17 đề thi thử Đại học môn Toán & đáp án

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 1
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số  y = f (x) = 8x4 - 9x2 +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
8cos4x - 9cos2x + m = 0 với x Î[0;p ] .
Câu II (2 điểm)
( x - 2) æç	÷ö
log	x
1
1. Giải phương trình:

è      2 ø
3
x -            =   x - 2
ìïx + y +   x2 - y2 = 12
4sin3xsinx + 4cos ç	÷	ç	÷	ç	÷ + m = 0
æ	p ö	æ	p ö	2 æ	p ö
2. Giải hệ phương trình: í
ïî y   x2 - y2 = 12
Câu III (1 điểm) Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường
y =| x2 - 4x | và  y = 2x .
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp
cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm
3x -	cos  x +	- cos	2x +
è	4 ø	è	4 ø	è	4 ø
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
1. Cho D ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x + y +1 = 0 và phân giác trong CD:

x + y -1 = 0 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số  í y = -2t
+	+	£
Viết phương trình đường thẳng BC.
ìx = -2 + t
ï
î
ïz = 2 + 2t
.Gọi  D  là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và   I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A
trên (D). Trong các mặt phẳng qua D , hãy viết	phương  trình  của  mặt  phẳng  có  khoảng  cách  đến  (D)  là
lớn nhất.
Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
1	1	1	5
xy +1	yz +1	zx +1	x + y + z
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên
đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng  D có phương trình tham số
í y = 1- t
ìx = -1+ 2t
ï
î
ïz = 2t

.Một điểm M thay đổi trên đường thẳng D , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị
a ç	÷ +	+	< 2
+	+
nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
æ	1	1	2	ö	b	c
è 3a + b	3a + c	2a + b + c ø   3a + c	3a + b
----------------------Hết----------------------
·	y ' = 32x  -18x = 2x (16x2 - 9)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 1
Câu	Ý   	   Nội dung	Điểm
I	2,00
1	1,00
+ Tập xác định: D = ¡	0,25
+ Sự biến thiên:
·	Giới hạn:  lim y = +¥;  lim y = +¥
x®-¥	x®+¥
3
ê x = ± 3
é x = 0
y ' = 0 Û ê
ë	4

0,25
·	Bảng biến thiên.
0,25
yCT = y ç -   ÷ = -
; yCT = y ç   ÷ = -
49
32
æ   3 ö	æ 3 ö
è   4 ø	è 4 ø

49
32

; yC§ = y (0) = 1
Xét phương trình 8cos x - 9cos x + m = 0 với x Î[0;p ]  (1)
·	Đồ thị
0,25
2	1,00
4	2
Đặt t = cosx , phương trình (1) trở thành: 8t4 - 9t2 + m = 0 (2)
Vì  x Î[0;p ] nên  t Î[-1;1] , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của
phương trình (1) và (2) bằng nhau.
Ta có: (2) Û 8t4 - 9t2 +1 = 1- m (3)
Gọi (C1):  y = 8t4 - 9t2 +1 với t Î[-1;1] và (D): y = 1 – m.
Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền -1 £ t £ 1.
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

0,25
0,25
m >	: Phương trình đã cho vô nghiệm.
·
81
32
1.   m =
81
32
: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.                                                                         0,50
·
1 £ m <	: Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
81
32
·	0 < m < 1	: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
·
m = 0
: Phương trình đã cho có 1 nghiệm.
·	m<0	: Phương trình đã cho vô nghiệm.
II	2,00
1	1,00
Phương trình đã cho tương đương:
êì
ê	ê	ê
êìæ	ì	æ	ö
Û  ïln æç x -   ö÷
1 ö	3
1
Û êïlog3 x ln ç	÷ = 0
1
ïç	÷	êí   è
x -	= 1	= 0	x -
êí
è
2 ø
2 ø
êíè	ø
ê
êï	ï
ê
êìélog3 x = 0
ê	êìé x = 1
ê	ê	ê
Û êïïê
Û êïïê
Û êï
3 Û x = 2
ïê
êíêln ç	÷ = 0
ê x -	= 1
êíê x =
x -
êí
é   x - 2 = 0	é x - 2 = 0	é x = 2
2
	ëëî
êïx - 2 > 0	êîx > 2	ëîx > 2
é x = 2	é x = 2	é x = 2
æ	1 ö	1
ê
	ëî	ëîëî
êïë   è	2 ø	êïë	2	êïë	2
êïx > 2	êïx > 2	êïx > 2

ìé x = 1

log  x                                               log3 x

0,50
0,50
2	1,00
Điều kiện: | x | ³ | y |
ìïu =   x2 - y2 ; u ³ 0
;  x = - y không thỏa hệ nên xét   x ¹ - y ta có   y =	ç	÷ .
1 æ	u2 ö
Đặt í
ïîv = x + y

v -
2 è       v ø
íu æ
u2 ö
ï 2 ç	÷
î   è	ø
Hệ phương trình đã cho có dạng:
ìu + v = 12
ï
v -	= 12
v
0,25
Ûí
îv = 9
ìu = 4
îv = 8

ìu = 3
hoặc í
ìu = 4	ì   x2 - y2 = 4
îv = 8	ïîx + y = 8

+ í         Û í

(I)

0,25
îv = 9
ìï   x2 - y2 = 3
ìu = 3
+ í

Û í
ïîx + y = 9

(II)
Giải hệ (I), (II).	0,25
Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là
S = {(5;3), (5; 4)}
0,25
Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là
S = {(5;3), (5; 4)}

1,00
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi:  y =| x  - 4x | (C) và (d ) : y = 2x
III	0,25
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
| x  - 4x |= 2x Û í	íéx  - 6x = 0 Û êê x = 2
é x  - 4x = 2x   Û
ëê x = 6
îë x  - 4x = -2x	x  - 2x = 0
ò ( x	)	ò ( x	)
S  =	- 4x  - 2x   dx  +	- 4x  - 2x   dx
Tính:   I  = ò (| x2 - 4x | -2x) dx
ìx ³ 0	ìx ³ 0	é x = 0
ï
2	2	ï	2
ïê   2	ïê   2
îë
Suy ra diện tích cần tính:
2	6
2	2
0	2
2
0

0,25
Vì  "x Î[0; 2], x2 - 4x £ 0 nên | x2 - 4x |= -x2 + 4x Þ   I  = ò (-x2 + 4x - 2x) dx =
Tính K = ò (| x2 - 4x | -2x) dx
6
2
Vì "x Î[2; 4], x2 - 4x £ 0 và "x Î[4;6], x2 - 4x ³ 0 nên
2
0
4
3
0,25
0,25
K = ò	ò ( x2 - 4x - 2x) dx = -16 .
(4x - x2 - 2x) dx +
Vậy S =	+16 =	1,00
4	6
2	4
4     52
3	3
IV	0,25
0,25
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của
î AB ^ HH '
ì AB ^ IC
AB, A’B’. Ta có: í
Þ AB ^ (CHH ') Þ ( ABB ' A ') ^ (CII 'C ')
Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc
với mặt bên (ABB’A’) tại điểm  K Î II ' .
Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có:
I ' K = I ' H ' =	I 'C ' =
; IK = IH =	IC =
1	x  3          1	x  3
3	6	3	3

0,25
Tam giác IOI’ vuông ở O nên:  I ' K.IK = OK 2 Þ
x  3  x  3
.
6       3
= r2 Þ x2 = 6r2
(	)
Thể tích hình chóp cụt tính bởi: V =
B + B '+   B.B '
Trong đó:  B =	= x2	3 = 6r	3; B ' =	= 3r	3 ;  h = 2r
4x	3
x
3
h
3
2	2	2
2
4	4	2

0,25
2r æ
2	2	ö	3
ç 6r	3 +	+	6r	3.
÷ =
3  ç	2	2	÷	3
Từ đó, ta có: V =
2
2         3r    3                  3r    3       21r . 3
è                                                     ø

0,25
+/ 4cos ç	÷	ç	÷ = 2 êcos ç	÷ + cos4xú = 2 (sin 2x + cos4x )
V	1,00
Ta có:
+/ 4sin3xsinx = 2(cos2x - cos4x) ;
æ	p ö	æ	p ö	é	æ	p ö	ù
3x -	cos  x +	2x -
ë
è	4 ø	è	4 ø	è	2 ø	û
+/ cos  ç	÷ =	ç1+ cos ç	÷ ÷ =	(1- sin 4x )2 æ
2(cos2x + sin2x ) +   sin 4x + m -
= 0 (1)
Đặt t = cos2x + sin2x =	2cos ç	÷ (điều kiện: -  2 £ t £   2 ).
Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t  -1. Phương trình (1) trở thành:
1 æ
p ö	æ	p ö ö	1
2x +	4x +
2 è
è	4 ø	è	2 ø ø	2
Do đó phương trình đã cho tương đương:
1          1
2	2
æ	p ö
2x -
è	4 ø
2
t2 + 4t + 2m - 2 = 0 (2)  với -  2 £ t £   2
(2) Û t2 + 4t = 2 - 2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (D) : y = 2 - 2m (là đường song song

0,25
0,25
Trong đoạn éë	ûù , hàm số  y = t2 + 4t  đạt giá trị nhỏ nhất là 2 - 4  2 tại t = -  2 và
với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P):  y = t2 + 4t  với -  2 £ t £   2 .
-  2;   2
đạt giá trị lớn nhất là 2 + 4  2  tại t =   2 .	0,25
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 - 4  2 £ 2 - 2m £ 2 + 4  2
Û -2 2 £ m £ 2 2 .	   0,25
VIa	2,00
1   	     1,00
Điểm C ÎCD : x + y -1 = 0 Þ C (t;1- t ) .
Suy ra trung điểm M của AC là M ç	÷ .
Điểm M Î BM : 2x + y +1 = 0 Þ 2ç	÷ +	+1 = 0 Û t = -7 Þ C (-7;8)
æ t +1 ö   3 - t
è   2  ø	2
Từ A(1;2), kẻ  AK ^ CD : x + y -1 = 0 tại I (điểm K Î BC ).
Suy ra  AK : ( x -1) - ( y - 2) = 0 Û x - y +1 = 0 .
æ t +1 3 - t ö
;
è   2      2   ø

0,25

0,25
0,25
Þ I (0;1) .
îx - y +1 = 0
ìx + y -1 = 0
Tọa độ điểm I thỏa hệ: í
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK Þ tọa độ của K (-1;0) .
=	Û 4x + 3y + 4 = 0
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
x +1     y
-7 +1    8
ìïd (( D) , ( P)) = d ( I , ( P)) = IH
ïîH Î ( P)
Vectơ pháp tuyến của (P0) là n = IA = (6;0; -3) , cùng phương với v = (2;0; -1) .
VIIa

2

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng D , thì (P) //(D)
hoặc (P) É (D) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P).
Ta luôn có IH £ IA và IH ^ AH .
Mặt khác  í
Trong mặt phẳng ( P) , IH £ IA ; do đó maxIH = IA Û H º A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với  IA
tại A.
r    uur                                                 r
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2( x - 4) -1.( z +1) = 2x - z - 9 = 0 .
Để ý rằng ( xy +1) - ( x + y) = (1- x)(1- y) ³ 0 ;
îzx +1 ³ z + x
( x + y + z ) ç	÷ £	+	+	+1+ 1+ 1
+	+
£	+	+	+ 3
= x ç	÷ + 5  vv
æ	ö
£ x ç1-	-
÷ + 5
ì yz +1 ³ y + z
và tương tự ta cũng có  í
Vì vậy ta có:
æ	1	1	1	ö	x	y	z
è xy +1	yz +1	zx +1 ø	yz +1	zx +1	xy +1
x	y	z
yz +1	zx+y	xy + z
-	-
è yz +1	zx + y	xy + z ø
æ	z	y   ö
è	z + y	y + z ø
= 5

0,25
1,00
Ta có:  AB = (-1; 2) Þ AB =   5 .
uuur
Phương trình của AB là: 2x + y - 2 = 0 .
I Î(d ) : y = x Þ I (t;t ) . I là trung điểm
của AC và BD nên ta có:
C (2t -1; 2t ), D (2t; 2t - 2) .

0,25
Mặt khác: SABCD = AB.CH = 4 (CH: chiều cao) Þ CH =

4
5

.                                      0,25
êt = 3	3  3	3  3 ÷
Þ C ç	÷	ç   ;
Ngoài ra: d (C; AB) = CH Û	=	Û ê
| 6t - 4 |	4	;	, D
êët = 0 Þ C (-1;0) , D (0; -2)
5	5
4
é                 æ 5 8 ö     æ 8 2 ö
è       ø     è       ø

0,50
Vậy tọa độ của C và D là C ç	÷	ç	÷ hoặc C (-1;0) , D (0; -2)
æ 5 8 ö	æ 8 2 ö
;	, D	;
è 3  3 ø	è 3  3 ø
2	1,00
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P  = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng  D có phương trình tham số: í y = 1- t
AM =   ( -2 + 2t )  + (-4 - t )  + (2t )   =   9t 2 + 20 =	+ (	)
Điểm M Î D nên M (-1+ 2t;1- t; 2t ) .
2	2	2	2
ìx = -1+ 2t
ï
î
ïz = 2t

.

2

0,25
( -4 + 2t )  + (-2 - t )  + (-6 + 2t )
BM =

2                2                  2

=   9t 2 - 36t + 56 =

(3t - 6)

2

2  5
+ (       )

2
(3t )   (	)	(3t - 6)   (	)
AM + BM =	+  2  5
+
+  2  5
2
2
(	)
(	)
2	2
r	r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u =  3t; 2  5   và v =  -3t + 6; 2  5  .
(	)
(3t )
ì r
ïï| u |=
+  2  5
2
Ta có í
(	)
ï| v |=
(3t - 6)
+  2  5
(	)
Û	=	Û t = 1
2
r	2
2
îï
r	r	r   r	r   r
Suy ra  AM + BM =| u | + | v | và u + v =  6; 4  5  Þ| u + v |= 2  29
r  r	r	r	r   r
Mặt khác, với hai vectơ u, v ta luôn có | u | + | v |³| u + v |
Như vậy  AM + BM ³ 2  29
r  r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng
3t	2 5
-3t + 6	2  5
Þ M (1;0; 2) và min ( AM + BM ) = 2  29 .
(  11 +   29
Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 	)
VIIb	1,00

0,25
0,25
0,25
Vì a, b ... - 2	z -1
ìx = 2 + t
ï
î
ïz = 3 - t

d2 :

=          =
2          1          5
Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2?
Câu V: (1®iÓm)  Cho a, b, c ³ 0  và  a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =	+	+
a3	b3
1+ b2	1+ c2

c3
1+ a2
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 17
Câu	NỘI DUNG	Điểm
Câu I.	a) Khi m = 1
Þ y = x3 - 3(m +1)x2 + 9x +1- 2
Û y = x3 - 6x2 + 9x -1
·	TXĐ: D = R
y  = 3x  -12x + 9 = 0 Û ê
y  = 6x – 12 = 0  Û x = 2
lim (x3 - 6x2 + 9x -1) = -¥ ,  lim (x3 - 6x2 + 9x -1) = +¥
x®-¥	x®+¥
'	2	éx = 1
ëx = 3
·	BBT:
x	- ¥	1	3	+ ¥
y/	+	0	-	0	+
3	+ ¥
y
- ¥	1
Hàm số đồng biến: (- ¥ ; 1); (3; + ¥ )
Hàm số nghịch biến: (1; 3)
fCĐ = f(1) = 3
fCT = f(3) = -1
’’
Khi x = 2 Þ y = 1
Khi x = 0 Þ y = -1
x = 4  Þ y = 3
Đồ thị hàm số nhận I(2; 1) là tâm đối xứng
b)   y'= 3x2 - 6(m +1)x + 9
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
D'= 9(m +1)2 - 3.9 > 0
= (m +1)2 - 3 > 0
Û mÎ(-¥;-1-   3) È (-1+   3;+¥)

0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Ta có  y = ç   x -
(
)
÷ 3x  - 6(m +1)x + 9 - 2(m  + 2m - 2)x + 4m +1
æ 1
è 3
m +1ö        2                                                     2
3   ø
Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x1; y1) và (x2; y2)
Þ y1 = -2(m2 + 2m - 2)x1 + 4m +1
y2 = -2(m2 + 2m - 2)x2 + 4m + 1
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y = -2(m2 + 2m - 2)x + 4m +1
0,25đ
[	]
- 2(m2 + 2m - 2) .   = -1
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt  y =
1
2
1
2

x ta có điều kiện cần là
Û m2 + 2m - 2 = 1
Û m2 + 2m - 3 = 0 Û ê
ìx  + x2 = 2(m +1)
îx1.x2 = 3
ì x1 + x2	4
ïï
y = - 2x  + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: í
ï y1 + y2 = - 2(x1 + x2 ) +10 = 1
ém = 1
ëm = -3
Theo định lí Viet ta có: í  1
Khi m = 1 Þ ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:
î
ï	2	2

2        2

=    = 2

0,25đ
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng  y =
1
2
x Þ m = 1 thỏa
ì x1 + x2
ïï
điểm CĐ và CT là: í
ï y1 + y2 = - 2(x1 + x2 ) + 10 = 9
mãn.
Khi m = -3 Þ ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11. Tọa độ trung
= -2
2
î
ï	2	2
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng
y =
1
2
x Þ m = -3  không thỏa mãn.
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
1)  Giải phương trình:
0,25đ
Câu II.
sin 2x(cos x + 3) - 2  3.cos3 x - 3  3.cos 2x + 8(  3.cos x - sin x) - 3  3 = 0
Û 2sin x.cos2 x + 6sin x.cos x - 2  3.cos3 x - 6  3 cos2 x + 3  3 + 8(  3.cos x - sin x) - 3  3 = 0
Û -2cos2 x(  3 cos x - sin x) - 6.cos x(  3 cos x - sin x) + 8(  3 cos x - sin x) = 0
Û (  3 cos x - sin x)(-2cos 2 x - 6cos x + 8) = 0
0,5đ
êëcos  x + 3cos x - 4 = 0
Û êcos x = 1
êcos x = 4(loai)
é  3 cos x - sin x = 0
Û ê
2
étan x =   3
ê
ë

0,25đ
êx = 3 + kp , k Î Z
ëx = k 2p
Û

ê
é      p

0,25đ
2)  Giải bất phương trình:
1
2
log 2 (x2 + 4x - 5) > log 1 (
2
1
x + 7
)  (1)
Đk:  íìx2 + 4x - 5 > 0
Û í
Þ x Î(-7;-5) È (1+ ¥)
ìx Î (-¥;-5) È (1;+¥)
îx + 7 > 0               îx > -7

0,25đ
Từ (1) Þ log 2 (x2 + 4x - 5) > -2log 2
1
x + 7

0,25đ
2                                                       2
Û log 2 (x  + 4x - 5) > log 2 (x + 7)
2                             2
Û x  + 4x - 5 > x  +14x + 49
Û -10x > 54
Û x < - 27
5
- 27
Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm:  x Î (-7;        )
5
0,25đ
0,25đ
3)  Ta có: x.sin2x = 2x
Û x.sin2x – 2x = 0 Û x(sin2x – 2) =0
Û x= 0
Diện tích hình phẳng là:
p                                                   p
2                                                      2
S =     (x.sin 2x - 2x)dx =       x(sin 2x - 2)dx
ò0                         ò0
ìdu = dx
ìu = x                           ï
Đặt í                              Þ í      - cos 2x
îdv = (sin 2x - 2)dx       v =               - 2x
ïî           2
p
2          p
x. cos 2x            2                 2 æ cos 2x        ö
S = (-              - 2x     +      ç           + 2x ÷dx
2                        0    ò0   è    2            ø
2                                        p
p    p      æ sin 2x         2 ö  2
Û S =     -      + ç           + x  ÷ 0
4     2     è    4           ø
2           2            2
p    p      p       p      p
Û S =     -      +       =      -    (đvdt)
4     2      4       4     4
0,25đ
0,25đ
Câu III.
A'
C'
Gọi Q, I, J lần lượt là
trung điểm B’C’, BB’, CC’                                                                                                                                                                                                         Q
B'
ta có:
a  3                                                                                                                                                        K
AP =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     J
2
Þ AH = a  3                                                                                                                                                                         I                        E                                              N
Vì D' AHA' vuông cân tại H.                    A       45
C
Vậy  A' H = a  3                                                                                                                                         M
P
Þ VABCA'B'C' = S ABC .A' H
B                                                                                                                                         H
2
1    a  3    a    3
Ta có S ABC =    a.        =           (đvdt)
2      2          4
2                     3
a    3    3a
Þ VABCA'B'C' = a  3.          =       (đvtt)     (1)
4          4
Vì D' AHA' vuông cân Þ HK ^ AA'Þ HK ^ (BB'C'C)
G ọi E = MN Ç KH Þ BM = PE = CN   (2)
2               2                  2            2
mà AA’ =    A' H   + AH   =    3a  + 3a   = a  6
a  6                                    a  6
Þ AK =         Þ BM = PE = CN =
2                                        4
Ta có thể tích K.MNJI là:
0,25đ
0,25đ
V =	SMNJI .KE
KE =
KH =
AA ' =
1
3

1     1           a  6
2           4              4

0,25đ
=
SMNJI = MN.MI = a.
a  6     a2   6
4          4

(dvdt)
0,2 5đ
Þ VKMNJI =	=
3a	a3
Þ	=	=
3a	a
VA'B'C 'KMN
2
VABCKMN	8	8	1
1 a2   6 a  6     a3
3    4       4        8
3
-
2          3
+
8      8

(dvtt)

0,25đ
ïa  + a -	2
ì   2	6
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
= 5
í	a  + a
î
ï(a2 + a)b2 + b(a2 + a) - 6 = 0
Û ê   2
ĐK: a2 + a ¹ 0
Từ (1) Û (a2 + a)2 - 5(a2 + a) - 6 = 0
éa2 + a = -1
êëa  + a = 6
Khi a2 + a = -1 thay vào (2)
Þ -b2 - b - 6 = 0
Þ b2 + b + 6 = 0
0,25đ
0,25đ
êb =
é
êb =
Û ê
ê
ë
-1-   23 .i
2
-1+   23 .i
2
êa =
Khi a  + a = 6
Û ê
é
êa =
a2 + a +1 = 0 Û ê
ê
ë
2
éa = -3
ëa = 2
Thay vào (2)
Þ 6b2 + 6b - 6 = 0
Û b2 + b -1 = 0
-1-   3i
2
-1+   3i
2

0,25đ
êb =
é
êb =
Û ê
ê
ë
-1+   5
2
-1-   5
2
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:
æ -1-   23i  -1-   3i ö æ -1-   23i  -1+   3i ö
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
æ -1+   23i  -1-   3i ö æ -1+   23i  -1-   3i ö
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
ç	;	÷,ç	;	÷
2	2	2	2
ç	;	÷,ç	;	÷
2	2	2	2
ç - 3;
è
-1+   5 ö æ
÷,ç - 3;
÷ ç
ø è
-1-   5 ö æ
÷,ç 2;
÷ ç
ø è
-1+   5 ö æ
÷,ç 2;
÷ ç
ø è
-1-   5 ö
÷
ø
æ
ç

2

2

2

2

÷
+ cn2+3 +
ïCm
Câu IV:

ì    m-2
í
ïîPn-1 = 720

9
2

<

19     1
Am
2

0,25đ
Từ (2): (n -1)!= 720 = 6!Û n -1 = 6 Û n = 7
Thay n = 7 vào (1)
(3)
+
2  (m -1)!
Þ
m!         10!
2!(m - 2)!   2!8!
+ 9 <
19      m!
.
Û
m(m -1)
2
+ 45 +
9
2
<
19
2

m

0,25đ
Û m2 - m + 90 + 9 < 19m
Û m2 - 20m + 99 < 0
Û 9 < m < 11 vì mΠZ Þ m = 10
Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy
được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
C73.C102  = 1575 cách
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
C74.C101  = 350 cách
TH3: 5 bông hồng nhung có:
C75 = 21 cách
Þ có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách.
Số cách lấy 4 bông hồng thường
C175  = 6188
0,25đ
Þ P =
1946
6188
» 31,45%
2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) và Elip là:
a 2
25
+
y 2
9
= 1

0,25đ
Û
y 2
9

= 1-
a 2
25

=
25 - a2
25
Þ y 2 = 9.
25 - a
25
2
Þ y = ±
3
5
25 - a2
Vậy  Aç a;
25 - a2 ÷, Bç a;-
25 - a2 ÷
æ
è
3
5
ö    æ
ø    è
3
5
ö
ø

0,25đ
AB = ç 0;
25 - a2 ÷
æ	6
è	5
ö
ø
6                    2
Þ| AB |=      25 - a   = 4
5
2    10                        2    100             2           100    125
Û   25 - a   =      Û 25 - a   =        Û a   = 25 -       =
3                        9                         9        9
5  5
0,25đ
a         3
- 5 5        5 5
Vậy phương trình đường thẳng:  x =           , x =
3              3
ìx = 1+ 2t'
ï
3)đường thẳng d2 có PTTS là: í y = 2 + t'
ïz = 1+ 5t'
r î
Þ vectơ CP của d1 và d2 là: ud1 = (1;1; -1),ud2 = (2;1;5)
r        r   r
Þ VTPT của mp( a ) là na = ëéud1 .ud2 ûù = (6; -7; -1)
Þ pt mp( a ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
Þ d (M , (a )) = d (N , (a ))
|12 -14 - 3 + D |=| 6 -14 -1+ D |
Û| -5 + D |=| -9 + D |Û D = 7
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu V:
Vậy PT mp( a ) là: 3x – y – 4z + 7 = 0
3                                 3                                 3
a                 2        b                 2        c                  2
Ta có: P + 3 =              + b  +             + c  +              + a
2                                 2                                 2
1+ b                1+ c                1+ a
3                         2                         2
6            a                a          1+ b
Û P +         =                +               +
2                         2
4  2     2  1+ b      2  1+ b       4  2
3                          2                          2
b                b           1 + c
+                +                +
2                          2
2  1 + c      2  1 + c       4  2
3                         2                         2
c                c           1+ a
+                +                +
2                         2
2  1+ a      2  1+ a       4  2
6                        6                         6
a               b                c
³ 33            + 33            + 33
16  2         16  2         16  2
3            3              2         2         2        9
Þ P +         ³              (a  + b  + c  ) =     6
3
2  2                                           2  8
2  2  2
9          3         9         3        3
Þ P ³           -         =         -         =
6     3
2  2      2  2     2  2    2  2       2
Để PMin khi a = b = c = 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ