Vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

1VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG 
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
LÊ ANH DŨNG
(Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang)
Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần udv uv vdu   , nếu 
ta chọn u, v một cách khéo léo thì thành phần vdu sẽ đơn giản và việc tính tích phân sẽ 
đơn giản hơn. Bài viết này trao đổi với các bạn một số kĩ năng khi tính tích phân bằng 
phương pháp tích phân từng phần.
1. Tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I = 2x 2e (x 4x 1)dx 
Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + 1 thì phải tích phân từng phần 2 lần; để tránh điều này, 
ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại.
2
2x
2x2x
du 2xdx
u x
; nên vdu= xe dx 1
v edv e dx
2


 

  
 
   
sẽ khử hết xe2x do đó ta thêm vào u :
+ 3x để phần còn lại chỉ còn xe2x.
Lời giải. I = 2x 2 2x 2 2xe (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx       
Đặt 
2
2x
u x 3x
dv e dx
 




, chọn 
2x
du (2x 3)dx
1
v e
2
 




Khi đó: I = 2x 2 2x 2x1 1e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx
2 2
     
 = 2x 2 2x 2x 2 2x
1 3 1 3
e (x 3x) e dx e (x 3x) e C
2 2 2 4
     
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau x 3 2I e (x 4x 1)dx  
Tương tự ví dụ trên
3 2
2 x
x x
u x du 3x dx
; nên vdu= 3x e dx 
dv e dx v e
 
 
 
   
 
   
sẽ khử hết 3x2ex
do đó ta thêm vào u : x2 để phần còn lại còn lại 3x2
3 2 2
2 x
x x
u x x du (3x 2x)dx
; nên vdu=(3x +2x)e dx
dv e dx v e
   
 
   
 
   
 sẽ khử hết 2xex do đó ta lại 
thêm vào u: -2x để phần còn lại chỉ còn 2x.
Lời giải. x 3 2 x 2I e (x x 2x)dx e (3x 2x 1)dx      
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
2Đặt:
3 2
x
u x x 2x
dv e dx
  




, chọn 
2
x
du (3x 2x 2)dx
v e
  




x 3 2 x 2 x 2I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx         
x 3 2 x x 3 2e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C        
Trên cơ sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích 
phân từng phần của hàm số ax b n n 1n n 1 1 0e (a x a x ... a a )dx    
(n-2)/an/a (n-1)/a
_
x
_
x
bn - 3bn - 2bn - 1=anhệ số của đa thức của u
hệ số của đa thức a1an-2an-1an
nn 1
k k 1 k 1
b a
k 2b a b
a

 




 
(Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống)
Thí dụ 3: Tính I =
1
2x 5 3
0
e (x 4x x 1)dx  
Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u
5
2
-
3
2
1-
5
2
x
_
1
1
2
1
3
2
2
5
2
n=5, a =2
10
hệ số của đa thức của u
hệ số của đa thức -401
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
3Trình bày: 
I =
1 1
2x 5 4 3 2 2x 4 3 2
0 0
5 3 5 5 3 3
e x x x x x dx e x 5x x x 1 dx
2 2 2 2 2 2
                     
Đặt 
2x
5 4 3 2u x
dv e dx
5 3 5
x x x x
2 2 2


    


, 
4 3 2
2x
du 5x
v
5
10x 3x 3x
2
1
e
2


    


1 1
2x 5 4 3 2 2x 4 3 2
00
1
2x 4 3 2
0
1 5 3 5 5 3 3 5
I e x x x x x e x 5x x x dx
2 2 2 2 2 2 2 4
5 3 3
 e x 5x x x 1 dx
2 2 2
                  
       


1 1
2x 5 4 3 2 2x
00
1
2x 5 4 3 2 2
0
1 5 3 5 1
e x x x x x e dx
2 2 2 2 4
1 5 3 5 1 1 1
e x x x x x e
2 2 2 2 4 8 8
        
          

Thí dụ 4: Tính tích phân I =
2 2
e 3
1
x ln x 2x 2
ln x dx
x
      

Chú ý: 2 4 3
1
(x 1) ' 2x; (ln x)' = 4. ln x
x
  , ta tách I thành 2 tích phân để khử vdu
Lời giải. I =
2 2
e e e4 3 4 3
1 1 1
x 1 x 1
x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx
x x
               
  
Đặt 
4u ln x
dv xdx




 chọn 
2
34 ln x
du dx
x
1
v (x 1)
2

 



Suy ra I =
 2 4 2 2e e
1 1
x 1 ln x x 1 x 1e
2 ln x dx 2 ln x dx
12 x x
  
 
              
 
 2 4 2x 1 ln x e 1e
12 2
 
 
2. Thêm hằng số cho v
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
4Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v một hằng số C thích hợp 
để thành phần vdu khử bớt phân số.
Thí dụ 5: Tính tích phân I =
1
3
0
(2x 1) ln(x )dx1 
Lời giải. Đặt 
3u ln(x )
dv (2x 1)dx
1
 
 

, chọn 3
2 2
2
2
3x 3x
du
x (x 1)(x )
v x
dx
1 x 1
x
 


   
   1
Bình thường ta lấy v = x2 – x, nhưng ở đây ta chọn C = + 1 mục đích là khử bớt mẫu số 
trong vdu.
Khi đó: I = 
1
13
0
0
2
2 3x(x x 1)ln(x ) dx
x 1
+1  


= 
11
0 0
21
ln 2 3 x 1 dx ln 2 ln
x 1
x 3
3 x x 1 2ln 2
2 2
     

              
Thí dụ 6: Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
dx
x


Đặt u = ln(sin cos )x x du = cos sin
sin cos
x x
dx
x x


 v = 
2
1
cos
dx
x
 chọn sin costan
cos
x x
x
x
v +1
 
Bình thường ta hay lấy v = tanx nhưng ở đây ta thêm C = 1 để khử mẫu
Khi đó: I = 
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1) ln(sin cos )
cos
x x
x x x dx
x
   


 = 
/4
0
3
2 ln 2 ( ln cos ) ln 2
4 2
x x     
3. Cách chọn thành phần dv
Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm của dv. Trong trường hợp dv không có trong bảng 
nguyên hàm cơ bản, ta phải tách tích để lấy được nguyên hàm của dv theo biến số mới .
Thí dụ 7: Tính tích phân 
π
4 2
2
0
x
dx
(x sin x cos x)
Để giảm bậc mẫu thì 
2
1
(x sin x cos x)
 phải nằm trong thành phần dv; để tìm được 
nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
5Lời giải. 
π π
4 42
2 2
0 0
x x cos x x
dx dx
cos x(x sin x cos x) (x sin x cos x)
.

 
 
Đặt 
2 2
x
u
cos x
x cos x d(x sin x cos x)
dv dx
(x sin x cos x) (x sin x cos x)

 
 
 



 chọn 
2
x sin x cos x
du dx
cos x
1
v
x sin x cos x







Khi đó I = 
ππ
44
2
0 0
π
4
0
x dx
tan x
cos x(x sin x cos x) cos x
2π 4 π
π 4 4 π 


 
Thí dụ 8: Tính tích phân 
8
4 2
0
1
3
( 1)
x dx
x 
Để giảm bậc lớn ở dưới mẫu, ta có thể dùng tích phân từng phần. Để khử bậc 2 dưới mẫu 
thì 
4 2
1
( 1)x  phải nằm ở dv. Nhưng để lấy được nguyên hàm theo x
4 thì ta cần (x4)’ = 4x3. 
Đặt 
5
3 4
4 2 4 2
u x
x dx 1 d(x 1)
dv
4(x 1) (x 1)

 
 



, chọn 
4
4
du 5x dx
1 1
v
4 x 1

 



Vậy I =
1 1
1
3 38 5 43
4 2 4 4
00 0
x dx x 5 x
dx
4(x 1) 4(x 1) x 1
 
  
 
= 
1 1 1
3 3 34
4 4 2 2
0 0 0
x 1 1 1
dx 1 dx 1 dx
x 1 x 1 2(x 1) 2(x 1)
    
   
            
Ta có 
1
1
3
3
2
00
1 1 x 1 1 1 3 1
1 dx x ln ln
4 x 1 42(x 1) 3 3 1
 
    
 
           
Đặt x = tant. Ta tính được Tính 
1
3
2
0
1
dx
2(x 1)
π
12

Vậy I = 1 1 3 1ln
43 3 1
π
12




Cuối cùng chúng tôi xin đưa ra một số bài tập để các bạn tự luyện tập
Tính các tích phân sau:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
61) 
2
2
1
ln(1 x)
dx.
x

 2) 
1 3 2
2x
0
x 2x 3x 1
dx
e
  

3)
e
3
1
ln xdx 4) 
sin xe ( x cos x)dx


2
0
1
5) 
2
x
0
1 sin x
dx
(1 cos x)e



 6) 
1
0
2 3
1
dx
(x )1
_ HẾT_
www.MATHVN.com
www.mathvn.com