Vấn đề 4: Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

 57 
VẤN ĐỀ 4 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA 
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 58 
Vấn đề 4 
Bất Phương Trình Chứa 
Giá Trị Tuyệt Đối 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 
I. Vài nét chung : 
Bằng cách loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối, một bất phương trình 
chứa dấu trị tuyệt đối được biến đổi tương đương với một hay nhiều 
bất phương trình hoặc tương đương với một hay nhiều hệ bất phương 
trình không chứa giá trị tuyệt đối. 
Chú ý : 
Để giải một hệ có dạng 
f (x) 0(1)
g(x) 0(2)
≥⎧⎨ ≥⎩
Ta tìm tập nghiệm 1S và 2S của (1), (2) 
Tập nghiệm của hệ là 1 2S S S= ∩ 
Để giải hai hệ có dạng :
f (x) 0 h(x) 0
(I) (II)
g(x) 0 k(x) 0
≥ ≥⎧ ⎧∨⎨ ⎨≥ ≥⎩ ⎩ 
Ta tìm nghiệm S của (I) và S' của (II) 
Tập nghiệm của hai hệ trên là: 'S S∪ 
II. Các dạng thường gặp 
1. ⏐A⏐ ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B 
Chứng minh : Ta có ⏐A⏐ ≤ B (1) 
• B < 0 : (1) không xảy ra 
• B ≥ 0 : (1) ⇔ A2 ≤ B2 
 59 
⇔ (A + B)(A – B) ≤ 0 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
≥
−≤
⎩⎨
⎧
≥
−≥
⇔
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
≤+
≥−
⎩⎨
⎧
≥+
≤−
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
0
0
0
0
⇔ ⎢⎣
⎡ ≤≤−
ra xay Khong
BAB ⇔ -B ≤ A ≤ B 
2. ⏐A⏐ ≥ B ⇔ ⎢⎣
⎡
≥
−≤
BA
BA
(Ban đọc có thể tự chứng minh như tính chất trên) 
3. ⏐A⏐ ≥ ⏐B⏐ ⇔ ⏐A⏐2 ≥ ⏐B⏐2 ⇔ A2 ≥ B2 ⇔ (A + B)(A – B) ≥ 0 
(Sau đó thường dùng xét dấu vế trái ) 
4. Với 2 số thực bất kỳ a,b a b a b+ ≤ + . 
Dầu “=” xảy ra khi a , b không âm 
Như vậy , nếu ab < 0 thì a b a b+ < + 
5. Dùng phương pháp chia khoảng . 
6. Dùng đồ thị để giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối. 
B. CÁC VÍ DỤ : 
Ví dụ 1 
a) 2x 2x x (1)− 〈 
Giải 
(1)
2
2
x 2x x
x 2x x
⎡ − 〈⎢⇔ ⎢− + 〈⎣
x 0 x 2
x 2
≤ ∨ ≥
〈 〈
,nếu 
,nếu 0
2
2
x 3x 0
x x 0
⎡ − 〈⎢⇔ ⎢ − 〉⎣
x o x 2
o x 2 
≤ ∨ ≥
〈 〈 
0
x
 x 3
 0 x 1
〈 〈⎡⇔ ⎢ 〈 ∨ 〉⎣ nếu 
x 0 x 2
0 x 2
≤ ∨ ≥
〈 〈 
2 x 3
1 x 3
1 x 2
≤ <⎡⇔ ⇔ < <⎢ < <⎣ 
Kết luận : Tập nghiệm của Bất Phương trình la:ø S = (1,3) 
Nhớ : A B A B A⊂ ⇒ ∩ = và A B B∪ = 
 60 
b) 
2x4
x2x
−
−+
 > 0 (1) 
Điều kiện : 4 – x2 > 0 ⇔ x 2 < 4 ⇔ 2− < x < 2 (*) 
Với điều kiện (*) thì (1) ⇔ x2x −+ > 0 
⇔ (x + 2)2 > x2 ⇔ (x + 2 – x)(x + 2 + x) > 0 
⇔ 2(2x + 2) > 0 ⇔ x > 1− 
 Kết luận : 2x1 <<− 
Ví dụ 2 
• Nếu BPT có dạng ( )f x g(x) (1)< 
(1)
f (x) g(x)
x 0
f ( x) g(x)
x 0
⎡ <⎧⎨⎢ ≥⎩⎢⇔ ⎢ − <⎧⎢⎨ <⎢⎩⎣
Giải 
BPT : 2x 2 x 3 (1)− < 
(1) 
2 2
2 2
x 2x 3 x 2x 3 0, x 0
x 2.( x) 3 x 2x 3 0, x 0
 với x 0 nếu 
 với x<0 nếu 
⎡ ⎡− < ≥ − − < ≥⎢ ⎢⇔ ⇔⎢ ⎢− − < + − < <⎣ ⎣
1 x 3, x 0
3 x 03 x 1, x 0
 nếu 0 x<3
 -3 < x < 3
 nếu 
− < < ≥ ≤⎡ ⎡⇔ ⇔ ⇔⎢ ⎢− < <− < < < ⎣⎣
Kết luận : Tập nghiệm của BPT đã cho là S = (- 3; + 3) 
Cách khác : 
Có thể đặt ẩn phụ để giải : 
(1) 
2t 2t 3
x 3
t x 0
0 t < 3 -3 < x < 3
⎧ − <⎪⇔ ⇔ ≤ ⇔ ≤ < ⇔⎨ = ≥⎪⎩
* Tốc độ việc giải bằng ẩn phụ có lẽ nhanh hơn phải không bạn đọc. 
Nhưng phải nhẩm đấy nhé. 
Bài Tập tương Tự : 
Giải BPT : 2x x x 6< − + + ĐS : 1 7 x 6− < < 
 61 
Ví dụ 3 
Giải và Biện luận BPT sau : 2x 5x 4 a (1)− + < 
Giải 
a 0 : (1)≤ vô nghiệm vì 2x 5x 4 0, x R− + ≥ ∀ ∈ 
a 0 :> 2x 5x 4− + = 0 có 1x 1= và 2x 4= , Dựa vào bảng xét dấu 
Xét các trường hợp sau : 
• x 1< : 
(1) 
2x 5x 4 a 0 (a)
x 1
 ⎧⎪ − + − <⇔ ⎨ <⎪⎩
Vậy 2f (x) x 5x 4 a= − + − có 9 4a∆ = + 
Với a 0, (a)> có tập nghiệm là 5 9 4a 5 9 4ax
2 2
− + + +< < 
Chứng minh được : Khi a > 0 : 5 9 4a 4
2
+ + > và 5 9 4a 1
2
− + < 
Vậy : tập nghiệm của BPT lúc này là : 5 9 4a x 1
2
− + < < 
• 1 x 4 :≤ ≤ 
(1) trở thành 2x 5x 4 a 0 (b)− + + > 
Vật VT là 2g(x) x 5x 4 a= − + + có 9 4a∆ = − 
Với 90 a , (b)
4
< ≤ có tập nghiệm là : 
1x (5 9 4a ) (5 9 4a )
2
1 v 
2
−∞ < < − − − − 
9a :
4
> bpt có tập nghiệm 1 x 4≤ ≤ 
90 a :
4
< ≤ bpt có tập nghiệm 
11 x (5 9 4a
2
≤ < − − hay 1 (5 9 4a ) x 4
2
− − < ≤ 
• 5x 4 a 0x 4 :
x 4
2f(x) = x (1) 
⎧⎪ − + − ⇔ ⎨ >⎪⎩
 62 
1 1(5 9 4a x (5 9 4a )
2 2
x 4
⎧ − + ⎩
 14 x (5 9 4a )
2
⇔ < < + + 
Tóm lại : 
a ≤ 0 : BPT vô nghiệm 
0 < a ≤ 9
4
 : BPT có nghiệm : 
5 9 4a 5 9 4ax
2 2
⎛ ⎞− + − −< <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 hay 5 9 4a 5 9 4ax
2 2
+ − + +< < 
a > 9
4
 : BPT có nghiệm : 5 9 4a 5 9 4ax
2 2
− + + +< < 
 Các em có thể đối chiếu với đồ thị 
Ví dụ 4 
Giải bất phương trình sau : ⏐x - 1⏐ ≥ ⏐x⏐ 
Giải 
Đặt 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−
xgx
xfx 1
Vẽ f(x) = ⏐x - 1⏐ = ⎩⎨
⎧
<−
≥−
)1(1
)1(1
xx
xx
Vẽ g(x) = ⏐x⏐ = ⎩⎨
⎧
<−
≥
)0(
)0(
xx
xx
 chưa vẽ hình 
Nhìn trực tiếp vào đồ thị ta thấy nghiệm của bất phương trình là tập 
hợp các giá trị của x sao cho đồ thị của hàm số f(x) nằm hoàn toàn 
trên đồ thị của hàm số g(x) , đó là x ∈ ⎥⎦
⎤⎜⎝
⎛ ∞−
2
1, 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ⎥⎦
⎤⎜⎝
⎛ ∞−
2
1, 
Chú ý : 2 đồ thị có hoành độ giao điểm là x= 
2
1
 63 
Ví dụ 5 
1. Giải các bất phương trình sau : 
a) ⏐x2 + 4x - 12⏐ < x + 5 
⇔ -x – 5 < x2 +4x – 12 < x + 5 (do tính chất ⏐A⏐ < B ⇔ -B < A < B) 
⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ <−−−+
>−+−+
05124
05124
2
2
xxx
xxx
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ <−+
>−+
0173
075
2
2
xx
xx
⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−<<−−
+−>∨−−<
2
773
2
773
2
335
2
535
x
xx
 ⇔ 
2
773
2
535 +−<<+− x 
b) ⏐x2 – 5x + 9⏐ > ⏐x - 6⏐ 
⇔ (x2 – 5x + 9)2 > (x – 6)2 ⇔ (x2 – 6x + 15)(x2 – 4x + 3) > 0 
⇔ x 3 
c) ⏐x - 1⏐ + ⏐2 - x⏐ > 3 + x 
x 1 2 
x-1 - 0 + | + 
x-2 + | + 0 - 
• TH1 : 0
0
1
321
1 <⇔⎩⎨
⎧
<
<⇔⎩⎨
⎧
−>−++−
≤
x
x
x
xxx
x
• TH2 : ⎩⎨
⎧
>
<<⇔⎩⎨
⎧
−>−+−
<<
2
21
321
21
x
x
xxx
x
 ⇔ x ∈ ∅ 
• TH3 : 2
321
2 >⇔⎩⎨
⎧
−>+−−
≥
x
xxx
x
. 
Hợp 3 trường hợp , bpt (1) có nghiệm là x 2 
2. Giải các bất phương trình : 
a) 2⏐x + 3⏐ > x + 6 
⇔ ( )( ) ⎢⎣
⎡
>
−<⇔⎢⎣
⎡
−−<+
+<+⇔⎢⎣
⎡
−−<+
+>+
0
4
662
662
632
632
x
x
xx
xx
xx
xx
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 0 
 64 
b) 1
21 >−++
x
xx
• x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 (1) 
bpt ⇔ 1001021 >∨−⇔>−−++ xx
x
x
x
xxx
 (2) 
(1) và (2) ⇔ -1 ≤ x 1 
• x + 1 < 0 ⇔ x < -1 (3) 
bpt ⇔ 0303021 >∨−−−⇔>−−+−− xx
x
x
x
xxx
 (4) 
(2) và (4) ⇔ -3 < x < -1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: –3 1 
c) ⏐x2 – 3x + 2⏐ > ⏐x2 + 3x + 2⏐ 
⇔ (x2 – 3x + 2)2 – (x2 + 3x + 2)2 > 0 ⇔ -6x(2x2 + 4) > 0 
Vì 2x2 + 4 > 0 , ∀x ∈ R 
Nên –6x > 0 ⇔ x < 0 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x < 0 
3. Giải các bất phương trình sau : 
a) 2x2 + 
x
x 1+ + 22x - 1 > 0 
Đặt 
x
x 1+ = t (t ≥ 2) ⇒ t2 = x2 + 2 + 21x ⇒ 2
1 2
2
2 −=+ t
x
x 
bpt ⇔ 2(t2 – 2) + t – 1 > 0 , t ≥ 2 ⇔ 2t2 + t – 5 > 0 
⇔ 
4
411
4
411 +−>∨−−< tt ] 
Giao với điều kiện t ≥ 2 ta được t ≥ 2 ⇔ 21 ≥+
x
x ⇔ ∀x ≠ 0 
Vậy bất phương trình có vô số nghiệm loại trừ x = 0 
b) ⏐x3 + x2 - 1⏐ ≤ ⏐ x3 + 2x - 4⏐ 
⇔ (x3 + x2 – 1)2 ≥ (x3 + 2x – 4)2 ⇔ (2x3 + x2 + 2x – 5)(x2 – 2x + 3) ≤ 0 
Nhận xét : x2 – 2x + 3 > 0 ,∀x 
 65 
⇒ bpt : 2x3 + x2 + 2x – 5 ≤ 0 ⇔ (x – 1)(2x2 + 3x + 5) ≤ 0 (*) 
Nhận xét : 2x2 + 3x + 5 > 0 ,∀x 
(*) ⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 
Ví dụ 6 
Giải bất phương trình : x2 ≤ 2x
21− (*) 
Giải 
Điều kiện : x ≠ 0 
(*) ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−≥−
−≤
2
2
2
2
x
21x
x
21x
 ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
≥+−−
≤+−
02xx
62xx
24
24
Đặt t = x2 ; t > 0 với ∀x ≠ 0 
⇔ ⎢⎢⎣
⎡
≥+−−
≤+−
02tt
02tt
2
2
 ⇔ 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
>
≤≤
∀>+−∅∈
0t
1t2-
t), t (vì 2 02tt
 ⇔ 0 < t ≤ 1 (*) 
(*) ⇔ 0 ≤ x2 ≤ 1 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
≠∀>
1
0x 2
2x
0x , 
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
≤≤−
∈∀
1x1
}0{\Rx
⇔ -1 ≤ x ≤ 1 và x ≠ 0 
Ví dụ 7 
Giải bất phương trình sau : |x3 + x2 – 1| ≤ |x3 + 2x – 4| 
Giải 
⇔ (x3 + x2 – 1)2 ≤ (x3 + 2x – 4)2 
⇔ (x3 + x2 –1 – x3 – 2x + 4)(x3 + x2 – 1 + x3 + 2x – 4) ≤ 0 ∀x 
⇔ (x2 – 2x + 3)(2x3 + x2 + 2x – 5) ≤ 0 
⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−++
≤−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−++
≥+−
05x2xx2
03x2x
05x2xx2
03x2x
23
2
23
2
 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≥++−
∅∈
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤++−
∈
0)5x3x2)(1x(
x
0)5x3x2)(1x(
Rx
3
2
⇔ (x – 1)(2x3 + 3x + 5) ≤ 0 
 66 
⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 (Vì 2x2 + 3x + 5 ≥ 0, ∀x) 
Ví dụ 8 
Giải bất phương trình sau : 
2 + 
x
2x 2 + ≤ 
2
24
x
4x4x +− 
Giải 
Đặt 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−=
0t
x
2xt
2
 ⇒ t2 = 
2
24
x
4x4x +− 
⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ ≥
≤+
0t
tt2 2 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ ≥
≥−−
0t
02tt 2 ⇔ 
⎩⎨
⎧
≥
≥∨−≤
0t
2t1t
 ⇔ t ≥ 2 
⇒ 
x
2x 2 − ≥ 2 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
≥−
−≤−
22
22
2
2
x
x
x
x
 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
≥−−
≤−+
0
x
2x2x
0
x
2x2x
2
2
⇔ ⎢⎢⎣
⎡
+≥∨<≤−
+−≤<∨−−≤
31x0x31
31x031x
Kết quả : 
x ≤ -1 - 3 ∨ 1 - 3 ≤ x < 0 ∨ 0 < x ≤ -1 + 3 ∨ x ≥ 1 + 3 
Ví dụ 9 
Giải và biện luận : 2 2x mx m 1 x mx(*)− + + < − 
Giải 
Dựa vào tính chất : A B< B A B⇔ − < < . 
2 2
2 2
x mx m x mx
(*)
x mx m 1 x mx
 (1)
 (2)
⎧ − + + − +⎪⎩
Gọi 1S và 2S lần lượt là tập nghiệm của (1)và (2) 
Ta có : (1) ⇔ 0x > m + 1 
* m 1: (1)≥ − vô nghiệm 1S⇒ =∅ 
* m 1: (1)< − đúng 1x R S R∀ ∈ ⇒ = 
 67 
Nghiệm của bất phương trình (*)là 1 2S S S= ∩ 
Do đó : 
* m 1: S≥ − = ∅ * 2m 1: S S< − = 
Giải (2) với m 
mà ' 2m 2(m 1) 0(do )m 
Do đó: '2 1 2S ( , x ) (x )= −∞ ∪ +∞ với 
2
1,2
m m 2m 2x
2
± − −= 
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình (*) là : 
1 1,S ( , x ) (x= −∞ ∪ ∞ ) 
Ví dụ 10 
Xác định m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình : 
mx2 - 1m + x + 3 m
4
1
2
1 − ≥ 0 (1) 
thỏa mãn bất phương trình 2
mxsin
1 < (2) 
Giải 
Xét điều kiện của (2) : sinmx ≠ 0 ⇔ mx ≠ kπ (k ∈ Z) 
(1) ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
>
<
2
1mxsin
0mxsin
⇔ 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
π+π<<π+π
π+π<<π+π
22
11
k2
6
5mxk2
6
k22mxk2
 (3) 
Do (2) ta luôn có điều kiện m ≠ 0 
 Nếu m > 0 thì nghiệm của (1) sẽ hoặc là đúng với mọi x (trong 
trường hợp ∆ ≤ 0 ) hoặc là 2 khoảng nghiệm [-∞ , x1] và [x2 ,∞] (trong 
trường hợp ∆ > 0) nên điều kiện : với mọi nghiệm của (1) là nghiệm 
của (2) không thỏa mãn . 
 Vậy bài toán chỉ cần xét trường hợp m < 0 . 
Do m < 0 , nhân 2 vế của (1) với m 
Đặt t = mx , ta có : 
T2 - (m + 1)t + 3m ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − m
4
1
2
1
 ≤ 0 (3) 
 68 
∆ = (m+1)2 –12m ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − m
4
1
2
1
 = (2m – 1)2 
a) Nếu m < -1 : (m+1)=-(m+1) 
(2) có nghiệm 
2
2m − ≤ t ≤ 
2
m3− 
b) Nếu m ≥ -1 thì (3) có nghiệm : 
2
m3 ≤ t ≤ 
2
m2 −
Ta thấy rằng nghiệm của (1) là khoảng (4) hoặc (5) tùy theo m , 
luôn là khoảng có 2 đầu mút trái dấu . Còn nghiệm của (2) là các 
khoảng cho bởi (3) , al2 các khoảng có đầu mút cùng dấu (dương hay 
âm tuỳ theo việc chọn k1 hoặc k2) 
Vậy : nghiệm của (1) không phải tất cả đều là nghiệm của (2) . 
Hay không tồn tại m thỏa mãn bài toán cho 
Ví dụ 11 
Một tí suy nghĩ từ phương trình chuyển qua bất phương trình 
 ( ngày 2-4-2001 tại một lớp học 12 PTTH Chuyên Lê hồng Phong ) 
Cho phương trình : x2 – x + 1 = 3|x – 1| + m. 
Định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. 
Giải 
Cách 1 
x2 – x + 1 = 3|x – 1| + m (1) 
⇔ 
2
2
1 3(1 ) , x 1
x 1 3(1 ) , x<1
x x x m
x x m
⎡ − + = − + ≥⎢ − + = − +⎣
⇔ 
2
2
( ) 4 4 0, x 1 (Ia)
g(x)=x 2 2 0, x<1 (Ib)
f x x x m
x m
⎡ = − + − = ≥⎢ + − − =⎣
Yêu cầu đề bài là (1) có bốn nghiệm 
⇔ ≤ <⎧⎨ < <⎩
1 2
1 2
( ) có hai nghiệm phân biệt thỏa 1 x
( ) có hai nghiệm phân biệt thỏa x 1
Ia x
Ib x
(dễ thấy hiện tượng trùng nghiệm giữa hai phương trình không xảy ra) 
 69 
⇔ 
≥⎧⎪∆ >⎪⎪ >⎪⎪⎨⎪⎪∆⎪⎪ <⎪⎩
1
2
(1) 0
0
1 (luôn đúng)
2
g(1)>0
g>0
S 1
2
f
f
S
 ⇔ 
− + − ≥⎧⎪ >⎪⎨ − >⎪⎪ + >⎩
1 4 4 0
0
1 0
3 0
m
m
m
m
 ⇔ 
⎪⎨ −⎩
1
0
1
3
m
m
m
m
⇔ 0 < m < 1 
Cách 2 
Ta có phương trình đầu tiên ⇔ 
2
2
( ) 4 4 khi x 1
g(x)=x 2 2 khi x<1
f x x x
x
⎡ = − + ≥⎢ + −⎣
Bảng biến thiên : 
x - ∞ -1 1 2 +∞ 
f(x) | 0 
g(x) -3 | 
h(x) +∞ 1 +∞ 
 -3 0 
(với h(x) = x2 – x + 1 – 3|x – 1| = m) 
Số giao điểm của đường biểu diễn Ch với (d) : y = m là số nghiệm của 
phương trình (1) 
 Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi 0 < m < 1. 
Từ bài toán trên các bạn có thể chuyển qua các bài toán về bất 
phương trình dể dàng. 
VD như sau : 
 a) Tìm m để bất phương trình : x2 –x + 1 < 3|x – 1| + m (a) có 
nghiệm. Ta có : x2 – x + 1 – 3|x – 1| < m (a) 
(a) có nghiệm khi m > min ( )
x R
f x← ⇔ m > -3 
b) Tìm m để bất phương trình trên vô nghiệm . 
Bất phương trình (a) vô nghiệm khi m ≤ -3. 
 70 
Bạn đọc có thể tìm tòi các bài bất phương trình có chứa GTTĐ với m 
là tham số để chế ra các bài toán tương tự như trên. Chúc các bạn sẽ 
tìm được nhiều điều lý thú . 
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI : 
Bài 1 
Giải các bpt sau : 
a) 2x 1 2x 0 x 1 2 ĐS : -1+ 2− − < < < + 
b) x 2 x 4 x 2 ĐS: x 3≤ − + − ≤ hay x 5≥ 
c) 
2 4 2
2
x 2 x 4x 42
x x
 ĐS: x 1− − ++ ≤ ≤ 
d) 3 2 3x x 1 x 2x 4 + − ≤ + − Hướng dẫn : ( )A B A B (A B) 0< ⇔ + − < 
e) 2 x 3 x 6 ĐS: x 0+ > + 
f) 
x 1 x 2
1
x
 ĐS: -3 1
+ + − > 
g) 2 2x 3x 2 x 3x 2 ĐS: x + + 
h) 24 x 3x 6x 2x 6 ĐS: x− + − < − ∈∅ 
g) |3x3 + 5x – 8| < x2 – 1 h) |2x + 7| ≤ x2 
i) |x2 + 4x – 12| < x + 5 j) 
2
2
x 5x 4 1
x 4
− + <− 
Bài 2 
Giải các bpt sau : 
a) 
2
2
x 4 1 171 x
4x x 2
-1- 17 ĐS: -6 x
4
− − +≤ ≤ ≤ ∨ ≥+ + 
b) 2 2
2x 1
x
≤ − 
c) 
2
2
x 3x 2 1
x 3x 2
− + ≥+ + 1 ĐS: x 0 x -2 x -1≥ ≤ ∧ ≠ ∧ ≠ 
d) 4x2 + 2|x + 3| - 10 ≤ 0 
 71 
e) |5 – 4x| ≥ 2x – 1 f) |x2 – 5| > 4x 
g) 
2 3 | x |
x 1
−
+ ≤ 1 h) 2
21
x
− ≥ x2 
i) |x2 – 3x – 3| - |x + 3| ≥ 0 j) |2x + 3| > | 11x – 4| 
k) |2x2 – 5x| > |x2 – 4| 
Bài 3. 
Giải các bất phương trình : 
a) |x – 3| + |5 – x| < 3x b) |x2 – x – 6| < x 
c) |x2 – 5x + 4| > x – 2 d) |x - |x – 2|| < 2 
e) |3x2 – 2x – 1| < |x2 – x| 
Đáp số : 
a) x > 
5
8 b) 71x6 +<< 
c) x 3 + 3 d) x > 
2
1 
Bài 4 
Giải và biện luận theo m bất phương trình : 
|x2 – 2x + m| ≤ |x2 – 3x – m| 
Bài 5 
Định m để bpt sau có tập nghiệm là R∈ 
a) 2x 2mx 2 x m 2 0 m 2 ĐS:- 2− + − + > < < 
b) Định a để : ( )6sin x x a sin 2x ,6cos x+ ≥ ∀ 
Hướng dẫn : t sin 2x ,0 t 1= ≤ ≤ ĐS : 1a
4
≤ 
c) Định m để bất phương trình 2x 2 x 1 m− − ≥ thỏa với mọi x 
Đáp số : m 3≤ − 
d) 2 24x mx 2 4x 2x 4+ + < + + 
Bài 6 
Định m để bpt sau có nghiệm 
a) 2 22x 4 x 1 m m 0 (1)− + + − ≤ 
Hướng dẫn : đặt t x 1 x t 1= + ⇔ = − 
2 2(1) 2(t 1) 4 t m m 0⇔ − − + − ≤ 
 72 
2 2
2 2
t 0
f (t) 2t 8t m m 2 0
t 0
g(t) 2t m m 2 0
 (a)
 (b)
⎡ ≥⎧⎪⎢⎨ = − + − + ≤⎢⎪⎩⇔ ⎢ <⎧⎢⎪⎨⎢ = + − + ≤⎪⎢⎩⎣
Xử dụng phương pháp gián tiếp , tìm m để (1) vô nghiệm 
(a) f (t) 0, t 0
(b) g(t) 0, t 0
 vô nghiệm
 vô nghiệm
> ∀ ≥⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ > ∀ <⎩ ⎩ 
b) [ ]2 2x 2 x m m 2m 0 ĐS : m -1,0+ − + + ≤ ∈ 
Bài 7 
Giải và biện luận bất phương trình : 
a) 2x 2x m x− + ≥ b) 2x 2x 3 3− − < 
c) 
x m x
2
x 2
− + <+ d) 
2 2x x 2m x x 2+ − ≤ − − 
Bài 8. 
Định m để bất phương trình có nghiệm 
a) 2x 2 x m m 0+ − + ≤ b) 2x 1 x m< − − 
Bài 9. 
 Định m để bất phương trình 
a) 2x m x 2x m− ≥ − + thỏa x R∀ ∈ 
b) 2 2x m x 2m− ≤ − thỏa [ ]x 0,1∀ ∈ 
Bài 10. 
Giải và biện luận bất phương trình theo m : 
a) 2x 2x 3 m− − < b) 2x x x m− + ≤ 
c) 2x x m x− + > d) 2 2x x m x 3x m− + ≤ − − 
Bài 11. 
Định m để bất phương trình có nghiệm 
a) 2 2x x m x x− + < − b) 2x 3x m 3 x− + < − 
c) 2x 3 x m x 2− − + 
Bài 12. 
 73 
Định m để bất phương trình thỏa x R∀ ∈ 
a) 2x 3x 2 mx 1− + + > b) 2x 2x x m m+ + − ≥ 
c) 2x 2mx 2 x m 2 0+ − + + > 
Bài 13. 
Cho bất phương trình : 2x x m 3(*).+ − < Định m để : 
a) Bất phương trình (*) có nghiệm 
b) Bất phương trình (*) có nghiệm âm 
c) Bất phương trình thỏa ( )x 1;0∀ ∈ − 
Bài tập làm thêm 
Bài 1 
Giải phương trình : 
a) 0,3 x -1≤ 
2
x6 −
 b) ( x - 3)( 7x + ) < 0 
c) ( x - 5)( 7x − ) ≤ 0 d) 2 x -4,5≥ 
8
x340 −
e) ( x - 17)( 6x + ) ≥ 0 f) ( x - 8)( 2x − ) > 0 
g) x2 – 8x-
4x
3
− +18 ≤ 0 h) x
2 – 4x - 2 2x − +1≤0 
j) x2 + 6x - 4 3x + -12≤0 k) x2 + 10x - 
5x
5
+ + 4 > 0 
l) 1
2x
4x ≤+
+
 m) 1
5x
3x ≥−
−
Bài 2 
Giải phương trình : 
a) x3− < 4 b) 5x3 − ≥10 
c) 2 1x + >x+4 d)3 1x − ≤ x+3 
e) x2 –7x +12 < 4x − f) x2 –5x +9 < 6x − 
g) x4x 2 − 4 
 74 
j) x3x 2 + ≥ 2- x2 k) 8x6x 2 +− < 5x-x2 
Bài 3 
Giải phương trình : 
a) 7x2 − ≤ 5 b) x5 − ≥ 
2
1
c) 2x − < 2x-10 d) 1x2 − ≥ x - 1 
e) x2 – x- 2< 3x5 − f)2x2 –9x+9 ≥ 2x − 
g) 3xx 2 −− < 9 h) 15x9x2 2 +− ≥ 20 
j) 2x3x 2 +− > 3x-x2 -2 k) 1x 2 − < 3x 
Bài 4 
Giải phương trình : 
a) 1
2x
x3x >+
++
 b) 2
x
x2x <−+ 
c) 1
3x
5x2 −>−
−
 d) 0
7x
6xx 2 <+
+−
e) 0
9x6x
10x7x
2
2
<+−
+−
 f) 2
1x
1x2 >−
−
g) 3
1xx
1x3x
2
2
<++
−−
 h) 1
2x3x
2x3x
2
2
≥++
+−
Bài 5 
Giải phương trình : 
a) 3
6x
xx4 <+
+−
 b) 0
2x
2x ≥−
−
c) 
2
1
3x
1 <− d) 26x5x
3x
2 ≥+−
−
e) x2
3x
12xx 2 ≥−
−−
 f) 1
4x
2 >− 
 75 
g) 1
2x
1x 2 <+
−
 h) 1
4x
4x5x
2
2
≤−
+−
Bài 6 
Giải phương trình : 
a) 9x4x213 −≥− b) x33x +<+ 
c) x3x22x −−+>− d) 
3x
x2x −≥ 
e) 1
5xx
3x4x
2
2
≥−+
+−
 f) 2x7x3x27 ++−<− 
Bài 7 
Giải phương trình : 
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
≥
31x
1x
 b) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+
<+
21x
6x5x 2
Bài 8 
Giải phương trình : 
a) 1x1x −>+ ; b) x33x +>+ s 
c) x3x22x −−+>− d) 
3x
x2x −≥ 
e) 1
5xx
3x4x 2 ≥−+
+−
2 f) 7x2x2x5 −+−<− 
Bài 9 
Giải hệ bất phương trình : 
a) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+
<−
31x
5x4x 2
 b) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+
<+
11x
6x5x 2
Bài 10 
Giải bất phương trình : 
a) 1x
21x
4 −≥−+ b) x11x
3 −>− 
 76 
c) 3
1x
2x3 <−
+
Bài 11 
Giải và biện luận bất phương trình : 
a) a2axa3x <+−− b) 
a2x
a8x2x
2
−<+ 
Bài 12 
Giải bất phương trình : 
a) 2x
13x
4 +≥−− b) 
23 xx11x ++≤− 
c) !
x1
x32 >+
−
Bài 13 
Giải và biện luận bất phương trình : 
a) >−− a2ax a3x − b) x3axa2x <−++ 
Bài 14 
Giải bất phương trình : 
a) 
⎩⎨
⎧
>−
≥
31x2
xx
 b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
−≤
12x
xx
c) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−<
−≥+
2x4x2x
x475x2
 d) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−−+
−>−−+−−
11x1x
61x9x34x2
e) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥++−
≥+−−
0x213x
07x45x2
2
 f) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
+
>+−+
1
1x
2x
05x37x2
g) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+−−
−>−
22xx31
1x21x 2
 h) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−+
+−
<−++
1
5xx
3x4x
0103x2x
2
2
2
 77 
j) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−
−
−>−
xxx
1x2
3
2x
2
3
Bài 15 
Tùy theo a , giải và biện luận các bất phương trình : 
a) axx1 ≤+ b) ax1x ≥− 
c) xax ≥− d) xax ≤+ 
e) x1ax +≥ f) ax1x 2 ≤− 
g) a1x 2 ≥− h) xax 2 ≥+ 
j) 2 ax − < 2ax - x2 - 2 k) ax
2
a3ax2 −+>+ 
l) 222 a2ax >− m) 0
a2x
a4a
2
≥−+ 
n) xax1 −<−