100 câu khảo sát hàm số

www.VNMATH.com
TRAÀN SÓ TUØNG 
---- ›š & ›š ---- 
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 
Naêm 2011 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 1 
 KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Câu 1. Cho hàm số y m x mx m x3 21 ( 1) (3 2)
3
= - + + - (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2= . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 
 · Tập xác định: D = R. y m x mx m2( 1) 2 3 2¢= - + + - . 
 (1) đồng biến trên R Û y x0,¢³ " Û m 2³ 
Câu 2. Cho hàm số mxy
x m
4+
=
+
 (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= - . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ . 
 · Tập xác định: D = R \ {–m}. my
x m
2
2
4
( )
-¢=
+
. 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y m0 2 2¢< Û - < < (1) 
 Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ thì ta phải có m m1 1- ³ Û £ - (2) 
 Kết hợp (1) và (2) ta được: m2 1- < £ - . 
Câu 3. Cho hàm số y x x mx3 23 4= + - - (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0= . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ . 
 · m 3£ - 
Câu 4. Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1= - + + + + có đồ thị (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )+¥ 
 · y x m x m m2' 6 6(2 1) 6 ( 1)= - + + + có m m m2 2(2 1) 4( ) 1 0D = + - + = > 
 x my
x m
' 0
1
é == Û ê = +ë
. Hàm số đồng biến trên các khoảng m m( ; ), ( 1; )-¥ + +¥ 
 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )+¥ Û m 1 2+ £ Û m 1£ 
Câu 5. Cho hàm số 4 22 3 1y x mx m= - - + (1), (m là tham số). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). 
 · Ta có 3 2' 4 4 4 ( )y x mx x x m= - = - 
 + 0m £ , 0,¢³ "y x Þ 0m £ thoả mãn. 
 + 0m > , 0¢=y có 3 nghiệm phân biệt: , 0, m m- . 
 Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1£ Û < £m m . Vậy ( ];1mÎ -¥ . 
Câu 6. Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + - + - + + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( )0;+¥ . 
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
 · Hàm đồng biến trên (0; )+¥ y x m x m23 (1 2 ) (22 ) 0¢Û += - + - ³ với x 0 )( ;" Î +¥ 
 xf x m
x
x2 23( )
4 1
2+
Û = ³
+
+ với x 0 )( ;" Î +¥ 
 Ta có: xf x xx x x
x
2
2
2
2(6( ) 03) 1 7336
(4 1
0
12)
+ - - ±
+ - = Û =¢ = = Û
+
 Lập bảng biến thiên của hàm f x( ) trên (0; )+¥ , từ đó ta đi đến kết luận: 
 f m m1 73 3 73
12 8
æ ö- + +
³ Û ³ç ÷ç ÷
è ø
KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Câu 7. Cho hàm số y x x mx m3 23 – 2= + + + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. 
 · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: 
 x x mx m3 23 – 2 0 (1)+ + + = Û x
g x x x m2
1
( ) 2 2 0 (2)
é = -
ê = + + - =ë
 (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt 
 Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m
g m
3 0
( 1) 3 0
Dì ¢= - >í
- = - ¹î
 Û m 3< 
Câu 8. Cho hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4= - + + - - + - (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. 
 · y x m x m m2 23 2(2 1) ( 3 2)¢= - + + - - + . 
 (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y 0¢ = có 2 nghiệm trái 
dấu Û m m23( 3 2) 0- + < Û m1 2< < . 
Câu 9. Cho hàm số 3 21 (2 1) 3
3
y x mx m x= - + - - (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. 
 · TXĐ: D = R ; y x mx m2 – 2 2 –1¢= + . 
 Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y 0¢= có 2 nghiệm phân 
biệt cùng dấu Û 
2 2 1 0
2 1 0
ì ¢ïD = - + >
í
- >ïî
m m
m
1
1
2
m
m
¹ì
ïÛ í
>ïî
Câu 10. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1= - . 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 3 
 · Ta có: 2' 3 6= - -y x x m . 
 Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x 
 ' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*) 
 Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx 
 Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 2' 2 2
3 3 3 3
m my x y xæ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
 Þ ( ) ( )1 1 1 22 2
2 22 2 ; 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
= =
ø
= =
è
y y x y y mxm m mx x 
 Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: 2 2 2
3 3
m my xæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1= - Û xảy ra 1 trong 2 trường hợp: 
 TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y x 1= - 
 2 32 1
3 2
m mæ ö- + = ÛçÛ = -÷
è ø
 (thỏa mãn) 
 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x 1= - 
( ) ( )2 1 2 11 2 1 2
2 2 21 1
2 2
2 2
3 3
2 23 .2 6 0
3 3
æ ö æ ö- + + + - = + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ öÛ + = -
+ +
Û = - Û = - Û
Û =ç ÷
è ø
I I
x m mx x x xx
m m
yy
m
yx
 Vậy các giá trị cần tìm của m là: 30;
2
m ì ü= -í ý
î þ
Câu 11. Cho hàm số y x mx m3 2 33 4= - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 
 · Ta có: y x mx23 6¢ = - ; xy
x m
00
2
é =¢ = Û ê =ë
. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. 
 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB m m3(2 ; 4 )= -
uur
 Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) 
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û AB d
I d
ì ^
í Îî
 Û m m
m m
3
3
2 4 0
2
ìï - =
í
=ïî
Û m 2
2
= ± 
Câu 12. Cho hàm số y x mx m3 23 3 1= - + - - . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 
nhau qua đường thẳng d: x y8 74 0+ - = . 
 · y x mx23 6¢= - + ; y x x m0 0 2¢= Û = Ú = . 
 Hàm số có CĐ, CT Û PT y 0¢= có 2 nghiệm phân biệt Û m 0¹ . 
 Khi đó 2 điểm cực trị là: A m B m m m3(0; 3 1), (2 ;4 3 1)- - - - Þ AB m m3(2 ;4 )
uuur
 Trung điểm I của AB có toạ độ: I m m m3( ;2 3 1)- - 
 Đường thẳng d: x y8 74 0+ - = có một VTCP (8; 1)u = -
r
. 
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
 A và B đối xứng với nhau qua d Û 
I d
AB d
Îì
í ^î
 Û 
38(2 3 1) 74 0
. 0
m m m
AB u
ì + - - - =ï
í
=ïî
uuur r Û m 2= 
Câu 13. Cho hàm số y x x mx3 23= - + (1). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng 
với nhau qua đường thẳng d: x y– 2 – 5 0= . 
 · Ta có y x x mx y x x m3 2 23 ' 3 6= - + Þ = - + 
 Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt m m9 3 0 3D¢Û = - > Û < 
 Ta có: y x y m x m1 1 2 12
3 3 3 3
æ ö æ ö¢= - + - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Tại các điểm cực trị thì y 0¢= , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: 
 y m x m2 12
3 3
æ ö
= - +ç ÷
è ø
 Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y m x m2 12
3 3
æ ö
= - +ç ÷
è ø
 nên D có hệ số góc k m1
2 2
3
= - . 
 d: x y– 2 – 5 0= y x1 5
2 2
Û = - Þ d có hệ số góc k2
1
2
= 
 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D 
 Þ k k m m1 2
1 21 2 1 0
2 3
æ ö
= - Û - = - Û =ç ÷
è ø
 Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là 
I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. 
 Vậy: m = 0 
Câu 14. Cho hàm số y x m x x m3 23( 1) 9 2= - + + + - (1) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 
nhau qua đường thẳng d: y x1
2
= . 
 · y x m x2' 3 6( 1) 9= - + + 
 Hàm số có CĐ, CT Û m 2' 9( 1) 3.9 0D = + - > m ( ; 1 3) ( 1 3; )Û Î -¥ - - È - + +¥ 
 Ta có my x y m m x m21 1 2( 2 2) 4 1
3 3
æ ö+ ¢= - - + - + +ç ÷
è ø
 Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A x y B x y1 1 2 2( ; ), ( ; ) , I là trung điểm của AB. 
 y m m x m21 12( 2 2) 4 1Þ = - + - + + ; y m m x m
2
2 22( 2 2) 4 1= - + - + + 
 và: x x m
x x
1 2
1 2
2( 1)
. 3
ì + = +
í =î
 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y m m x m22( 2 2) 4 1= - + - + + 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 5 
 A, B đối xứng qua (d): y x1
2
= Û AB d
I d
ì ^
í Îî
 Û m 1= . 
Câu 15. Cho hàm số mxxmxy -++-= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 
 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 221 £- xx . 
 · Ta có .9)1(63' 2 ++-= xmxy 
 + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21, xx Û PT 0'=y có hai nghiệm phân biệt 21, xx 
 Û PT 03)1(22 =++- xmx có hai nghiệm phân biệt là 21, xx . 
ê
ê
ë
é
--<
+->
Û>-+=DÛ
31
31
03)1(' 2
m
m
m )1( 
 + Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 =+=+ xxmxx Khi đó: 
 ( ) ( ) 41214442 22122121 £-+Û£-+Û£- mxxxxxx 
 m m2( 1) 4 3 1Û + £ Û - £ £ (2) 
 + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 313 --<£- m và .131 £<+- m 
Câu 16. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2= + - + - + + , với m là tham số thực. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 
 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 2
1
3
- > . 
 · Ta có: y x m x m2' 3 (1 2 22 ) ( )= - + -+ 
 Hàm số có CĐ, CT y ' 0Û = có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, (giả sử x x1 2< ) 
 mm m m m
m
2 2
5
' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 4
1
D
é
>êÛ = - - - = - - > Û
ê < -ë
 (*) 
 Hàm số đạt cực trị tại các điểm x x1 2, . Khi đó ta có: 
mx x
m
x x
1 2
1 2
(1 2 )
3
2
2
3
ì -
+ = -ï
í -ï =
î
 ( ) ( )x x x x x x x x21 2 1 22 21
2
1
1
3
14
9
Û = + -- >- > 
 m m m m m m2 2 3 29 3 294(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0
8 8
+ -
Û - - - > Û - - > Û > Ú < 
 Kết hợp (*), ta suy ra m m3 29 1
8
+
> Ú < - 
Câu 17. Cho hàm số y x m x m x3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
= - - + - + , với m là tham số thực. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 2= . 
 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 22 1+ = . 
 · Ta có: y x m x m2 2( 1) 3( 2)¢= - - + - 
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
 Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt x x1 2, 
 Û m m20 5 7 0D¢ > Û - + > (luôn đúng với "m) 
 Khi đó ta có: x x m
x x m
1 2
1 2
2( 1)
3( 2)
ì + = -
í = -î
 Û ( ... n đứng và 
tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc 
·
ABI bằng 4
17
, với I là giao 2 tiệm cận. 
 · I(2; 2). Gọi 
x
M x C
x
0
0
0
2 3
; ( )
2
æ ö-
Îç ÷
-è ø
, x0 2¹ 
 Phương trình tiếp tuyến D tại M: 
x
y x x
xx
0
02
00
2 31 ( )
2( 2)
-
= - - +
--
 Giao điểm của D với các tiệm cận:
x
A
x
0
0
2 2
2;
2
æ ö-
ç ÷
-è ø
, B x0(2 2;2)- . 
 Do 
·
ABI
4cos
17
= nên 
· IA
ABI
IB
1tan
4
= = Û IB IA2 216.= Û x 40( 2) 16- = Û
x
x
0
0
0
4
é =
ê =ë
 Kết luận: Tại M 30;
2
æ ö
ç ÷
è ø
 phương trình tiếp tuyến: y x1 3
4 2
= - + 
 Tại M 54;
3
æ ö
ç ÷
è ø
 phương trình tiếp tuyến: y x1 7
4 2
= - + 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 31 
 KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 
Câu 85. Cho hàm số y x x3 23 1= - + + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm m để phương trình x x m m3 2 3 23 3- = - có ba nghiệm phân biệt. 
 · PT x x m m3 2 3 23 3- = - Û x x m m3 2 3 23 1 3 1- + + = - + + . Đặt k m m3 23 1= - + + 
 Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y k= 
 Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt Û k1 5< < Û m ( 1;3) \ {0;2}Î - 
Câu 86. Cho hàm số 4 25 4= - +y x x có đồ thị (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm m để phương trình 4 2 2| 5 4 | logx x m- + = có 6 nghiệm. 
 · Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm Û 
9
44
12
9log 12 144 12
4
m m= Û = = . 
Câu 87. Cho hàm số y f x x x4 2( ) 8 9 1= = - + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 x x m4 28cos 9cos 0- + = với x [0; ]pÎ 
 · Xét phương trình: x x m4 28cos 9cos 0- + = với x [0; ]pÎ (1) 
 Đặt t xcos= , phương trình (1) trở thành: t t m4 28 9 0- + = (2) 
 Vì x [0; ]pÎ nên t [ 1;1]Î - , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của 
phương trình (1) và (2) bằng nhau. 
 Ta có: t t m4 2(2) 8 9 1 1Û - + = - (3) 
 Gọi (C1): y t t4 28 9 1= - + với t [ 1;1]Î - và (d): y m1= - . Phương trình (3) là phương trình 
hoành độ giao điểm của (C1) và (d). 
 Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền x1 1- £ £ . 
 Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 
m 0< m 0= m0 1< < m 811
32
£ < m 81
32
= m 81
32
> 
vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm 
Câu 88. Cho hàm số xy
x
3 4
2
-
=
-
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn 20;
3
pé ù
ê ú
ë û
: 
 x x m x x6 6 4 4sin cos (sin cos )+ = + 
 · Xét phương trình: x x m x x6 6 4 4sin cos (sin cos )+ = + (*) 
 x m x2 23 11 sin 2 1 sin 2
4 2
æ ö
Û - = -ç ÷
è ø
 Û x m x2 24 3sin 2 2 (2 sin 2 )- = - (1) 
 Đặt t x2sin 2= . Với x 20;
3
pé ù
Î ê ú
ë û
 thì [ ]t 0;1Î . Khi đó (1) trở thành: 
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 32 
 tm
t
3 42
2
-
=
-
 với t 0;1é ùÎ ë û 
 Nhận xét : với mỗi t 0;1é ùÎ ë û ta có : 
x t x t
x t
sin 2 sin 2
sin 2
é = - Û =ê
=ë
 Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn 20;
3
pé ù
ê ú
ë û
thì t t3 3;1 ;1
2 4
é ö é ö
Î Þ Î÷ê ÷ê÷ ë øêë ø
 Dưa vào đồ thị (C) ta có: y m y m3 7(1) 2 1 2
4 5
æ ö
< £ Û < £ç ÷
è ø
 Û m1 7
2 10
< £ . 
Câu 89. Cho hàm số 1.
1
xy
x
+
=
-
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
1
.
1
x
m
x
+
=
-
 · Số nghiệm của 
1
1
x
m
x
+
=
-
 bằng số giao điểm của đồ thị (C¢): 
1
1
x
y
x
+
=
-
 và .y m= 
 Dựa vào đồ thị ta suy ra được: 
1; 1m m 1= -m 1 1- < £m 
2 nghiệm 1 nghiệm vô nghiệm 
Câu 90. Cho hàm số: y x x4 22 1= - + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x x m4 2 22 1 log 0- + + = (m > 0) 
 · x x m4 2 22 1 log 0- + + = Û x x m
4 2
22 1 log- + = - (*) 
 + Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y x x4 22 1= - + và y m2log= - 
 + Từ đồ thị suy ra: 
m
10
2
< < m 1
2
= m1 1
2
2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm 
KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ 
Câu 91. Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. 
 · Gọi M x y0 0( ; ) Î (C), ( x0 1¹ - ) thì 
x
y
x x
0
0
0 0
2 1 12
1 1
+
= = -
+ +
 Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 33 
 MA x MB y
x0 0 0
11 , 2
1
= + = - =
+
 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB MA MB x
x0 0
12 . 2 1 . 2
1
+ ³ = + =
+
 Þ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi xx
xx
0
0
00
011
21
é =
+ = Û ê = -+ ë
. 
 Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3). 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) 2 1
1
-
=
+
xy
x
 ĐS: 0 1 3x = - ± 
Câu 92. Cho hàm số xy
x
3 4
2
-
=
-
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận. 
 · Gọi M x y( ; ) Î (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3. 
 Ta có: x xx y x x
x x
3 42 3 2 2 2
2 2
-
- = - Û - = - Û - =
- -
x xx
xx
1( 2)
42
é =Û = ± - Û ê =- ë
 Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) 
Câu 93. Cho hàm số xy
x
2 4
1
-
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1). 
 · MN (2; 1)= -
uuur
 Þ Phương trình MN: x y2 3 0+ + = . 
 Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y x m2= + . 
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
 x x m
x
2 4 2
1
-
= +
+
 Û x mx m x22 4 0 ( 1)+ + + = ¹ - (1) 
 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û m m2 – 8 – 32 0D = > (2) 
 Khi đó A x x m B x x m1 1 2 2( ;2 ), ( ;2 )+ + với x x1 2, là các nghiệm của (1) 
 Trung điểm của AB là 
x x
I x x m1 2 1 2;2
æ ö+
+ +ç ÷
è ø
º
m m
I ;
4 2
æ ö
-ç ÷
è ø
 (theo định lý Vi-et) 
 A, B đối xứng nhau qua MN Û I Î MN Û m 4= - 
 Suy ra (1) Û xx x
x
2 02 4 0
2
é =- = Û ê =ë
 Þ A(0; –4), B(2; 0). 
Câu 94. Cho hàm số 3 3 2y x x= - + + (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: x y2 – 2 0+ = . 
 · Gọi ( ) ( )1 1 2 2; ; ;M x y N x y thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d 
 I là trung điểm của AB nên 1 2 1 2;
2 2
x x y yI + +æ öç ÷
è ø
, ta có I dÎ 
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 34 
 Có: 
( ) ( )3 31 1 2 21 2 1 23 2 3 2 2. 2
2 2 2
x x x xy y x x- + + + - + ++ +
= = + 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 1 2 2
0
3 3 2
1
+ =é
Þ - + + + + + = + Þ ê
- + =ë
x x
x x x x x x x x x x
x x x x
 Lại có: ( ) ( )2 1 2 1.1 .2 0MN d x x y y^ Þ - + - = 
 ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 77 2 0 2Þ - - - + + = Þ + + =x x x x x x x x x x x x 
 - Xét 1 2 0x x+ = 1 2
7 7;
2 2
x xÞ = ± = m 
 - Xét 
2 22 2
1 21 1 2 2
2 2
1 1 2 2
1 2
91
4
7 5
2 4
x xx x x x
x x x x x x
ìì + =- + = ïï ïÛ Þí í
+ + =ï ï =î ïî
 vô nghiệm 
 Vậy 2 điểm cần tìm là: 7 1 7 7 1 7;2 ; ;2
2 2 2 2 2 2
æ ö æ ö
- - +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 95. Cho hàm số xy
x
2 1
1
-
=
+
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và 
giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9. 
 · Giao điểm 2 tiệm cận là I ( 1;2)- . 
 Gọi M IIM
M I
y y
M x C k
x x x x
0 2
0 0
3 3;2 ( )
1 ( 1)
-æ ö -
- Î Þ = =ç ÷+ - +è ø
 + Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 
( )
Mk y x
x
0 2
0
3( )
1
¢= =
+
 + YCBT M IMk k. 9Û = - Û 
x
x
0
0
0 
2
é =
ê = -ë
. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5) 
Câu 96. Cho hàm số xy x x
3
2 113
3 3
= - + + - . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. 
 · Hai điểm M x y N x y C1 1 2 2( ; ), ( ; ) ( )Î đối xứng nhau qua Oy Û 
x x
y y
2 1
1 2
0ì = - ¹ï
í
=ïî
 Û 
x x
x x
x x x x2
2 1
3 3
2 31 2
1 1 2
0
11 113 3
3 3 3 3
ì = - ¹
ï
í
- + + - = - + + -ï
î
 Û 
x
x
1
2
3
3
ì =ï
í
= -ïî
 hoặc 
x
x
1
2
3
3
ì = -ï
í
=ïî
 Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M N16 163; , 3;
3 3
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 35 
Câu 97. Cho hàm số 2
1
x
y
x
=
-
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại 
đỉnh A với A(2; 0). 
 · Ta có C y
x
2
( ) : 2
1
= +
-
. Gọi B b C c
b c
2 2
;2 , ;2
1 1
+ +
- -
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 với b c1< < . 
 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox. 
 Ta có: 
· · · · · · ·
AB AC BAC CAK BAH CAK ACK BAH ACK0 0; 90 90+ = + Þ= = Þ = = 
 và: 
· · {AH CKBHA CKA ABH CAK HB AK090 D D == = Þ = Þ = 
 Hay: {
b
bc
cc
b
2
2 2
11
2 32 2
1
- = +
= -- Û
=+ = -
-
ì
ïï
í
ï
ïî
 . 
 Vậy B C( 1;1), (3;3)- 
Câu 98. Cho hàm số 
1
12
+
-
=
x
xy . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm tọa độ điểm M Î (C) sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(-I tới tiếp tuyến của (C) tại 
M là lớn nhất. 
 · Giả sử )(
1
32;
0
0 Cx
xM Î÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
- . PTTT D của (C) tại M là: 
 )(
)1(
3
1
32 02
00
xx
xx
y -
+
=
+
+- Û 0)1(3)2()1()(3 0
2
00 =+--+-- xyxxx 
 Khoảng cách từ )2;1(-I tới tiếp tuyến D là: 
( ) 2
02
0
4
0
0
4
0
00
)1(
)1(
9
6
)1(9
16
19
)1(3)1(3
++
+
=
++
+
=
++
+---
=
x
x
x
x
x
xx
d . 
 Theo BĐT Cô–si: 692)1(
)1(
9 2
02
0
=³++
+
x
x
 Þ 6£d . 
 Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi ( ) 3131)1(
)1(
9
0
2
0
2
02
0
±-=Û=+Û+=
+
xxx
x
. 
 Vậy có hai điểm cần tìm là: ( )32;31 -+-M hoặc ( )32;31 +--M 
Câu 99. Cho hàm số 3 3 2y x x= - + + (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3). 
 · Gọi ( )A x y0 0; , B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)- ( )B x y0 02 ;6Þ - - - 
 A B C, ( )Î Û y x x
y x x
3
0 0 0
3
0 0 0
3 2
6 ( 2 ) 3( 2 ) 2
ì = - + +ï
í
- = - - - + - - +ïî
 ( ) ( )x x x x x x33 20 0 0 0 0 06 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0Û = - + + - - - + - - + Û + + = 
H K
B
A
C
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 36 
 Û x y0 01 0= - Þ = 
 Vậy 2 điểm cần tìm là: ( )1;0- và ( )1;6- 
Câu 100. Cho hàm số xy
x
2
2 1
+
=
-
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). 
 · PT đường trung trực đọan AB: y x= . 
 Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT: 
 x x
x
2
2 1
+
=
-
 Û 
x
x x
x
2
1 5
21 0
1 5
2
é -
=ê
ê- - = Û
+ê =êë
 Hai điểm cần tìm là: 1 5 1 5 1 5 1 5, ; ,
2 2 2 2
æ ö æ ö- - + +
ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø