Vấn đề Phương trình quy về bậc hai phương trình bậc 3 – bậc 4

 23
Vaán ñeà 4 
PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ BAÄC HAI 
PHÖÔNG TRÌNH BAÄC 3 – BAÄC 4 
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ: 
1. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ BAÄC 2 
Daïng 1: Phöông trình truøng phöông: 4 2ax bx c 0 (a 0)+ + = ≠ 
Ñaët 2t x (t 0)= ≥ ta coù phöông trình : 2at bt c 0+ + = 
Daïng 2: (x + a)(x+b)(x+c)(x+d) = k (k ≠ 0) 
Trong ñoù: a + b = c + d 
Ñaët t (x a)(x b)= + + vôùi 
2(a b)t
4
−≥ − ta coù phöông trình : 
2t (cd ab)t k 0+ − − = 
Daïng 3: 4 4(x a) (x b) k(k 0)+ + + = ≠ 
Ñaët a bt x
2
+= + thì x a t ,+ = + α x b t+ = −α vôùi a b
2
−α = ñöa veà 
phöông trình truøng phöông : 4 2 2 4t 12 t 2 k 0+ α + α − = 
4 4(x a) (x b) k(k 0)− + − = ≠ . Ñaët a bt x
2
+= − 
Daïng 4: 4 3 2ax bx cx bx a 0 (a 0)+ + + + = ≠ 
+ Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình 
+ Chia hai veá cho 2x vaø ñaët 1t x , t 2
x
= + ≥ 
Ta coù phöông trình : 2at bt c 2a 0+ + − = 
4 3 2ax bx cx bx a 0 (a 0)+ + − + = ≠ 
+ Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình : 
 24
+ Chia 2 veá cho 2x vaø ñaët 1t x
x
= − ta ñöôïc phöông trình : 
2at bt c 2a 0+ + + = 
4 3 2ax bx cx dx c 0+ + ± = = trong ñoù a, c ≠ 0 vaø 
2c d
a b
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
+ Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm. 
+ Chia 2 veá cho 2x , laøm gioáng nhö treân. 
Daïng 5: 2 2
mx nx k (k 0)
ax bx c ax b'x c
+ = ≠+ + + + 
+ Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm. 
+ Phöông trình ñöôïc vieát : m n k
c cax b ax b'
x x
+ =
+ + + +
Ñaët ct ax
x
= + vaø phöông trình ñöôïc vieát : m n k
t b t b '
+ =+ + 
Daïng 6 : x b(x a)(x b) (x a) 8
x a
+α + + +β + =+ 
Ñieàu kieän : x b 0
x a
+ ≥+ . Ñaët 
x bt (x a)
x a
+= + + 
2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC 3: 
a. Ña thöùc : 
Ña thöùc baäc n theo x (n ∈N) laø bieåu thöùc coù daïng: 
P(x) n n 10 1 n 1 na x a x ..... a x a
− −= + + + + vôùi 0a 0≠ 
Caùc soá 0 1 na ,a ,......a goïi laø caùc heä soá. 
α laø moät nghieäm cuûa ña thöùc P(x) khi P(α) = 0 
Ñònh lyù Bezout : P( ) 0 P(x)α = ⇔ chia heát cho x - α. 
b. Phöông trình baäc 3: 
3 2ax bx cx d 0 (a 0)+ + + = ≠ 
Phöông trình baäc 3 luoân luoân coù nghieäm 
Ñònh lyù Viete: 
 25
Neáu phöông trình : 3 2ax bx cx d 0 (a 0)+ + + = ≠ (1) 
Coù 3 nghieäm x1, x2, x3 thì : 
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
bx x x
a
cx x x x x x
a
ax x x
a
⎧ + + = −⎪⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ = −⎪⎩
Caùch giaûi : 
+ Neáu bieát moät nghieäm 0x x ,= ta phaân tích: 
(1) 20(x x )(Ax Bx C) 0⇔ − + + = 
+ Neáu bieát moät heä thöùc giöõa caùc nghieäm thì ta duøng ñònh lyù viete 
+ Duøng haèng ñaúng thöùc bieán ñoåi thaønh phöông trình tích soá vôùi caùc 
phöông trình coù daïng : 
3 3 3A B (A B)+ = + 3 3 3(A B) A B 0 3AB(A B) 0⇔ + − − = ⇔ + = 
II. CAÙC VÍ DUÏ : 
Ví duï 1: 
Giaûi phöông trình : (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 3 (*)+ + + + = 
Giaûi 
(*) (x 1)(x 4)(x 2)(x 3) 3 (**)⇔ + + + + = 
Ñaët 2t (x 1)(x 4) x 5x 4= + + = + + Ñieàu kieän 
2(1 4) 9t
4 4
−≥ − = − 
(**) 2 2(x 5x 4)(x 5x 6) 3⇔ + + + + = 
2 t 1(nhaän)t 2t 3 0t(t 2) 3
t 3(loaïi)(a b c 0)
=⎧+ − =⇔ + = ⇔ ⇔ ⎨ = −+ + = ⎩
Vôùi t = 1: 
2
2
5 13x
x 5x 3 0 2x 5x 4 1
13 5 13x
2
⎡ − +=⎢+ + = ⎢+ + = ⇔ ⇔ ⎢∆ = − −=⎢⎣
 26
Ví duï 2: 
Ñònh m ñeå phöông trình : x 1(x 3)(x 1) 4(x 3) m (1)
x 3
+− + + − =− coù 
nghieäm. 
Giaûi 
Ñaët 2x 1t (x 3) (*) t (x 3)(x 1)
x 3
+= − ⇒ = − +− 
2(1) t 4t m 0 (2)⇔ + − = 
Ñeå (1) coù nghieäm, ñieàu kieän caàn (2) coù nghieäm. 
Ta coù : ' 4 m 0 m 4∆ = + ≥ ⇔ ≥ − 
Thöû laïi vôùi m 4,≥ − phöông trình (1) cuõng coù nghieäm. 
Vôùi m 4,≥ − phöông trình (2) coù nghieäm t = t0 theá vaøo (*) : 
0
x 1t (x 3) (3)
x 3
+= − − 
Ta coù 3 tröôøng hôïp : 
0t 0 : (3) x 1= ⇔ = − (nhaän) 
0 2 2 2
0 0
x 3 x 3
t 0 : (3)
(x 3)(x 1) t x 2x (3 t ) 0
> >⎧ ⎧⎪ ⎪> ⇔ ⇔⎨ ⎨− + = − − + =⎪ ⎪⎩ ⎩
2
0x 1 4 t⇔ = + + nhaän. 
0 2 2 2
0 0
x 3 x 3
t 0 : (3)
(x 3)(x 1) t x 2x (3 t ) 0
< <⎧ ⎧⎪ ⎪< ⇔ ⇔⎨ ⎨− + = − − + =⎪ ⎪⎩ ⎩
2
0x 1 4 t⇔ = − + nhaän. 
Toùm laïi phöông trình (1) coù nghieäm khi m 4≥ − 
Ví duï 3: 
Ñònh a sao cho phöông trình : 
4 3 2x ax (2a 1)x ax 1 0 (1)− − + + + = 
Coù 2 nghieäm khaùc nhau vaø lôùn hôn 1. 
Giaûi 
Vôùi x = 0 : (1) 1 0⇔ = voâ nghieäm. 
Chia hai veá cho x2 : 
 27
2
2
a 1x ax (2a 1) 0
x x
− − + + + =
2
2
1 1x a x (2a 1) 0 (2)
xx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Ñaët 1t x
x
= − thì 
2
1
2
2
2
t t 4x
2x tx 1 0
t t 4x
2
⎡ − +⎢ =⎢− − = ⇔ ⎢ + +⎢ =⎢⎣
2 2
2
1(t x 2)
x
= + − 
khi 2t 0 x 1> ⇒ > 
(2) 2t 2 at (2a 1) 0⇔ + − − + = 2t at 1 2a 0 (3)⇔ − + − = 
Ñeå (1) coù 2 nghieäm khaùc nhau vaø lôùn hôn 1 laø (3) coù 2 nghieäm thoaû: 
1 20 t t< <
20 a 4(1 2a) 0
1P 0 1 2a 0 2 5 4 a
2
S 0 a 0
⎧∆ > − − >⎧ ⎪⎪⇔ > ⇔ − > ⇔ − >⎩ ⎩
Ví duï 4: 
Ñònh k ñeå phöông trình : 4 3x 4x 8x k (*)− + = 
Coù 4 nghieäm phaân bieät. 
Giaûi 
(*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñoà thò: 
4 3y x 4x 8x= − + vaø y = k. 
Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá : 4 3y x 4x 8x= − + 
. MXD : D = R 
. 3 2 2y ' 4x 12x 8 4(x 1)(x 2x 2)= − + = − − − 
Cho 
x 1 y 5
y' 0
x 1 3 y 4
= ⇒ =⎡= ⇔ ⎢ = ± ⇒ = −⎣
 28
Baûng bieán thieân: 
Töø baûng bieán thieân ñeå phöông trình (*) coù nghieäm phaân bieät khi vaø chæ 
khi : 4 k 5− < < 
Ví duï 5: 
Ñònh a ñeå phöông trình : 4 2 2x 2x 2ax a 2a 1 0+ + + + + = coù nghieäm. 
Vôùi moãi a ñoù, goïi xa laø nghieäm beù nhaát cuûa phöông trình. Ñònh a ñeå xa 
nhoû nhaát. 
Giaûi 
Ta coù : 4 2 2x 2x 2ax a 2a 1 0+ + + + + = 
2 4 2
a a aa 2(x 1)a (x 2x 1) 0 (*)⇔ + + + + + = 
Ñeå (*) coù nghieäm 2 4 2a a a' (x 1) (x 2x 1) 0⇔ ∆ = + − + + ≥ 
2 2 2
a a
2 2
a a a a
2 2
a a a a
(x 1) (x 1) 0
(x 1 x 1)(x 1 x 1) 0
(x x 2)( x x ) 0
⇔ + − + ≥
⇔ + + + + − − ≥
⇔ + + − + ≥
a ax ( x 1) 0⇔ − + ≥ (vì 2a a ax x 2 0 x )+ + > ∀ a0 x 1⇔ ≤ ≤ 
Vaäy xa nhoû nhaát laø xa = 0, thì (*) 2(a 1) 0 a 1⇔ + = ⇔ = − 
Ví duï 6 : 
Tìm ñieàu kieän cuûa a, b ñeå phöông trình 3x ax b 0+ + = coù 3 nghieäm 
phaân bieät laäp thaønh caáp soá coäng. 
Giaûi 
Goïi x1, x2, x3 laø 3 nghieäm phaân bieät cuûa phöông trình cho, laäp thaønh 
moät caáp soá coäng : x1 + x3 = 2x2 (*) 
Ñònh lyù viete cho : 1 2 3
Bx x x 0
A
+ + = − = 2 23x 0 x 0⇔ = ⇔ = 
 29
Thay x2 = 0 vaøo phöông trình : 3x ax b 0+ + = ta ñöôïc: b = 0 
3 2
2
x 0
x ax 0 x(x a) 0
x a 0 (**)
=⎡⇒ + = ⇔ + = ⇔ ⎢ + =⎢⎣
Ñeå (**) coù 2 nghieäm phaân bieät vaø khaùc 0 a 0⇔ < 
Vaäy ñeå phöông trình cho coù 3 nghieäm phaân bieät laäp thaønh moät caáp soá 
coäng laø : a < 0 , b = 0 
Ví duï 7: 
Bieát phöông trình 3x px q 0+ + = coù 3 nghieäm x1, x2, x3 
Chöùng minh : 3 3 31 2 3 1 2 3x x x 3x x x+ + = 
Giaûi 
Vì x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa phöông trình : 3x px q 0+ + = 
Ta coù : 
 31 1x px q 0+ + = 
3
2 2
3
3 3
x px q 0
x px q 0
+ + =+ + + = 
3 3 3
1 2 3 1 2 3x x x p(x x x ) 3q 0 (*)⇒ + + + + + + = 
Ñònh lyù viete cho : 1 2 3
Bx x x 0
A
+ + = − = ; 1 2 3 Dx x x qA= − = − 
Theá vaøo (*) ta ñöôïc: 
3 3 3
1 2 3 1 2 3x x x 3x x x 0+ + − = 3 3 31 2 3 1 2 3x x x 3x x x⇔ + + = 
Ví duï 8: 
Giaû söû phöông trình : 3 2x x ax b 0− + + = coù 3 nghieäm thöïc phaân bieät. 
Chöùng minh raèng : 2a 3b 0+ > 
(Ñaïi hoïc quoác gia Haø Noäi, khoái A naêm 1998) 
Giaûi 
Goïi x1, x2, x3 laø nghieäm phaân bieät cuûa phöông trình cho ñònh lyù viete 
cho : 
 30
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
Bx x x 1
A
Cx x x x x x a
A
Dx x x b
A
⎧ + + = − =⎪⎪⎪ + + = =⎨⎪⎪ = − = −⎪⎩
Ta coù : 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3(x x x x x x ) (x x ) (x x ) (x x ) 2x x x+ + = + + + 
2 2
1 2 3 3 1 22x x x 2x x x+ + 
2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3
2 2 2 2
1 2 2 3 3 1
2 2 2 2
1 2 2 3 3 1
a (x x ) (x x ) (x x ) 2x x x (x x x )
a (x x ) (x x ) (x x ) 2b
a 2b (x x ) (x x ) (x x ) (1)
⇔ = + + + + +
⇔ = + + −
⇒ + = + +
Ta coù : 
 2 2x y 2xy+ ≥ 
2 2
2 2
y z 2yz
z x 2zx
+ ≥+
+ ≥
2 2 2 2 2 22(x y z ) 2(xy yz zx) x y z xy yz zx (2)⇒ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + 
AÙp duïng BÑT (2) ta coù : 
2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3(x x ) (x x ) (x x ) x x x x x x x x x+ + > + + 
2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3(x x ) (x x ) (x x ) x x x (x x x ) b (3)⇔ + + > + + = − 
Khoâng coù ñaúng thöùc vì x1, x2, x3 ñoâi moät khaùc nhau. 
(1) vaø (3) 2 2a 2b b a 3b 0⇒ + > − ⇔ + > 
Ví duï 9: 
Ñònh m ñeå phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät. 
3 2 2x 3mx 2(m 1)x 2m 0 (1)− + + − = 
Giaûi 
2
2
(1) (x m)(x 2mx 2) 0
x m
f(x) x 2mx 2 0 (2)
⇔ − − + =
=⎡⇔ ⎢ = − + =⎢⎣
Ñeå (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät (2)⇔ coù 2 nghieäm döông khaùc 
m. 
 31
2
m 0
m 0
' m 2 0 m 2 m 2 m 2
P 2 0(hieån nhieân) 2m 0
S 2m 0
>⎧ >⎧⎪ ⎪∆ = − >⎪⇔ ⇔ > ∨ ⎨ ⎨= >⎪ ⎪ >⎩⎪ = >⎩
Ví duï 10: 
Giaûi phöông trình : 4x 4x 1 (*)− = 
Giaûi 
4 2 2(*) x (2x 1) (2x 1) 4x 1⇔ + + = + + + 
2 2 2
2 2
2
2
1,2
(x 1) 2(x 1) 0
(x 2x 2 1)(x 2x 1 2) 0
x 2x 2 1 0 VN
2 1x 2x 1 2 0 x 2(2 2 1)
2 2
⇔ + = + =
⇔ + + + − + − =
⎡ + + + =⎢⇔ ⎢ − + − = ⇔ = ± −⎢⎣
Ví duï 11: 
Cho phöông trình : 3 2x x (m 2)x m 1 0+ − + + + = . 
Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm x1, x2, x3 thoûa ñieàu 
kieän : x1 < x2 < < 2 < x3 
Giaûi 
Ñaët 3 2f(x) x x (m 2)x m 2= + − + + + 
Ñieàu kieän caàn: Giaû söû phöông trình f(x) = 0 coù 3 nghieäm x1, x2, x3 thoûa 
ñeà baøi, ta coù : f(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3) vaø 
f(2) 0 9 m 0 m 9 
Ñieàu kieän ñuû: Giaû söû ta coù: m > 9 
f(0) m 1 0= + > vaø f(2) = 9 – m < 0 f(0).f(2) 0⇒ < 
Neáu toàn taïi 2 2x (0,2) : f(x ) 0∈ = (nghóa laø 0 < x2 < 2 (1)) 
Vì xlim →+∞ f(x) = +∞ neân toàn taïi m > 2 maø f(m) > 0 f(2).f(m) 0⇒ < 
⇒ Phöông trình ñaõ cho coù 1 nghieäm 3x (2,m)∈ sao cho f(x) = 0 
(nghóa laø 2 < x3 < m (2)). 
Vì xlim →−∞ f(x) = −∞ , neân toàn taïi n < 0 maø f(n) < 0 
f(0).f(n) 0⇒ < neân phöông trình coù nghieäm x1 vôùi n < x1 < 0 (3) 
 32
(1), (2), (3) 1 2 3x x 2 x⇒ < < < 
Vaäy m > 9. 
Ví duï 12 : 
Giaûi phöông trình : 
3 3 3(3x 1) (2x 3) (5x 2) (*)+ + − = − 
Giaûi 
Vì (3x + 1) + (2x –3 )= 5x –2 
Aùp duïng haèng ñaúng thöùc: 
3 3 3(A B) A B 3AB(A B)+ = + + + 
(*) 3(3x 1)(2x 3)(5x 2) 0⇔ + − − =
1x
33x 1 0
32x 3 0 x
2
5x 2 0 2x
5
⎡ = −⎢+ =⎡ ⎢⎢ ⎢⇔ − = ⇔ =⎢ ⎢⎢ ⎢− =⎣ ⎢ =⎢⎣
 33
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ 
4.1. Ñònh m ñeå phöông trình : 4 2x 2(m 1)x 2m 1 0− + + + = 
coù 4 nghieäm phaân bieät laäp thaønh moät caáp soá coäng. 
4.2. Ñònh taát caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå cho phöông trình : 
3 2x 2(1 2m)x (5 7m)x 2(m 5) 0+ − + − + + = 
Coù 3 phaân bieät nhoû hôn 1, bieát raèng phöông trình coù 1 nghieäm khoâng 
phuï thuoäc m. 
4.3. Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình : 
2 4 28x(2x 1)(8x 8x 1) 1− − + = 
thoûa maõn ñieàu kieän 0 < x < 1 
4.4. Giaûi phöông trình : 3 3 3(x 2 3) (2x 3) (3x 3)− + + = − 
4.5. Ñònh m ñeå phöông trình : 3 2x 3mx 3x 3m 2 0+ − − + = 
Coù 3 nghieäm x1, x2, x3 vaø 2 2 21 2 3x x x+ + nhoû nhaát. 
4.6. Ñònh m ñeå phöông trình : 2 2 2
mx (x 1)
x x 1
+ + = + + 
Coù 1 nghieäm duy nhaát. 
4.7. Ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm: 
4 2 2x x 2(a 2)x a 4a 3 0+ + − − + − = 
4.8. Giaûi phöông trình : 38x 6x 1− = 
4.9. Giaûi phöông trình : 4 3 2x x 7x x 6 0+ − − + = 
4.10. Giaûi phöông trình : 3 212x 4x 17x 6 0+ − + = 
Bieát phöông trình coù 2 nghieäm maø tích baèng –1 
 34
4.11. Giaûi phöông trình : 
2 2 2(x 3x 4) 3(x 3x 4) x 4+ − + + − = + 
(ÑH Ngoaïi Thöông – Khoái D Naêm 2000) 
4.12. Cho phöông trình : 4 2x ax b 0+ + = 
Giaû söû phöông trình coù 4 nghieäm laäp thaønh caáp soá coäng. 
Chöùng minh: 29a 100b 0− = 
 35
Giaûi Toùm Taét 
4.1. Ñaët 2t x= . Phöông trình ñaõ cho 2t 2(m 1)t 2m 1 0 (1)⇔ − + + + = 
Ñeå phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm phaân bieät (1)⇔ coù 2 nghieäm 
döông phaân bieät . 
2' (m 1) (2m 1) 0
1P 2m 1 0 m
2
S 2(m 1) 0
⎧∆ = + − + >⎪⇔ = + > ⇔ > −⎨⎪ = + >⎩
 vaø m 0 (*)≠ 
Vôùi ñieàu kieän (*), (1) coù 2 nghieäm t1, t2 thoûa 1 20 t t< < . 
Phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm : 
1 2 2 1 3 1 4 2x t x t x t x t= − < = − < = < = 
x1, x2, x3, x4 laäp thaønh moät caáp soá coäng 
3 2 42x x x⇔ = + 2t 91 (2)⇔ = 
Ñònh lyù viete cho : 1 2
1 2
t t 2(m 1) (3)
t t 2m 1 (4)
+ = +⎧⎨ = +⎩
(2), (3), (4) 2 49m 32m 16 0 m 4 m
9
⇔ − − = ⇔ = ∨ = − thoûa (*) 
4.2 Phöông trình ñaõ cho coù theå vieát: 
2 3 2( 4x 7x 2)m (x 2x 5x 10) 0 (1)− − + + + + + = 
Vì phöông trình ñaõ cho coù 1 nghieäm khoâng phuï thuoäc m thì phöông 
trình (1) voâ ñònh theo m. 
2
3 2
4x 7x 2 0
x 2 1
x 2x 5x 10 0
⎧− − + =⎪⇔ ⇔ = − <⎨ + + + =⎪⎩
Phöông trình ñaõ cho 
2(x 2)(x 4mx m 5) 0⇔ + − + + = 2
x 2
g(x) x 4mx m 5 0
= −⎡⇔ ⎢ = − + + =⎢⎣
 36
YCBT 
2
1 2
' 4m m 5 0
1.g(1) 1 4m m 5 0x x 1
sg( 2) 0 1
2
g( 2) 4 8m m 5 0
⎧∆ = − − >⎪ = − + + >⎪< <⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− ≠ <⎩ ⎪⎪ − = + + + ≠⎪⎩
m 1⇔ < − 
4.3. Vì [ ]x 0,1∈ , ñaët x = cost , t 0,
2
π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Phöông trình ñaõ cho 2 4 28cos t(2cos t 1)(8cos t 8cos t 1) 1 (*)⇔ − − + = 
Vôùi 2 2cos t 1 cos t− = 
22 2
4 2 1 cos t 1 cos t8cos t 8cos t 1 8 8 1
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +− + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 42cos 2t 1 cos t= − = 
(*) 2 4 2 48cos t.cos t.cos t 1 8cos t.sin t.cos t.cos t sin t⇔ = ⇔ = 
1
2
2tt 0, 72
t8t t k2 8t t k2
9
π⎡⎧ π⎛ ⎞ =⎢∈⎪ ⎜ ⎟⇔ ⇔ ⎢⎨ ⎝ ⎠ π⎢⎪ == + π ∨ = π − + π⎩ ⎢⎣
⇒ caùc nghieäm phöông trình : 2x cos x cos
7 9
π π= ∨ = 
4.4. Vì (x 2 3) (2x 3) 3x 3− + + = − 
AÙp duïng haèng ñaúng thöùc : 3 3 3(A B) A B 3AB(A B)+ = + + + 
Phöông trình cho : 
3(x 2 3)(2x 3)(3x 3) 0⇔ − + − =
x 2 3
3x
2
3x
3
⎡⎢ =⎢⎢⇔ = −⎢⎢⎢ =⎢⎣
 37
4.5. Ta coù : 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1(x x x ) x x x 2(x x x x x x )+ + = + + + + + 
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1x x x (x x x ) 2(x x x x x x )⇔ + + = + + − + + 
Ñònh lyù viete cho : 
1 2 3
1 2 2 3 3 1
Bx x x 3m
A
Cx x x x x x 3
A
⎧ + + = − = −⎪⎪⎨⎪ + + = = −⎪⎩
2 2 2 2
1 2 3x x x 9m 6 6⇒ + + = + ≥ 
Daáu “ = “ xaûy ra m 0⇔ = 
Thöû laïi, vôùi m = 0 phöông trình cho trôû thaønh : 
3x 3x 2 0− + = 2 1 2 3(x 1)(x x 2) 0 x x 1,x 3⇔ − + − = ⇔ = = = − 
Vaäy m = 0 
4.6. MXÑ D = R 
Phöông trình cho 2 22(x x 1) 1 (x x 1) m (1)⎡ ⎤⇔ + + − + + =⎣ ⎦ 
Ñaët 
2
2 1 3 3t x x 1 x
2 4 4
⎛ ⎞= + + = + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ 
(1) 22t t m⇔ − = 3t
4
⎛ ⎞≥⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ñaët 2y 2t 1,= − y' 2t= cho 3 3y' 0 t 0,y
4 8
⎛ ⎞= ⇔ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Baûng bieán thieân: 
Baûng bieán thieân cho, ñeå phöông trình coù 1 nghieäm duy nhaát 3m
8
≥ 
 38
4.7. Phöông trình cho 2 4 2a 2(x 2) a x x 4x 3 0⇔ − + − − − + + = 
2 2
2 2
2 2
' (x 1)
a x 2 x 1 x x 3 a 0 (1)
a x 2 x 1 x x a 1 0 (2)
∆ = +
⎡ ⎡= + + + + + − =⇔ ⇔⎢ ⎢⎢ ⎢= + − − − + − =⎣ ⎣
(1) coù 1 4a 11∆ = − , (2) coù 2 4a 5∆ = − + 
Phöông trình cho coù nghieäm 1 2
11 50 0 a m
4 4
⇔ ∆ ≥ ∨ ∆ ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ 
4.8. 38x 6x 1− = 14x 3x
2
⇔ − = (*) 
Ñaët x cos t= 
(*) 3 14cos t 3cos t
2
⇔ − = 3cos t cos cos 2
3 3
π π⎛ ⎞⇔ = = ± π⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Choïn 1t ,9
π= 2 2 7t ,9 3 9
π π π= + = 3 2 5t 9 3 9
π π π= − = − 
⇒ nghieäm x cos ,
9
π= 7x cos ,
9
π= 5x cos
9
π= 
4.9. Phöông trình cho 3 2(x 1)(x 2x 5x 6) 0⇔ − + − − = 
2(x 1)(x 1)(x x 6) 0 x 1 x 2 x 3⇔ − + + − = ⇔ = ± ∨ = ∨ = − 
4.10. Goïi x1, x2 laø 2 nghieäm coù x1, x2 = -1 
Ñònh lyù viete cho: x1 x2 x3 
d 1
a 2
= − = − 3 31 1( 1)x x2 3⇔ − = − ⇔ = 
Phöông trình cho : 
21x (12x 10x 12) 0
2
⎛ ⎞⇔ − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 2x x x
2 3 3
⇔ = ∨ = ∨ = − 
4.11. Ñaët 2t x 3x 4= + − . Ta coù heä: 
2
2
x 3x 4 t
t 3t x 4
⎧ + − =⎪⎨ + = +⎪⎩
 39
2 2
2 2 2
x 3x t 4 0 x 3x t 4 0 (1)
t 3t x 4 0 x t 4x 4t 0 (2)
⎧ ⎧+ − − = + − − =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨+ − − = − + − =⎪ ⎪⎩ ⎩
(x t)(x t 4) 0⇔ − + + = t x
t x 4
=⎡⇔ ⎢ = − −⎣
. t = 2 : (1) 2x 2x 4 0 x 5⇔ + − = ⇔ = − ± 
. 2t x 4 : (1) x 4x 0 x 4,x 0= − − ⇔ + = ⇔ = − = 
Vaäy nghieäm x = 0, x = - 4, x = - 1 5± 
4.12. Ñaët 2x 0,α = ≥ Phöông trình cho trôû thaønh: 2 a b 0 (*)α + α + = 
Phöông trình cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ phöông trình (*) coù 2 
nghieäm döông phaân bieät : 
2
1 2 2
a 4b 0
a 0 b
0 P b 0
a 4b 0S a 0
⎧∆ = − > ⇔⎨ ⎨ − >⎪⎪ ⎩= − >⎩
Khi ñoù ta coù: 1 2 2 1 3 1 4 2x x x x= − α < = − α < = α < < α 
1 2 3 4x ,x ,x ,x hôïp thaønh moät caáp soá coäng 
2 4 3x x 2x⇔ + = 2 19x⇔α = 
Ñònh lyù viete: 
2
11 2
2
1 2 1
10 aa a9 b
. b 109 b
α = −⎧α + α = −⎧ ⎛ ⎞⎪⇔ ⇔ − =⎨ ⎨ ⎜ ⎟α α = α = ⎝ ⎠⎪⎩ ⎩
29a 100b 0⇔ − =