Bài tập Toán 11

BAØI TAÄP 
TOAÙN 11 
2 
 63
®Ò 2 
Bài 1: Tìm 
 a) 
6
293lim 3
23
2 −−
−−+
→ xx
xxx
x
 b) 
21
3 2
lim
1x
x
x→
+ −
− 
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: 
⎧ + + ≠ −⎪= +⎨⎪⎩
2 3 2
, khi x 2
( ) 2
3 , khi x = -2
x x
f x x 
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 – 6x +1 (1) 
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số (1) rồi suy ra ( 5)f ′′ − . 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại 
điểm Mo(0; 1). 
c) Chứng minh PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm 
trong khoảng (-1; 1). 
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 
a có góc BAD = 600 và SA=SB = SD = a. 
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD). 
b) Chứng minh tam giác SAC vuông. 
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). 
MỤC LỤC 
 Trang 
Phần I. ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 
Chương I. Hàm số lượng giác – Phương trình lượng giác 3 
 A. Hàm số lượng giác ................................................................................... 3 
 B. Phương trình lượng giác ........................................................................... 4 
 Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản ...................................................... 4 
 Dạng 2: Phương trình bậc 2 ñối với một hàm số lượng giác ........................ 5 
 Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu ......................................... 6 
 Dạng 4: Phương trình thuần nhất theo sinu và cosu ..................................... 7 
 Dạng 5: Phương trình ñối xứng – phản xứng ................................................ 8 
 Dạng 6: Phương trình lượng giác không mẫu mực ....................................... 9 
 Một số ñề thi ðại học .................................................................................... 9 
Chương II. Tổ hợp – Xác suất 11 
 A. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp ................................................................. 11 
 B. Xác suất .................................................................................................... 15 
Chương III. Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân 17 
 Phương pháp quy nạp .................................................................................... 17 
 Dãy số ........................................................................................................... 18 
 Cấp số cộng ................................................................................................... 19 
 Cấp số nhân ................................................................................................... 21 
Chương IV. Giới hạn 23 
 Giới hạn của dãy số ....................................................................................... 23 
 Giới hạn của hàm số ...................................................................................... 24 
 Hàm số liên tục ............................................................................................. 27 
Chương V. ðạo hàm 30 
Phần II. Hình học 
Chương I. Phép dời hình và phép ñồng dạng trong mặt phẳng 33 
 Phép tịnh tiến ................................................................................................ 33 
 Phép ñối xứng trục, Phép ñối xứng tâm ........................................................ 34 
 Phép quay, Phép dời hình .............................................................................. 35 
 Phép vị tự, Phép ñồng dạng ........................................................................... 36 
Chương II. Quan hệ song song 38 
 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ................................................................ 38 
 Chứng minh 3 ñiểm thẳng hàng .................................................................... 39 
 Chứng minh 3 ñường thẳng ñồng qui ........................................................... 40 
 Giao ñiểm của ñường thẳng và mặt phẳng .................................................... 41 
 Thiết diện ...................................................................................................... 43 
 Hai ñường thẳng song song .......................................................................... 44 
 ðường thẳng song song với mặt phẳng ........................................................ 45 
 Hai mặt phẳng song song .............................................................................. 47 
 Hình lăng trụ ................................................................................................. 48 
Chương III. Quan hệ vuông góc 49 
 Vectơ trong không gian ................................................................................. 49 
 Hai ñường thẳng vuông góc, ðường thẳng vuông góc với mặt phẳng ......... 50 
 Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng, Góc giữa hai mặt phẳng .................... 54 
 Hai mặt phẳng vuông góc ............................................................................. 56 
 Khoảng cách .................................................................................................. 59 
Một số ñề thi tham khảo 62 
 62 
MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO 
®Ò 1 
Câu 1: Tính giới hạn của hàm số 
a) 
2
3
2 9 9lim
3x
x x
x→
− −
− b) 
22 4 1lim
3 2x
x x
x→−∞
− +
− + 
Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó: 
f(x) = 
22 10 2
2 4
4 17 2
x x x
x
x x
⎧− + + < −⎪ +⎨⎪ + ≥ −⎩
nÕu
nÕu
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số: 
a) y = 3x3 - 4x2 + 8 
b) y = 
22 5 1
3 4
x x
x
+ −
− 
c) y = 3sin3x - 3cos24x 
Câu 4: 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) 
 y = - 2x4 + x2 – 3 tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1. 
b) Cho hàm số y = x.cosx. 
 Chứng minh rằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0 
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ở B và 
nABC =1200, SA ⊥ (ABC) và SA = AB = 2a. Gọi O là trung 
điểm của đoạn AC, H là hình chiếu của O trên SC. 
a) Chứng minh: OB ⊥ SC. 
b) Chứng minh: (HBO) ⊥ (SBC). 
c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua O. Tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng AD và SB. 
 3
Chương I. 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC 
 A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 1. 1sin
1
+= −
xy
x
 2. 3sin2
2cos3
= xy
x
 3. cot(2 )
4
π= −y x 4. 2tan( 5 )
3
π= +y x 
 5. 
1cos
1
−= +
xy
x
 6. 
sin 2
cos 1
+= +
xy 
 7. 
1
sin cos
= −y x x 8. 2 2
3 tan
cos sin
+= −
xy
x x
 9. sin cos
cos 1 1 sin
= +− +
x xy
x x
 10. 2
12 sin
tan 1
= + − −y x x 
Bài 2. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số: 
 1. cos3xy
x
= 2. 2 2siny x x= − 
 3. 2siny x x= + 4. 21 tan 1
2
y x= + 
 5. 23sin cosy x x= − 6. tan 2cosy x x= + 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 
 1. y 2sin(x ) 3
3
π= − + 2. 1y=3- cos2x
2
 3. 
21 3cosy=
2
x+ 4. 2 4sin cosy x x= − 
 5. 24sin cos2y x x= − 6. 3 cos2 1y x= + 
PHẦN I. ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 
 4 
 7. 7 3 s in3y x= − 8. 2 25 2sin cosy x x= − 
Bài 4. Hãy xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 
 1. siny x= − 2. 2 siny x= − 
 3. sin( )
3
y x π= + 4. cos 1y x= + 
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1. 1s in3
2
x = 2. 2cos2
2
x = − 
 3. tan( ) 3
4
x π− = 4. s in2 s in2 cos 0x x x− = 
 5. s in3 cos2 0x x− = 6. t an4 cot 2 1x x = 
 7. 2cos( ) 1 0
6
x π− + = 8. tan(2 ) t an3 0
3
x xπ+ + = 
 9. 2cos 2sin 0
2
xx − = 10. 4 4 2cos sin
2
x x− = 
 11. 1sin cos sin cos
2 3 3 2 2
x xπ π+ = 
 12. 3 3 2sin cos cos sin
8
x x x x− = 
 13. 2 2 2cos cos 2 cos 3 1x x x+ + = 
 14. 
2 2 17s in 2 cos 8 sin( 10 )
2
x x xπ− = + 
 15. 4 6cos sin cos2x x x+ = 
 61
3. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và 
SD 
4. Tính : d [ ])(, SACM 
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ 
= a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . 
1. Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′). 
2. Tính khoảng cách từ A đến (A′BC). 
3. Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách 
từ A′ đến mặt phẳng (ABC′). 
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. 
1. Chứng minh: B’D ⊥ (BA’C’); B’D ⊥ (ACD’) 
2. Tính d (BA 'C'),(ACD')⎡ ⎤⎣ ⎦ 
3. Tính d (BC'),(CD')⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 60 
 1. OA và BC 2. AI và OC. 
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, 
cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng: 
 1. SC và BD. 2. AC và SD. 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
canh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 3a . Tính: 
1. Giữa SC và BD ; giữa AC và SD. 
2. d [ ])(, ABCDA 
3. d [ ])(, SBCO với O là tâm của hình vuông. 
4. d [ ])(, ABCDI với I là trung điểm của SC. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 
vuông tại A và D AB = DC = a , SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a 
Tính : 
1. d [ ])(, SCDA ; d [ ])(, SBCA 
2. d [ ])(, SCDAB 
3. d [ ])(, SCDAB 
4. d [ ])(, SBCDE , E là trung điểm của AB 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,tam 
giac SAD đều và (SAD) ⊥ (ABCD) .gọi I là trung điểm của Sb 
va K =CM ∩ BI 
1. Chứng minh (CMF) ⊥ (SIB) 
2. Chứng minh : tam giac BKF cân tại K 
 5
 16. 1 cos4 s in4 0
2s in2 1 cos4
x x
x x
− − =+ 
 17. 2 2 1sin cos cos
2
x x x ++ = 
 18. 
2(2 3)cos 2sin ( )
2 4 1
2cos 1
xx
x
π− − −
=− 
Bài 2. Giải và biện luận phương trình: 
 1. sin 2 1x m= − 
 2. (4 1)cos cos 8m x m x− = − 
 3. 4 tan ( 1) tanx m m x− = + 
 4. 2(3 2)cos2 4 sin 0m x m x m− + + = 
Bài 3. Tìm m để phương trình: 
 1. 2 sin( )
4
x mπ+ = có nghiệm (0; )
2
x π∈ 
 2. 7(2 )sin( ) (3 2)cos(2 ) 2 0
2
m x m x mπ π+ + − + − + − = có 
nghiệm. 
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1. 24 cos 2( 3 1)cos 3 0x x− + + = 
2. 2 2cos x 5sinx – 4 0+ = 
3. 2cos2x – 8cosx 5 0 + = 
4. 2cosx.cos2x 1 cos2x cos3x= + + 
5. 22
3 3 2 tan
cos
= + x
x
6.  5tan x 2cotx 3 0− − = 
7. 26sin 3 cos12 4x x+ = 
 6 
8. 2cos2 3cos 4 cos
2
x x
x− = 
9. 2cos4cot tan
s in2
xx x
x
= + 
10. 
2cos (2sin 3 2) 2sin 3 1
1 s in2
x x x
x
+ + − =+ 
11. 4 43tan 2 tan 1 0x x+ − = 
12. 1 1cos sin
sin cos
x x
x x
− = − 
13. 2
2
1 1cos 2(cos ) 1
coscos
x x
xx
+ − + = 
14. 
2 2
1 1 4
sin cossin cos x xx x
+ = 
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
1. 2cos (1 )cos 2 6 0x m x m+ − + − = 
2. 24 cos 2 4cos2 3 3 0x x m− − − = 
Bài 3. Cho phương trình: cos2 ( 2)sin 1 0x a x a+ + − − = 
1. Giải phương trình đã cho khi a = 1. 
2. Với giá trị nào của a thì phương trình đã cho có 
nghiệm? 
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO 
SINu VÀ COSu 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1. 2sincos3 =− xx 
 2. 1sin3cos −=− xx 
 59
1. Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC). 
2. Tính góc giữa hai mp (SAD), (SBC). 
3. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng 
minh: (SHC) ⊥ (SDI). 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J lần lượt là 
trung điểm của BC và AB, AC. Từ O kẻ đoạn thẳng 
OS⊥ (ABC). 
1. Chứng minh: (SBC) ⊥ (ABC). 
2. Chứng minh: (SOI) ⊥ (SAB). 
3. Chứng minh: (SOI) ⊥ (SOJ). 
Bài 11. Cho tam diện ba góc vuông Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đôi 
một vuông góc). Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz các điểm B, C, A 
sao cho OA = ... g ( )α cho ba điểm A, B, C. S là điểm 
không thuộc ( )α . M, N , I lần lượt là trung điểm của AB, BC, 
SA. 
1. Tìm giao tuyến của (SAN ) và (SCM). 
2. Tìm giao tuyến của (SCM) và (BIC). 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của 
ACDΔ . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD 
sao cho IJ không song song với CD. 
1. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và 
(ACD). 
2. Lấy N là điểm thuộc miền trong của ABDΔ sao cho JN 
cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MN J) và 
(ABC). 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai 
cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong 
của SCDΔ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: 
1. (SBM) và (SCD). 
2. (ABM) và (SCD). 
3. (ABM) và (SAC). 
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. M và N lần lượt là trung điểm AD và 
BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (N AD). 
 27
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Bài 1. Xét tính liên tục các hàm số sau tại 0x : 
 1. ( )
3 1
1
2 1
+⎧ ≠ −⎪= −⎨⎪ = −⎩
x khi x
f x x
khi x
tại 0 1x = − 
 2. ( )
3 8 2
2
5 2
⎧ − ≠⎪= −⎨⎪ =⎩
x khi xf x x
khi x
tại 0 2x = 
 3. 
2
5 5
( ) 2 1 3
( 5) 5
−⎧ ≠⎪= − −⎨⎪ − =⎩
x khi x
f x x
x khi x
tại x0 = 5 
 4. 
3
2
1 cos 0
sin( )
1 0
2
x khi x
xf x
khi x
⎧ − ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩
tại x0 = 0 
 5. ( )
2 2 2
2
5 2
⎧ − − >⎪= −⎨⎪ − ≤⎩
x x khi xf x x
x khi x
tại 0 2x = 
 6. ( )
1 1
2 1
2 1
−⎧ <⎪= − −⎨⎪ − ≥⎩
x khi x
f x x
x khi x
tại 0 1x = 
 7. 
1 1 0
( )
45 0
1
⎧ − − + <⎪⎪= ⎨ −⎪− + ≥⎪ +⎩
x x khi x
xf x
x khi x
x
tại x0 =0 
Chương II.
 28 
 8. 
2
2
3 2 1
1
1( ) 1
4
1 1
6 7
⎧ + − >⎪ −⎪⎪= =⎨⎪⎪ − <⎪ + −⎩
x khi x
x
f x khi x
x khi x
x x
tại x0 =1 
Bài 2. Tìm m để hàm số liên tục tại x0 đã chỉ ra : 
 1. ( )
2 2 2
2
2
⎧ − − ≠⎪= −⎨⎪ =⎩
x x khi xf x x
m khi x
tại 0 2x = 
 2. 
2 1 5 4( ) 4
4 4
⎧ + − + ≠⎪= ⎨ −⎪ − =⎩
x x khi xf x x
mx khi x
tại x0=4 
 3. 
2
2
3 2 1
1( )
1
2
⎧ + − <⎪⎪ −= ⎨ +⎪ ≥⎪ −⎩
x x khi x
xf x
x m khi x
x
tại x0 =1 
 4. 
3 3 2 2 2
2( )
1 2
3
⎧ + − >⎪⎪ −= ⎨⎪ + ≤⎪⎩
x khi x
xf x
mx khi x
tại x0 =2 
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm sao61 sau trên R: 
2 1 1( ) 1
5 1
x khi xf x x
khi x
⎧ − ≠⎪= ⎨ −⎪ =⎩
Bài 4. Định a để hàm số f(x) liên tục trên R: 
 37
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3;2), B(1;-2), 
C(2;5), D(-1;-3) .Gọi A1 là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo 
vectơ BC
JJJG
. Gọi A2 là ảnh của A1 qua phép đối xứng t âm 
D.Tìm tọa độ A2. 
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm 
( ) ( ) ( )1,2 ; 3,0 ; 3, 2A B C− − . 
1. Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O. 
2. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
3. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm A. 
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1). Phép dời hình 
có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm O 
và phép tịnh tiến theo vectơ (2;3)v
G
biến M thành điểm N . Tìm 
tọa độ điểm N . 
Bài 4. Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4 
= 0. Ảnh của (C) qua phép vị tự V(0;
1
2
− ) là đường tròn (C'), tìm 
phương trình của ( C’). 
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy .Tìm ảnh của đường tròn 
(C): (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16 qua việc thực hiện liên tiếp OyÐ và 
→
v
T với )3;2(=→v . 
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường 
thẳng d có phương trình : 2x + y – 1 = 0 . 
1. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 090 . 
2. Tìm ảnh của d qua phép quay tâm A góc quay 090 . 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 
 36 
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E,F,H,I lần lượt là trung 
điểm của AB,CD,BC,EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam 
giác AEI thành tam giác FCH. 
PHÉP VN TỰ 
Bài 1. Xác định ảnh của điểm A(4,-5) qua phép vị tự tâm I(-2; 
6), tỉ số -2. 
Bài 2. Cho điểm M(-1;5) và đường thẳng d: 2x-3y-8=0. Xác 
định ảnh của M và d qua phép vị tự tâm O tỉ số bằng 2. 
Bài 3. Cho điểm I(2;-1) và điểm J(7:4). Tìm tâm vị tự của 2 
đường tròn (C)(I;2) và đường tròn (C’)(J;3). 
Bài 4. Cho tam giác OMN . Dựng ảnh của M, N qua phép vị tự 
tâm O, tỉ số k trong các trường hợp sau: 
 1. 3k = 2. 1
2
k = 3. 3
4
k = − 
Bài 5. Tìm phép vị tự biến: 
1. : 1
2 4
x yd − = thành ' : 2 6 0d x y− − = . 
2. 2 2( ) : ( 4) 2C x y+ + = thành 2 2( ') : ( 2) ( 3) 8C x y− + − = 
Bài 1. Cho điểm A(3;-4) và đường thẳng d: 9x+y-6=0 . Viết pt 
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng 
cách thực hiện liên tiếp phép ĐO và phép V(A,1/3). 
Bài 2. Cho đường tròn (C) có tâm I(-1;3), bán kính bằng 2. Viết 
phương trình đường tròn ảnh của (C) qua phép đồng dạng có 
được từ việc thực hiện liên tiếp phép V(O,3) và phép ĐOy. 
Bài 3. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm cạnh AB. 
Xác định phép đồng dạng biến ΔOAM thành ΔDBC. 
 29
3
1 2
4( )
3 2 2 2
2
ax khi x
f x
x khi x
x
⎧ + ≤⎪⎪= ⎨ + −⎪ >⎪ −⎩
Bài 5. Chứng minh phương trình: 
 1. 22 6 1 0− + =x x có ít nhất 2 nghiệm. 
 2. 32 10 7 0− − =x x có ít nhất hai nghiệm. 
 3. cos 0− =x x có nghiệm. 
PHÉP ðỒNG DẠNG 
 30 
ĐẠO HÀM 
 Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau: 
 1. 5 3 24= − − +y x x x x 2. 36= − +y x
x
 3. 2
1 1= + +y x
x x
 4. 
3
2 3= + +y x
x x
 5. ( )( )3 2 24 2 7= − −y x x x x 6. 2( 2) 1= − +y x x 
 7. 
2 1
= +
xy
x
 8. 
2 3
4
−= +
xy
x
 9. 
25 3
2
− −= −
x xy
x
 10. 
1
1
−= +
xy
x
 11. ( )37 25= −y x x 12. ( )52 33 4= + +y x x x 
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau: 
 1. 
sin= xy
x
 2. cos
1
= +
xy
x
 3. 
sin cos
sin cos
+= −
x xy
x x
 4. sin3 cos tan
5
= + +xy x x 
 5. ( )102 sin5= −y x x 6. 3sin 3=y x 
 7. 2cot 1= − +y x x 8. ( )2sin cos2=y x 
 9. 2 sin 3=y x x 10. 3 2sin 1= +y x 
 11. 2 2tan 3 cot 2= +y x x 12. sin 4 cos .= +y x x x 
Bài 3. Giải các bất phương trình: 
 1. ( )' 0>f x với ( ) 2 5 4
2
x xf x
x
− += − 
35
PHÉP QUAY 
Bài 1. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm ảnh của tam giác 
OAB qua phép quay tâm C góc quay -900 
Bài 2. Tìm toạ độ các điểm ảnh của A(-3;4), B(-5;1), C(-2;3) 
qua phép quay Q(O,90o) 
Bài 3. Cho điểm M(3;-4) và đường thẳng d: 6x-y+10=0. Xác 
định ảnh của M và d qua phép quay tâm O một góc 900. 
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(-
1,5) thành điểm B(5,1). 
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(0,3). Tìm 
B = Q (A)
(O ; 45 )− D 
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 
2 2(C) : (x 3) (y 2) 4− + − = . Tìm (C ) = Q (C) 
(O ; 90 )
′ D 
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có phương 
trình : 2 2 2 4 4 0x y x y+ − + − = . Viết phương trình đường tròn 
là ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay tâm O góc quay 
090 ; - 090 
Bài 1. Cho 2 điểm A(-2;1), B(3;5) và đường thẳng d: 4x-
9y+6=0. 
1. Xác định ảnh của điểm A qua phép dời hình có được bằng 
cách thực hiện liên tiếp phép Q(O,90o) và phép ĐB. 
2. Xác định ảnh của điểm B qua phép dời hình có được bằng 
cách thực hiện liên tiếp phép ĐA và ĐOy. 
3. Xác định ảnh của điểm A qua phép dời hình có được bằng 
cách thực hiện liên tiếp phép Q(O,90o) và phép Đd. 
4. Xác định ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách 
thực hiện liên tiếp phép ĐO và tịnh tiến ABTJJJG 
PHÉP DỜI HÌNH 
Chương V.
 34 
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, hãy tìm ảnh của điểm M( 2, 1) 
qua phép đối xứng trục Ox, rồi đối xứng trục Oy. 
Bài 2.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-5; 6), đường thẳng d: 
2x-3y-1=0 và đường tròn (C): (x-1)2+(y+2)2 = 25. 
1. Xác định ảnh của A và đường thẳng d qua phép ĐOx. 
2. Xác định đường tròn (Co) sao cho (C) là ảnh của (Co) 
qua phép ĐOy. 
3. Xác định ảnh của (C) qua phép Đd. 
Bài 3. Cho điểm M(2;-7) và đường cong (C) có phương trình 
y = x3 +3x2 -2x+1 . 
1. Xác định toạ độ các ảnh của điểm M qua phép ĐOx, ĐOy. 
2. Viết phương trình đường cong (C’) là ảnh của (C) qua 
phép ĐOx. 
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng 
( ) : x 5y 7 = 0Δ − + và ( ) : 5x y 13 = 0′Δ − − . Tìm phép đối 
xứng qua trục biến ( )Δ thành ( )′Δ . 
Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Goi O là giao điểm của AC và BD. 
Xác định ảnh của tam giác AOB qua phép đối xứng trục ĐCD. 
Bài 1. Cho 2 điểm M(-2;9), N (1;4). Xác định các điểm M1 ,M2 
lần lượt là ảnh của M qua phép ĐO , ĐN . 
Bài 2. Cho điểm I(-4;3), đường thẳng d: x-2y+5=0 và đường 
tròn (C):x2 + y2 -2x+6y+1=0. 
1. Xác định ảnh của I, d và (C) qua phép ĐO. 
2. Viết phương trình đường thẳng D’ là ảnh của D qua 
phép ĐI. 
3. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua 
phép ĐI. 
Bài 3. Chứng minh rằng 
2 2
2 2
( ) : 1x yE
a b
+ = và 
2 2
2 2
( ) : 1x yH
a b
− = 
có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. 
31
 2. ( )' 0≤g x với ( ) 22 11
xg x
x
−= + 
 3. ' 0≥y với 
2
2
3
1
xy
x
+= + 
 4. ' 0≤y với 22 1 4
xy
x x
−= + + 
Bài 4. Chứng minh rằng: 
 1. Hàm số xy tan= thỏa hệ thức: .01 '2 =−+ yy 
 2. Hàm số xy 2cot= thỏa hệ thức : .022 '2 =++ yy 
 3. Hàm số 
3
4
xy
x
−= + thỏa hệ thức : ( ) ( )
22 ' 1 ''y y y= − . 
Bài 5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 
 1. 2 cosy x x x= − + 
 2. ( )2 1 tany x x= + 
 3. 2cos=y x 
 4. 4 cos2= −y x x 
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
 1. 
1
2
−= +
xy
x
 tại điểm có hoành độ bằng 4. 
 2. 
2 2 6
1
+ −= −
x xy
x
biết có hoành độ tiếp điểm là 3. 
 3. 3 2
1 1
3
= + − +y x x x biết hệ số góc k = -3. 
 4. 
2 2
2
− −= +
x xy
x
 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
xy 32 −= . 
 5. 3 2
1 1
3
= + − +y x x x biết tiếp tuyến vuông góc với đường 
PHÉP ðỐI XỨNG TÂM 
PHÉP ðỐI XỨNG TRỤC 
 32 
thẳng: 5
4
1 +−= xy . 
 6. 4 23 4y x x= − − biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -4). 
Bài 7. Cho hàm số
1
13
+
−=
x
xy có đồ thị là (C). Viết phương trình 
tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó : 
 1. Có tung độ tiếp điểm là 2. 
 2. Vuông góc với đường thẳng: 4 10y x= − + . 
Bài 8. Qua điểm 4 4( , )
9 3
A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến 
đến đồ thị hàm số 
3
22 3
3
xy x x= − + . Viết phương trình các tiếp 
tuyến đó. 
 33
PHẦN II. HÌNH HỌC 
 PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG 
TRONG MẶT PHẲNG 
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1,2), B(0,1), C(3,-1) 
và vectơ ( 2,3)v = −G . Hãy tìm ảnh của các điểm trên qua phép 
tịnh tiến theo vectơ vG . 
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – 3y +1 = 
0 và đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 4y – 4 =0. Hãy tìm ảnh của d 
và (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ (1, 2)v = −G . 
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ cắt Ox tại A(-
1, 0) và cắt Oy tại B(0 ,2). Hãy tìm ảnh của Δ qua phép tịnh 
tiến theo vectơ u = (2; 1)−G . 
Bài 4. Hãy tìm ảnh của đường tròn 2 2(C) : (x 3) (y 2) 1− + + = 
qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4)−G . 
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A( 5;2) , C( 1;0)− − . Biết 
B = T (A) , C = T (B)u vG G . Tìm u vaø v
G G để có thể biến A thành C. 
Bài 6. Cho ΔABC có trọng tâm G. Dựng ảnh của : 
1. Đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến 
GC
TJJJG 
2.ΔABC qua phép tịnh tiến 
2AG
T JJJG 
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Xác định : 
1. Ảnh của ΔABD qua phép tịnh tiến 
3OC
T JJJG 
2. Điểm E sao cho phép tịnh tién 
AC
TJJJG biến E thành D. 
PHÉP TỊNH TIẾN 
Chương I.