Ứng dụng tính đồng biến nghịch biến

ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : xsinx+cosx>1 , x thuộc (0,π/2) 
Giải : Đặt 
f’(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx> 0 , x thuộc (0,π/2) 
f(x) đồng biến (0,,π/2)
f(x) đồng biến [0,,π/2)
f(x)>f(0) , x thuộc (0,,π/2)
dpcm
Ví dụ 2 : Cho x,y >0 , x+2y<5π4 , Chứng minh rằng : cosx+y<ysinxxsiny
Giải : Ta có x,y >0 , x+2y 2y0 siny>0
cosx+y<ysinxxsinyó cosx+ysiny<ysinxxó 12sin2y+x-sinx<ysinxx
ó sin⁡(2y+x)2y+x<sinxx 
Đặt ft=sintt , f't=tcost-sintx2
0 t-tant tcost-sint f’(t)<0
π2≤t sint>0, cost f’(t)<0
π≤ttant tcost-sint f’(t)<0
Khi đó : f't f(t) nghịch biến trên (0,5π4)
Ta có 0 f(x)>f(x+2y)
sin⁡(2y+x)2y+x0 , x+2y<5π4
Đpcm
Ví dụ 3 : Cho x,y,z∈1,4, x≥y,x≥z , Chứng minh rằng : x2x+3y+yy+z+zz+x≥3433
Giải : Ta có x,y,z∈1,4, x≥y => 1≤xy≤41=4
 x2x+3y+yy+z+zz+x=x2x+3y+11+zy+11+xz=2+zy+xz1+zy+xz+xy=x2x+3y+1-xy-11+zy+xz+xy≥x2x+3y+21+xy
Đặt t=xy , 1≤t≤2
Xét ft=t22t2+3+21+t ,
 f't=3t2t2+32-21+t2=3t1+t2-22t2+322t2+321+t2 =-8t4+3t3-6t2-182t2+321+t2<0,∀t∈1,2
Hàm số f(t) nghịch biến 
ft≥f2=3433
x2x+3y+yy+z+zz+x≥3433
Dấu= xảy ra ó x=4, y=1,z=2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Ví dụ 1 : Giải phương trình : x2+x+2=7-x-1
Giải : ĐK : x≥1
 Biến đổi phương trình : x2+x-1+x+2=7
Đặt fx=x2+x-1+x+2 , x≥1
Ta có f(2)=7 , f'x=2x+12x-1+12x+2>0, ∀x>1
=>f(x) đồng biến trên 1,+∞ => x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình 
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 232x-1-13x=27x3-27x2-2
Giải : Biến đổi phương trình : 2x-1+232x-1=3x-13+2(3x-1) (1)
Đặt f(t) = t3+2t , f't=3t2+2>0 , ∀t=> hàm số f(t) đồng biến trên R
Khi đó : (1) 32x-1=3x-1ó 2x-1=3x-13óx27x2-27x+7=0
ó x=0, 27x2-27x+7=0 vô nghiệm 
ó x=0 là nghiệm của phương trình 
Ví dụ 3 : A-2010 - Giải hệ phương trình :4x2+1x+y-35-2y=04x2+y2+23-4x=7
Giải : 4x2+1x+y-35-2y ó 4x2+12x=(5-2y+1)5-2y 
ó f2x=f5-2y,ft=t2+1t
Mà f't=3t2+1>0.∀t=> f(t) đồng biến trên R nên 2x=5-2y
ó x≥0, 4x2=5-2yó y=5-4x22
Khi đó : 4x2+145-4x22+23-4x=7
Đặt : gx=4x2+145-4x22+23-4x 
 g12=7 
Mà g'x=16x3-12x-43-4x g(x) nghịch biến
Nên x=12, y=2 là nghiệm của hệ phương trình 
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng phương trình : sin2x+cosx=cosy có nghiệm duy nhất x∈(0,π) , với mọi y∈(0,π)
Giải : Biến đổi phương trình sin2x+cosx-cosy=0
Đặt f(x)=sin2x+cosx-cosy ,x∈[0,π]
 f'x=sin2x-sinx=sinx(2cosx-1)
 f'x=0 , x∈(0,π)ó sinx=0, cosx=12, x∈(0,π)ó x=π3
x
0 π3 π
f’(x)
| + 0 - |
f(x)
1-cosy đb 54-cosy nb -1-cosy 
 Ta có f0fπ3>0 , fπfπ3<0
Khi đó : phương trình có đúng một nghiệm x∈0,π, ∀y∈(0,π) ( đpcm)