Vấn đề Hệ phương trình đối xứng loại 2

 86 
Bài 3: 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
1. Dạng: 
f(x,y) 0
f(y,x) 0
=⎧⎨ =⎩
2. Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương: 
f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) f(y,x) 0
f(x,y) 0 f(x,y) f(y,x) 0
− = − =⎧ ⎧∨⎨ ⎨= + =⎩ ⎩
II. CÁC VÍ DỤ 
Ví dụ 1: 
Hãy xác định a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất: 
2 3 2
2 3 2
y x 4x ax (1)
x y 4y ay (2)
⎧ = − +⎪⎨ = − +⎪⎩
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1996) 
(1) - (2): 2 2(x y) x y xy 4(x y) a y x 0⎡ ⎤− + + − + + + + =⎣ ⎦ 
2 2y x x y xy 3(x y) a 0⇔ = ∨ + + − + + = 
* 3 2 2x y : (1) x 5x ax 0 x(x 5x a) 0= ⇔ − + = ⇔ − + = 
2x 0 f(x) x 5x a 0 (1)⇔ = ∨ = − + = 
Để chỉ có một nghiệm duy nhất, (1) phải có: 
0
0
f(0) 0
∆ =⎧ ∨ ∆ <⎨ =⎩
0
f(0) 0VN
∆ =⎧⎨ =⎩
250 25 4a 0 a
4
∆ 
* 2 2 2 2x y xy 3(x y) a 0 y (x 3)y (x 3x a) 0+ + − + + = ⇔ + − + − + = 
2 2 2
2
(x 3) 4(x 3x a) 3x 6x 9 4a
 3(x 1) (12 4a) 0
∆ = − − − + = − + + −
= − − + − <
 87
Khi 25a
4
> . Vậy khi 25a
4
> hệ có 1 nghiệm duy nhất: x = y = 0 
Ví dụ 2: 
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
2
2
2
2
a2x y
y(I) (a 0)
a2y x
x
⎧ = +⎪⎪ ≠⎨⎪ = +⎪⎩
Giải 
Điều kiện x > 0, y > 0 
Hệ 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2x y y a 2x y y a(I)
(x y)(2xy x y) 02y x x a
⎧ ⎧= + = +⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ − + + =⎪= +⎪ ⎩⎩
3 2 2
x y
(*)
2x x a
=⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩
Đặt 3 2 2f(x) 2x x f '(x) 6x 2x= − ⇒ = − ; 1f '(x) 0 x 0 x
3
= ⇔ = ∨ = 
Bảng biến thiên: 
Do (*) có nghiệm duy nhất, Bảng biến thiên (I)⇒ có nghiệm duy 
nhất. 
 88 
Ví dụ 3: 
 Định m để hệ phương trình: 
3 2 2
3 2 2
x y 7x mx
y x 7y my
⎧ = + −⎪⎨ = + −⎪⎩
Có nghiệm duy nhất: 
Giải 
Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là nghiệm của hệ. 
Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ. Vậy 
để hệ có nghiệm duy nhất là x = y. 
⇒ phương trình : 3 2 2 3 2x x 7x mx 0 x 8x mx 0− − + = ⇔ − + = có 
nghiệm duy nhất. 
3 2 2x 8x mx 0 x(x 8x m) 0− + = ⇔ − + = (*) 
2
x 0
x 8x m 0 (**)
=⎡⇔ ⎢ − + =⎢⎣
Để (*) có nghiệm duy nhất (*)⇔ có nghiệm x = 0 và (**) VN 
' 16 m 0 m 16⇔∆ = − . 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 
3.1. Giải hệ phương trình: 
3
3
x 2x y
y 2y x
⎧ = +⎪⎨ = +⎪⎩
3.2. Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 
2
2
x 2 y m
y 2 x m
⎧ + + =⎪⎨⎪ + + =⎩
3.3. Giải và biện luận hệ : 
2 2
2 2
x(3 4y ) m(3 4m )
y(3 4x ) m(3 4m )
⎧ − = −⎪⎨ − = −⎪⎩
 89
Hướng dẫn và giải tóm tắt 
3.1. 
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
⎧ = +⎪⎨ = +⎪⎩
(1) – (2): 3 3 2 2x y x y (x y)(x y xy 1) 0− = − ⇔ − + + − = 
2 2
x y
x y xy 1 0
=⎡⇔ ⎢ + + − =⎢⎣
Hệ đã cho tương đương với: 
2 2
3 3 3
x y x y xy 1 0
(I) (II)
x 2x y x y 3(x y)
⎧=⎧ + + − =⎪ ⎪∨⎨ ⎨= +⎪ + = +⎪⎩ ⎩
Giải 
x 0 x 3 x 3
(I) : 
y 0 y 3 y 3
⎧ ⎧= = = −⎧ ⎪ ⎪∨ ∨⎨ ⎨ ⎨= = = −⎩ ⎪ ⎪⎩ ⎩
Giải 
2
2
(x y) xy 1 0
(II) : (II)
(x y) (x y) 3xy 3(x y)
⎧ + − − =⎪⇔ ⎨ ⎡ ⎤+ + − = +⎪ ⎣ ⎦⎩
2 2
22 2
s 0s p 1 0 s p 1 s x y
 VN
p xys 1 ps(s 3p) 3s s 3p 3
⎧ ⎧=⎧− − = = + = +⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎜ ⎟=− =⎪ ⎝ ⎠− = = +⎪ ⎪⎩⎩ ⎩
s 0 x 1 x 1
p 1 y 1 y 1
= = = −⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= − = − =⎩ ⎩ ⎩
Đáp Số: (0,0) , ( 3, 3), (1, 1),( 1,1),( 3, 3)− − − − 
3.2. 
2
0 0
2
0 0 0 0 0 0
x 2 y m Nếu he ä co ù nghiệm (x ,y )thì cũng có
y 2 x m nghiệm( x , y ),(y ,x ),( y , x )
⎧ + + =⎪⎨⎪ + + = − − − −⎩
Vậy điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là 0 0x y 0= = thế vào hệ ta 
được m 2= . Thử lại: m 2= 
2
2
x 2 y 2
x 2 x 2
⎧ + + =⎪⎨⎪ + + =⎩
 90 
. Nếu 
2x 2 2x 0 : VN
y 0
⎧ + >⎪≠ ⎨ ≥⎪⎩
. Nếu 
2y 2 2
y 0 :
x 0
⎧ + >⎪≠ ⎨ ≥⎪⎩
 VN 
Vậy x = y = 0 là nghiệm khi m 2= . 
3.3. 
2 2
2 2
x(3 4y ) m(3 4m ) (1)
y(3 4x ) m(3 4m ) (2)
⎧ − = −⎪⎨ − = −⎪⎩
(1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0 
TH 1: x = y : 2 3(1) 4x 3x 3m 4m 0⇔ − + − = 
2
2 2
(x m)(4x 4mx 3 4m) 0
x m
4x 4m 3 4m 0 (3)
⇔ − + − + =
=⎡⇔ ⎢ + − + =⎣
2' 4(m 4m 3)∆ = − + 
. m 1 m 3 :≤ ∨ ≥ phương trình (3) có 2 nghiệm 1 2x ,x ⇒ hệ có 3 nghiệm. 
. m 1 m 3 := ∨ = Phương trình (3) có nghiệm kép: 1 2 mx x 2= = − ⇒ hệ 
có 2 nghiệm. 
TH 2: 33 4yx 0 xy
4
+ = ⇔ = − . 
Mặt khác (1) + (2): 2 2 23(x y) 4xy 4x y 2m(3 4m )+ − − = − 
2
2
(x y)(3 4xy) 2m(3 4m )
m(3 4m )x y
3
⇔ + − = −
−⇒ + =
x,y⇒ là nghiệm phương trình: 
2
2 m(3 4m ) 3t t 0
3 4
−− − = 
giải tương tự như trên.