Ứng dụng đạo hàm để giải Toán THPT

NGUYỄN VĂN XÁ 
TỔ TOÁN 
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM 
ðỂ GIẢI TOÁN THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
1 
1 
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN THPT 
1. ðịnh nghĩa và tính chất của ñạo hàm 
1.1. ðịnh nghĩa ñạo hàm 

 Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và ñiểm 0x D.∈ Giả sử tồn tại khoảng (a; b) sao cho 
0x (a;b) D.∈ ⊂ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 
0
0
x x 0
f (x) f (x )lim a
x x→
−
=
−
 thì số a ñược gọi là ñạo hàm của 
hàm số f(x) tại ñiểm x0 và kí hiệu là 0f '(x ) hoặc 0y '(x ), khi ñó 
0
0
0
x x 0
f (x) f (x )f '(x ) lim .
x x→
−
=
−
 ðạo hàm 
của hàm số tại ñiểm x0 (nếu có) là một hằng số. Hàm số có ñạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0. 

 Khi giải toán cần lưu ý 
0 0 0
0 0 0
0
x x x x x x0 0 0
f (x) f (x ) f (x) f (x ) f(x) f (x )f '(x ) a lim a lim lim a.
x x x x x x+ −→ → →
− − −
= ⇔ = ⇔ = =
− − −

 Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm tại mọi ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K và 
hàm số f '(x), x K,∈ ñược gọi là (hàm) ñạo hàm của f(x) trên K. ðạo hàm của hàm số (nếu có) trên 
một khảng (có thể mở rộng trên một tập) là một hàm số. 

 ðạo hàm cấp cao (k) (k 1)f (x) (f (x)) '.−= 
1.2. Các tính chất của ñạo hàm (những công thức này ñược giả sử là hai vế ñều có nghĩa) 
1) n n 1 n
n n 1
1(c) ' 0; (x) ' 1; (x ) ' n.x ; ( x ) .
n. x
−
−
= = = = 
2) 2 22 2
1 1(sin x) ' cos x; (cos x) ' sin x; (tan x) ' 1 tan x ; (cot x) ' 1 cot x .
cos x sin x
= = − = + = = − − = − 
3) x x a
1(a ) ' a .ln a; (log | x |) ' .
x.ln a
= = 
4) 
2
u u ' v uv '(u v w ) ' u ' v ' w '; (k.u) ' k.u '; (uv) ' u ' v uv '; ( ) ' ; (u(v(x))) ' u '(v).v '(x).
v v
−
+ − = + − = = + = = 
2. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số của ña thức 

 Nhờ ñạo hàm ta có thể tính ñược một số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà các số hạng thường 
có dạng (k+1)xkak. 

 ðối với ña thức n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + ta dễ thấy 
(k)
k
f (0)
a ,
k!
= trong ñó qui ước ñạo hàm cấp 0 
của hàm số f(x) là chính hàm số f(x); và n0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1), a a a a ... ( 1) a f ( 1).+ + + = − + − + + − = − 
VD1. Cho ña thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 . 
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong ña thức. 
2. Tính tổng tất cả các hệ số bậc lẻ trong ña thức. 
3. Tính tổng các hệ số bậc lớn hơn hay bằng 2 trong ña thức. 
HD. 1. Ta có 12 2010 11 11 2011 10f '(x) 2011(1 x x ) .(1 12x ) 2012(1 x x ) .( 1 11x ).= + − − + − + − + ðể cho 
tiện ta kí hiệu n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + (với n = 12×2011 = 24132). Hệ số của số hạng chứa x 
trong ña thức f(x) là 1
f '(0)
a 2011 2012 1.
1!
= = − = − 
2. Do n0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1) 2, a a a a ... ( 1) a f ( 1) 0+ + + = = − + − + + − = − = nên tổng các hệ số bậc 
lẻ của f(x) là 1 3 24131
f (1) f ( 1)
a a ... a 1.
2
− −
+ + + = = 
3. Ta có a0 = f(0) = 2, vậy 2 3 n 0 1 n 0 1a a ... a (a a ... a ) a a 2 2 ( 1) 1.+ + + = + + + − − = − − − = 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
2 
2 
VD2. Chứng minh 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n , n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
HD. Ta có 
n n n
n k k n 1 k k 1 n 1 k k
n n n
k 0 k 1 k 1
(1 x) C x n(1 x) C kx nx(1 x) C kx− − −
= = =
+ = ⇒ + = ⇒ + =∑ ∑ ∑ 
n
n 1 n 2 k 2 k 1
n
k 1
n(1 x) n(n 1)x(1 x) C k x ,− − −
=
⇒ + + − + = ∑ thay x = 1 vào ñẳng thức cuối cùng này sẽ thu 
ñược 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n , n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
Nhận xét. Ta cũng có 2 1 2 2 2 n 2 2 n 1 n 2n n n nn C (n 1) C ... 2 C 1 C n(n 1)2 , n , n 2.− − −+ − + + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
Bài tập. 
1. Khai triển f(x) = (1 – x + x2)2011 + (1 + x3)2012 thành dạng 60300 1 6030f (x) a a x ... a x .= + + + Tính 
tổng A = 1 2 3 6029 6030a 2a 3a ... 6029a 6030a .− + + + − 
2. Giả sử n n0 1 n(1 x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng tồn tại số nguyên dương k (1 k n)≤ ≤ 
sao cho k 1 k k 1a a a .
2 9 24
− +
= = Tính tổng 2 3 4 n2.1.a 3.2.a 4.3.a ... n.(n 1).a .+ + + + − 
3. Chứng minh rằng 1 2 3 nn n n nC 2C 3C ... nC (n!.n), n , n 2.+ + + + ℕ 
4. Chứng minh rằng 0 1 n 2 n 2 n 1 n 1n n n nnC (n 1)C ... ( 1) C ( 1) C 0, *.− − − −− − + + − + − = ∀∈ℕ 
5. Cho số nguyên dương n ≥ 3 thoả mãn ñẳng thức 
3 3
n nA C 35.(n 1)(n 2)
+
=
− −
 Tính các tổng sau ñây 
1 2 n 2 2 2 3 n 2 n 2 n 1
1 n n n 2 n n n 3
4 5
S C 2C ... nC ; S 2 C 3 C ... ( 1) n C ; S 1 2x 3x ... nx ;
S sin x sin 2x ... s innx; S cos x 2cos 2x ... n cos nx.
−
= + + + = − + + − = + + + +
= + + + = + + +
6. Chứng minh rằng n 0 n 1 1 n 1 n 1n n nn2 C (n 1)2 C ... 2C 2n.3 , n *.− − −+ − + + = ∀ ∈ℕ 
7. Tìm n biết 1 2 2 3 3 4 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2.C 3.2 C 4.2 C ... (2n 1)2 C 2005 (n *).++ + + + +− + − + + + = ∈ℕ 
8. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng 1 2 n0 2 n
a a a
a ... 4096.
2 2 2
+ + + = 
Gọi ka là số lớn nhất trong các số 0 1 n k ia , a , ..., a , (a max{a , i 0, n}).= = Tính tổng 
0 1 2 3 k 1 k 1 nS a a 2a 3a ... (k 1)a (k 1)a ... na− += + + + + + − + + + + (Tức là 
n
0 i k
i 1
S a ( i.a ) ka ).
=
= + −∑ 
9. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.− = + + + ∈ℕ Biết rằng 0 1 2a a a 71.+ + = Tính tổng 
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 nS 1 a 2 a 3 a 4 a (5 1)a 6 a ... n a .= + + + + − + + + 
10. Cho 0 1 2n n nC C C 211.+ + = Tính tổng 
2 0 2 1 2 2 2 n
n n n n
1 1 1 1
1 2 3 n 1
1 C 2 C 3 C (n 1) CS ... .
A A A A +
+
= + + + + 
11. Tìm số nguyên dương n thoả mãn 
200
1 2 2 3 n 1 n
n n n n
2 1C 3C 3 C ... 3 C .
3
−
−
+ + + + = 
12. Chứng minh rằng 0 99 1 100 99 198 100 199100 100 100 100
1 1 1 1100.C .( ) 101.C .( ) ... 199.C .( ) 200.C .( ) 0.
2 2 2 2
− + − + = 
13. Cho 2 2 2 2
2 3 4 n
1 1 1 1 2011
... , n , n 2.
2012A A A A
+ + + + = ∈ ≥ℕ Tính tổng tất cả các hệ số bậc lớn hơn 2 của 
ña thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n. 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
3 
3 
3. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn 

 Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm và các tính chất của ñạo hàm ta có thể tính 
ñược một số gới hạn ở dạng vô ñịnh. 

 ðể tính giới hạn 0
0
 có dạng 
0x x
f (x)lim , f (0) 0,
x→
= ta vận dụng trực tiếp ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm 
số tại một ñiểm, thu ñược 
0x x
f (x)lim f '(0).
x→
= 

 Nếu các hàm f(x) và g(x) có ñạo hàm trên một lân cận của ñiểm x0 và f(x0) = g(x0) = 0, 0g '(x ) 0≠ 
thì 0
0 0
0
00
x x 00 0
x x x x 0 0 0
x x0 0
f (x) f (x )f (x) f (x ) lim
x xx x f '(x )f (x)lim lim ,g(x) g(x ) g(x) g(x )g(x) g '(x )lim
x x x x
→
→ →
→
−−
−−
= = =
− −
− −
 (dạng vô ñịnh 0).
0
 Các dạng vô 
ñịnh 0, 0. , - , 1 , 0 ...∞∞ ∞ ∞ ∞
∞
 ta biến ñổi về dạng 0
0
 ñể áp dụng tính chất trên. 
VD3. Tính giới hạn 
132 3
32 3 x
x 1 x x 0
1 x x 1 x x1)A lim ; 2)B= lim ( 1 x 1 x ); 3)C lim (1 sin x) .
tan(x 1)→ →−∞ →
− + − − +
= + + + = +
−
HD. 1) Xét 32 3f (x) 1 x x 1 x x , g(x) tan(x 1)= − + − − + = − trên một lân cận của ñiểm x0 = 1. Nhận 
thấy 
2
2
2 3 23
2x 1 3x 1f '(x) , g '(x) 1 tan (x 1),
2 1 x x 3 (1 x x )
− −
= − = + −
− + − +
 f(1) = g(1) = 0, 1f '(1) , 
6
= − 
g '(1) 1 0,= ≠ nên x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
f (x) f (x) 0 f (x) f (1) f (x) f (1)limf (x) f '(1) 1x 1 x 1 x 1 x 1A lim lim lim lim .g(x) g(x) 0 g(x) g(1) g(x) g(1)g(x) g '(1) 6lim
x 1 x 1 x 1 x 1
→
→ → → →
→
− − −
− − − −
= = = = = = = −
− − −
− − − −
32 3 2 33
x x
1 12)B= lim ( 1 x 1 x ) lim x( 1 ( ) 1 ( ) ).
x x→−∞ →−∞
+ + + = − + + + ðặt 
1
t
x
= thì t 0→ khi x .→ −∞ Ta 
có 
3 3 2
t 0
1 t 1 tB= lim .
t→
+ − +
 Xét 3 3 2f (t) 1 t 1 t , = + − + có 
2
3 2 23
t tf '(t) ,
(1 t ) 1 t
= −
+ +
 f(0) = 0, 
f '(0) 0,= nên 
3 3 2
t 0 t 0 t 0 t 0
1 t 1 t f (t) f (t) 0 f (t) f (0)B= lim lim lim lim f '(0) 0.
t t t 0 t 0→ → → →
+ − + − −
= = = = =
− −
3) Ta luôn có thể chọn ñược một lân cận của ñiểm x0 = 0 sao cho trên lân cận ñó 1 + sinx > 0. ðặt 
1
x
ln(1 sin x)M (1 sin x) , N ln(M) .
x
+
= + = = Xét hàm f (x) ln(1 sin x),= + có cos xf '(x) ,
1 sin x
=
+
f(0) = 0, 
f '(0) 1.= Như vậy 
x 0 x 0 x 0 x 0
ln(1 sin x) f (x) f (x) f (0)lim N lim lim lim f '(0) 1.
x x x 0→ → → →
+ −
= = = = =
−
 Suy ra 
x 0
1 lim NN 1x
x 0 x 0 x 0
C lim(1 sin x) lim M lim e e e e.→
→ → →
= + = = = = = Vậy 
1
x
x 0
C lim(1 sin x) e.
→
= + = 
Bài tập. 
14. Tính các giới hạn sau ñây 
x
x x x x
2
0 0 0 1
e + sin2x cos3x 1 1 2x 3x 4 x 2 x 3 2x1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
ln 1 + 4x tan5x 1 cosx sin(1 x)1 2x 1→ → → →
− − + + − − + −
− − −
− +
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
4 
4 
x
x x x
x
x x x
x
n m
21 0 0
3
1
tan xx a
a 0
2
x.2 1 1 ax. 1 bx 1 sin3x ln(cos x)5) lim ; 6) lim (a,b 0;m,n *); 7) lim ; 8) lim ;
x 1 x 1 2cos x x
cos( cos x)
sin x 129) lim ( ) (a k ); 10) lim ; 11) lim (sin x) ; 12) lim (cos
sin a sin(tan x)
pi
pi
pi
pi
→ → →→
−
→ → →±∞→
− + + −
≠ ∈
− −
≠
ℕ
x x
x
2 39
23 30 0 x 1
2 sin 2x sin x
3 3x x 0 x 0
1
sin ) ;
x x
(x +2005) 1 5x - 2005 1 1 x x 213) lim ; 14) lim ; 15) lim ;
x sin(x 1)3x(1 1 4x) 2x( (1 6x) 1 6x 1)
x x 2x e e x sin 2011x16) lim ;17) lim ; 18) lim
sin x x sin 201x x 3x
→ → →−
→+∞ → →
+
 
− + + 
−
  ++ + + + + + 
− + − −
+
− +
n n
m mx a
x a
; 19) lim (a ;m,n *).
2x x a→
−
∈ ∈
−
ℝ ℕ
4. Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 

 Nếu hàm số y = f(x) (C) có ñạo hàm tại x = x0 thì tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x0; f(x0)) có phương 
trình là 0 0 0 0y f '(x )(x x ) f (x ); f '(x )= − + là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x0; f(x0)). 

 ðường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = f(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm 
ax b f (x)
,
a f '(x)
+ =

=
 và nghiệm x0 của hệ này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm. 
VD4. Tìm a, b ñể hàm số 
2
3 2
x ax b khi x 2
y
x x 8x 10 khi x 2
 + + ≤
= 
− − + >
 có ñạo hàm tại x0 = 2 và khi ñó hãy viết 
phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 2. 
HD. ðể hàm số có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 thì trước hết nó phải liên tục tại ñiểm này. Ta phải có 
3 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
y(2) lim y(x) lim y(x) y(2) lim (x x 8x 10) lim (x ax b) 4 2a b 2
+ − + −→ → → →
= = ⇔ = − − + = + + ⇔ + + = −
b 2a 6.⇔ = − − Lúc này ta viết lại 
2
3 2
x ax 2a 6 khi x 2
y .
x x 8x 10 khi x 2
 + − − ≤
=
− − + >
 Hàm số này có ñạo hàm tại x0 = 2 thì 
3 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
y(x) y(2) y(x) y(2) (x x 8x 10) ( 2) (x ax 2a 6) ( 2)lim lim lim lim 0 a 4
x 2 x 2 x 2 x 2+ − + −→ → → →
− − − − + − − + − − − −
= ⇔ = ⇔ = +
− − − −
a 4 b 2.⇔ = − ⇒ = Vậy với a = –4, b = 2 thì hàm số ñã cho có ñạo hàm tại ñiểm x0 = 2 và y '(2) 0.= 
Khi ñó tiếp tuyến cần tìm là y 0.(x 2) ( 2) y 2.= − + − ⇔ = − 
VD5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến ñi qua tâm ñường tròn nội tiếp 
tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực trị của (C). 
HD. Dễ thấy (C) có ba ñiểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam 
giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < 0. Các ñường thẳng OA, OB, AB lần lượt có phư ... cực trị của ñồ thị hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 cách ñều ñiểm O. 
33. Tìm m ñể ñồ thị (C) 4 21y x (3m 1)x 2(m 1)
4
= − + + + có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác ñều. 
34. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị 3 21 m 1y x x
3 2 3
= − + biết rằng tiếp 
tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng –1 là một ñường thẳng song song với d: 5x – y = 0. 
35. Tìm m ñể hàm số 
2
x mx 1y
x m
+ +
=
+
 a)Có hai ñiểm cực trị trái dấu. b)Có hai cực trị trái dấu. 
36. Tìm m ñể các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 ñối xứng với nhau qua ñường 
thẳng y = x. 
37. Tìm m ñể hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + 2 có hai ñiểm cực trị dương. 
38. Tìm m ñể ñường thẳng y = x + m2 – m ñi qua trung ñiểm của ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị của 
ñồ thị hàm số y = x3 – 6x2 + 9x. 
39. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m có 3 ñiểm cực trị A, B, C (A là ñiểm cực trị nằm 
trên Oy) sao cho OA = BC. 
40. Chứng minh ñồ thị hàm số sau luôn có hai ñiểm cực trị và viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai 
ñiểm cực trị ñó: 
2 3
3 21 x m(m 1)x m 1a)y x mx x m; b)y .
3 x m
− + + +
= − − + =
−
41. Tìm m ñể hàm số 4 21 1f (x) x ax 2x 3
4 2
= + + − có 1 ñiểm cực trị. 
42. Tìm a, b, c, d ñể y = ax3 + bx2 + cx + d ñạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0, ñạt cực ñại bằng 1 tại x = 1. 
43. Tìm a, b, c ñể hàm số y = x3 + ax2 + bx + c ñạt cực tiểu bằng – 3 tại x = 1, và ñồ thị của nó cắt trục 
Oy tại ñiểm có tung ñộ bằng 2. 
44. Cho hàm số 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1= − + + + + (C). 
a) Chứng minh với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị có khoảng cách không ñổi. 
c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – 5. 
d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16. 
e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi. 
7. Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
hàm số 

 Bảng biến thiên của hàm số có thể giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc 
chứng minh bất ñẳng thức. 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
9 
9 

 ðể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên ñoạn [a; b] ta có thể làm theo sơ ñồ sau: 
– Tính f '(x) , tìm các giá trị 1 2x , x ,... [a;b]∈ mà tại ñó f '(x) = 0 hoặc không xác ñịnh. 
– Tính 1 2f (x ), f (x ),..., f (a), f (b) . 
– Khi ñó [ ] [ ]1 2 1 2x a;bx a;bmax f(x) max{f (x ),f (x ),...,f (a),f (b)}, min f (x) min{f(x ),f (x ),...,f (a),f (b)}.∈∈ = = 
VD9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2y 6x 10 4x .= + − 
HD. Tập xác ñịnh của hàm số là 10 10D ; .
2 2
 
= − 
 
 Ta có 
2 2
4x 4x 3y' 6 ;6 0 x ,
210 4x 10 4x
= − − = ⇔ =
− −
và 10 10 3y( ) 3 10; y( ) 3 10; y( ) 10.
2 2 2
= − = − = Vậy 
x Dx D
3 10
max y y( ) 10; min y y( ) 3 10.
2 2∈∈
= = = − = − 
VD10. Cho a, b không ñồng thời bằng 0, chứng minh 
3 3
4 4 4 4
ab a b 1
.
2a 3b 3a b
+ ≤
+ +
HD. Xét hàm số f(x) = x4 – 4xb3 + 3b4 với x .∈ℝ Có 3 3f '(x) 4x 4b ,= − f '(x) 0 x b,= ⇔ = 
f '(x) 0 x b,> ⇔ > f '(x) 0 x b.< ⇔ < Bảng biến thiên của f(x) như sau 
x −∞ b +∞ 
f '(x) – 0 + 
f(x) 
+∞ +∞ 
 0 
Suy ra ( ) 4 3 4f x x – 4xb 3b 0, x .= + ≥ ∀ ∈ℝ Từ ñó ta ñược 34 3 4 4 4
ab 1
a – 4ab 3b 0
4a 3b
+ ≥ ⇔ ≤
+
(do a, b không ñồng thời bằng 0 nên a4 + 3b4 > 0). Tương tự ta có 
3
4 4
a b 1
43a b
≤
+
. Cộng hai bất ñẳng 
thức này, vế với vế tương ứng, ta ñược 
3 3
4 4 4 4
ab a b 1
.
2a 3b 3a b
+ ≤
+ +
 Dấu “=” xảy ra khi a = b. 
Bài tập. 
45. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x. 
46. Chứng minh rằng a4 + b4 ≥ ab3 + a3b với mọi a, b. 
47. Chứng minh rằng a) x.e x + 1 + 1≥ 0 với mọi x. 
48. Chứng minh 
2x
 a)x ln(1 x), x 0; b)2sin x tan x 3x, x (0; ); c) cos x 1 , x .
2 2
pi
> + ∀ > + > ∀ ∈ ≥ − ∀ ∈ℝ 
49. Chứng minh 2 2 2
x x x 9 3
, x, y, z , x y z 1.
10 41 x 1 x 1 x
+ + ≤ ∀ ≥ − + + =
+ + +
50. Cho 2 2a 0, b 0, 2(a b ) ab (a b)(ab 2).> > + + = + + Tìm GTNN của 
3 3 2 2
3 3 2 2
a b a bP 4( ) 9( ).
b a b a
= + − + 
51. Cho [ ]a, b,c 1;4 ,a b,a c.∈ ≥ ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b cP .
2a 3b b c c a
= + +
+ + +
52. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2
1y x; x ( ;0).
2x
= − ∈ −∞ 
 b) x x y y y x(a b ) (a b ) , a, b 0, x y 0.+ > > 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
10 
10 
8. Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số 
Bài tập. 
53. Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số 3 2 4 22x 1a)y ; b)y x 3x ; c)y x x 6.
x 1
−
= = − = − − +
−
9. Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 

 Nếu f(x) là hàm số ñồng biến hoặc là hàm hằng trên D, g(x) là hàm nghịch biến hoặc là hàm hằng 
trên D thì phương trình f(x) = g(x) có không quá 1 nghiệm trên D. 

 Nếu f(x) là hàm ñơn ñiệu trên D thì f(a) = f(b) a b (a, b D).⇔ = ∈ Nếu f(x) ñồng biến trên D thì 
f (a) f (b) a b (a,b D).> ⇔ > ∈ Nếu f(x) nghịch biến trên D thì f (a) f (b) a b (a, b D).> ⇔ < ∈ 

 Nếu 
x D x D
a min f (x), A max f (x)
∈ ∈
= = thì bất phương trình m f (x)≥ có nghiệm trên D khi m a,≥ và bất 
phương trình này nghiệm ñúng với mọi x D∈ khi m A.≥ 

 Rất nhiều bài toán ñược giải quyết dựa vào bảng biến thiên của hàm số. 
VD11. Gải phương trình 13 13 3 3 33sin x 3cos x sin x sin ( x) 3cos 2x 3 2 sin(x ) 0.
2 4
pi pi
− + + − + + − = 
HD. PT 13 3 2 13 3 23sin x sin x 3sin x 3sin x 3cos x cos x 3cos x 3cos x (1).⇔ + − + = + − + Xét hàm số 
13 3 2f (t) 3t t 3t 3t,= + − + có 12 2 12 2f '(t) 39t 3t 6t 3 39t 3(t 1) 0, t ,= + − + = + − > ∀ ∈ℝ nên f(t) ñồng 
biến trên .ℝ Ta có (1) f (sin x) f (cos x) sin x cos x x k ,k .
4
pi
pi⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ 
VD12. Tìm m ñể hệ sau ñây có nghiệm 
2 2
3 2
4x 3y 2. x y 1 2 3x 5xy 2y 2. 3x 2y (1)
.37
x y x y m 3m 3m (2)
12
 + + + + = + + + +


 + + − ≥ − + +

HD. Ta ñặt 
u 3x 2y 0
v x y 0
 = + ≥

= + ≥
 thì hệ ñã cho ñược viết thành 
2 2
2 2 3 2
u v 2v 1 2uv 2u
37
v 2u 5v m 3m 3m
12
 + + + = +

⇔
 + − ≥ − + +

2 2
2 3 22 2 3 2
u v 1u v 2v 1 2uv 2u (do u, v 0)
.3737 3v 5v 2 m 3m 3mv 2u 5v m 3m 3m 1212
 = ++ + + = + ≥
 
⇔ 
− + + ≥ − + ++ − ≥ − + + 
 Ta xét hàm số 
2f (v) 3v 5v 2= − + + với v 0,≥ có 2f '(v) 6v 5,= − + và có bảng biến thiên 
v 0 5
6
 +∞ 
f '(v) + 0 – 
f(v) 
49
12
5 
 −∞ 
Từ bảng biến thiên và hệ cuối cùng ta thấy hệ ñã cho có nghiệm khi 3 2 37 49m 3m 3m
12 12
− + + ≤ ⇔ 
3(m 1) 0 m 1.⇔ − ≤ ⇔ ≤ Vậy hệ ñã cho có nghiệm khi m 1.≤ 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
11 
11 
VD13. Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình 
3 2
2
2x (y 2)x xy m
.
x x y 1 2m

− + + =

+ − = −
HD. 
4 3
3 2
2
2
2
x 2x x
m2x (y 2)x xy m
.2x 2x 1
x x y 1 2m
y x x 2m 1

− + − =− + + = 
⇔  − +
+ − = − 
= + + −
 Xét hàm số 
4 3
2
x 2x xf(x)
2x 2x 1
− + −
=
− +
 xác ñịnh trên ,ℝ 
có ñạo hàm 
5 4 3 2 2 2
2 2 2 2
4x 10x 12x 8x 1 (2x 1)(4x 4x 2 2 3)( 8x 8x 4 4 3)f '(x) ,
(2x 2x 1) (2x 2x 1)
− + − − − − − + − − + − −
= =
− + − +
 và 
có bảng biến thiên 
x 
−∞ 
1 2 3 1
2
− −
1
2
1 2 3 1
2
+ −
 +∞ 
f '(x) + 0 – 0 + 0 – 
f(x) 
2 3
2
−
2 3
2
−
5
8
− 
−∞ −∞ 
Nhận thấy số nghiệm của hệ phương trình ban ñầu bằng số nghiệm của phương trình m = f(x). Căn cứ 
vào bảng biến thiên trên ta có kết luận: 
– Hệ phương trình ñã cho vô nghiệm khi 2 3m .
2
−
> 
– Hệ phương trình ñã cho có 2 nghiệm khi 2 3m
2
−
= hoặc 5m .
8
< − 
– Hệ phương trình ñã cho có 3 nghiệm khi 5m .
8
= − 
– Hệ phương trình ñã cho có 4 nghiệm khi 5 2 3m .
8 2
−
− < < 
VD14. Giải bất phương trình 2 5 235a) x 12 log (3 x) 7 x 4; b)x 4x 2x 1 2(2x 1) 2x 1 x.+ + + ≥ − + + − > + − − 
HD. a) 2 23 35 5x 12 log (3 x ) 7 x 4 x 12 log (3 x ) 7 x 4 0 (1).+ + + ≥ − + ⇔ + + + − + + ≥ Xét hàm số 
2 3
5f (x) x 12 log (3 x ) 7 x 4= + + + − + + với tập xác ñịnh D = [ )0; .+∞ Hàm số liên tục trên D và có 
ñạo hàm là 5
23
log (3 x )1 1f '(x) 0, x (0; ),
2 x 12 x (3 x ) ln 53 (x 4)
+
= + + > ∀ ∈ +∞
+ ++
 nên f(x) ñồng biến trên 
D. Hơn nữa f(4) = 0 nên (1) f (x) f (4) x 4.⇔ ≥ ⇔ ≥ Vậy bất phương trình ñã cho có nghiệm x 4≥ . 
5 2 5 5b)x 4x 2x 1 2(2x 1) 2x 1 x x x ( 2x 1) 2x 1 f (x) f ( 2x 1)+ − > + − − ⇔ + > − + − ⇔ > − (với 
hàm f(x) = x5 + x ñồng biến trên 
1
x) x 2x 1 .2
x 1
 ≥
⇔ > − ⇔ 
 ≠
ℝ Vậy bất phương trình ñã cho có tập 
nghiệm ( )1S ;1 1; .
2
 
= ∪ +∞ 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
12 
12 
VD15. Giải hệ phương trình 
2
x y
2 2
x y 1 1 4(x y) 3(x y)2 2 (y x)(xy 2)
a) ; b) .32x yx y 2
2
 + + + = + + +
− = − + 
 
− =+ =  
HD. a) Hệ 
x y 2 2 x 3 y 3
2 2 2 2
2 2 (y x)(xy x y ) 2 x 2 y (1)
.
x y 2 x y 2 (2)
 
− = − + + + = + 
⇔ ⇔ 
+ = + =  
 Xét hàm x 3f (x) 2 x= + có 
ñạo hàm x 2f (x) 2 ln 2 3x 0, x ,= + > ∀ ∈ℝ nên f(x) ñồng biến trên .ℝ Như vậy (1) f (x) f (y)⇔ = 
x y,⇔ = thế vào (2) ta ñược x2 = 1. Do ñó x = y = 1.± Vậy hệ ñã cho có 2 nghiệm (1; 1), (–1; –1). 
b) ðặt t = x + y thì phương trình ñầu tiên của hệ phương trình ñã cho trở thành 
2 2t 1 1 4t 3t 4t 3t t 1 1 0 (3).+ + = + ⇔ + − + − = Xét hàm 2f (t) 4t 3t t 1 1= + − + − liên tục trên 
[0; ),+∞ có 
2
9t 9 3tf '(t) 8t 0, t (0; ),
2 3t 3t
+ −
= + > ∀ ∈ +∞
+
 nên f(t) ñồng biến trên [0; ).+∞ Lại có 1f ( ) 0
2
= 
nên 1 1 1(3) f (t) f ( ) t x y .
2 2 2
⇔ = ⇔ = ⇒ + = Suy ra hệ phương trình ñã cho tương ñương với 
31
xx y
22
.
13 y2x y
62

=+ =  
⇔ 
 
= −− =
  
 Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm 3 1( ; ).
2 6
− 
Bài tập. 
53. Tìm m ñể cả hai hệ phương trình 
1 x 4 y m 2 x 3 y m
, 
1 y 4 x m 2 y 3 x m
 + + − = + + − = 
 
+ + − = + + − =  
 cùng có nghiệm. 
54. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 
2 2
x y y
2 2
2 2
2
2
x 2y x
x x2
y 2
3 2
19
e e (log y log x)(xy 1) ( 3x 4 5 x ).2 2( 3x 8)
a) ; b) ;x
x y 1 y log x 1
x 2010
e y y 12009
c) ; d) ; e)2 3 3x 2;y 2010
e x x 13log (x 2y 6) 1 2log (x y 2)
f )
−

− = − + + − − = − + 
 
+ =  + = 
 + 
= + += 
+ = + +
  = + ++ + = + + +
2 11 2011 11 2011
33 2 2
4 2
2 x 2 x
2012 3 24 2
1 1
x 3x 2 0; g)sin x cos x cos x sin x;
2x 2x 3 x x 1
x x 2x 5h) log ( ) x 2x 3; i) log (x 1) log x; j)e x 3 x 2 e .
x 2x 4x 2
− − + − = − = −
− + + +
+ + +
= + − + ≥ − ≤ + −
+ + +
55. Tìm m ñể phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 
3 2 2011 3 2 3
4x 2 1 x 1 x 1 x m 2
2 x x x 3
a)(x 3x 1) m( x x 1) ; b) log(x x 2m) log(1 2x); c) x 2x x 1 m;
d)2 2 1 x 1 x m x; e)3 x 1 m x 1 2 x 1;
f ) x mx 2 2x 1; g)m(1 5) (m 2)( 5 1) (2m 1)2 ; h)6sin x 4sin x m 0;
i
+ + + + − +
+ + ≤ − − + − = − − − =
− = − − + + − − + + = −
+ + = + + + + − = + − + =
2 2
2 22 2
x y 3, x 2x y 4, x 9 x y xy 33x y 2y m 0) ; j) ; k) ; ) .
x 7 y 7 m x 1 y 1 mx 3 y 5 m3y x 2x m 0
+ = ≥  + = ≥ + − =
− − =   
   
+ + + ≤ + + + =+ + + =
− − =    
l