Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính tìm số hạng tổng quát của dãy số

Mục lục
 a. lời nói đầu2
 b. cơ sở lý thuyết... 3
 I./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp một.. 3
 II./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai...4
 III./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba.7
 c. bài tập áp dụng.9
 I./ ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính cấp một9
 II./ ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai11
 III./ ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba14
 d. bài tập tham khảo..17
 e. kiến nghị - đề xuất..19
 f. Tài liệu tham khảo...20
a. lời nói đầu
	Bản thân là một giáo viên trẻ, tự nhận thấy mình phải thường xuyên và liên tục bồi dưỡng, tự bồi dưỡng về chuyên môn nghiệp vụ nói chung và kiến thức chuyên môn nói riêng; nên tôi thường xuyên tìm đọc và tra cứu các kiến thức chuyên ngành về Toán học, toán học THPT và ghi chép những nội dung đặc sắc, những bài toán và lời giải hay tích lũy dần theo từng chuyên đề Qua đó tôi đã tích được rất nhiều điều hay và bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy.
	Trong quá trình đọc tài liệu, xem xét các đề thi HSG Toán, đề thi giải toán trên máy tính Casiotôi đã gặp những bài toán hay và khó về dãy số và nhận thấy một điều rất đơn giản là: ở một số lớp bài toán về dãy số, khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như đã được giải quyết. Vấn đề còn lại là tìm số hạng tổng quát của dãy số ấy. 
Nhằm mục đích phân loại và hệ thống các dạng bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy số để làm đề tài và bài giảng giảng dạy cho học sinh khá giỏi và đội tuyển HSG, bước đầu tôi chọn đề tài: “Ứng dụng phương trỡnh sai phõn tuyến tớnh tỡm số hạng tổng quỏt của dóy số”.
Nội dung của SKKN nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Bản SKKN của tôi lấy tiêu đề là: 
Một số bài toán về dãy số 
giải được bằng phương pháp sử dụng
phương trình sai phân tuyến tính
Trong đề tài này tôi đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực .
Rất mong nhận được sự ủng hộ và góp ýcủa quí thầy cô !!!
Hải Dương, ngày 10 tháng 04 năm 2009
B. Cơ sở lý thuyết
I./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
	Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng 
trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và là biểu thức của n cho trước.
Dạng 1: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (1.1)
trong đó cho trước .
Phương pháp giải
	Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi đó (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết .
Dạng 2: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (2 .1)
trong đó là đa thức theo n.
Phương pháp giải
	Giải phương trình đặc trưng ta tìm được Ta có Trong đó là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy q là hằng số sẽ được xác định sau.
Ta xác định như sau : 
Nếu thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu thì với là đa thức cùng bậc với 
Thay vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của 
Dạng 3: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (3.1)
trong đó là đa thức theo n.
Phương pháp giải
	Giải phương trình đặc trưng ta tìm được Ta có Trong đó , c là hằng số chưa được xác định , được xác định như sau 
Nếu thì 
Nếu thì 
Thay vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của . Biết từ hệ thức , tính được c.
Dạng 4: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (4.1) 
Trong đó là đa thức theo n và .
Phương pháp giải
	Ta có Trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất , là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất , là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất .
II./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
	Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng 
trong đó a,b,c, , là các hằng số , a # 0 và là biểu thức của n cho trước.
NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực. 
Dạng 1: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (5.1) 
Phương pháp giải
	Giải phương trình đặc trưng tìm Khi đó
Nếu là hai nghiệm thực khác nhau thì , trong đó A và B được xác định khi biết .
Nếu là hai nghiệm kép thì , trong đó A và B được xác định khi biết .
Dạng 2: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (6.1)
trong đó a # 0, là đa thức theo n cho trước.
Phương pháp giải
	Giải phương trình đặc trưng để tìm . Khi đó ta có trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và là một nghiệm tuỳ ý của phương trình :
Theo dạng 1 ta tìm được , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , được xác định như sau :
Nếu thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu là nghiệm đơn thì là đa thức cùng bậc với
Nếu là nghiệm kép thì là đa thức cùng bậc với,
Thay vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của . Biết từ hệ thức tính được A, B.
Dạng 3: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (7.1) 
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi đó ta có trong đó được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa được xác định, được xác định như sau :
Nếu thì 
Nếu là nghiệm đơn thì 
Nếu là nghiệm kép thì 
Thay vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được hệ số k . Biết từ hệ thức tính được A,B .
Dạng 4: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (8.1) 
trong đó a # 0 , là đa thức theo n và .
Phương pháp giải
	Ta có trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất , là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất .
III./ Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba
	Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng 
 (a.1)
trong đó a,b,c, d, ,, là các hằng số , a # 0 và là biểu thức của n cho trước.
NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực . 
Phương pháp giải
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng , trong đó là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến tính thuần nhất, là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất .
Xét phương trình đặc trưng 
 (a.2)
Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất
Nếu (a.2) có ba nghiệm thực phân biết thì 
Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn thì 
Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 thì 
Xác định nghiệm riêng của phương trình (a.1)
Xét là đa thức của n ta có 
Nếu thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu (nghiệm đơn ) thì là đa thức cùng bậc với
Nếu (bội 2 ) thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu (bội 3) thì là đa thức cùng bậc với 
Xét ta có 
Nếu thì 
Nếu (nghiệm đơn ) thì 
Nếu (nghiệm bội s ) thì 
C. Bài tập áp dụng
I./ ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Bài 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2.
Bài giải
Ta có (1.2) 
Phương trình đặc trưng có nghiệm Vậy . Từ suy ra Do đó .
Bài 2: Tìm thoả mãn điều kiện 
	 (2.2)
Bài giải
Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó Thay và phương trình (2.2) ta được :
 (2.3) 
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 
Do đó 
Ta có Vì nên 
Vậy .
Bài 3: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (3.2) 
Bài giải
 Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó 
Thay vào phương trình (3.2) , ta thu được 
Suy ra Do đó vì nên c=1 Vậy .
Bài 4: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (4.2)
Bài giải
 Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó 
Thay vào phương trình , ta được :
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 
Vậy thay vào phương trình Ta được 
Vậy
Do đó . Ta có nên Vậy .
II./ ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
Bài 1: Tìm thoả mãn điều kiện sau
 	(1.1)
Bài giải
Phương trình đặc trưng có nghiệm kép 
Ta có: (1.2)
Cho n=0 , n=1 thay vào (1.2) ta thu được hệ phương trình 
Vậy .
Bài 2: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (2.2)
Bài giải
 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có trong đó 
Thay vào phương trình (2,2) , ta được :
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 
Vậy 	
Do đó 
Mặt khác :
Vậy 
.
Bài 3: Tìm thoả mãn điều kiện 
Bài giải
Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có: trong đó 
Thay vào phương trình , ta được 
Vậy . Do đó . (1) Thay vào phương trình ta thu được 
Vậy 
.
Bài 4: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (4.2)
Bài giải
Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có 
trong đó:
Thay vào phương trình , ta được 
Vậy
Do đó 
Thay vào phương trình , ta được 
Do đó 
Vậy 
 (4.3) 
Ta thay vào (4.3) ta được hệ phương trình 
Vậy .
III./ ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba
Bài 1: Tìm dãy số biết rằng 
 (1.1) 
Bài giải
Xét phương trình đặc trưng 
có 3 nghiệm thực
Vậy 
Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 
Vậy .
Bài 2: Cho dãy số được xác định theo công thức sau 
 (2.1) 
Chứng minh số là số chính phương.
Bài giải
Ta có: 	(2.2)
Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được 
	(2.3)
Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được 
 (2.4)
Phương trình đặc trưng của (2.4) là :
có nghiệm là nghiệm bội bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) là 
Cho n=0, n=1, n=2 ta được 
Ta thu được và từ đó ta có 
Điều này chứng tỏ A là một số chính phương.
Bài 3: Cho dãy số được xác định theo công thức sau 
 (3.1) 
Chứng minh rằng 
Bài giải
Xét dãy số với và 
 (3.2)
Dễ thấy . Do đó chỉ cần chứng minh
Đặt suy ra . Nhận xét rằng 
 (3.3)
Ta lại có 
 suy ra (3.4)
Thế (3.4) vào (3.3) ta được :
Suy ra 
 (3.5)
Phương trình đặc trưng của (3.5) là 
 có nghiệm 
Nghiệm tổng quát của (3.1) là 
Ta có 
Do đó ta nhận được 
 	 (3.6) 
Từ (11.6) ta suy ra 
Ta cần chứng minh 
Do 
Nên . Từ đó , ta có , và khi đó 
.
 Vậy 
D. Bài tập tham khảo
Bài 1: Xác định công thức của dãy số thoả mãn các điều kiện sau
Bài 2: Cho dãy số thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng là một số lẻ
Bài 3: Cho dãy số xác định bởi 
Chứng minh rằng 
Bài 4: Cho dãy số thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng là một số chính phương
Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002
NXB giáo dục )
Cho dãy số thoả mãn như sau :
Chứng minh : 
 ( kí hiệu chia hết )
Bài 6: Cho dãy số thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số đều là số chính phương.
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356) 
Cho dãy số ( i=1,2,3,4)được xác định bởi 
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 8: Cho dãy số nguyên dương thoả mãn điều kiện 
Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất
E. Kết luận- kiến nghị
	+ Qua thực tiễn áp dụng giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết quả nhất định sau :
1/ Học sinh khá giỏi nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số. 
2/ Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán.
	+ Trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp. Tuy nhiên đây là một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ”. Qua đó ta có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT.
	+ Đối với đa số học sinh yêu thích và say mê học Toán THPT ở nông thôn, không phải là học sinh chuyên thì sân chơi Toán học & Tuổi trẻ là một sân chơi quá tầm, các đề thi HSG của tỉnh thường ra không sát và quá khó đối với các em. Kính đề xuất các ban ngành giáo dục đầu tư tạo cho các em một sân chơi vừa tầm, bổ ích để thu hút và phát hiện những học sinh có tiềm năng cho các Đội tuyển đồng thời qua đó đẩy mạnh phong trào học Toán. 
	+ Kính đề nghị Sở GD&ĐT có hình thức phổ biến rộng rãi hơn nữa các đề tài SKKN hay để làm nguồn tài liệu bồi dưỡng và tham khảo cho GV nói chung và đặc biệt là GV trẻ chung tôi.
	 Xin chân thành cảm ơn !!!
f. Tài liệu tham khảo
Tuyển tập các chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT – - Phan Huy Khải – Nhà xuất bản Giáo Dục.
Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán – Số học và đại số – - Lê Trần Chính – Nguyễn Quí Dy – Nguyễn Văn Lộc – Vũ Văn Thỏa - Nhà xuất bản Giáo Dục.
Lê Đình Thịnh - Lê Đình Định , Phương pháp sai phân - Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004.
Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V - Nhà xuất bản Giáo Dục.
Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 - Nhà xuất bản Giáo Dục.
Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 - Nhà xuất bản Giáo Dục.
Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục.
Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục - 2003