15 Chuyên đề luyện thi đại học môn Toán

15 Chuyên đề luyện 
thi đại học mơn Tốn 
 1
Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
 & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
 TÓM TẮT GIÁO KHOA 
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 
1. + = + +2 2 2( ) 2a b a ab b abbaba 22)(22 −+=+ 
2. − = − +2 2 2( ) 2a b a ab b abbaba 22)(22 +−=+ 
3. − = + −2 2 ( )( )a b a b a b 
4. + = + + +3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b )(33)(33 baabbaba +−+=+ 
5. − = − + −3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b 
6. + = + − +3 3 2 2( )( )a b a b a ab b 
7. − = − + +3 3 2 2( )( )a b a b a ab b 
Áp dụng: 
 Biết Syx =+ và Pxy = . Hãy tính các biểu thức sau theo S và P 
 2) ya += 2xA 2y)-(xB =)b 3) yc += 3xC 4) yd += 4xD 
A. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
I. Giải và biện luận phương trình bậc nhất: 
 1. Dạng : ax + b = 0 (1) 
⎩⎨
⎧
số tham : ba,
số ẩn : x
 2. Giải và biện luận: 
 Ta có : (1) ⇔ ax = -b (2) 
 Biện luận: 
• Nếu a ≠ 0 thì (2) ⇔
a
bx −= 
• Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b 
 * Nếu b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm 
 * Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 
 Tóm lại : 
• a ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
a
bx −= 
• a = 0 và b ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm 
• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 
 2
Áp dụng: 
Ví dụ : Giải và biện luận các phương trình sau: 
 1) 2 3 2x m mx+ = + 
 2) 2m x 2 x 2m+ = + 
 3) x m x 2
x 1 x 1
− −=+ − 
 4) 
2
2 3 2 1
1 11
x m m m
x xx
+ −= ++ −− 
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình: 
 Định lý: Xét phương trình ax + b = 0 (1) ta có: 
• (1) có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0 
• (1) vô nghiệm ⇔ ⎩⎨
⎧
≠
=
0
0
b
a
• (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔ ⎩⎨
⎧
=
=
0
0
b
a
Áp dụng: 
Ví dụ : 
1) Với giá trị nào của a, b thì phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 
 0)1( 24 =−++− bxaxa ( 1; 0a b= ± = ) 
 2) Cho phương trình (2 1) (3 )( 2) 2 2 0m x n x m n− + − − − + + = 
 Tìm m và n để phương trình nghiệm đúng với mọi x ( 1 ; 1
2
m n= − = ) 
 3) Cho phương trình: (2 1) 3 2 3m x m x m+ − + = + 
 Tìm m để phương trình cĩ nghiệm ( )0;3x∈ ( 1 2
2
m m ) 
 4) Cho phương trình: (3 2) 4 2 5m x m mx m− − = + − 
 Tìm m nguyên để phương trình cĩ nghiệm nguyên ( { }3; 13; 1;9m∈ − − − ) 
 5) Cho phương trình: 2 3mx x m
x x
− −= 
 Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm duy nhất ( 1 3
2
m< < ) 
6) Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm 
 2x m x 2m 34 x 1
x 1 x 1
+ − +− − =− − 
 7) Cho phương trình: 1 (2 3) (1 ) 3 0x m x m m x⎡ ⎤− − + + − − =⎣ ⎦ 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt ( 52
2
m< < ) 
 3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
Thời gian 10 phút 
ĐỀ: 
Bài 1: Phương trình 3(m 4)x 1 2x 2(m 3)+ + = + − có nghiệm duy nhất với giá trị của m là: 
 (A) 4m
3
= (B) 3m
4
= − (C) 10m
3
≠ − (D) 4m
3
≠ 
Bài 2: Phương trình 2(m 2)(x 1) x 2− + = + vô nghiệm với giá trị của m là: 
 (A) m 0= (B) m 1= ± (C) m 2= ± (D) m 3= ± 
Bài 3: Phương trình 2(m 3m)x m 3 0+ + + = có tập nghiệm là R khi : 
 (A) m 0= (B) m 3= − (C) m 0;m 3= = − (D) Một đáp số khác 
Bài 4: Phương trình 2x m m
x 1
+ =− vô nghiệm với giá trị của m là: 
 (A) m 2= (B) m 2= − (C) m 2= ± (D) Không có m 
Bài 5: Phương trình mx m 1 m
x 2
− + + =− vô nghiệm với giá trị của m là: 
 (A) m 0= (B) m 1= (C) m 0;m 1= = (D) Một đáp số khác 
ĐÁP ÁN: 
Bài 1: Phương trình 3(m 4)x 1 2x 2(m 3)+ + = + − có nghiệm duy nhất với giá trị của m là: 
 (A) 4m
3
= (B) 3m
4
= − (C) 10m
3
≠ − (D) 4m
3
≠ 
Bài 2: Phương trình 2(m 2)(x 1) x 2− + = + vô nghiệm với giá trị của m là: 
 (A) m 0= (B) m 1= ± (C) m 2= ± (D) m 3= ± 
Bài 3: Phương trình 2(m 3m)x m 3 0+ + + = có tập nghiệm là R khi : 
 (A) m 0= (B) m 3= − (C) m 0;m 3= = − (D) Một đáp số khác 
Bài 4: Phương trình 2x m m
x 1
+ =− vô nghiệm với giá trị của m là: 
 (A) m 2= (B) m 2= − (C) m 2= ± (D) Không có m 
Bài 5: Phương trình mx m 1 m
x 2
− + + =− vô nghiệm với giá trị của m là: 
 (A) m 0= (B) m 1= (C) m 0;m 1= = (D) Một đáp số khác 
 4
II.Giải và biện luận phương trình bậc hai: 
1. Dạng: 2 0ax bx c+ + = (1) 
⎩⎨
⎧
số tham : c, ba,
số ẩn : x
 2. Giải và biện luận phương trình : 
 Xét hai trường hợp 
 Trường hợp 1: Nếu a 0= thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0 
• b ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
b
cx −= 
• b = 0 và c ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm 
• b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x 
Trường hợp 2: Nếu a≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có 
 Biệt số 2 4b acΔ = − ( hoặc ' 2 '' với b
2
bb acΔ = − = ) 
Biện luận: 
) Nếu 0Δ < thì pt (1) vô nghiệm 
) Nếu 0Δ = thì pt (1) có nghiệm số kép 1 2 2
bx x
a
= = − ( 
'
1 2
bx x
a
= = − ) 
) Nếu 0Δ > thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2
bx
a
− ± Δ= ( 
' '
1,2
bx
a
− ± Δ= ) 
Áp dụng: 
Ví dụ 1: 
Giải các phương trình sau: 
1) 5 12 
12 8
x x
x
− =− 
2) 
2
2
2 3 3
( 1)
x x
x
+ − = −− 
Ví dụ 2: 
1) Giải và biện luận phương trình : 2)1(22 −−=− xmxx 
2) Giải và biện luận phương trình : 2( 1) (2 3) 1 0m x m x m− + − + + = 
 5
3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai: 
 Định lý : Xét phương trình : 2 0ax bx c+ + = (1) 
) Pt (1) vô nghiệm ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
=
=
0
0
0
c
b
a
 hoặc ⎩⎨
⎧
<Δ
≠
0
0a
) Pt (1) có nghiệm kép ⇔ ⎩⎨
⎧
=Δ
≠
0
0a
) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨
⎧
>Δ
≠
0
0a
) Pt (1) có hai nghiệm ⇔ ⎩⎨
⎧
≥Δ
≠
0
0a
) Pt (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0
0
0
c
b
a
 Đặc biệt 
 Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Áp dụng: 
Ví dụ 1: 
Với giá trị nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
 xm
x
xx −=−
+−
1
12 2 
Ví dụ 2: 
1) Với giá trị nào của m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 
 0)22)(1( 2 =++++ mmxxx 
2) Với giá trị nào của m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 
 2( 1)( 4 ) 0x mx x m− − + = 
4. Định lý VIÉT đối với phương trình bậc hai: 
 ) Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : 2 0ax bx c+ + = ( 0a ≠ ) có hai nghiệm x1, x2 thì 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=+=
a
cxxP
a
bxxS
21
21
.
) Định lý đảo : Nếu có hai số ,α β mà + = Sα β và . P=α β )4( 2 PS ≥ thì ,α β là nghiệm của 
 phương trình 
 x2 - Sx + P = 0 
 6
) Ý nghĩa của định lý VIÉT: 
Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và 
không thay đổi giá trị khi ta thay đổi vai trò x1,x2 cho nhau .Ví dụ: 2
2
2
121
2
2
2
1 11
xxxx
xxA +++= ) mà 
không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng . 
Chú ý: 
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là 1 21 và x cx a= = 
) Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là 1 21 và x cx a= − = − 
Áp dụng: 
Ví dụ 1 : Cho phương trình: 0122 =−+− mxx (1) 
 Với giá trị nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 422
2
1 =+ xx 
Ví dụ 2: Cho phương trình: 02322 =−+− mmxx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 435 21 =+ xx 
Ví dụ 3: Cho phương trình: 2(3m 1)x 2(m 1)x m 2 0− + + − + = (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 2x x 2− = 
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai: 
 Dựa vào định lý Viét ta có thể suy ra định lý sau: 
 Định lý: Xét phương trình bậc hai : 2 0ax bx c+ + = (1) ( 0a ≠ ) 
) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt 
> 0
 P > 0
S > 0
Δ⎧⎪⇔ ⎨⎪⎩
) Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt 
> 0
 P > 0
S < 0
Δ⎧⎪⇔ ⎨⎪⎩
) Pt (1) có hai nghiệm trái dấu P < 0⇔ 
Áp dụng: 
Ví dụ : 
1) Với giá trị nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: 
 02 =++ mxmx 
 2) Cho phương trình: 2( 2)( 2 3 2) 0x x mx m− − + − = 
 Tìm m để phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt 
 7
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
Thời gian 10 phút 
ĐỀ SỐ 1: 
Bài 1: Phương trình 2(m 1)x 2mx m 0− + + = có hai nghiệm phân biệt khi : 
 (A) m 0> (B) m 0≥ (C) m 0 và m 1> ≠ (D) m 0 và m 1≥ ≠ 
Bài 2: Phương trình : 2mx 2(m 3)x m 5 0+ − + − = vô nghiệm khi : 
 (A) m 9> (B) m 9≥ (C) m 9< (D) m 9 và m 0< ≠ 
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: 2 2x 2(m 2)x m 12 0− + + + = . Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để 
 phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 
 (A) m 1= (B) m 2= (C) m 3= (D) m 4= 
Bài 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 3x 10 0+ − = . Giá trị của tổng 
1 2
1 1
x x
+ là 
(A) 3
10
 (B) 3
10
− (C) 10
3
 (D) 10
3
− 
Bài 5: Phương trình: 2x mx m 1 0− + − = có hai nghiệm dương phân biệt khi 
(A) m 1> (B) m 1≥ (C) m 1 và m 2> ≠ (D) m 1 và m 2≥ ≠ 
ĐÁP ÁN: 
Bài 1: Phương trình 2(m 1)x 2mx m 0− + + = có hai nghiệm phân biệt khi : 
 (A) m 0> (B) m 0≥ (C) m 0 và m 1> ≠ (D) m 0 và m 1≥ ≠ 
Bài 2: Phương trình : 2mx 2(m 3)x m 5 0+ − + − = vô nghiệm khi : 
 (A) m 9> (B) m 9≥ (C) m 9< (D) m 9 và m 0< ≠ 
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: 2 2x 2(m 2)x m 12 0− + + + = . Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để 
 phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 
 (A) m 1= (B) m 2= (C) m 3= (D) m 4= 
Bài 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 3x 10 0+ − = . Giá trị của tổng 
1 2
1 1
x x
+ là 
(A) 3
10
 (B) 3
10
− (C) 10
3
 (D) 10
3
− 
Bài 5: Phương trình: 2x mx m 1 0− + − = có hai nghiệm dương phân biệt khi 
(A) m 1> (B) m 1≥ (C) m 1 và m 2> ≠ (D) m 1 và m 2≥ ≠ 
 8
II. Phương trình trùng phươngï: 
1.Dạng : 4 2 0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠ (1) 
2.Cách giải: 
 ) Đặt ẩn phụ : t = x2 ( 0≥t ). Ta được phương trình: 02 =++ cbtat (2) 
 Giải pt (2) tìm t. Thay t tìm được vào t = x2 để tìm x 
 Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm 
 của phương trình (1) 
Áp dụng: 
Ví du 1ï: 
Giải phương trình : 
2
3 89x 2532x
2x
−= với x 0;x 1> ≠ 
Ví dụ 2: 
1) Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 
a) mxx =−− 32 24 
b) 4 2( 2) 4 1 0x m x m− + + + = 
2) Cho phương trình: 4 2( 2) 4 1 0x m x m− + + + = 
 Tìm m để phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng 
III . Phương trình bậc ba: 
 1. Dạng: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( 0a ≠ ) 
 2 .Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1) 
)Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x0 
)Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân 
 tử và đưa pt (1) về dạng tích số : 
 (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 
 0
2
0 (2)
x x
Ax Bx C
=⎡⇔ ⎢ + + =⎣
)Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có). 
Bổ sung kiến thức: 
 Đ ... sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tgtg( + ) = 
1 .
tg tgtg( ) = 
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
 Ví dụ: Chứng minh rằng: 
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
 3. Công thức nhân đôi: 
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
 2 cos 1
 1 2sin
 cos sin
sin 2 2sin .cos
22 
1
tgtg
tg
2
2cos1cos2 αα += 
2
2cos1sin 2 αα −= 
ααα 2sin
2
1cossin = 
 38
 4 Công thức nhân ba: 
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= − 
 5. Công thức hạ bậc: 
 α
αααααα
2cos1
2cos1;
2
2cos1sin;
2
2cos1cos 222 +
−=−=+= tg 
 6.Công thức tính sin ,cos ,tgα α α theo 
2
t tgα= 
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ; 
1 1 1
t t ttg
t t t
α α α−= = =+ + − 
 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : 
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
 Ví dụ: 
 1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos= 
 2. Tính giá trị của biểu thức: 
12
7sin
12
5cos ππ=B 
 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : 
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
4
cos33coscos3 ααα += 
4
3sinsin3sin 3 ααα −= 
 39
 Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA 
 9. Các công thức thường dùng khác: 
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35sincos
4
4cos3sincos
66
44
ααα
ααα
+=+
+=+
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Các bước giải một phương trình lượng giác 
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa 
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải 
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) 
Bước 4: Kết luận 
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng ) 
u = v+k2
sinu=sinv 
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv 
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
 ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2. 
4
3cos)
4
cos( ππ =−x 
 3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = − 
II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm∈∀ ) 
 * Gpt : sinx = m (1) 
• Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm 
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sinα và ta có 
x = +k2
(1) sinx=sin 
x = ( - )+k2
α πα π α π
⎡⇔ ⇔ ⎢⎣ 
 * Gpt : cosx = m (2) 
 40
• Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm 
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có 
x = +k2
(2) cosx=cos 
x = +k2
β πβ β π
⎡⇔ ⇔ ⎢ −⎣ 
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ ) 
• Đặt m = tgγ thì 
 (3) tgx = tg x = +kγ γ π⇔ ⇔ 
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ ) 
• Đặt m = cotgδ thì 
 (4) cotgx = cotg x = +kδ δ π⇔ ⇔ 
Các trường hợp đặc biệt: 
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π π
π
π π
π π
π π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
 Ví dụ: 
 1) Giải các phương trình : 
 a) = 1sin 2
2
x b) 2cos( )
4 2
x π− = − 
 c) 03)
6
2sin(2 =+− πx d) 03)
3
cos(2 =−+ πx 
 e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+ 
 2) Giải các phương trình: 
 a) 4 41 cos sin 2 cos2x x x+ − = c) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx 
 b) 6 6sin cos cos4x x x+ = d) 3 3 1sin .cos cos .sin
4
x x x x− = 
 e) 4)
2
.1(sincot =++ xtgtgxxgx 
 41
2. Dạng 2: 
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
atg x btgx c
a g x b gx c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
 ( 0a ≠ ) 
 Cách giải: 
 Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) 
 Ta được phương trình : 2 0at bt c+ + = (1) 
 Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x 
 Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) 
 Ví dụ : 
 a) 22 cos 5sin 4 0x x+ − = b) 5cos2 4 cos 0
2
x x− + = 
 c) 22sin 4 5cosx x= + d) 2 cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + + 
 e) 4 4 1sin cos sin 2
2
x x x+ = − f) 0)2
2
cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π 
 g) 4 4sin cos 1 2sin
2 2
x x x+ = − h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx 
 k) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2 66 =−
−+
x
xxxx l) 32cos)
2sin21
3sin3cos(sin5 +=+
++ x
x
xxx 
3. Dạng 3: 
 cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠ 
 Cách giải: 
• Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b+ thì pt 
2 2 2 2 2 2
(1) cos sina b cx x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
 (2) 
• Đặt 
2 2 2 2
bcos và sin
a
a
a b b
α α= =
+ +
 với [ )0;2α π∈ thì : 
2 2
2 2
c(2) cosx.cos + sinx.sin = 
a
c cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
 Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. 
 42
 Chú ý : 
 2 2 2Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c⇔ + ≥ 
 Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a) + = −cos 3 sin 1x x b) 2sin3cos =+ xx 
 c) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = d) 
x
tgx
cos
13 =− 
 e) 3
1sincos2
2sincos
2 =−−
−
xx
xx 
d. Dạng 4: 
 2 2sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠ (1) 
Cách giải 1: 
 Aùp dụng công thức hạ bậc : 2 21 cos2 1 cos2sin và cos
2 2
x xx x− += = 
 và công thức nhân đôi : 1sin .cos sin 2
2
x x x= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) 
 Chia hai vế của pt (1) cho 2cos x ta được pt: 
 2 0atg x btgx c+ + = 
 Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải 
 Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
π= + π có phải là nghiệm của (1) không? 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx 
d. Dạng 5: 
 (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + = (1) 
Cách giải : 
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x tπ= + = − ≤ ≤ 
 Do 
2
2 t 1(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x −+ = + ⇒ 
• Thay vào (1) ta được phương trình : 
2 1 0
2
tat b c−+ + = (2) 
 43
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x tπ− = tìm x. 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin 2 2 2(sin cos ) 5 0x x x− + − = 
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c− + + = 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin 2 4(cos sin ) 4x x x+ − = 
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : 
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết 
 Ví dụ: Giải phương trình: 
 0
2
32sincossin 44 =−++ xxx 
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số 
 Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây: 
A=0
. 0 
B=0
A B
⎡= ⇔ ⎢⎣ hoặc 
A=0
. . 0 B=0
C=0
A BC
⎡⎢= ⇔ ⎢⎢⎣
 Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a. 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = b. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − 
 c. 32sin cos2 cos 0x x x+ − = d. 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx 
c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ 
 Một số dấu hiệu nhận biết : 
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) 
Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx 
 b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx 
 c. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = 
 d. 22cossin 24 =+ xx 
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosxx x± 
Ví dụ : Giải phương trình : a. + + =3 3 31 sin cos sin 2x
2
x x 
b. 1)cos(sin2cossin 33 −+=+ xxxx 
 44
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác 
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau 
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản 
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số 
• Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số 
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx 2) 07cos2sin
2
5cos
2
sin
2
3cos
2
7sin =++ xxxxxx 
 3) 
6
cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos 222 ππππ =−++++ xxx 
 4) 
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
π+
+=
−
x
x
x
xx
 5) xxxx 2sin3cos8sin7cos −=+ 
 6) 12sincossin2 +=+ xxx 
Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau 
 1. 32sin cos2 cos 0x x x+ + = 8. 2 2 2sin ( ). cos 0
2 4 2
x xtg xπ− − = 
 2. 2 2 7sin .cos4 sin 2 4sin ( )
4 2 2
xx x x π− = − − 9. 
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x x
x x
− = ++ 
 3. 9sin 6 cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + = 10. 12 cos .sin3
3
tg x tgx x x− = 
 4. 
4 4sin cos 1 1cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x g x
x x
+ = − 11. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = 
 5. 
2
4
4
(2 sin 2 )sin31
cos
x xtg x
x
−+ = 12. 2cos2 1cot 1 sin sin 2
1 2
xgx x x
tgx
− = + −+ 
 6. 3 ( 2sin ) 6 cos 0tgx tgx x x− + + = 13. 2cot 4sin 2
sin 2
gx tgx x
x
− + = 
 7. 2cos2 cos .(2 1) 2x x tg x+ − = 14. 2cos cos sin .(1 . )
2
xtgx x x x tgx tg+ − = + 
DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số 
Sử dụng phương pháp sau 
• Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) 
• Chuyển phương trình về phương trình đại số 
• Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn 
• Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài 
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 02sin
4
12coscossin 244 =++−+ mxxxx 
Bài 2: Định m để phương trình : m
xx
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1cot(
2
11cossin 
 45
 có nghiệm ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
2
;0 πx 
Bài 3: Cho hàm số: 1)cos
cos
2()cos
cos
4(2 22 =−++ xxmxx 
 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ).
2
;0( π 
Bài 4: Cho phương trình : 01)cot(3
sin
3 2
2 =−+++ gxtgxmxtgx 
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. 
Bài 5: Xác định m để phương trình : 
 4 42(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+ + + − = 
 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; ]
2
π
Bài 6: Cho phương trình : mxxx =−− )sin(cos42sin (1) 
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 7: Tìm m để phương trình : 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m+ − + − = có nghiệm. 
Bài 8: Cho phương trình cos4 6sin cos 0x x x m+ − = 
 Định m để phương trình có nghiệm 0;
4
x π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
Bài 9: Tìm m để phương trình : 0)cos)(sincos.(sin2cos2 =+−+ xxmxxx 
 có nghiệm trên đoạn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
;0 π 
Bài 10: Cho phương trình: mtgx
xx
xx =−
+
22
66
sincos
sincos 
 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm 
Bài 11: Cho phương trình: mxx =−+ 44 )1(sinsin 
 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm 
Bài 12: Tìm m để phương trình : 22 2sin 2x m(1 cosx)+ = + có nghiệm x [ ; ]
2 2
π π∈ − 
--------------------------Hết--------------------------