Vấn đề 7: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

VẤN ĐỀ 7
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
 Bài toán 1:Tìm giao điểm của hai đường
Cho hàm số:y = f(x) có đồ thị là (C)
 y = g(x) có đồ thị là (C’)
Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C’). 
+ Hoành độ giao điểm của (C) & (C’) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
+ Số giao điểm của (C) và (C’) chính bằng số nghiệm của phương trình (*)
(*) VN(C)&(C’) có 0 giao điểm
(*) có n nghiệm đơn(C)&(C’) có n giao điểm.
(*) có một nghiệm bội x0(C) & (C’) có một tiếp điểm M0(x0;y0)
* Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
(C) tiếp xúc (C’) Hptcó nghiệm.
 (Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm)
*Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến.
 + Phần dương trục Ox tạo với tiếp tuyến một góc (định hướng) 
+ Tiếp tuyến tạo với (d):y = ax+b một góc 
Bài toán 2:Viết phương trình của tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) TẠI điểm M0(x0;y0 = f(x0 )) 
Aùp dụng công thức: 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ĐI QUA, KẺ TỪ điểm M1(x1;y1):
* C1:+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M1(x1;y1) & có hsg k là: 
+ Dùng điều kiện tiếp xúc để tìm k
* C2:+ Gọi (x0;y0) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến có dạng: 
+ M1(x1;y1) (*)
+ Giải pt (*) tìm x0 . Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
* C1: Gọi (x0;y0) là tọa độ tiếp điểm.Giải phương trình để tìm x0. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến
* C2: + Định dạng phương trình tiếp tuyến với ẩn là tung độ gốc.
+ Dùng điều kiện tiếp xúc để tìm tung độ gốc
+ Tiếp tuyến //(d):y = ax+b k = a
+ Tiếp tuyến(d):y = ax+b
Bài toán 4: Biện luận số đương cong của họ di qua một điểm cho trước: 
 Cho họ đường cong (Cm): y=f(x;m), m: tham số.
 Hãy biện luận theo m số đường cong của họ (Cm) đi qua M0(x0;y0).
Giải
Ta có: M0(x0;y0) (Cm) Û y0=f(x0;m) (*)
Xem (*) là phương trình theo ẩn số m:
+(*) vô nghiệm Û Không có đường nào của họ đi qua M0.
+(*) có n nghiệm Û Có n đường của họ đi qua M0.
+(*) nghiệm đúng với mọi mÛ Mọi đường cong của họ đi qua M0 Û M0 là điểm cố định của họ (Cm).
*Nhận xét: (*) thường được biến đổi đưa về một trong các trường hợp sau:
+Am + B= 0, mÛ A = B= 0
+Am+B= 0 vô nghiệm mÛ A = 0;
+Am2+Bm+ C = 0, m Û A = B = C = 0
+Am2+Bm+C=0 vô nghiệmÛ Ú 
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:
 Cho phương trình (x: ẩn số; m: tham số). 
 Hãy dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình trên.
Giải
+ Viết phương trình dưới dạng: (*)
(Trong đó y = f(x) là hàm số có đồ thị vẽ được)
+Số nghiệm của (*) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị: (C): y=f(x) và đường thẳng d: y=g(x,m).
*Nhận xét: d có thể có một trong các dạng sau:
+d: y= m là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
+d: y= f(m) có đồ thị giống đồ thị(C).
+d: y= kx+m là đường thẳng cùng phương với đường thẳng y=kx cố định cắt trục tung tại điểm có tung độ m.
+d: y= m(x-x0)+y0 là đường thẳng quay quanh M0(x0;y0) và cố hệ số góc m.
Bài toán 5: Tìm tập hợp điểm (Quỹ tích):
Để tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn các điều kiện cho trước, ta làm như sau:
+Tìm điều kiện để điểm M tồn tại.
+Tìm toạ độ điểm M theo tham số m của bài toán, chẳng hạn: 
+Khử tham số m giữa (1) và (2) ta được hệ thức độc lập giữa x và y: .
+Từ điều kiện tồn tại của điểm M ta giới hạn quỹ tích (nếu có).
+Kết hợp hệ thức với giới hạn của quỹ tích ta suy ra phương trình của quỹ tích.
*Chú ý: Nếu x = a hằng số V y = b hằng số thì M thuộc đường thẳng x = a V y = b
Bài toán 6: Khoảng cách
+Khoảng cách giữa hai điểm ; là: 
+Khoảng cách từ điểmđến đường thẳng : 
*Đặc biệt: 
Khoảng cách từ M0 đến trục hoành là 
Khoảng cách từ M0 đến trục tung là 
Bài toán 7: Sự đối xứng:
I)Dạng 1:Tâm đối xứng của đồ thị
Để chứng minh điểm I(x0;y0) là tâm đối xứng của đồ thị (C) y = f(x) ta làm như sau:
+Áp dụng công thức đổi trục toạ độ ta có: 
+Tìm phương trình của (C) trong hệ trục mới IXY:Y=F(X)
+Kiểm tra Y= F(X) là hàm số lẻ.
*Chú ý: Hàm số y = ax3+bx2+cx+d là hàm số lẻ b = d = 0.
II)Dạng 2:Trục đối xứng của đồ thị
 Để chứng minh đường thẳng D:x = x0 là trục đối xứng của đồ thị (C) y = f(x) ta làm như sau:
+Gọi I(x0;0) là điểm thuộc trục đối xứng. Áp dụng công thức đổi trục toạ độ ta có: 
+Tìm phương trình của (C) trong hệ trục mới IXY:Y=F(X)
+Kiểm tra Y= F(X) là hàm số chẵn.
*Chú ý: Hàm số y=ax4 +bx3+cx2+dx+e (a¹0) là hàm số chẵn Û b = d = 0
III) Dạng 3: Chứng minh đường thẳng D:y = ax+b là trục đối xứng của (C):
+Gọi d ^ D Þ .
+Giả sử d cắt (C) tại hai điểm A và B.
+Gọi I là trung điểm AB ta chứng minh I ỴD.
IV) Dạng 4: Tìm cặp điểm A, BỴ(C):y = f(x) đối xứng nhau qua D:y=ax+b :
+Gọi d ^ D Þ .
+Hoành độ giao điểm của A và B là nghiệm của phương trình : 
+Tìm điều kiện để A,B tồn tại.
+Gọi I là trung điểm AB, do tính đối xứng ta có I ỴD từ đó ta tìm b’ rồi suy ra toạ độ A, B.
V) Dạng 5: Tìm cặp điểm :y = f(x) đối xứng nhau qua điểm I(xI;yI)
+Gọi (xA;yA), (xB;yB) là toạ độ của A; B: 
+A; B đối xứng nhau qua I Û I là trung điểm AB 
+Thay (1); (2) vào (4) và kết hợp (3) rồi tìm điều kiện để tồn tại xA , xB , từ đó giải tìm toạ độ A; B.
*Chú ý: 
 Nếu I º O(0;0) thì bài toán trở thành tìm trên đồ thị cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ có cách làm tương tự.
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Các bài toán có dạng như ở phần tóm tắt lý thuyết.
BÀI TẬP
Bài 1:	Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3 - 6x2 + 9x - m = 0.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = 1 và x = 2. (Đề thi TN THPT 1992-1993)
Bài 2: Cho hàm số , với tham số k.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k =1.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A.
Chứng minh rằng với k bất kỳ đồ thị hàm số luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0. (Đề thi TN THPT 1993-1994)
Bài 3 : Cho hàm số : 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
 (Đề thi TN THPT 1994-1995)
Bài 4: Cho hàm số , m là tham số, đồ thị là (Cm).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2.
Chứng minh rằng (Cm) nhận giao điểm các đường tiệm cận làm tâm đối xứng .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C).
Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc là k. Biện luận theo k số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C). Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vẽ từ gốc tọa độ. Vẽ tiếp tuyến đó.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiø trục hoành, đồ thị (C) và tiếp tuyến vừa tìm được. (Đề thi TN THPT 1995-1996)
Bài 5 : Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiø đồ thị (C), tiệm cận xiên của (C), trục tung và đường thẳng x = -2.
Xác định b để đường thẳng (D): y = -x + b cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Lúc đó chứng minh M, N cùng thuộc một nhánh của (C). (Đề thi thử Môn Toán của BGD 1996 –1997 _ Dùng tham khảo cho việc ra đề kiểm tra cuối năm)
Bài 6 : Cho hàm số y = x3 – 3x + 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiø đồ thị (C) , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = -1.
Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của đồ thị (C) và có hệ số góc k . Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm đó trong trường hợp khi k = 1. (Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)
Bài 7 : Cho hàm số: 
Khảo sát và vẽ đồ thị (G) của hàm số trên.
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị (G) và trục hoành.
Dùng đồ thị (G), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Vẽ và viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (G) tại tiếp điểm có hoành độ x = 1.
Tìm a để (P): y = -x2 + a tiếp xúc (G). Viết phương trình các parabol đó và xác định tọa độ các tiếp điểm của chúng. (Đề thi TN THPT Kì II 1996-1997)
Bài 8 : Cho hàm số: 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên, trục tung và đường thẳng x = 2.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2;0) và có hệ số góc k. Với giá trị nào của k thì đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C)?
 (Đề thi TN THPT Kì I 1997-1998 _ Đề chính thức)
Bài 9 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2, m là tham số , đồ thị là (Cm).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 3.
Gọi A là giao điểm của đồ thị (C)và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( C ) tại điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến d.
Tìm giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
 (Đề thi TN THPT Kì I 1997-1998 _ Đề dự bị)
Bài 10 : Cho hàm số: 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = -2; x = 1.
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) trục hoành và các đường thẳng x = -2; x = 1.Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) một vòng xung quanh trục Ox.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số giao điểm của đồ thị(C) và đường thẳng y = k.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2;0) có hệ số góc là k. Biện luận theo k, số điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng d.
 (Đề thi TN THPT Kì II 1997-1998 )
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – (m + 2)x + m, m là tham số.
Tìm m để hàm số tương ứng có cực trị tại x = -1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.
Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k.
 (Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999 )
Bài 12 : Cho hàm số: 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (H) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm A (0;1).
Chứng minh rằng có đúng một tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm B (0;-1).
Tìm tất cả các điểm nguyên trên đồ thị (H). (Điểm nguyên là điểm mà cả hoành độ lẫn tung độ của nó đều là số nguyên). (Đề thi TN THPT Kì II 1998-1999 )
Bài 13: 
Khảo sát và vẽ đồ thi (G) của hàm số : .
Dựa vào đồ thị (G) , hãy biện luận số nghiệm (dương) của phương trình : , tùy theo tham số m.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (G) , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4. (Đề thi TN THPT 1999-2000)
Bài 14 : Cho hàm số , có đồ thị(C).
Khảo sát hàm số.
Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 2.Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của (C).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến của nó tại M.
 (Đề thi TN THPT 2000-2001)
Bài 15 : Cho hàm số: có đồ thị ( C ).
Khảo sát hàm số.
Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. (Đề thi TN THPT 2001-2002)
Bài 16: Cho hàm số: có đồ thị là (C).
Khảo sát hàm số.
Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3;0).
Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0; x= 0; x= 3 quay quanh trục Ox. (Đề thi TN THPT 2003-2004)
Bài 17: Cho hàm số , m là tham số
Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi đồ thị là (C).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , tiệm cận xiên, trục tung và đường thẳng x = -1. 
Tìm các điểm trên ( C ) có toạ độ là các số nguyên .
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 18:
Khảo sát hàm số . Gọi đồ thị là (C)
Chứng minh rằng đường thẳng y = - x + a (d) luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Giả sử đường thẳng (d) cắt hai tiệm cận của (C) tại E, F. Chứng minh rằng hai đoạn AB và EF có cùng trung điểm .
Xác định k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm có khoảng cách giữa chúng là ngắn nhất.
Bài 19: Cho hàm số có đồ thị là (Cm )
Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi đồ thị là (C).
Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung, x = 1 quay một vòng quanh Ox.
Biện luận theo tham số h số nghiệm của phương trình : 
Xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của (Cm ) đi qua gốc tọa độ.
Bài 20: Cho hàm số y = x3 –3mx2 + (m2 +2m –3) x + 4
Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi đồ thị là (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x.
Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị của hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung.
Bài 21:Cho hàm số (a, b là tham số)
Khảo sát hàm số khi a = 1, b = 2. Gọi đồ thị là (C).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 5 và đường cong(C )
Chứng minh rằng qua điểm M( 0;1 ) có ba tiếp tuyến của đồ thị ( C ). Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Tìm a và b để hàm số đã cho đạt cực trị bằng 4 khi x = 2.
Bài 22: 
Khảo sát hàm số . Gọi ( C ) là đồ thị hàm số đã cho.
Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của ( C ) cắt hai đường tiệm cận của ( C ) tại P và Q . Chứng minh S là trung điểm của đoạn PQ.
Tìm trên (C) điểm có tổng các khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt M và N . Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. 
Bài 23: Cho hàm số , đồ thị là ( Cm ), m là tham số.
Khảo sát hàm số khi m = 0.
Xác định giá trị của m để hàm số có cực trị.
Xác định giá trị của m để ( Cm ) nhận điểm I(1;2) làm điểm uốn.
Xác định giá trị của m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 24: Cho đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
Tiếp tuyến // .
Tiếp tuyến .
 Tiếp tuyến tạo với một góc 450. 
Bài 25: Cho đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận. 
Bài 26: Cho hàm số : (1) (m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1.
Tìm k để phương trình : -x 3 + 3x2 + k3 –3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
( ĐH Khối A – 2002)
Bài 27: Cho hàm số: y = mx4 + ( m2 –9)x2 + 10 (1) (m là tham số).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị . (ĐH Khối B – 2002)
Bài 28: Cho hàm số : (1) (m là tham số ).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.(ĐH Khối D – 2002)
Bài 29: Cho hàm số (1) (m là tham số)
Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= -1.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. (ĐH Khối A – 2003)
Bài 30: Cho hàm số (1) (m là tham số)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. (ĐH Khối B – 2003)
Bài 31:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (1).
Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 - 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. (ĐH Khối D – 2003)
Bài 32: Cho hàm số (1) (m là tham số)
Khảo sát hàm số (1).
Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB =1. (ĐH KHỐI A 2004)
Bài 33: Cho hàm số (1) có đồ thị (C) 
Khảo sát hàm số (1).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. (ĐH KHỐI B 2004)
Bài 34: Cho hàm số (1) với m là tham số.
Khảo sát hàm số (1) khi m =2.
Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. (ĐH KHỐI D 2004)