Ứng dụng của khai triển Taylor

Ta bắt đầu với ứng dụng tính giới hạn của khai triển Taylor. Như đã 
biết quy tắc L’Hopital là một trong những kỹ thuật quan trọng để tính 
giới hạn. Có thể nói một trong các nguồn gốc của quy tắc này xuất phát 
từ khai triển Taylor. Việc dùng khai triển Taylor để tính giới hạn bắt 
nguồn từ việc tính giới hạn của phân thức 
trong đó 
Để tính được giới hạn ta cần xác định các hệ số có tính chất sau: 
+ là các số lớn nhất thỏa mãn 
 và 
Khi đó ta có thể viết 
trong đó ta hiểu là đại lượng vô cùng bé cấp cao hơn khi 
nghĩa là 
Ta có ba tình huống sau xảy ra 
+ nếu thì (ví dụ ) 
+ nếu thì không có giới hạn (ví dụ ) 
+ nếu thì (ví dụ ). 
Ta cũng mong muốn tính được giới hạn 
với là các hàm khá tổng quát dựa trên kỹ thuật trên, kỹ thuật sử 
dụng biểu diễn “vô cùng bé” hay cũng chính là khai triển Taylor dạng 
Peano! 
Vẫn đề ta khai triển Taylor như nào? 
Câu trả lời: ta khai triển cả 
Vấn đề tiếp khai triển đến bậc bao nhiêu? 
Câu trả lời: phụ thuộc vào mẫu số 
Phụ thuộc như nào? 
Ta cần tìm cấp hội tụ về của 
Để tránh chuyện hình thức, ta đi vào tính toán các ví dụ cụ thể. 
Tính 
Có 
Không khó khăn gì ta có khai triển Taylor của 
Ta chỉ cần khai triển đến bậc 
Ta có nên 
Như vậy hay giới hạn cần tìm 
Bạn đọc có thể tự tính các giới hạn sau 
Gợi ý: 
+ tính ta có nên chỉ cần khai triển đến cấp hàm 
+ tính ta có nên chỉ cần khai triển đến cấp hàm 
(chú ý ). 
Khai triển Taylor còn có thể áp dụng vào việc tính gần đúng, tính giới hạn 
chuỗi số, v.v. Dưới đây tôi trình bày một ứng dụng trong “Lý thuyết Tổ 
hợp”. Ứng dụng này tôi học được từ “Giáo trình Tổ hợp” của thầy Hoàng 
Chí Thành. 
Khai triển Taylor giúp ta tính được số Catalan Trước hết ta cần biết số 
Catalan là gì? Số Catalan là số tự nhiên, là số tất cả các cây nhị phân 
đầy (full binary tree) với số lá Cây nhị phân đầy là cây tại các nút 
không phải là lá có đúng hai nút con, nút “lá” là nút không có nút con nào. 
Chi tiết bạn đọc có thể xem 
Với dễ có 
Ngoài ra ta có công thức truy hồi 
Công thức này có được nhờ lý luận khá đơn giản sau: 
một cây đầy có lá gồm 
+ một nút gốc (không là con của nút nào), 
+ cây con trái, cũng là cây đầy, với lá và cây con phải, cũng là cây đầy, với 
 lá. 
Ta chia tập các cây đầy lá thành các lớp: 
lớp là lớp các cây có cây con trái có lá, 
lớp là lớp các cây có cây con trái có lá, .v.v. 
Lớp mỗi cây có cách chọn cây con trái, cây con phải nên số phần tử 
của lớp 
Từ đó cộng tất cả lại ta có công thức truy hồi. 
Xét hàm số có khai triển Taylor 
trong đó hệ số là các số Catalan. 
Giả sử khai triển Taylor của là 
Không khó khăn gì ta có 
Từ công thức truy hồi có Do đó 
Giải phương trình hàm với lưu ý xác định tại ta có 
Để tính ta khai triển Taylor hàm 
Có 
nên 
Như vậy 
Bạn đọc có thể tự mình tính số Fibonacci nhờ phương pháp trên. Tôi nói 
qua về sự xuất hiện số Fibonacci. Số Fibonacci là số thỏ tại năm thứ ở 
đây loài thỏ này được coi là không bị chết và sinh sản theo quy luật sau: 
thỏ mới sinh sau một năm chưa đẻ được, từ năm thứ hai trở đi mỗi năm sinh 
một con. 
Bắt đầu từ năm con đầu tiên được sinh ra nên 
Năm thứ nhất con đầu chưa đẻ nên 
Năm thứ hai con đầu đẻ một con nên 
Năm thứ ba con đầu đẻ, con thứ hai chưa nên 
Cứ thế, ta có công thức truy hồi 
Ta xét chuỗi lũy thừa 
Bằng cách thêm bớt và dùng công thức truy hồi có