2x   (2) 2
3
24 16 15 0
5
2
x
x x
x
  
     
  

Với 3 3
2
x m     tiếp tuyến có dạng : 3 3y x   
Với 5 11
2
x m     tiếp tuyến có dạng : 3 11y x   
Ví dụ 3 : 
Cho hàm số 33 4y x  viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : 
3 6 0y x   một góc 030 
Hướng dẫn giải: 
(d) 1 2 3
3
y x   có hệ số góc 1
1
3
k  ; tiếp tuyến có hệ số góc 2k 
Áp dụng công thức (*) : 0 1 2
1 2
tan 30
1
k k
k k



 dễ dàng tính được 2k 
Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của 
bài toán đó là : 
1 2 2
11 3 11 3( ) : 4 ; ( ) : 3 ; ( ) : 3
3 3
d y d y x d y x      
Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998) 
 Cho hàm số 3 23 9 5 ( )y x x x C    . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc 
nhỏ nhất 
 Nha Trang 8/2009 
 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 
Bài giải : 
 TXĐ: D R 
 Ta có : , 23 6 9y x x   ; gọi 0 0( , ) ( )M x y C  hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại M : 
2
0 0 0
' '
0 0 0 0
( ) 3 6 9
( ) 6 6 ; ( ) 0 1
k f x x x
f x x f x x
   
      ( 1)f   -12 
Bảng biến thiên : 
x 0  -1  
f’(x 0 ) - 0 + 
f(x) 
 -12 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 0 0 0min ( ) 12 1 , 16f x x y      
Vậy tại điểm có ( 1,16)M  thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị ) 
Cach khác : 
 Ta có : 2 20 0 0 0( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 min 12,k f x x x x k            đạt được khi 
 0 01 12x y     
Vậy tại điểm có ( 1,16)M  thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị) 
Một số ví Dụ Điển Hình 
Ví dụ 1 : (ĐH Ngoại Thương 1999) 
Cho hàm số 2
2
xy
x



 ; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm ( 6,5)A  
Bài giải : 
 Tiếp tuyến đi qua ( 6,5)A  có dạng : ( 6) 5y k x   
Điều kiện tiếp xúc : 
2
2 ( 6) 5 (1)
2
4 (2)
( 2)
x k x
x
k
x
    
  

 có nghiệm 2x  
Thế (2) vào (1) ta được : 22
02 4 ( 6) 5 6 0
62 ( 2)
xx x x x
xx x

           
Với x = 0 1k   tiếp tuyến có dạng : 1y x   
 Nha Trang 8/2009 
 
+ 
Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước 
Bài toán : cho hàm số : ( )y f x và điểm 0 0( , )A x y viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi 
qua điểm A 
 Cách giải : 
bước 1 : tiếp tuyến đi qua 0 0( , )A x y có dạng : 0 0( )y k x x y   
bước 2: điều kiện tiếp xúc 0 0
'
( ) ( ) (1)
ó 
( ) (2)
f x k x x y
c
f x k
  


nghiệm 
bước 3: giải hệ này ta tìm được k  phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 
Với x = 6 1
4
k   tiếp tuyến có dạng : 1 7
4 2
y x   
Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán 
Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998) 
Cho hàm số : 3 21 2 3
3
y x x x   viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua 4 4( , )
9 3
A 
Bài giải : 
Tiếp tuyến đi qua A có dạng : 4 4( )
9 3
y k x   
Điều kiện tiếp xúc : 
3 2
2
1 4 42 3 ( ) (1)
ó 3 9 3
4 3 (2)
x x x k x
c
x x k
     

   
 nghiệm 
Thay (2) vào (1) ta được : 
3 2 2 3 2
0
1 4 4 82 3 ( 4 3)( ) 3 11 8 0
3 9 3 3
1
x
x x x x x x x x x x
x


            

 
 Với x = 0 3k  tiếp tuyến có dạng : 3y x 
 Với x = 8 5
3 9
k   tiếp tuyến là : 5 128
9 81
y x   
 Với x = 1 0k  tiếp tuyến có dạng : y = 4
3
Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số 
Ví dụ 3 : (dự bị B 2005) 
Cho hàm số : 
2 2 2 ( )
1
x xy C
x
 


 , chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I 
của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C ) 
Bài giải: 
2 2 2 11
1 1
x xy x
x x
 
   
 
 tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai 
đường tiệm cận trên ( 1,0)I  
 Đường thẳng (d) qua I có dạng : ( 1)y k x  
 (d) là tiếp tuyến của (C ) 
2
2
2
2 2 ( 1) (1)
1
2 (2)
( 1)
x x k x
x
x x k
x
  
  
 
 
 
 có nghiệm 1x   
Thay (2) vào (1) ta được : 
2 2
2
2 2 2 ( 1) 2 0
1 ( 1)
x x x x x
x x
  
   
 
 (vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp 
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm) 
 Nha Trang 8/2009 
 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 
Một số ví dụ điển hình : 
Ví dụ 1 : (D2007) 
Cho hàm số 2 ( )
1
xy C
x


 tìm điểm M ( )C sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ 
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1
4
Bài giải : 
 00 0 0
0
2( , ) ( )
1
xM x y C y
x
  

 , 2
2'
( 1)
y
x


Tiếp tuyến tại M có dạng : 
2
0 0
0 0 0 02 2 2
0 0 0 0
2 22 2'( )( ) ( ) ( )
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x xy y x x x y y x x y x d
x x x x
         
   
Gọi ( ) oxA d   tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 
2
0 2
202 2
00 0
22
( ,0)( 1) ( 1)
0
0
xy x x x
A xx x
y
y

    
    
 
Gọi ( ) oyB d   tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : 
2
0 2 2
2 2 0 0
0 0 2 2
0 0
22 0 2 2(0, )( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
0
xy x x x xBx x
y x x
x

  
   
   
Tam giác OAB vuông tại O ; OA = 2 20 0x x  ; OB = 
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
( 1) ( 1)
x x
x x

 
Diện tích tam giác OAB : S = 1
2
 OA.OB 
 = 
2 24
0 0 0 0 0 04 20
0 02 2 2
0 0 0 0 0
0 0
12 1 2 1 0 221 1. 4 ( 1) 2
2 ( 1) 4 2 1 2 1 1( ) 1 1
x x x x x yx x x
x x x x x vn x y
                            
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 1 2
1( ; 2) ; (1,1)
2
M M  
Vi Dụ 2 : (A2009) 
 Cho hàm số 2 (1)
2 3
xy
x



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt 
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ . 
 Nha Trang 8/2009 
Dạng 4 : Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại 
Học 
 Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949 
Ví dụ 3 : (dự bị D 2007) 
Cho hàm số 
1
xy
x


 (C ) ; viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C ) ; sao cho (d) cắt hai đường tiệm cận 
của (C) tạo thành một tam giác cân 
Ví dụ 4: (dự bị B2007) 
 Cho hàm số 1 ( )
2 m
my x C
x
   

 tìm m để hàm số có cực đại tại A và tiếp tuyến của ( )mC tại A cắt 
trục oy tại B mà tam giác OAB vuông cân 
Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998) 
Cho hàm số 3 12 12 ( )y x x C   . tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến 
phân biệt tới đò thị ( C) 
Bài giải : 
 Điểm M nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4) 
 Tiếp tuyến qua M có dạng : ( ) 4y k x m   
 Điều kiện tiếp xúc : 
3
2
12 12 ( ) 4 (1)
3 12 (2)
x x k x m
x k
     

 
 có nghiệm 
Thế (2) vào (1) ta được : 
3 2 3 2
2 2
2
12 12 (3 12)( ) 4 12 16 (3 12)( )
( 2)( 2 8) 3( 2)( 2)( ) ( 2) 2 (4 3 ) 8 6 0
2
( ) 2 (4 3 ) 8 6 0
x x x x m x x x x m
x x x x x x m x x m x m
x
g x x m x m
           
                

 
     
Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt 2 
2 2
4
(4 3 ) 8(8 6 ) 0 3 8 16 0 4
(2) 24 12 0 24 12 0 3
2
m
m m m m
m
g m m
m
  
              
       
 

Vậy M (m , -4) với 4( , 4) ( , ) & 2
3
m m       là điểm cần tìm 
Ví dụ 5 : ( học viện BCVT 199) 
 Cho hàm số 3 23 2 ( )y x x C    . Tìm cá điểm thuộc đò thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp 
tuyến với đồ thị hàm số (C ) 
Do thời gian có hạn , tôi chưa thể giới thiệu hết với các bạn hết các dạng toán hay về tiếp 
tuyến , trong tháng này tôi sẽ tiếp tục hoàn thành và giới thiệu đến các bạn , phần còn lại của 
tiếp tuyến , và tiếp tục giới thiệu với các bạn chuyên đề : Tương Giao giữa hai đồ thị . theo tôi 
có khả năng rất cao sẽ thi ĐH năm 2010 
 Nha trang 2009 
 Gv -ths. Nguyễn Văn Dương 
 Nha Trang 8/2009 
Bài tập về tiếp tuyến 
 Vấn Đề 5: Tiếp Tuyến Của Đồ Thị 
bài 1: cho hàm số 
2 2 10
2( 1)
x xy
x
 


 . viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1. 
bài 2 : cho hàm số 
2 2 2
1
x xy
x
 


 . viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox 
bài 3: cho hàm số 3
1
xy
x



 (C) , cho điểm 0 0 0( , ) ( )M x y C . tiếp tuyến của ( )C tại 0M cắt các tiệm cận của (C) 
tại A và B . chứng minh rằng 0M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của 
điểm 0M . (Dự Bị D 2006) 
bài 4: cho hàm số 2 1
1
xy
x



 (C) , gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận . tìm điểm ( )M C 
sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M vuông góc với đường thẳng IM ( Dự Bị B2003) 
bài 5 : cho hàm số 2
3
xy
x



 ( )C . viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết rằng tiếp tuyến cắt hai đường tiêm 
cận của ( )C tại hai điêm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( Khối A 2009) 
Bài 6: cho hàm số 3 22 3 5y x x   viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến đi qua 
19( , 4)
12
A ( ĐH Quốc Gia Thành Phố HCM 2001) 
Bài 7: cho hàm số 2
2
xy
x



 ( )C . viết phương trình tiếp tuyến tuyến với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua 
điểm A ( -6,5) ( ĐH Ngoại Thương TPHCM 1995) 
Bài 8 : cho hàm số y = 1
1
x
x


 , CMR có thể kẻ từ A( 1,-1) tới đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (ĐH 
Bách Khoa 1996) 
Bài 9: cho hàm số sau : 4 21 33
2 2
y x x   . viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua 3(0, )
2
A 
Bai10: cho hàm số : 3 21 2 3
3
y x x x   . qua điểm 4 4( , )
9 3
A kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm s
(ĐH Ngoại Ngữ 1998) 
Bài 11 : cho hàm số 
2 2 2
( 1)
x xy
x
 


 . chứng minh rằng từ giao điểm của hai đường tiệm cận không kẻ được tiếp 
tuyến nào tới đồ thị của hàm số (B 2005) 
Bài 12: cho hàm số 
2 3 3 ( )
2
x xy C
x
 


 . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường 
thẳng (d) : 3 6 0y x   (ĐH Cảnh Sát 1998) 
Bài 13 : cho hàm số 33 4 ( )y x C  . viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : 
3 6 0y x   một góc 030 
Bài 14 : cho hàm số : 3 23 9 5 ( )y x x x C    . trong các tiếp tuyến với đồ thị tìm tiếp tuyến có hệ số góc 
nhỏ nhất ( ĐH Ngoại Thương 1998) 
Bài 15 : cho hàm số 2 1
1
xy
x



 , gọi I là tâm đối xứng của đồ thị . tìm điểm M thuộc đồ thị ,sao cho tiếp tuyến tại 
M vuông góc với đường thẳng IM ( Dự bị B2003) 
 Bài 16: cho hàm số : 31 2 ( )
3 3
y x x C   tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc 
với đường thẳng 1 2
3 3
y x   (ĐH Ngoại Ngữ 2001) 
Bài 17: cho hàm số 1 ( )
1
xy C
x



. Tìm m để đường thẳng ( ) : 2d y x m  cắt đồ thị hàm số ( )C tại hai điểm 
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau (CĐSP 2005) 
Bài 18: cho hàm số 2 ( )
1
xy C
x


, tìm điểm ( )M C , biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M tại hai diểm A, B và 
tam giác OAB có diện tích bằng 1
2
 (D2007) 
Bài 19: cho hàm số ( )
1
xy C
x


 , Viết phương trình tiếp tuyến ( )d của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại A,B sao 
cho tam giác IAB cân , I là giao điểm của hai đường tiệm cận ( D2007_dự bị) 
Bài 20: cho hàm số 3 12 12 ( )y x x C   tìm trên đường thẳng y = 4 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân 
biệt tới đồ thị ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1998) 
Bài 21: cho hàm số 3 23 2 ( )y x x C    Tìm trên ( )C những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với 
đồ thị hàm số ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1999) 
Bài 22: cho hàm số 2 ( )
1
xy C
x



 . và điểm A(0, a ) . tìm a để từ điểm A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến ( )C . 
sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía trục ox (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001) 
Bài 23 : cho hàm số 3 23 2 ( )y x x C   tìm trên đường thẳng 2y   các điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị 
hàm số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 
Bài 24 cho hàm số 3 23 ( )y x x C  Tìm trên đường thẳng 2x  những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng 3 tiếp 
tuyến tới đồ thị hàm số 
Bài 25: cho hàm số 4 22 1 ( )y x x C    tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp 
tuyến tới đồ thị ( )C (ĐH Y Dược TP HCM 1998) 
 Nha Trang 8/2009