Vấn đề Hệ phương trình đối xứng loại 1

 79
Bài 2: 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
1. Dạng : 
f(x,y) 0
(I)
g(x,y) 0
=⎧⎨ =⎩
 với f(x,y) f(y,x)= và g(x,y) g(y,x)= 
2. Cách giải: Đưa hệ (I) về hệ : 
F(S,P) 0
(II)
G(S,P) 0
=⎧⎨ =⎩
 với S = x + y , P = xy 
Giải hệ (II) S,P⇒ và x,y là nghiệm của phương trình : 
2t St P 0− + = 
Điều kiện để (I) có nghiệm là hệ (II) có nghiệm thỏa: 2S 4P 0− ≥ . 
II. CÁC VÍ DỤ: 
Ví dụ 1: 
Giải hệ phương trình :
2 2x y xy 7
x y xy 5
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
Giải 
Đặt s = x + y, p = xy, ta có: 
Hệ 
2 2 s 4s p 7 s s 12 0
p 9s p 5 p 5 s
⎧ ⎧ = −⎧− = + − =⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ =+ = = −⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩
(loại vì không thỏa 2s 4p 0− ≥ ) 
s 3 x 1 x 2
p 2 y 2 y 1
= = =⎧ ⎧ ⎧∨ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = =⎩ ⎩ ⎩
 vậy nghiệm (1, 2), (2, 1). 
 80
Ví dụ 2: 
Giải hệ phương trình : 
2 2
2 2
1 1x y 5
x y
1 1x y 9
x y
⎧ + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩
(ĐH Ngoại Thương TPHCM, Khối A, D năm 1997) 
Giải 
Đặt 
2 2
2
2 2
2
11 x u 2u x
x x
1 1v y y v 2
y y
⎧⎧ + = −= + ⎪⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= + + = −⎪ ⎪⎩ ⎩
Hệ 2 2 2
u v 5 u v 5 u v 5
uv 6u v 13 (u v) 2uv 13
+ = + =⎧ ⎧ + =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ =+ = + − =⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩
u,v⇒ là nghiệm của phương trình : 2 5 6 0α − α + = 
u 2 u 3
3 x 2
v 3 v 2
= =⎧ ⎧⇔ α = ∨ = ⇒ ∨⎨ ⎨= =⎩ ⎩
* u = 2, v = 3: 
1 x 1 x 1x 2
x
3 5 3 51 y yy 3 2 2y
⎧ = =+ = ⎧ ⎧⎪⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨+ −= =⎪ ⎪ ⎪+ = ⎩ ⎩⎪⎩
* u = 3, v = 2: 
1 x 1x 3 3 5x x
23 51 yy 2 y 12y
⎧ =+ = ⎧ ⎧ −⎪⎪ ⎪ ⎪ =⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨−=⎪ ⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩⎪⎩
⇒ nghiệm hệ: 3 5 3 51, ; 1,
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 3 5 3 5,1 ; ,1
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 81
Ví dụ 3: 
Tìm các giá trị của a để hệ sau đây có đúng 2 nghiệm. 
2 2
2
x y 2(1 a)
(x y) 4
⎧ + = +⎪⎨ + =⎪⎩
(ĐH Y Dược TPHCM năm 1998). 
Giải 
Ta có: 
2 2 2
2 2
x y 2(1 a) (x y) 2xy 2(1 a)
(x y) 4 (x y) 4
⎧ ⎧+ = + + − = +⎪ ⎪⇔⎨ ⎨+ = + =⎪ ⎪⎩ ⎩
xy 1 a xy 1 a
x y 2 x y 2
= − = −⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨+ = + = −⎩ ⎩
Điều kiện hệ có nghiệm là: 
(x y)h2 4xy 0 4 4(1 a) 0 a 0+ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥ 
x,y⇒ là nghiệm của phương trình : 2 2 1 a 0α − α + − = hoặc 
2 2 1 a 0α + α + − = 
Có cùng biệt số: ' 1 (1 a) a∆ = − − = 
Và có 4 nghiệm khác nhau: 1 a, ' 1 aα = ± α = − ± khi a > 0 
Nên chỉ đúng 2 nghiệm khi a = 0. 
x y 1,⇒α = = = ' x y 1α = = = − . 
Tóm lại hệ có đúng hai nghiệm: (1, 1); (-1, -1) khi a = 0. 
Ví dụ 4: 
 Giải hệ phương trình : 
2 2
2 2
1(x y) 1 5
xy
1(x y ) 1 49
x y
⎧ ⎛ ⎞+ + =⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ + + =⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩
(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 1999). 
Giải 
Hệ 22
1 1x y 5
x y
1 1x y 53
x y
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + =⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⇔ ⎨ ⎛ ⎞⎪⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
 Đặt 
1x u
x
1y v
y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
 82
2 2 2
u v 5 u v 5 u v 5
uv 14u v 53 (u v) 2uv 53
+ = + =⎧ ⎧ + =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ = −+ = + − =⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩
u,v⇒ là nghiệm phương trình: 2 u 7 u 2x 5x 14 0
v 2 v 7
= = −⎧ ⎧− − = ⇔ ∨⎨ ⎨= − =⎩ ⎩
Với 
1x 7 7 45 7 45x x x; 2 21y 2 y 1 y 1y
⎧ + = ⎧ ⎧+ −⎪⎪ ⎪ = ⎪ =⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪+ = − = − = −⎩ ⎩⎪⎩
Với 
1 x 1 x 1x 2
x ; 7 45 7 451 y yy 7 2 2y
⎧ = − = −+ = − ⎧ ⎧⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎨ ⎨ ⎨+ −= =⎪ ⎪ ⎪+ = ⎩ ⎩⎪⎩
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
2.1. Cho hệ phương trình: 2 2 2
x y 2a 1
x y a 2a 3
+ = −⎧⎪⎨ + = + −⎪⎩
Định a để hệ có nghiệm (x, y) và xy nhỏ nhất. 
2.2. Cho hệ phương trình: 
(x 1)(y 1) m 4
xy(x y) 3m
+ + = +⎧⎨ + =⎩
1. Định m để hệ có nghiệm 
2. Định m để hệ có 4 nghiệm phân biệt 
2.3. Cho hệ phương trình: 2 2
x y yx a 1
x y y x a
+ + = +⎧⎪⎨ + =⎪⎩
Định a để hệ có ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y > 
0. 
2.4. Cho hệ phương trình: 2 2
x y xy a
x y xy 3a 8
+ + =⎧⎪⎨ + = −⎪⎩
a. Giải hệ với 7a
2
= 
b. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm. 
 83
Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt. 
2.1. Đặt 
s x y
p xy
= +⎧⎨ =⎩
 Hệ 2 2 2
2 2
s 2a 1 s 2a 1
s 2p a 2a 3 2p 3a 6a 4
s 4p s 4p
= − = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ − = + − ⇔ = − +⎨ ⎨⎪ ⎪≥ ≥⎩ ⎩
2
s 2a 1
2p 3a 6a 4
2 22 a 2
2 2
⎧⎪ = −⎪⎪⇔ = − +⎨⎪⎪ − ≤ ≤ +⎪⎩
Đặt 
23af(a) 3a 2,
2
= − + f '(a) 3a 3,= − f '(a) 0 a 1= ⇔ = 
Bảng biến thiên: 
Từ Bảng biến thiên Min
2f(a) a 2
2
⇒ ⇔ = − 
2.2. 
1. Hệ 
x y xy m 3
xy(x y) 3m
+ + = +⎧⇔ ⎨ + =⎩
 Đặt S = x + y, P = xy 
S P m 3
PS 3m
+ = +⎧⇔ ⎨ =⎩
s⇒ và p là nghiệm của phương trình: 2 (m 3)x 3m 0α − + + = 
2 S m S 3(m 3) 0
P 3 P m
= =⎧ ⎧∆ = − ≥ ⇒ ∨⎨ ⎨= =⎩ ⎩
* 
S m
P 3
=⎧⎨ =⎩
 thì x và y là nghiệm phương trình: 2t mt 3 0− + = 
Phương trình có nghiệm 21 m 12 0 m 2 3 m 2 3⇔∆ = − ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥ 
 84
* 
S 3
P m
=⎧⎨ =⎩
 thì x và y là nghiệm phương trình: 2t 3t m 0− + = 
Phương trình có nghiệm 2
99 4m 0 m .
4
⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤ 
Tóm lại hệ có nghiệm 9m 2 3 m 2 3 m
4
⇔ ≤ − ∨ ≥ ∨ ≤ 
2. Để hệ có 4 nghiệm phân biệt 1
2
0
m 2 3
0
∆ >⎧⇔ ⇔ ⎩
2.3. Hệ 
S P a 1 S a S 1
SP a P 1 P a
+ = + = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = =⎩ ⎩ ⎩
* Với 
S a
P 1
=⎧⎨ =⎩
 Điều kiện x > 0, y > 0 là: 
2
S 0
P 0 a 2
S 4 0
⎧ >⎪ > ⇔ ≥⎨⎪ − ≥⎩
* Với 
S 1
P a
=⎧⎨ =⎩
 Điều kiện x > 0, y > 0 là: 
2
S 0
1P 0 0 a
4
S 4P 0
⎧ >⎪ > ⇔ < ≤⎨⎪ − ≥⎩
Đáp số: 1a 2 0 a
4
≥ ∨ < ≤ 
2.4. 2 2
x y xy a S P a
SP 3a 8x y xy 3a 8
+ + =⎧ + =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ = −+ = −⎪ ⎩⎩
 với 
S x y
P xy
= +⎧⎨ =⎩
a. 
S 1
(loại)57 PS P
7 22a :
52 5SP S
(nhận)2 2
P 1
⎡ =⎧⎪⎢⎨⎧ ⎢ =+ = ⎪⎪ ⎢⎪ ⎩= ⇔⎨ ⎢⎧⎪ ⎢= =⎪⎪ ⎢⎩ ⎨⎢⎪ =⎢⎩⎣
x, y là nghiệm phương trình: 2 5 11 0 2 x
2 2
α − α + = ⇔ α = ∨ = 
 85
x 2 1x
 21y y 22
=⎧ ⎧ =⎪ ⎪⇒ ∨⎨ ⎨=⎪ ⎪ =⎩ ⎩
b. 
S P a
SP 3a 8
+ =⎧⎨ = −⎩ thì s, p là 2 nghiệm của phương trình: 
2 a 3a 8 0 (1)α − α + − = 
Phương trình có nghiệm 
2a 4(3a 8) 0 a 4 a 8⇔ ∆ = − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ 
Với điều kiện đó, phương trình (1) có nghiệm: 
2
1
a a 12a 32 ,
2
− − +α = 
2
2
a a 12a 32
2
+ − +α = 
. Chọn 
2a a 12a 32S ,
2
− − += 
2a a 12a 32P
2
+ − += 
thì hệ sẽ có nghiệm 
2s 4p 0 (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (2)⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ + − − 
. Chọn 
2a a 12a 32S ,
2
+ − +=
2a a 12a 32P
2
− − += 
thì hệ có nghiệm 
2s 4p (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (3)⇔ ≥ ⇔ − − ≥ − + − − 
Từ (2) và (3) (a 2)(a 8) a 4 (a 4)(a 8) (4)⇒ − − ≥ − + − − 
Vì 
a 2
(a 2)(a 8) 0
a 8
≤⎡− − ≥ ⇔ ⎢ ≥⎣
 thì (4) thỏa. 
Khi ( ]a 2,4∈ thì (a 2)(a 8) 0− − < 
2 2 2(4) (a 2) (a 8) (a 4) (a 4)(a 8)⇔ − − ≤ + − − 
2 13 3 33 13 3 334a 13a 8 0 a
8 8
− +⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ 
Kết hợp với các điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm khi 
13 3 33a
8
+≤ hay a 8≥ .