Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất

 chithanhtranvl@gmail.com Page 1 
3. Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất. 
 Cần ghi nhớ: 
  TH1. Phương trình có dạng ( )f x k (k là hằng số) , với x D . 
+ Nếu ( )f x là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D và phương trình ( )f x k có nghiệm trên D thì 
nghiệm đó là duy nhất. 
  TH2. Phương trình có dạng ( ) ( )f x g x , với x D . 
+ Nếu ( )f x là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D , ( )g x là hàm số nghịch biến (đồng biến) trên D và 
phương trình ( ) ( )f x g x có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất. 
Chú ý: a). Nếu ( )f x là hàm số đồng biến trên D và ( )g x là hàm số đồng biến trên D thì 
 ( ) ( ) ( )h x f x g x  cũng là hàm số đồng biến trên D . 
b). Nếu ( )f x là hàm số nghịch biến trên D và ( )g x là hàm số nghịch biến trên D thì 
 ( ) ( ) ( )h x f x g x  cũng là hàm số nghịch biến trên D . 
 Phương pháp chung. 
Bước 1. Đặt điều kiện (nếu có) 
Bước 2. Quy phương trình đã cho về một trong hai dạng trên. 
Bước 3. Chỉ ra một nghiệm của phương trình là 0x x . Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 
Bước 4. Kết luận 0x x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
(Dựa vào tính duy nhất của phương trình (nêu trên).) 
►BÀI TẬP. 
B1. Giải phương trình: 
a. 2 3x x  b. 32 2 log
x x  c. 5 12 13x x x  
d.  2 3log 1 logx x  e. 1 6.2 3.5 10x x x   f. 4 9 16 81x x x x   
B2. Giải phương trình: 
a.    22 2log 6 4 log 2x x x x      b.  412 91log log
2
x x x  
c. 2 215 3 2 8x x x     d.    3 22log cot log cosx x 
4. Phương trình, bất phương trình có tham số và phương pháp đồ thị. 
 Phương pháp chung. 
Bước 1. Đặt điều kiện (nếu có) 
Bước 2. Quy phương trình đã cho về một trong các dạng : ( )f x m hoặc ( )m f x hoặc ( )m f x 
Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x . Từ đó dựa vào bảng biến thiên kết luận 
(theo phương pháp biện luận phương trình bằng đồ thị ) 
Cần ghi nhớ. Nếu hàm số ( )f x liên tục và tồn tại GTLN, GTNN trên D thì ta có thể áp dụng một trong 
các tính chất sau: 
  phương trình ( )f x m có nghiệm x D  min ( ) max ( )
x D x D
f x m f x
 
  
  bất phương trình ( )m f x có nghiệm x D  max ( )
x D
m f x

 
  bất phương trình ( )m f x nghiệm đúng với mọi x D  min ( )
x D
m f x

 
  bất phương trình ( )m f x có nghiệm x D  min ( )
x D
m f x

 
  bất phương trình ( )m f x nghiệm đúng với mọi x D  max ( )
x D
m f x

 
 chithanhtranvl@gmail.com Page 2 
►BÀI TẬP 
B1. Cho phương trình:  4 42 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m     . 
 Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
 
 
  
 (đáp số: 
10
2
3
m   ) 
B2. Cho phương trình:  2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x          
 Tìm m để phương trình có nghiệm (đáp số: 2 1 1m   ) 
B3. Tìm m để phương trình  22 2 4 5 10 3 0x m x m x       có nghiệm (đáp số: 3m ) 
B4. Cho phương trình:  22 2sin 2 1 cosx m x   
 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ;
2 2
  
 
  
 (đáp số: 0 2m  ) 
B5. Cho phương trình: 2 23 3log log 1 2 1 0x x m     
 Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3    (đáp số: 0 2m  ) 
B6. Cho bất phương trình:  22 21 2 4x m x x     (1) 
 1. Giải bất phương trình (1) khi m = 3 
 2. Xác định m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi  0;1x 
 đáp số: 1. 0 2 1x   2. 3m 
B7. Cho bất phương trình:    2 25 51 log 1 log 4x mx x m     
 Xác định m để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi x (đáp số: 2 3m  ) 
B8. (Đ.H khối A 2008). Cho phương trình 4 42 2 2 6 2 6x x x x m      
 Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt. 
 đáp số:    442 6 6 3 4 2m    
B9. (Đ.H khối A 2007). Tìm m để phương trình 243 1 1 2 1x m x x     có nghiệm thực. 
 đáp số: 
1
1
3
m   
B10. (Đ.H khối B 2007). Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình 
  2 2 8 2x x m x    có hai nghiệm thưc phân biệt. 
B11. (Đ.H khối B 2006). Tìm m để phương trình 2 2 2 1x mx x    có hai nghiệm thực phân biệt. 
 đáp số: 
9
2
m 
B12. (Đ.H khối B 2004). Xác định m để phương trình sau có nghiệm 
 2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x          (đáp số: 2 1 1m   ) 
B13. Các trường Cao Đẳng 2007 
1. CĐ Tài Chính – Hải Quan. 
 Tìm m để phương trình 2 1x x m   có nghiệm thực. (đáp số: 2m ) 
2. CĐ Kinh tế Đối ngoại. 
 Tìm m để phương trình 2 2 3 0x x m    có nghiệm thực. (đáp số: 2m ) 
 chithanhtranvl@gmail.com Page 3 
3. CĐ SP 
 Tìm m để phương trình 2 24 5 4x x m x x     có nghiệm thực (đáp số: 3m ) 
B14. Cho bất phương trình: 3 1mx x m    (1) 
1. Giải bất phương trình (1) khi 
1
2
m (đáp số: 3 7x  ) 
2. Xác định m để bất phương trình (1) có nghiệm (đáp số: 
1 3
4
m

 ) 
B15. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình có nghiệm 
 
3
3 23 1 1x x a x x     ( đáp số: 3a )