Ứng dụng hàm số - Luyện thi đại học

Để các em thuận tiện trong việc ôn luyện thi Đại học và Cao đẳng năm 2009 . Chúng tôi gởi tặng các em bài viết nhỏ mang tính tổng quát giải tích hàm số lớp 12 , cũng như một số ứng dụng độc đáo để giải quyết khá triệt để những dạng toán từng đề cập các lớp học dưới mà các em còn bỏ ngõ . Tài liệu được đề cập nhiều chủ đề chuyên đề phù hợp việc ôn luyện thi cấp tốc chuẩn bị kỳ thi Đại học tháng 7/2009 .
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là
1	2
1	2	1	2
· Đồng biến trên K nếu với mọi x , x Î K
, x < x Þ f (x ) < f (x ) ;
1	2
1	2	1	2
· Nghịch biến trên K nếu với mọi x , x Î K
, x f (x ) .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
· Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' (x ) ³ 0

với mọi x Î I .
· Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' (x ) £ 0
với mọi x Î I .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý Lagrange):
Nếu hàm số f liên tục trên éëa;b ùû và có đạo hàm trên khoảng (a;b ) thì tồn tại ít nhất một điểm c Î (a;b )

sao
cho
f (b ) - f (a ) = f ' (c ) (b - a ) .
Định lý 2 :
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :
· Nếu
· Nếu
· Nếu
f ' (x ) > 0 với mọi x Î I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;
f ' (x ) < 0 với mọi x Î I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ;
f ' (x ) = 0 với mọi x Î I thì hàm số f không đổi trên khoảng I .
Chú ý :
· Nếu hàm số f liên tục trên éëa;b ùû và có đạo hàm
éëa;b ùû .

f ' (x ) > 0 trên khoảng (a;b ) thì hàm số f đồng biến trên
· Nếu hàm số f liên tục trên ëéa;b ùû và có đạo hàm f ' (x ) < 0
trên éëa;b ùû .
· Ta có thể mở rộng định lí trên như sau :
trên khoảng (a;b ) thì hàm số f nghịch biến
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f '(x ) ³ 0
với "x Î I
( hoặc f '(x ) £ 0
với "x Î I ) và
f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên I .
1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số .
Xét chiều biến thiên của hàm số y =
· Tìm tập xác định D của hàm số .
f (x ) ta thực hiện các bước sau:
· Tính đạo hàm y ' =
f ' (x ) .
· Tìm các giá trị của x thuộc D để
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ).
f ' (x ) = 0 hoặc
f ' (x ) không xác định
· Xét dấu y ' =
f ' (x ) trên từng khoảng x thuộc D .
· Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y = - x 3 - 3x 2 + 24x + 26
2. y =
x 3 - 3x 2 + 2
3. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
1. y = - x 3 - 3x 2 + 24x + 26 . Hàm số đã cho xác định trên . Ta có : y ' = -3x 2 - 6x + 24
Giải:
éx = -4
y ' = 0 Û -3x 2 - 6x + 24 = 0 Û ê
ê
x = 2
ë
Bảng xét dấu của y '
x
-¥
-4
2
+¥
y '
- 	0
+
0
-
y ' > 0, x Î (-4; 2) Þ y
đồng biến trên khoảng (-4; 2) ,
y ' > 0, x Î (-¥; -4), (2; +¥ ) Þ y
Hoặc ta có thể trình bày :
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có : y ' = -3x 2 - 6x + 24
nghịch biến trên các khoảng (-¥; -4), (2; +¥ ) .
ê
éx y ' = 0 Û -3x 2 - 6x + 24 = 0 Û ê
x
ë
= -4
= 2
Bảng biến thiên
x
-¥
-4
2
+¥
y '
- 	0
+
0
-
+¥
y	-¥
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (-4; 2) , nghịch biến trên các khoảng (-¥; -4) và (2; +¥ ) .
2. y =
x 3 - 3x 2 + 2
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có : y ' = 3x 2 - 6x
= 3x(x - 2)
éx = 0
y ' = 0 Û 3x(x - 2) = 0 Û ê
ê
x = 2
ë
Bảng biến thiên.
x	-¥	0	2	+¥
y '	+	0	- 	0	+
y
Vậy hàm đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; 0) và (2; +¥) , nghịch biến (0;2) .
3. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
Hàm số đã cho xác định trên .
2	2
Ta có:
f ' (x ) = 3x
= 6x + 3 = 3 (x + 1)
f ' (x ) = 0 Û x
= -1 và
f ' (x ) > 0 với mọi x ¹ -1
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (-¥; -1ùû và
éë-1; +¥ ) nên hàm số đồng biến trên .
Hoặc ta có thể trình bày :
x	-¥
y '
y
-1	+¥
+	0	+
+¥
1
-¥
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (-¥; -1ùû và

éë-1; +¥ ) nên hàm số đồng biến trên .
Ví dụ 2 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y = - 1 x 4 + 2x 2 - 1
4
2. y = x 4 + 2x 2 - 3
3. y = x 4 - 6x 2 + 8x + 1
1. y = - 1 x 4 + 2x 2 - 1 .
4
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có: y ' = - x 3 + 4x
= -x (x 2 - 4)
ê
( 2	)
éx y ' = 0 Û -x x - 4 = 0 Û ê
x
ë
Bảng biến thiên
x	-¥	-2
= 0
= ±2
0	2	+¥
y '	+	0	- 	0	+	0	-
y
+¥	-¥
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -2) , (0; 2) và nghịch biến
trên các khoảng (-2; 0) , (2; +¥ ) .
2. y = x 4 + 2x 2 - 3
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có: y ' =
4x 3 + 4x
= 4x (x 2 + 1)
Vì x 2 + 1 > 0, "x Î nên y ' =
0 Û x
= 0 .
Bảng biến thiên
x	-¥	0	+¥
y '	- 	+
+¥	+¥
y
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥ ) và nghịch biến trên khoảng (-¥; 0) .
3. y = x 4 - 6x 2 + 8x + 1
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có: y ' = 4x 3 - 12x + 8 = 4(x - 1)2(x + 2)
ê
éx y ' = 0 Û 4(x - 1)2 (x + 2) = 0 Û ê
x
ë
= -2
= 1
Bảng biến thiên:
x	-¥	-2
1	+¥
y '	- 	0	+	0	+
y
Vậy,hàm đồng biến trên khoảng (-2; +¥) và nghịch biến trên khoảng (-¥; -2) .
Nhận xét:
* Ta thấy tại x = 1 thì y = 0 , nhưng qua đó y ' không đổi dấu.
* Đối với hàm bậc bốn y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn

luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng
không thể đơn điệu trên .
Ví dụ 3 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y =
2x - 1
x + 1
2. y = x + 2
x - 1
-x 2 + 2x - 1
3. y =
4. y =

x + 2
x 2 + 4x + 3
x + 2
1. y =

2x - 1 .
x + 1
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (-¥; -1) È (-1; +¥ ) .
Ta có: y ' =
3
2
(x + 1)

> 0, "x

¹ -1
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; -1) và (-1; +¥ ) .
2. y = x + 2
x - 1
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (-¥;1) È (1; +¥ ) .
Ta có: y ' = -
3	< 0, "x ¹ 1
2
(x - 1)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥;1) và (1; +¥ ) .
-x 2 + 2x - 1
3. y =

x + 2
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (-¥; -2) È (-2; +¥ ) .
-x 2 - 4x + 5
Ta có: y ' =
éx

2
(x + 2)
= -5
, "x
¹ -2
y ' =
0 Û ê
ê
x = 1
ë
Bảng biến thiên :
x
−∞	−5	−2	1	+∞
y '
− 	0	+
+	0	−
y
+∞	+∞
−∞	−∞
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng (-5; -2) và (-2;1) , nghịch biến
trên các khoảng (-¥; -5) và (1; +¥ ) .
x 2 + 4x + 3
4. y =

x + 2
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (-¥; -2) È (-2; +¥ ) .
x 2 + 4x + 5
2
Ta có: y ' =	> 0, "x
(x + 2)
Bảng biến thiên :
¹ -2
x
−∞	−2	+∞
y '
+
+
y
+∞
−∞
+∞
−∞
Vậy , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; -2) và (-2; +¥ ) .
Nhận xét:
* Đối với hàm số y = ax + b cx + d

(a.c ¹ 0) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch
biến trên từng khoảng xác định của nó.
ax 2 + bx + c
* Đối với hàm số y =

a ' x + b '
luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên .
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y =| x 2 - 2x - 3 |
2. y =
3x 2 - x 3
1. y =| x 2 - 2x - 3 |
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có: y = ï
ìx 2 - 2x - 3 khi
í
x £ -1 È
x ³ 3
-x 2 + 2x + 3 khi
ï
î
- 1 < x < 3
2x - 2 khi
x 3
í
Þ y ' = ï
ï
- î

2x + 2 khi

- 1 < x < 3
Þ y ' = 0 Û x = 1
Hàm số không có đạo hàm tại x = -1 và x = 3 . Bảng biến thiên:
x	-¥	-1
1	3	+¥
y '	- 	0	+	0	- 	0	+
y
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng (-1;1) và (3; +¥) , nghịch biến trên (-¥; -1)
và (1; 3) .
2. y =
3x 2 - x 3
Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng (-¥; 3]
3(2x - x 2 )
Ta có: y ' =

2 3x 2 - x 3
, "x < 3, x
¹ 0 .
"x < 3, x
¹ 0 :
y ' = 0 Û x = 2
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x = 0, x = 3 . Bảng biến thiên:
-¥	0	2	3	+¥
x
y '	- 	||	+	0	- 	||
y
Hàm đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên (-¥; 0) và (2; 3) .
Ví dụ 5 :
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

f (x ) = sin x

trên khoảng (0; 2p ) .
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (0; 2p ) . Ta có : f ' (x ) = cos x, x Î (0; 2p ) .
Giải:
f ' (x ) = 0, x Î (0;2p ) Û x

= p , x
= 3p
2	2
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau :
f (x )
x
0	ð 	3ð 	2ð
2	2
f ' (x )
+	0	− 	0	+
1	0
0	-1
æ 	p ö 	æ 3p 	ö 	æ p 3p ö
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng	0;	và	; 2p , nghịch biến trên khoảng	;	.
ç 	2 ÷ 	ç 2	÷
ç 2	2 ÷
è 	ø 	è 	ø 	è 	ø
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

x 2 - 2x
1. y = 1 x 3 - 3x 2 + 8x - 2
3
2. y =

x - 1
2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1
2. y = x 4 - 2x 2 - 5

3. y = -
4. y =
4 x 3 + 6x 2 - 9x - 2
3	3
2x - x 2
3. Chứng minh rằng hàm số:
1.	y =
4 - x 2 nghịch biến trên đoạn éë0;2ùû .
2. y = x 3 + x - cos x - 4 đồng biến trên .
3. y = cos 2x - 2x + 3 nghịch biến trên .
4. Cho hàm số y = sin2 x + cos x .
é 	p ù 	é p 	ù
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 0;	và nghịch biết trên đoạn	;p .
ê 	ú 	ê 	ú
ë	3 û
ë 3	û
b)Chứng minh rằng với mọi m Î (-1;1) , phương trình sin2 x + cos x
= m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn
éë0;p .
Hướng dẫn
1.
1. y = 1 x 3 - 3x 2 + 8x - 2
3
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có
f ' (x ) = x 2 - 6x + 8
f ' (x ) = 0 Û x
= 2, x = 4
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau :
x	-¥	2	4	+¥
f ' (x )
f (x )
+	0	- 	0	+
+¥
-¥
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; 2) và (4; +¥ ) , nghịch biến trên khoảng (2; 4)
2. y =
x 2 - 2x x - 1
Hàm số đã cho xác định trên tập hợp
 \ {1} .
Ta có	( )
÷x 2

2
- 2x + 2
(x - 1) + 1
f ' x
=	=	> 0, x ¹ 1
2	2
(x - 1)
(x - 1)
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau :
x
−∞	1	+∞
f ' (x )
+
+
f (x )
+∞
+∞
-¥	-¥
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥;1) và (1; +¥ )
2.
1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có
f ' (x ) = 6x 2 + 6x
f ' (x ) > 0, x Î (-¥; -1), (0; +¥ ) Þ f (x ) đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; -1) và (0; +¥ ) .
f ' (x ) < 0, x Î (-1; 0) Þ f (x ) nghịch biến trên khoảng (-1; 0) .
Ngoài ra : Học sinh có thể giải
f ' (x ) = 0 , tìm ra hai nghiệm x
= -1, x
= 0 , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận.
2. y = x 4 - 2x 2 - 5
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có
f ' (x ) = 4x 3 - 4x
f ' (x ) > 0, x Î (-1; 0), (1; +¥ ) Þ f (x ) đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0)
và (1; +¥ ) .
f ' (x ) < 0, x Î (-¥; -1), (0;1) Þ f (x ) nghịch biến trên mỗi khoảng (-¥; -1) và (0;1) .
Ngoài ra : Học sinh có thể giải luận.
f ' (x ) = 0 , tìm ra hai nghiệm x
= -1, x
= 0, x
= 1 , kẻ bảng biến thiên rồi kết
3. y = - 4 x 3 + 6x 2 - 9x - 2
3	3
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có
f ' (x ) = -4x 2 + 12x - 9 = - (2x - 3)2
f ' (x ) = 0 Û x = 3
2
và f ' (x ) < 0 với mọi x ¹ 3
2
æ	3 ù
Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng	-¥;	và
é 3 ; +¥ ö nên hàm số nghịch biến trên .
ç 	2 ú 	ê 2	÷
è 	û 	ë 	ø
4. y =
2x - x 2
Hàm số đã cho xác định trên éë0;2ùû .
Ta có
f ' (x ) =
1 - x
2x - x 2
, x Î (0; 2)
f ' (x ) > 0, x Î (0;1) Þ f (x ) đồng biến trên khoảng (0;1) ;
f ' (x ) < 0, x Î (1;2)  ... ïìa = 2
2x + 1
1.	a	1
y '
Û 	Þ y =
î
3	b	1	x	1
í 	- -
ï 	= 	2 = - ïî 	(x - 1)
 = 	-
2. (d ) đi qua điểm B (-2; 2)
có phương trình y = m (x + 2) + 2

2x + 1
Để (d ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt M1, M2 khi phương trình m (x + 2) + 2 =

x - 1
có hai nghiệm khác
1 , hay phương trình mx 2 + mx - 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là
ìm ¹ 0
ï
ìm ¹ 0
ïé	 	

é 	4
ê 	< -
ê
íD = m2 + 4m (2m + 3) > 0 Û ï m < - 4 Û m
3	(*)
íê 	ê
ïm12 + m1 - 2m - 3 ¹ 0
ï m	0 3	êm > 0
î 	êë 	> 	ë
1	1	1	2	2	2	1	2
Giả sử M (x ;y ), M (x ;y ) , hai cạnh hình chữ nhật M PM Q có độ dài là
M P = x - x	=

9m2

+ 12m , M Q = y - y	=

9m2 + 12m
1	2	1	m
1	2	1
1	2
Hình chữ nhật M PM Q trở thành hình vuông khi và chỉ khi
2
1	1
M P = M Q Û
9m + 12m =
m
9m2 + 12m Û m
= 1 Û m = 1
(do (*))
1. Cho hàm số
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
f (x ) = 2x 3 + 3x 2 + 1 có đồ thị (C ) và parabol (P ) : g (x ) = 2x 2 + 1
a)	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Tùy theo giá trị của m , giải và biện luận phương trình
2x 3 + 3x 2 - m = 0
b) Chứng tỏ rằng trong số tiếp tuyến của đồ thị (C )
thì thiếp tuyến tại điểm uốn I có hệ số góc nhỏ nhất .
Viết phương trình tiếp tuyến đó. Chứng tỏ I là tâm đối xứng của đồ thị (C ) .
c) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị (C ) và parabol (P ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) và parabol
(P ) tại các giao điểm của chúng .
d) Xác định trên khoảng đó (C ) nằm phía trên hoặc phía dưới (P ) .
Hướng dẫn :
æ 	1 3 ö 	3	3
c)	A - 	;	, B (0;1) . Tiếp tuyến (C ) tại A, B là y = -	x +	,y = 1 .Tiếp tuyến (P ) tại A, B là
ç 	2 2 ÷ 	2	4
è 	ø
y = -2x + 1 ,y = 1 .
2
d) Xét h (x ) = f (x ) - g (x ) = 2x 3 + x 2 . Lập bảng xét dấu : h (x ) < 0, x Î æ -¥; - 1 ö Þ (C ) nằm phía dưới
ç	2 ÷
è	ø
(P ) . h (x ) > 0, x Î æ - 1 ; 0 ö , (0; +¥ ) Þ (C ) nằm phía trên (P ) .
ç 	2	÷
2. Cho hàm số
è 	ø
f (x ) = x 3 - 3x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn
I của nó . Chứng minh rằng trong số tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến tại I có hệ số góc nhỏ nhất .
b) Gọi (dm ) là đường thẳng đi qua điểm I có hệ số góc m . Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng (dm )
cắt đồ thị đã cho tại ba điểm phân biệt. Hướng dẫn :
a)	y = -3x + 1
b)	m > -3
3. Cho hàm số
f (x ) = x 4 - (m + 1) x 2 + m
a)	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
của đồ thị .
b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm , tạo thành ba đoạn thẳng có
độ dài bằng nhau . Hướng dẫn :
b) x 4 - (m + 1) x 2 + m = 0 Û (x 2 - 1) (x 2 - m ) = 0 . Để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt , tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau khi 0 < m ¹ 1 .
· m > 1,
m - 1 = 1 - (-1) Û m = 9
)
· 0 < m < 1,1 - 	m =
m - (-
m	Û m = 1
9
Ngoài cách giải trên các bạn có thể dùng cấp số cộng ( lớp 11) để giải .
4.
a) Với giá trị nào của m , đường thẳng y = m cắt đường cong y = x 4 - 2x 2 - 3
tại 4 điểm phân biệt?.
-x 2 + 2x
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng (dm ) : y = x - m cắt đường cong y =

x - 1
tại
hai điểm phân biệt.

x 2 + 4x + 3
c) Tìm k để đường thẳng y
= kx + 1 cắt đồ thị hàm số y =

x + 2
tại 2 điểm phân biệt A, B . Tìm
quỹ tích trung điểm I của AB .
x 2 - 2x + 2
5. Cho hàm số y =

x - 1
, (C ) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C ) .
b) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x 2 - 2x

= m x - 1 - 2 .
c) Tìm m để đường thẳng (d ) : y = -x + m
cắt đồ thị (C )

tại 2 điểm A, B đối xứng với nhau qua đường
thẳng y
= x + 3 .
d) Chứng minh rằng qua điểm E (1; 0) ta không thể kẻ được một tiếp tuyến nào đến đồ thị hàm số.
6. Cho hàm số

f (x ) =
x + 2
2x + 1

có đồ thị (G )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Chứng minh rằng đường thẳng (dm ) : y = mx + m - 1 luôn đi qua điểm cố định của đường cong (G )

khi
m thay đổi .
c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (G ) tại hai điểm thuộc cùng một
nhánh của (G ) . Hướng dẫn:
b) M (-1; -1) là điểm cố định mà (dm ) đi qua khi m biến thiên và M (-1; -1) Î (G ) .
c) Cách 1 : (dm

) Ç (G ) : g (x ) = 2mx 2 + 3 (m - 1) x + m - 3 = 0, x
ìD > 0
¹ - 1
2

(*) . Để (dm

) Ç (G ) tại hai điểm
í
thuộc cùng một nhánh nếu và chỉ nếu ï æ 	1 ö
Û -3 ¹ m < 0
ïg ç -
÷ > 0
î è 	2 ø
Cách 2 : (d
) Ç (G ) : m (x + 1) - 1 =
x + 2 , x
¹ - 1
m
Û (x + 1) (2mx + m - 3) = 0, x
é
2x + 1	2
¹ - 1
2
Û êx
ê
= -1 < - 1
2
ë
êk (x ) = 2mx + m - 3 = 0
m
Hai nhánh của (G ) nằm về hai bên của tiệm cận đứng x = - 1 . Đường thẳng (d
2

) Ç (G ) tại hai điểm thuộc
cùng một nhánh của đồ thị khi phương trình k (x ) = 2mx + m - 3 = 0 có nghiệm x < - 1 và x ¹ -1 , khi đó
2
ìm ¹ 0
ìm ¹ 0
ï 	3 - m
1	ï 3
é-3 < m < 0
ï 	ï
ta có íx
= 	< - 	Û í 	< 0	Û ê
Û -3 ¹ m < 0
ï 	2m
2	ï2m
êm < -3
ïk (-1) ¹ 0
ï-m - 3 ¹ 0	ë
î 	î
Bài 8 :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG
Ví dụ 1 :Tìm tất cả các điểm trên trục hoành những điểm M mà qua đó vẽ
được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x 3 + 3x 2
tuyến vuông góc với nhau .
mà trong đó có 2 tiếp
Gọi M (m; 0) Î Ox , đường thẳng (t )
Giải :
đi qua M và có hệ số góc k Þ (t ) : y = k (x - m ) .
(t ) tiếp xúc với (C )

khi hệ sau có nghiệm :
ìx 3 + 3x 2
ï
í
= k(x - a)	(1)
3x 2 + 6x = k
ï
î
(2)
Từ (1) ,(2) suy ra : x 3 + 3x 2
= 3x 2 + 6x(x - a) Û
2x 3 + 3(a - 1)x 2 - 6ax = 0
éx = 0
Û x é2x 2 - 3(a - 1)x - 6a ù = 0 Û ê
ê
ë 	û 	2x 2 - 3(a - 1)x - 6a = 0 (3)
ë
·x = 0 Þ k
= 0 Þ 1 tiếp tuyến.
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đến đồ thị (C )
mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau .
Khi đó (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
ìa ¹ 0
¹ 0 và k1k2
ìa ¹ 0
= -1
ï 	ï
Û ïD > 0
Û 	ï9(a - 1)2 + 48a > 0
í 	í ï 	ï
ï(3x 2 + 6x )(3x 2 + 6x
) = -1
ï9(x x
)2 + 18x x (x
+ x ) + 36x x
= -1
î 	1	1	2	2
î 	1 2	1 2	1	2	1 2
ï
ìa < -3 Ú
a > - 1
3

vaø	a ¹ 0
ì 	1
Û ï81a2 - 81a(a - 1) - 108a + 1 = 0
Û ïa < -3 Ú
a > -
3
vaø
a ¹ 0
Û a = 1
í 	í
ï 	ï-27a + 1 = 0 	27
ï( vì x x

= - 3a ;

x + x
= 3(a -1) )	î
1 2	1	2	2
Vậy M ( 1 , 0) Î Ox
27

thỏa bài toán .
Ví dụ 2 : Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của
x 2
hàm số : y =

x - 1
hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 450 .
Giải :
Gọi M Î Ox Þ M (x0 ; 0) , đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , phương trình có dạng :
(d ) : y = k (x - x0 ) .
ì x 2
-
ï
ï

= k (x - x0 )
(d ) là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ sau có nghiệm :
x
í x 2
î
ï
1
- 2x = k
2
2
x	x 2 - 2x
=
2

(x - x0 ) Û x

ë	û
é(x0 + 1) x - 2x0 ù
ï (x - 1)
= 0
x - 1
éx
x
+ 1
Û ê êx
(x - 1)
= 0
2x
= 	0 	

, x ¹ -1
ê 	0
ë 	0
x 2 - 2x
· x = 0 Þ k
=	= 0 .
2
(x - 1)
2x

-4x
2
· x = 	0 Þ k = 	0 	
x
0
0
+ 1	(x
+ 1)
x 2
· Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị của hàm số : y =

x - 1
hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 450 khi và chỉ
khi

tan 450 =
k - k
0
Þ
1	2
1 + k k
4x
= 1 Þ x
2	0

= 3 ± 2 2 .
1 2	(x0 + 1)
Vậy M (3 - 2 2; 0), (3 + 2 2; 0)
2x 2	p
Ví dụ 3 : Cho hàm số y =

ç
x - 1
.Tìm a Î æ 0;	ö
÷
2
sao cho điểm
M (1 + sin a; 9)
è 	ø
nằm trên đồ thị (C ) . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của
(C ) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C ) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua
điểm M .
Vì M (1 + sin a; 9)
2 (1 + sin a )2

nằm trên đồ thị (C ) nên:
Giải :
ê
ésin a = 1
1 + sin a - 1
= 9 Û 2 sin2 a - 5 sin a + 2 = 0 Û
2
sin a = 2

ë
Vì a Î æ 0; ÷p ö

nên sin a

= 1 Þ a = p

Þ M æ 3 ; 9 ö
ç 	2 ÷ 	ç 	÷
è 	ø 	2	6
è 2	ø
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: y = y ' æ ÷3 ö æ x - ÷3 ö + 9
ç 2 ÷ ç 	2 ÷
hay (d ) : y = -6x + 18 .
è 	ø è 	ø
Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại: A (1;12)
Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm
y = -6x + 18
x = 2
(x;y ) hệ phương trình:

í ïîy

= 2x + 2

Û í ïîy
Þ B (2; 6)
= 6
ì xA + xB
= 3 = x
ï 	2	2	M
Dễ thấy: í 	+
ï
yA	yB
4
î 	2
= 9 = yM
Suy ra, A, B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm).
Cho hàm số :
y = x
- 3x 2 + 5

có đồ thị là	(C ) . Giả sử

M Î (C ) có
2	2
hoành độ a . Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại
2 điểm phân biệt khác M .
æ
Vì M Î (C ) nên M a;y

4
a	3a2	5 ö
Giải :
ç	=	-	+	÷
è	M	2	2 ø
M
Tiếp tuyến tại M có hệ số góc y'
= 2a 3 - 6a
4
Tiếp tuyến tại M có dạng : y = y'
(x - x
) + y
Þ (d ) : y = (2a 3 - 6a)(x - a) + a
- 3a2 + 5
xM	M	M	2	2
Tiếp tuyến (d ) của (C ) tại M cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt khác M khi phương trình sau có 3 nghiệm
phân biệt :
x 4	5	a 4
- 3x 2 +	= (2a 3 - 6a)(x - a) +
- 3a2 + 5

hay phương trình
2	2	2	2
(x - a)2 (x 2 + 2ax + 3a 3 - 6) = 0
có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình
g (x ) = x 2 + 2ax + 3a 3 - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt và khác a .
ïìD'

= a 2 - (3a2 - 6) > 0

ïìa2 - 3 < 0
ïì a < 	3
Û í g (x )
Û í 	Û í
ïg(a) = 6a2 - 6 ¹ 0
ïa2 ¹ 1
ïa ¹ ±1
î 	î 	î
Vậy giá trị a cần tìm
ïì a < 	3
í
ï
a ¹ ±1
î
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.
2
a) Tìm a,b biết rằng đồ thị của hàm số
f (x ) = ax
- bx đi qua điểm A æ -1; 5 ö
và tiếp tuyến tại O (0; 0) có
x - 1
ç 	2 ÷
hệ số góc bằng
è 	ø
-3 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với giá trị a,b vừa tìm được.
b) Tìm a,b biết rằng đồ thị của hàm số
f (x ) = 2x 2 + ax + b
tiếp xúc với hypebol a)
Tìm a,b biết rằng đồ
thị của hàm số y = 1
æ 1	ö
tại điểm M	; 2
x	ç 2	÷
è 	ø
2.
a) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A (1; -2)

và tiếp xúc với parabol y = x 2 - 2x
b) Chứng minh hai đường cong y = x 3 + 5 x - 2,y = x 2 + x - 2 tiếp xúc nhau tại M , viết phương trình tiếp
4
tuyến chung của hai đường cong đó .
c) Chứng minh rằg các đồ thị của ba hàm số
f (x ) = -x 2 + 3x + 6, g (x ) = x 3 - x 2 + 4,
h (x ) = x 2 + 7x + 8 tiếp xúc nhau tại điểm A (-1; 2) .

x 2	3	3x
d) Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số
f (x ) =	+
2	2
x, g (x ) =

x + 2
tiếp xúc nhau . Xác định tiếp
điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó .
e) Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số
f (x ) = x 3 - x, g (x ) = x 2 - 1tiếp xúc nhau . Xác định tiếp
điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . Hướng dẫn :
1.
ìa (-1)2
- (-1)	P5

ìa = -2
ï 	= 	Û ï
a)	í
-1 - 1	2
í
b = -3
î
ï f ' (0) = -3
b) a = -6,b = 9
2
2. a)
(d ) : y = m (x - 1) - 2 Þ m = 2
(y = 2x - 4),
m = -2
(y = -2x )
æ 1	5 ö 	9
2	4
4
b) M	; - 	, y = 2x -
ç 	÷
è 	ø
c)	f (-1) = g (-1) = h (-1) = 2, f ' (-1) = g ' (-1) = h ' (-1) = 5 , chứng tỏ tại A (-1; 2) các đồ thị của ba hàm
số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các đồ thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại điểm A (-1; 2) .
d) O (0; 0),y = 3 x
2
Chúc các em thi đỗ đạt kết quả cao nhất .
Tác giả : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt và Nguyễn Tất Thu – Đồng Nai.