11 đề & đáp án môn Toán - Ôn tốt nghiệp

- 1 - 
ĐỀ 1 
( Thời gian làm bài 150 phút ) 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
 Câu I ( 3,0 điểm ) 
 Cho hàm số 
x 2
y
1 x



 có đồ thị (C) 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) . 
b. Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = mx  42m luôn đi qua một điểm cố định của đường 
cong (C) khi m thay đổi . . 
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
a. Giải phương trình x x 1
2 2
log (2 1).log (2 2) 12   
b. Tính tìch phân : I = 
0
sin2x
dx
2(2 sinx)/2 
 
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 
2x 3x 1
(C) : y
x 2
 


, biết rằng tiếp tuyến này song song với 
đường thẳng (d) : 5x 4y 4 0   . 
Câu III ( 1,0 điểm ) 
 Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của 
hai khối chóp M.SBC và M.ABC . 
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
 Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó 
 1. Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục 
Ox,Oy,Oz và có trọng tâm G(1;2; 1 ) Hãy tính diện tích tam giác ABC . 
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 
 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y = 2x , (d) : y = 6 x và trục hoành . Tính diện tích 
của hình phẳng (H) . 
2. Theo chương trình nâng cao : 
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Biết A’(0;0;0) , 
B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ . 
 a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’ .. 
 b. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’ . 
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 
 Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) :   2y 2x ax b tiếp xúc với hypebol (H) : 
1
y
x
 Tại điểm 
M(1;1) 
- 2 - 
HƯỚNG DẪN 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
Câu I ( 3,0 điểm ) 
 a) 2đ 
 b) 1đ 
 Ta có : y = mx  42m     m(x 2) 4 y 0 (*) 
 Hệ thức (*) đúng với mọi m 
   
       
x 2 0 x 2
4 y 0 y 4
 Đường thẳng y = mx  42m luôn đi qua 
 điểm cố định A(2; 4) thuộc (C) 
 ( Vì tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình 
x 2
y
1 x



 ) 
Câu II ( 3,0 điểm ) 
 a) 1đ Điều kiện : x > 1 . 
2 2
x xpt log (2 1).[1 log (2 1)] 12 0 (1)      
 Đặt : 
2
xt log (2 1)  thì 2(1) t t 12 0 t 3 t 4         
 2
2
x x t = 3 log (2 1) 3 2 9 x log 92
17 17x x t = 4 log (2 1) 4 2 x log216 16
      
        


 b) 1đ Đặt t 2 sinx dt cosxdx    
 x = 0 t = 2 , x = t 1
2
2 2 2 2
22(t 2) 1 1 1 4
 I = dt 2 dt 4 dt 2ln t 4 ln4 2 ln
12 2 2t tt t e11 1 1

   

        


 c) 1đ Đường thẳng (d) 
5
5x 4y 4 0 y x 1
4
      
 Gọi  là tiếp tuyến cần tìm , vì  song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 
5
4
 Do đó : 
5
( ) : y x b
4
   
  là tiếp tuyến của ( C )  hệ sau có nghiệm 
2x 3x 1 5
x b (1)
x 2 4
x 2: 2x 4x 5 5
 (2)
2 4(x 2)

 
  

 
  


 x  1  
y + + 
y 
  
 1 
 1 
 
- 3 - 
2(2) x 4x 0 x 0 x 4
1 5 1(1)
 x = 0 b tt( ) : y x12 4 2
5 5 5(1)
 x = 4 b tt( ) : y x22 4 2
      
      
      


Câu III ( 1,0 điểm ) 
 Ta có : 
V SM 2 2S.MBC V .V (1)S.MBC S.ABCV SA 3 3S.ABC
    
2 1
V V V V .V .V (2)M.ABC S.ABC S.MBC S.ABC S.ABC S.ABC3 3
     
 Từ (1) , (2) suy ra : 
V VM.SBC S.MBC 2
V VM.ABC M.ABC
  
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
 1. Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
 Vì các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz nên ta gọi A(x;0;0) , B(0;y;0), 
 C(0;0;z) . Theo đề : 
 G(1;2; 1 ) là trọng tâm tam giác ABC 



 
    
   
  

x
1
3 x 3
y
2 y 6
3 z 3
z
1
3
 0,5đ 
 Vậy tọa độ của các đỉnh là A(3;0;0) , B(0;6;0), C(0;0; 3 ) 0,25đ 
 Mặt khác :   
3.V1 OABCV .d(O,(ABC).S SOABC ABC ABC
3 d(O,(ABC)
 0,25đ 
 Phương trình mặt phẳng (ABC) :   

x y z
1
3 6 3
 0,25đ 
 nên  
 
1
d(O,(ABC)) 2
1 1 1
9 36 9
 0,25đ 
 Mặt khác : 
  
1 1
V .OA.OB.OC .3.6.3 9OABC
6 6
 0,25đ 
 Vậy : 
27
SABC
2
 0,25đ 
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 
 Phương trình hònh độ giao điểm của ( C ) và (d) : 

         
x 22 2x 6 x x x 6 0
x 3
       
2 6 21 x 262 3 2 6S x dx (6 x)dx [x ] [6x ]
0 23 2 3
0 2
 2. Theo chương trình nâng cao : 
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 
 a) 1đ Từ giả thiết ta tính được : B(a;0;a), 
 D(0;a;0) , A(0;0;a) , M(
a
;0;a)
2
 , N(a;
a
2
;0) . 
- 4 - 
   
     


a a
AN (a; ; a) (2;1; 2)
2 2
BD' ( a;a; a) a(1; 1;1)
 Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với 
 AN và BD’ nên có VTPT là 
  
  2a
n [AN,BD'] (1;4;3)
2
 Suy ra : 
:           
a 7a
(P) :1(x ) 4(y 0) 3(z a) 0 x 4y 3z 0
2 2
 b) 1đ Gọi  là góc giữa 

AN và 

BD' . Ta có : 
  
       
  
 
 
  
2a2 2a a
2AN.BD' 1 3 3
cos arccos
3a 9 93 3AN . BD' .a 3
2
2a
[AN,BD'] (1;4;3),AB (a;0;0) a(1;0;0)
2
Do đó :   
  
 
3a
[AN,BD'].AB a2d(AN,BD')
2 26[AN,BD'] a . 26
2
 Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 
 Tiếp điểm M có hoành độ chính là nghiệm của hệ phương trình : 
       
 
     
 
11 22 2x ax b2x ax b
xx
112 4x a(2x ax b)' ( ) '
2x x
 (I) 
 Thay hoành độ của điểm M vào hệ phương trình (I) , ta được : 
         
          
2 a b 1 a b 1 a 5
4 a 1 a 5 b 4
 Vậy giá trị cần tìm là   a 5,b 4 
******************************************* 
- 5 - 
ĐỀ SỐ 2 
( Thời gian làm bài 150 phút ) 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
Câu I ( 3,0 điểm ) 
Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị là ( Cm ) . 
1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1. 
2.Khảo sát hàm số ( C1 ) ứng với m = – 1 . 
3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có pt 
x
y 2
6
  . 
Câu II ( 3,0 điểm ) 
1.Giải bất phương trình: 2
0,2 0,2log x log x 6 0   
2.Tính tích phân 
4
0
t anx
cos
 I dxx

3.Cho hàm số y= 3 2
1
x x
3
 có đồ thị là (C) .Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) 
và các đường thẳng y =0,x = 0,x = 3 quay quanh 0x. 
Câu III ( 1,0 điểm ) 
3.Cho hình vuông ABCD cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng ABCD,SA= 2a. 
a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 
b.Vẽ AH vuông góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm trên một mặt cầu. 
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó 
1.Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng ( ) qua ba điểm A(1;0;11),B(0;1;10),C(1;1;8). 
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC 
2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) 
3.Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R= 5.Chứng minh mặt cầu này cắt ( ) 
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 
Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện : 3 4  Z Z 
2.Theo chương trình nâng cao 
Câu IVb/. 
Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1) 
a.Tính thể tích tứ diện ABCD 
b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CB 
c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Câu Vb/. 
a/.Giải hệ phương trình sau :
2 2
2 3
4 2
log (2 ) log (2 ) 1
x y
x y x y
  

   
b/.Miền (B) giới hạn bởi đồ thi ̣ (C) của hàm số 
1x
1x
y


 và hai trục tọa độ. 
1).Tính diện tích của miền (B). 
2). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy. 
***************************************** 
- 6 - 
ĐỀ SỐ 3 
( Thời gian làm bài 150 phút ) 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
Câu I ( 3,0 điểm ) 
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số 
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 
2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 
Câu II ( 3,0 điểm ) 
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex ,y = 2 và đường thẳng x = 1. 
2.Tính tích phân 
2
2
0
sin 2
4 cos
x
I dx
x



 
3.Giải bất phương trình log(x2 – x -2 ) < 2log(3-x) 
Câu III ( 1,0 điểm ) 
Bài 4.Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 600. 
1.Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau. 
2.Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón. 
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó 
1.Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm : 
A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC 
1.Viết phương trình đường thẳng OG 
2.Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua bốn điểm O,A,B,C. 
3.Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S). 
Câu V.a ( 1,0 điểm ) 
Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3 
2.Theo chương trình nâng cao 
Câu IVb/. 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D 
với A(1;2;2), B(-1;2;-1), 

 kjiODkjiOC 26;6 . 
1.Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau . 
2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD . 
3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD . 
Câu Vb/.Cho hàm số: 
4
y x
1 x
= +
+
(C) 
1.Khảo sát hàm số 
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
1
y x 2008
3
= + 
******************************************* 
- 7 - 
ĐỀ SỐ 4 
( Thời gian làm bài 150 phút ) 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
Câu I ( 3,0 điểm ) 
Cho hàm số số y = - x3 + 3x2 – 2, gọi đồ thị hàm số là ( C) 
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y// = 0. 
Câu II ( 3,0 điểm ) 
1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
a.
4
f (x) x 1
x 2
   

 trên  1;2 b. f(x) = 2sinx + sin2x trên 
3
0;
2
 
 
 
2.Tính tích phân  
2
0
I x sin x cos xdx

  
3.Giải phương trình :
4 8 2 53 4.3 27 0x x    
Câu III ( 1,0 điểm ) 
Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính bằng a.Hãy 
tính 
a)Thể tích của khối trụ 
b)Diện tích thiết diện qua trục hình trụ 
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó . 
1.Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu 
( S) : x
2
 + y
2
 + z
2
 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng  1
x 2y 2 0
:
x 2z 0
  
 
 
 và  2
x 1 y z
:
1 1 1

  
 
1.Chứng minh  1 và  2 chéo nhau 
2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng  1 và 
 2 
Câu ... 
          

 
 qua M(2;1;3)
(Q) : (Q) : 0(x 1) 1(y 4) 1(z 2) 0 (Q) : y z 6 0
 vtpt n = u 5(0;1;1)


 Thay x,y,z trong phương trình ( ) vào phương trình mặt phẳng (Q) ta được : 

 
pt( )1
t H(2;2;4)
5
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và (G) :    2x x x 0,x 1 
 Khi đó (H) giới hạn bởi các đường thẳng x = 0 , x = 1 , ( C) và (G) . 
 Vì    20 x x , x (0;1) nên gọi 1 2V ,V lần lượt là thể tích sinh ra bởi ( C) và (G) . 
 Khi đó : 

        
1 2 5
4 1
2 1 0
0
x x 3
V V V (x x )dx [ ]
2 5 10
******************************** 
ĐỀ 10 
( Thời gian làm bài 150 phút ) 
- 26 - 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
 Câu I ( 3,0 điểm ) 
 Cho hàm số 3 2y x 3x 4   có đồ thị (C) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
b) Cho họ đường thẳng (d ) : y mx 2m 16m    với m là tham số . Chứng minh rằng (d )m luôn cắt đồ 
thị (C) tại một điểm cố định I . 
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
a) Giải bất phương trình 
x 1
x 1 x 1
( 2 1) ( 2 1)

 
   
b) Cho 
1
f (x)dx 2
0
 với f là hàm số lẻ. Hãy tính tích phân : I = 
0
f (x)dx
1
 . 
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nếu có của hàm số 
2
x
4x 1y 2 . 
Câu III ( 1,0 điểm ) 
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ 
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính 
thể tích của khối lăng trụ này . 
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó. 
3. Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vuông góc với mặt 
phẳng (Q) :   x y z 0 và cách điểm M(1;2;1) một khoảng bằng 2 . 
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 
 Cho số phức 



1 i
z
1 i
 . Tính giá trị của 2010z . 
4. Theo chương trình nâng cao : 
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : 
x 1 2t
y 2t
z 1
  


  
 và mặt phẳng 
 (P) : 2x y 2z 1 0    . 
 a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P) . 
 b. Viết phương trình đường thẳng (  ) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuông góc với 
 đường thẳng (d) . 
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 
 Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai 2z Bz i 0   có tổng bình phương hai nghiệm bằng 
4i . 
 . . . . . . . .Hết . . . . . . . 
HƯỚNG DẪN 
- 27 - 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
Câu I ( 3,0 điểm ) 
 a) 2đ 
x  2 0  
y + 0  0 + 
 0  
 4 
 b) 1đ Ta có : Phương trỉnh hoành độ điểm chung của (C) và (d )m : 
x 23 2 2x 3x 4 mx 2m 16 (x 2)[x 5x (10 m)] 0
2x 5x 10 m 0
 
            
    
 Khi x = 2 ta có 3 2y 2 3.2 4 16 ; y = 2m 2m + 16 = 16 , m       
 Do đó (d )m luôn cắt (C) tại điểm cố định I(2;16 ) . 
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
 a) 1đ Vì 
1 1( 2 1)( 2 1) 1 2 1 ( 2 1)
2 1
       

 nên


   
x 1
x 1x 1bpt ( 2 1) ( 2 1) 

   

x 1
x 1
x 1
do 2 1 1  
2 x 1(x 1)(x 2)
0
x 1 x 1
    
   
 
 b) 1đ Đổi biến : u = x du dx dx du    . 
 Đổi cận :  x = 1 u 1  
  x = 0 u 0  
 Vì f là hàm số lẻ nên f ( u) f (u)   
 Khi đó : I = 
0 1 1 1
f ( u)du f ( u)du f (u)du f (x)dx 2
1 0 0 0
             
 c) 1đ Tập xác định D   
 x  , ta có : 
x 12 2 2(2x 1) 0 4x 4x 1 0 4x 1(4x 1)
2 44x 1
            

 (1) 
x 12 2 2(2x 1) 0 4x 4x 1 0 (4x 1) 4x
2 44x 1
          

 (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra : 
2 2
x x
1 1
1 x 1 1 44x 1 4x 14 42 2 2 2 2, x
2 44 4 24x 1

           


 Vậy : 
1 1 1 4miny y( ) ; max y y( ) 2
42 22
    
 
Câu III ( 1,0 điểm ) 
 Gọi H là trung điểm của AB . Ta có A’H  (ABC) .Kẻ HE 
AC thì   A 'EH 45 là góc 
- 28 - 
 giữa hai mặt (AA’C’C) và (ABC) . Khi đó : A’H = HE = 
a 3
4
 ( bằng 
1
2
 đường cao  ABC) . Do đó : 
 
2 3a 3 a 3 3a
V .ABC.A 'B'C'
4 4 16
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
1. Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
 Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 với 2 2 2A B C 0   
 Vì (P)  (Q) nên 1.A+1.B+1.C = 0 A+B+C = 0   C A B (1) 
 Theo đề : 
 d(M;(P)) = 2
 
       
 
A 2B C 2 2 2 22 (A 2B C) 2(A B C )
2 2 2A B C
 (2) 
 Thay (1) vào (2) , ta được : 8AB+5    
8A2B 0 B 0 hay B =
5
        
(1)
B 0 C A . Cho A 1,C 1 thì (P) :  x z 0 
  
8A
B =
5
. Chọn A = 5 , B = 1  
(1)
C 3 thì (P) :   5x 8y 3z 0 
 Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 
 Ta có : 
 
  

21 i (1 i)
z i
1 i 2
 nên         2010 2010 4 502 2 4 502 2z i i i .i 1.( 1) 1 
2. Theo chương trình nâng cao : 
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 
 a) 1đ 
 Tâm mặt cầu là I (d) nên I(1+2t;2t; 1 ) 
 Theo đề : Mặt cầu tiếp xúc với (P) nên 
    
         
 
2(1 2t) 2t 2( 1) 1
d(I;(P)) R 3 6t 3 3 t 0,t 1
4 1 4
  t = 0 thì I(1;0; 1 )      2 2 2(S ) : (x 1) y (z 1) 91 
  t = 1 thì I( 1; 2  ; 1 )       2 2 2(S ) : (x 1) (y 2) (z 1) 92 
 b) 1đ VTCP của đường thẳng (d) là u (2;2;0) 2(1;1;0) 

 VTPT của mặt phẳng là v (2;1; 2) 

 Gọi u

 là VTCP của đường thẳng ( ) thì u

vuông góc với u,n
 
 do đó ta chọn 
    
  
u [u,v] ( 2)(2; 2;1) . 
 Vậy 

    
    
  
 Qua M(0;1;0) x y 1 z
( ) : ( ) :
 vtcp u [u,v] ( 2)(2; 2;1) 2 2 1


Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 
 Gọi z ,z1 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho và B a bi   với a,b . 
Theo đề phương trình bậc hai 2z Bz i 0   có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . 
 nên ta có : 
2 2 2 2 2z z (z z ) 2z z S 2P ( B) 2i 4i1 2 1 2 1 2           hay 
2B 2i  hay 
2 2 2(a bi) 2i a b 2abi 2i        Suy ra : 
2 2a b 0
2ab 2
  

 
 . 
 Hệ phương trình có nghiệm (a;b) là (1; 1),( 1;1)  . Vậy : B 1 i   , B = 1 i  
- 29 - 
ĐỀ 11 
( Thời gian làm bài 150 phút ) 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
 Câu I ( 3,0 điểm ) 
 Cho hàm số 3 2y x 3x 1    có đồ thị (C) 
e. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
f. Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt 
 3 2x 3x k 0   . 
 Câu II ( 3,0 điểm ) 
f. Giải phương trình 
3x 4 2x 23 9
  
g. Cho hàm số 
2
1
y
sin x
 . Tìm nguyên hàm F(x ) của hàm số , biết rằng đồ thị của hàm số F(x) đi 
qua điểm M(
6

; 0) . 
h. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
1
y x 2 
x
   với x > 0 . 
Câu III ( 1,0 điểm ) 
Cho hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng 6 vaø ñöôøng cao h = 1 . Hãy tính diện tích của 
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
 Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó . 
5. Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : 
x 2 y z 3
1 2 2
 
 

 và mặt phẳng 
 (P) : 2x y z 5 0    
 a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A . 
 b. Viết phương trình đường thẳng (  ) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) . 
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
1
y lnx,x ,x e
e
   và trục hoành . 
6. Theo chương trình nâng cao : 
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : 
x 2 4t
y 3 2t
z 3 t
  

 
   
 và mặt phẳng 
 (P) : x y 2z 5 0     
 a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) . 
 b. Viết phương trình đường thẳng (  ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . 
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 
 Tìm căn bậc hai cũa số phức z 4i  
. . . . . . . .Hết . . . . . . . 
- 30 - 
HƯỚNG DẪN 
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 
Câu I ( 3,0 điểm ) 
 a. (2d) 
b. (1đ) pt 3 2x 3x 1 k 1     
Đây là pt hoành độ điểm chung của (C) và đường thẳng 
(d) : y k 1  
 Căn cứ vào đồ thị , ta có : 
Phương trình có ba nghiệm phân biệt 1 k 1 3 0 k 4       
Câu II ( 3,0 điểm ) 
a. ( 1đ ) 
3x 4 3x 42x 2 2(2x 2)
2 2
x 1 8
3 9 3 3 3x 4 4x 4 x
7(3x 4) (4x 4)
  

         
  
b. (1đ) Vì F(x) = cotx + C . Theo đề : F( ) 0 cot C 0 C 3 F(x) 3 cot x
6 6
 
          
c. (1đ) Với x > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 
1
x 2
x
  . Dấu “=” xảy ra khi 
x 021x x 1 x 1
x

     
 y 2 2 4    . Vậy : 
(0; )
Miny y(1) 4

  
Câu III ( 1,0 điểm ) 
 Goïi hình choùp ñaõ cho laø S.ABC vaø O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa ñaùy ABC . 
 Khi ñoù : SO laø truïc ñöôøng troøn ñaùy (ABC) . Suy ra : SO (ABC) . 
Trong mp(SAO) döïng ñöôøng trung tröïc cuûa caïnh SA , caét SO taïi I . 
 Khi ñoù : I laø taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp S.ABC 
Tính baùn kính R = SI . 
Ta coù : Töù giaùc AJIO noäi tieáp ñöôøng troøn neân : SJ.SA SI.SO SI = 
SJ.SA
SO
=
2SA
2.SO
SAO vuoâng taïi O . Do ñoù : SA = 2 2SO OA =
621
3
 = 3 SI = 
3
2.1
=
3
2
Diện tích mặt cầu : 2S 4 R 9    
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 
 1. Theo chương trình chuẩn : 
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 
a. (0,5 đ) A(5;6; 9) 
b. (1,5đ) 
 + Vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) : u (1; 2;2)d  

+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : n ((2;1; 1)P  

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng ( ) : u [u ;n ] (0;1;1)d P 
  
x  0 2  
y  0 + 0  
y 
 3 
 1  
- 31 - 
+ Phương trình của đường thẳng (  ) : 
x 5
y 6 t (t )
z 9 t
 

  
   
 
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 
+ Diện tích : 
1 e
S lnxdx lnxdx
1/e 1
    + Đặt : 
1
u lnx,dv dx du dx,v x
x
     
+ lnxdx x lnx dx x(lnx 1) C      => 
11 e
S x(lnx 1) x(lnx 1) 2(1 )
1/e 1 e
       
7. Theo chương trình nâng cao : 
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 
a. (0,5đ) Chọn A(2;3;3),B(6;5;2)(d) mà A,B nằm trên (P) nên (d) nằm trên (P) . 
 b.(1,5đ) Gọi u

vectơ chỉ phương của ( d1) qua A và vuông góc với (d) thì 
u ud
u uP
 


 
  nên ta chọn 
    
  
u [u,u ] (3; 9;6) 3(1; 3;2)sP . Ptrình của đường thẳng ( d1) : 
x 2 3t
y 3 9t (t )
z 3 6t
  

  
   
 
 ( ) là đường thẳng qua M và song song với (d ). Lấy M trên ( d1) thì M(2+3t;3 9t;3+6t) . 
 Theo đề : 
1 12 2 2 2AM 14 9t 81t 36t 14 t t
9 3
          
 + t = 
1
3
 M(1;6;5) 
x 1 y 6 z 5
( ) :1 4 2 1
  
    
 + t = 
1
3
M(3;0;1) 
x 3 y z 1
( ) :2 4 2 1
 
    
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 
Gọi x + iy là căn bậc hai của số phức z 4i  , ta có : 
2 2 x y2 x y 0(x iy) 4i
2xy 42xy 4
        
   
hoặc 
x y
2xy 4
  

 
x y
22x 4
 
 
 
(loại) hoặc 
x y
22x 4
  

  
x y x 2;y 2
2 x 2;y 2x 2
     
  
    
 Vậy số phức có hai căn bậc hai : z 2 i 2 , z 2 i 21 2     
****************************************