Vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán

Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 1 
VÀI KINH NGHIỆM 
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN 
---------------------------------------------- 
 LỜI MỞ ðẦU 
Trong những năm giảng dạy bộ môn toán ở trường phổ thông tôi thường ñược nhiều học 
sinh yêu toán hỏi : 
Tại sao khi giải bài toán này phải bắt ñầu như thế này hoặc thế kia ? 
Khi ñọc sách giải em không hiểu tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ ñối tượng 
mà tưởng chừng như không liên quan(!) ñến ñối tượng cần phải tìm ? . 
Những câu hỏi như thế ñã làm tôi suy nghĩ và trăn trở nhiều trong quá trình truyền thụ 
tri thức cho học sinh .ðành rằng việc giải toán là một quá trình mò mẫm tìm tòi dựa trên những 
hiểu biết của người học toán .Tuy nhiên có người phải mầy mò rất lâu lại có người tìm ñược 
hướng giải khá nhanh bí quyết là ở chỗ nào ?! 
Mặc dù việc hướng dẫn học sinh giải toán ñã có nhiều thầy ,cô giáo ñề cập khá nhiều 
,thậm chí còn thực hiện trên tầm vĩ mô hơn xong việc trình bày lại một chút ít kinh nghiệm của 
từng cá nhân thiết nghĩ là không thừa. 
Bằng những kinh nghiệm nhỏ nhoi của bản thân xin viết ra ñây ñể chúng ta cùng nhau 
bổ sung và hoàn thiện hầu giúp cho học sinh chúng ta có thêm phương pháp học tốt hơn . 
Rất mong ñược sư ñóng góp xây dựng của quí ñồng nghiệp ! 
A/ Quan niệm về việc giải toán : Có thể coi một bài toán là một chuỗi hữu hạn các 
gút logíc ñược nguỵ trang khá công phu . Người làm toán cần phải tìm cách mở có hệ thống 
các gút logíc ñó ,quá trình gồm hai giai ñoạn . 
 1- ðịnh hướng giải . 2- Kỷ năng giải bài toán . 
Trong quá trình giải toán hai nội dung trên có khi tiến hành ñồng thời nhưng cũng có 
khi tiến hành riêng biệt,người làm toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung 
và sự tương hỗ của chúng.Mặc dù kỷ năng giải bài toán là quan trọng nhưng việc ñịnh hướng 
giải là giai ñoạn có tính quyết ñịnh bỡi các lí do sau: 
i) Kỷ thuật giải toán cao , thành thạo trong các thao tác ,các phép tính nhưng chưa có 
phương hướng ,hoặc chưa có phương hướng tốt sẽ không có lời giải hoặc chưa có lời giải tốt 
2i)ðịnh hướng giải bài toán giúp cho học sinh khả năng làm việc ñộc lập ,tư duy logic , 
sáng tạo ,linh hoạt . 
B/Nội dung việc ñịnh hướng giải các bài toán: 
1) ðối với mỗi bài toán người giải toán cần nắm rõ ñề bài cho gì ,tìm gì ,nghĩa là nắm chắc giả 
thiết ,các ñiều kiện liên quan cũng như yêu cầu mà ñề bài cần xác ñịnh. Từ ñó giúp ta phân 
loại bài toán ,vạch ñường lối ñể giải và tìm phương pháp cũng như công cụ thích hợp . 
2) Phân tích các giả thiết ,những tiềm ẩn sau những giả thiết những ñiều kiện liên quan.Làm 
sáng tỏ nguồn gốc các giả thiết và ñiều kiện của bài toán ,có khi còn phân tích kết quả của 
bài nhằm tìm mối liên hệ giữa các ñối tượng cho và ñối tượng phải tìm. 
3) Tìm kiếm các bài toán liên quan nhằm tương tự hoá trong quá trình suy luận ;ñồng thời 
sáng tạo bài toán mới . 
Trong các nội dung trên ,tuy mỗi nội dung có những yêu cầu khác nhau nhưng lại có 
quan hệ hỗ trợ cho nhau một cách ñắc lực .Vì vậy khi giải một bài toán ta cần phải tiến hành 
toàn diện các nội dung trên . 
Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 2 
 C/ Các phương pháp tìm tòi lời giải : 
 I-Phương pháp khai thác giả thiết của bài toán: 
ðây là công việc ñầu tiên của người làm toán ,làm tốt ñược ñiều này giúp chúng ta nắm 
ñược ñặc ñiểm về dạng của bài toán ,tức là nắm ñược phần hình thức của bài toán .Trên cơ sở 
sự thống nhất giữa nội dung và hình thức (quan hệ biện chứng của triết học ) giúp ta khám phá những 
ñặc ñiểm trong nội dung của bài toán .(mà hình thức là muôn màu muôn vẻ) 
 1/Tìm hiểu những con số biết nói trong bài toán: 
Ví dụ1: Giải phương trình 2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + 5 = 0 . (1) 
 *Nhận xét và hướng giải :Sự xuất hiện các con số 2 và 3 trong hai hạng tử ñầu của 
phương trình giúp ta nghĩ ñến việc phân tích số 5 = 2 + 3 . 
 Khi ñó (1) 2(tgx - sinx + 1) + 3(cotgx - cosx + 1) = 0 .( phương trình thuần cung nhưng 
ña hàm lượng giác thử làm giảm bớt hàm) 
 2( 0)1cos
sin
cos(3)1sin
cos
sin
=+−++− x
x
x
x
x
x
 (sinx + cosx - sinx.cosx ) ( 0)
sin
3
cos
2
=+
xx









=+
=−+
≠
⇔
0
sin
3
cos
2
0cossincossin
0cossin
xx
xxxx
xx
 ñến ñây ta ñã ñưa về việc giải các phương 
trình quen thuộc . 
Ví du2: Cho phương trình : mxxxx =+−−++ 11 22 (2).Với giá trị nào của m thì phương 
trình có nghiệm ? 
 *Nhận xét và hường giải: ðây là bài toán trong bộ ñề thi tuyển sinh ,cách giải trong bộ 
ñề có phần khó hiểu . 
 Ta hãy biến ñổi các biểu thức trong các căn thức ñể tìm hình thức thể hiện khác của 
phương trình . 
 (2) mxx =+−−++⇔ 2222 )
2
3()
2
1()
2
3()
2
1( . Từ những con số ,biểu thức số có mặt 
trong phương trình giúp ta nghĩ ñến công thức tính ñộ dài các véc tơ trong mặt phẳng Oxy, 
chuyển hướng giải bằng phương pháp toạ ñộ phẳng như sau : 
 Trong mpOxy xét các ñiểm )0,
2
1(−A , )0,
2
1(B , )
2
3
,(xM , ta có : 
)
2
3
,
2
1( += xAM => AM= 12 ++ xx và )
2
3
,
2
1( −= xBM => BM = 12 +− xx 
Do ñó : mxxxx =+−−++ 11 22 AM -BM = m 
Ta còn có 1=<− ABBMAM , )
2
3
,(xM∀ .Do ñó phương trình có nghiệm với các 
ñiểm )
2
3
,(xM∀ thoã 1=<− ABBMAM hay 1<m . 
Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các con số 
biết nói chứ không phải biết hù. 
Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 3 
2/Tìm hiểu các nhóm hạng tử tham gia trong bài toán: 
 *Nhóm hạng tử tham gia trong bài toán có sự biểu diễn qua lại . 
Cái khó khăn của bài toán là các mối liên hệ vốn có giữa các ñại lượng tham gia trong 
bài toán thường dễ thấy ñược nhưng có khi lại "ẩn nấp" khá kín ñáo ,ñến nỗi người giải toán 
tưởng chừng là chúng không có liên quan gì với nhau. 
Bài có những nhóm hạng tử kiểu này ta thường dùng phương pháp ñặc ẩn phụ. 
Ví dụ3: Giải phương trình sau 6
1cos3sin4
6
cos3sin4 =
++
++
xx
xx , (3) 
 Dễ thấy ẩn phụ cần ñặc u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+ ϕ) , trong ñó ϕ là góc có tgϕ = 3/4 
 ðiều kiện :4sinx + 3cosx +1 ≠ 0 . 
Ta có : (3) 




=
+
+
≤≤−+=
6
1
6
55,cos3sin4
u
u
uxxu







=
=
+=
5
0
cos3sin4
u
u
xxu
, -5 ≤ u ≤ 5 ,u ≠ 1 
Trở lại tìm x , giải pt i ) 5sin(x+ϕ) = 0 x + ϕ = kpi , k∈Ζ x = -ϕ + kpi , k∈Ζ 
 2i ) 5sin(x+ϕ) = 5 sin(x+ϕ) = 1 x = piϕpi 2)
2
( l+− , l∈Ζ 
ðôi khi ta phải biến ñổi các nhóm hạng tử tham gia trong phương trình mới thấy ñược 
mối liên hệ giữa các hạng tử tìm cơ hội ñể chọn ẩn phụ thích hợp . 
 Ví dụ4 :Giải bất phương trình : 125,0.22 2cos
)(sin
)( 4
2
4 ≥−
−
−
−
x
x
xtg
pi
pi
 (4) 
*Nhận xét ñịnh hướng giải : Trong bất phương trình trên có chứa các hàm số mũ có cơ số quan 
hệ rõ rệt không là mối bận tâm .Tuy nhiên các nhóm hạng tử ở mũ là những biểu thức lượng 
giác liệu có mối liên hệ bên trong qua cái hình thức biểu hiện ñồng sàn dị tịch này chăng? .Ta 
hãy thử thăm dò qua việc biến ñổi hai biểu thức ở mũ . 
 Ta có : cos2x = -(sin2x - cos2x) = - (sinx - cosx )( sinx + cosx ) , (tìm cách quy cung) 
 = - )
4
cos()
4
sin(2)
4
sin(2).
4
sin(2 pipipipi −−−=+− xxxx 
Do ñó: - )
4
(
2
1
2cos
)
4
(sin2 pi
pi
−=
−
xtg
x
x
 , ñến ñây ta ñã có cơ hội ñể thực hiện việc ñặt ẩn phụ. 
 Ta có : (4) 12.22 )4()4( ≥− −−−
pipi
xtgxtg





≥−−
≠>=
−
011.2
02cos,02
)
4
(
u
u
xu
xtg
pi




≥−−
=
−
02
2
2
)
4
(
uu
u
xtg
pi




≥∨−≤
>=
−
21
02
)
4
(
uu
u
xtg
pi
 u ≥ 2 
 Trở lại tìm x ,ta giải bất phương trình 22
)
4
(
≥
−
pi
xtg
 ,việc giải bất phương trình này ñơn 
giản (xin nhường cho bạn ñọc) 
Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các nhóm 
hạng tử có cách biểu hiện như trên ñể thực hành ,xin chúc các bạn thành công. 
3/Tìm hiểu bài toán qua việc thể hiện tính chất của hình (của ñiểm) ,vị trí tương ñối 
của các ñường,dạng của các biểu thức ,khai thác các ñiều kiện v.v. 
Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 4 
Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC có BC= a ,CA = b , AB = c . Gọi ñường cao hạ từ các 
ñỉnh A,B,C xuống các cạnh BC ,CA và AB tương ứng là ha ,hb ,hc . M là ñiểm bất kỳ trong tam 
giác ñó ,khoảng cách từ M ñến các cạnh BC ,CA,và AB tương ứng là x , y và z . 
a) Tính P = 
cba h
z
h
y
h
x
++ 
b) Xác ñịnh vị trí của ñiểm M sao cho tổng : T = MA + MB + MC ñạt giá trị bé nhất 
*Nhận xét ñịnh hướng giải :Do vai trò của các ñỉnh A,B,C , các ñường cao ha ,hb ,hc trong tam 
giác các giá trị x ,y z có vai trò như nhau cho nên việc tính P qui về tính ñối tượng 
ah
x
 rồi bằng 
phép tương tự ta có thể ñạt ñược kết quả. 
* ðể tính x/ha ta xem x và ha là chiều cao 
của hai tam giác có chung cạnh ñáy BC 
ñó là ∆MBC và ∆ ABC . Ta có 
ABC
BMC
BAC
BMC
aa S
S
S
S
BCh
BCx
h
x
===
2
2
.
.
.
. 
Áp dụng tương tự ta thu ñược 
ABC
AMC
b S
S
h
y
= và 
ABC
AMB
c S
S
h
z
= 
 Do ñó P= 1==++
ABC
ABC
ABC
AMBCMABMC
S
S
S
SSS
c) Ta cần ñánh giá tổng ñộ dài các ñoạn thẳng 
trong T = MA + MB + MC, qua các ñoạn 
thẳng bằng nó ,ñiều này dẫn ta nghĩ ñến việc thực hiện một phép dời hình , 
vì phép dời hình bảo toàn khoảng cách .Ta thử chọn phép quay ñể thực hiện và thăm dò, 
có nên chuyển về ñộ dài ba cạnh của tam giác không ? nếu làm ñược việc này thì chúng 
ta có nhiều cơ sở ñể lập luận dựa vào các bất ñẳng thức quan hệ về cạnh của tam giác và 
thú vị hơn khi tam giác suy biến . 
Xét phép quay tâm B góc quay 600 - Q(B,600) : C C' BM =BM' 
 M M' MBM'= 600 
Suy ra : ∆MBM' ñều => BM = MM' (a) kết hợp CM = C'M' (t/c Q(B,600)) 
Ta ñược T=MA+ MB + MC = AM + MM' + M'C' ≥ AC' 
(B,C cố ñịnh luôn tồn tại M thuộc tam giác ABC thoả ñiều này) 
 => min T = AC' . Dấu bằng xảy ra A,M,M',C thẳng hàng ,khi ñó góc tạo bỡi 
MC và M'C' khiệu :(MC,M'C') = 600 => 
BMC = 1200 (vì 
'BMM = 600 ) 
 Mặt khác ,phép Q(B, 600) : NB M'C' và 
AMB = 1200 => 
AMC = 1200 
Do ñó : 
BMC = 
AMB = 
AMC = 1200 . 
Kluận : ðiểm M là giao ñiểm của 3 cung chứa góc 1200 ñược dựng trên 3 cạnh của 
∆ABC . 
Ghi chú : Các bạn thử dùng phép ñối xứng trục ñể giải bài toán và cho biết nhận ñịnh của 
mình hoặc có thể quay tam giác AMC một góc 600 ñể giải bài toán. 
*Trong bài kiểm tra số 2 môn ñại số của khối 11 có bài toán sau : Cmr ,nếu x,y > 0 và 
=> 
Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 5 
x + y = z thì x2003 + y2003 < z 2003 . ða số học sinh không giải ñược bài toán này ,nếu nói rằng 
bài toán là khó ñối với học sinh thì cũng chưa hẳn ,nhưng hầu hết các em quan tâm nhiều về số 
mũ lớn của luỹ thữa mà không khai thác triệt ñể các giả thiết của bài toán . 
 Ví dụ 6: Cmr ,nếu x,y > 0 và x + y = z thì x2003 + y2003 < z 2003 . 
 *Khai thác các giả thiết :i) x > 0 ,y> 0 => x + y > 0 nghĩa là z > 0 
 2i ) x + y = z => 1=+
z
y
z
x
 => ( 1010 <<∧<<
z
y
z
x
 ) (nghĩ ñến cơ số của 
hàm số mũ và tính chất của hàm mũ tương ứng ) 
 3i) số mũ của các luỹ thừa là bằng nhau 2003 (cũng chưa lớn và phức tạp ñâu) 
Trên cơ sở khai thác các giả thiết và ñiều kiện của bài toán các bạn ñễ dàng nghĩ ñến bài toán 
tương tự ở ví dụ 6 trg 172, Sgk, ð SỐ l1ñã học và vận dụng cách giải cho bài toán này. 
 Ta biến ñổi về dạng 1)()( 20032003 <+
z
y
z
x
. 
 Từ ñiều kiện 1010 <<∧<<
z
y
z
x
 => [
z
y
z
y
z
x
z
x
1và t/c 
nghịch biến của hàm số mũ) 
 Từ ñó dễ thấy ñiều phải chứng minh (tương tự hoá trong qui trình tư duy giảỉ toán là 
công cụ hiệu quả giúp ta ñịnh hướng nhanh) . 
 Ghi chú : Các bạn có thể phân tích và tìm tòi ñể có cách giải khác . 
II/Phương pháp chuyển hoá nội dung hoặc hình thức bài toán: 
 Trên nền tản của triết học duy vật biện chứng "Mọi sự vật ,hiện tượng tồn tại ñều có mối 
liên hệ hữu cơ kể cả ở những mặt ñối lập vẫn có cái tính thống nhất của nó ,trong những mặt 
thống nhất cũng có từng phần ñối lập" . 
Trong lĩnh vực toán học cũng thế có nhiều loại toán có liên quan với nhau .Mối liên hệ 
giữa chúng trong một chừng mực nào ñó cho phép ta chuyển từ bài toán này sang giải bài toán 
khác 
1/Chuyển bài toán trong ñại số , giải tích sang giải bài toán trong hình học . 
Ta có thể xem ví dụ 2 như là bài toán minh hoạ. Bây giờ ta hãy xét bài toán khác 
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
y = f(a) = 13cos6cos2cos2cos 22 ++++− aaaa 
*Nhận xét và ñịnh hướng giải:Trong biểu thức hàm có chứa hai căn bậc 2 mà biểu thức trong 
căn thức thuần nhất hàm và cung , việc tìm trị nhỏ nhất của hàm số trên qua công cụ ñạo hàm 
không phải là ñơn giản . Tuy nhiên nếu nhìn các căn thức trên như là biểu thức ñộ dài của 
véctơ trong phẳng thì bài toán cho ta kỳ vọng chuyển sang giải bằng hình học toạ ñộ 
phẳng.Với kỳ vọng này buộc ta phải tìm cách ñưa hai căn thức trên gần gũi hơn với công thức 
tính ñộ dài véctơ ( chuyển biểu thức trong căn bậc hai về tổng hai bình phương ) 
 Ta có : y = f(a) = 4)3(cos1)cos1( 222 ++++− aa xác ñịnh trên ℜ, ñến ñây vấn ñề còn 
khéo chọn toạ ñộ của các véc tơ có ñộ dài tương ứng trong mỗi căn thức . 
 Trong mpOxy chọn 
)2;3(cos
)1;cos1(
+=
−=
av
au
 => f(a) =|u | + | v | . 
 Ta có : 5916)3;4( =+|=+⇒|=+ vuvu ,ta còn có : | u + v | ≤ |u | + | v | => f(a) ≥ 5 
 Vậy : min f(a) = 5 ,∀ a∈ℜ 
Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 6 
2/Chuyển bài toán hình học thông thường sang hình học giải tích : 
 Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Trên BD và AD' ta lấy các ñiểm 
M, N sao cho DM=AN=k ( )20 ak << . Xác ñịnh k ñể ñoạn MN ngắn nhất. Chứng minh rằng 
khi ñó MN là ñoạn vuông góc chung cùa BD và AD. Tính ñộ dài ñoạn MN. 
 Giải: 
Chọn hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc Oxyz sao cho 
O trùng với ñỉnh A, các ñỉnh B, D, A' lần lượt nằm 
trên các trục Ox, Oy, Oz. Ta có 
 A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), D'(0,a,0), 
M 





− 0,
2
,
2
k
a
k
 ; N 





2
,
2
,0 kk 
Từ ñiều kiện bài toán ta thấy cứ mỗi k thuộc (0 ; 2a ) 
Ta xác ñịnh ñược ñộ dài duy nhất ñoạn MN ,trên cơ sở này 
ta chọn một hàm số tương ứng cho ñối k . Mặt khác , MN 
nhỏ nhất MN2 nhỏ nhất . 
 Ta ñặt f(k) = MN2 , ∀k∈(0; 2a ) => min f(k) min(MN) 
 Ta có : 
2
;
2
2;
2
( kakkMN −−= ) => f(k) = 3k2 -2 2 ak + a2 . ðây là hàm số bậc 
hai theo k với k∈(0; 2a ). ðạo hàm f '(k) = 6k - 2 2a ) = 0 => k = ( 2a ) /3. 
Vậy khi k= -
3
2a
 thì MN có ñộ dài ngắn nhất ,khi ñó toạ ñộ )
3
;
3
;
3
( aaaMN −−= còn có 
)0;;(
),,0('
aaBD
aaAD
−=
=
 => 




=
=
0.
0'.
BDMN
ADMN
 .Do ñó : MN ⊥ AD' và MN ⊥ BD 
Vậy MN là ñoạn vuông góc chung của BD và AD' . Dễ tính ñược: MN = 
3
3a (ñvñd) 
Ghi chú : bạn thử giải bài toán này mà không dùng phương pháp toạ ñộ thử xem! 
3/ Chuyển bài toán ñại số sang lượng giác : 
 Ví dụ 9 : Giải bất phương trình 1
1
3
1
1
22
−
−
>
− x
x
x
 .(*) 
*Nhận xét ñịnh hướng giải : Tập xác ñịnh của bất phương trình : D = (-1 ;1) cho phép ta nghĩ 
ñến việc ñặt x = cosa khi ñó =− 21 x | sina | . Như vậy bất phương trình ñại số này có thể 
chuyển sang một bất phương trình lượng giác tương ứng . 
 Thật vậy , ( *) 







−>
<=<−
<<
1
sin
cos3
sin
1
1cos1
0
a
a
a
ax
a pi
 cotg2a -3cotga +2 > 0 


>
<
2cot
1cot
ga
ga
Bạn ñọc tự giải tiếp bất phương trình này . ð số : -1< x < 
2
2
 ∨ 1
5
2
<< x . 
Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 7 
D/ Kết luận : 
Toán học rộng vô biên, phương pháp luận là vô cùng, những phương pháp trên ñây thật 
là ít ỏi. Mong quý ñồng nghiệp góp ý thêm, các em học sinh tiếp nhận nó như một món quà bổ 
ích cho con ñường học toán của mình . 
 Chào thân ái !