Vấn đề Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0

 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 
Đại số 
 2
Chương 1 
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
VẤN ĐỀ 1 
Phương trình bậc nhất một ẩn : ax + b = 0 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Định nghĩa: 
Phương trình bậc nhất 1 ẩn là phương trình có dạng ? 
ax + b = 0 (a ≠ 0), a và b là các hệ số, x là ẩn số 
2. Giải và biện luận phương trình : ax + b = 0 
Cho phương trình : ax + b = 0 (1) 
* Nếu a ≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất bx
a
= − 
* Nếu a = 0 : (1) 0x b 0 0x b⇔ + = ⇔ = − 
b ≠ 0 : (1) vô nghiệm 
b = 0 : mọi x R∈ là nghiệm của (1) 
II. CÁC VÍ DỤ: 
Ví dụ 1: 
 Giải và biện luận phương trình : 
mx + 2 (x – m) = (m + 1)2 + 3 
Giải 
Phương trình 2mx 2x 2m m 2m 1 3⇔ + = + + + + 
2 2(m 2)x m 4m 4 (m 2)⇔ + = + + = + (1) 
. m + 2 ≠ 0 m 2⇔ ≠ − : phương trình có nghiệm duy nhất: 
2(m 2)x m 2
m 2
+= = ++ 
. m = - 2 : (1) 0x 0 : x R⇔ = ∀ ∈ là vô nghiệm của (1) 
 3
Ví dụ 2: 
Giải và biện luận phương trình : 
2 2 2a(ax 2b ) a b (x a)+ − = + 
Giải 
Phương trình cho 2 2 2 2 2a x b x b a a 2b a⇔ − = + − 
2 2 2 2 2(a b )x a ab a(a b )⇔ − = − = − (1) 
. 2 2a b 0 a b− ≠ ⇔ ≠ ± : Phương trình có nghiệm duy nhất: 
2
2 2
a(a b )x
a b
−= − 
. a = b : 2 3 2(1) 0x a a a (1 a)⇔ = − = − 
* a = 0 a 1: x R∨ = ∀ ∈ là nghiệm 
* a ≠ 0 và a ≠ 1: Phương trình vô nghiệm. 
. a = - b (1) 2 3 20x b b b (1 b)⇔ = + = + 
* b 0 b 1: x R= ∨ = − ∀ ∈ là nghiệm 
* b ≠ 0 và b ≠ 1: Phương trình vô nghiệm 
Ví dụ 3: 
Giải và biện luận phương trình : 
2
2 2
a 3a 4a 3 1
x a x aa x
− ++ =− +− (*) 
Giải 
(*) 2
x a
a(a x) 3a 4a 3 a x
≠ ±⎧⎪⇔ ⎨− + + − + = −⎪⎩
2
x a
3(1 a)x 2a 5a 3 2(a 1)(a ) (a 1)(3 2a)
2
≠ ±⎧⎪⇔ ⎨ − = − + − = − − − = − −⎪⎩
 (**) 
. 1 – a ≠ 0 (a 1)(3 2a)a 1: (**) x 2a 3
1 a
− −⇔ ≠ ⇔ = = −− 
Chỉ nhận được khi: 
2a 3 a a 3
2a 3 a a 1
− ≠ ≠⎧ ⎧⇔⎨ ⎨− ≠ − ≠⎩ ⎩
. 1 a 0 a 1: (**) 0x 0 x R− = ⇔ = ⇔ = ⇔∀ ∈ . 
Tóm lại: a ≠ 1 và a ≠ 3: Phương trình có nghiệm x = 2a – 3 
 4
a = 3 : Phương trình vô nghiệm 
a = 1 : x R∀ ∈ 
Ví dụ 4: 
 Định m để phương trình sau vô nghiệm: 
x m x 2 2 (1)
x 1 x
+ −+ =+ 
Giải 
Điều kiện : 
x 1 0 x 1
x 0 x 0
+ ≠ ≠ −⎧ ⎧⇔⎨ ⎨≠ ≠⎩ ⎩
(1) x(x m) (x 1)(x 2) 2x(x 1)⇔ + + + − = + 
2 2 2x mx x x 2 2x 2x
(m 3)x 2
⇔ + + − − = +
⇔ − = 
Phương trình vô nghiệm khi: m – 3 = 0 hoặc nghiệm tìm được bằng –1 
hoặc bằng 0. 
m 3 0
m 32 1
m 1m 3
2 0 (không tồn tại)
m 3
⎡⎢ − =⎢ =⎡⎢ = − ⇔ ⎢⎢ =− ⎣⎢⎢ =⎢ −⎣
Ví dụ 5 : 
Định m để phương trình sau có tập nghiệm là R 
m3x = mx + m2 –m 
Giải 
Ta có : m3x = mx + m2 –m 
Phương trình có nghiệm 
3 2
2
m m 0 m(m 1) 0x R
m(m 1) 0m m 0
⎧ ⎧− = − =⎪ ⎪∀ ∈ ⇔ ⇔⎨ ⎨ − =⎪− =⎪ ⎩⎩
m 0 m 1
m 0 m 1
m 0 m 1
= ∨ = ±⎧⇔ ⇔ = ∨ =⎨ = ∨ =⎩
 5
Ví dụ 6 : 
Định m để phương trình có nghiệm: 
3x m 2x 2m 1x 2
x 2 x 2
− + −+ − =− − 
Giải 
Điều kiện x –2 > 0 x 2⇔ > 
Phương trình cho 3x m x 2 2x 2m 1⇔ − + − = + − 
2x 3m 1
3m 1x nhận được khi : x 2
2
⇔ = +
+⇔ = > 
3m 1 2 3m 1 4 m 1
2
+⇔ > ⇔ + > ⇔ > 
Vậy phương trình có nghiệm khi m > 1 
Ví dụ 7: 
Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
x 2 x 1 (1)
x m x 1
+ +=− − 
Giải 
x m,x 1
(1)
(x 2)(x 1) (x m)(x 1)
≠ ≠⎧⇔ ⎨ + − = − +⎩
x m,x 1
mx 2 m
≠ ≠⎧⇔ ⎨ = −⎩
(1) có nghiệm duy nhất 2
m 0 m 0
2 m m m m 2 0
m
2m 22 m 1
m
⎧⎪ ≠ ≠⎧⎪ ⎪−⎪⇔ ≠ ⇔ + − ≠⎨ ⎨⎪ ⎪ ≠⎩−⎪ ≠⎪⎩
m 0
m 1
m 2
≠⎧⎪⇔ ≠⎨⎪ ≠ −⎩
 6
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
1.1 Giải và biện luận các phương trình : 
a. (m 1)x m 2 m
x 3
+ + − =+ b. 
x m x 2
x 1 x 1
− −=+ − 
1.2 Định m để phương trình có nghiệm : 
2 2
(2m 1)x 3 (2m 3)x m 2
4 x 4 x
+ + + + −=
− −
1.3 Định m để phương trình có nghiệm x > 0 : 
2m (x 1) 4x 3m 2− = − + 
1.4 Định m để phương trình sau vô nghiệm : 
2(m 1) x 1 m (7m 5)x+ + − = − 
1.5 Định m để phương trình sau có tập nghiệm là R : 
2(m 1)x m 1− = − 
 7
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 
1.1 
a. (m 1)x m 2 m
x 3
+ + − =+ (ĐK : x 3≠ − ) x 2m 2 3⇔ = + ≠ − 
. 5m :
2
≠ − nghiệm x = 2m + 2 
. 5m
2
= − : VN 
b. 
x 1x m x 2
xm m 2x 1 x 1
≠ ±⎧− −= ⇔ ⎨ = ++ − ⎩
. m = 0 : VN 
. m 0 : m 1:VN≠ + = − 
 m 1:+ ≠ − nghiệm x 2x
m
+= 
1.2 
2 2
(2m 1)x 3 (2m 3)x m 2 (*)
4 x 4 x
+ + + + −=
− −
ĐK : 24 x 0 2 x 2− > ⇔ − < < 
(*) 5 mx
2
−⇔ = phải thoả điều kiện 5 m2 2 1 m 9
2
−− < < ⇔ < < 
1.3 Phương trình cho 2(m 2) 4x m 3m 2⇔ + − = − + 
Phương trình có nghiệm 
2
2
2
m 4 0
m 2 m 2m 4 0
m 3m 2 0
⎡ − ≠⎢⎧⇔ ⇔ = ∧ ≠ −⎢ − =⎪⎢⎨ − + =⎢⎪⎩⎣
m 1x 0 m 1 m 2
m 2
−= > ⇔ > ∨ < −+ 
1.4 2(m 1) x 1 m (7m 5)x+ + − = − (m 2)(m 3)x m 1⇔ − − = − 
Phương trình VN 
(m 2)(m 3) 0
m 2 m 3
m 1 0
− − =⎧⇔ ⇔ = ∨ =⎨ − ≠⎩
1.5 2(m 1)x m 1− = − 
Phương trình có tập nghiệm R m 1⇔ =