Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi

ĐỀ SỐ 01
Câu 1: (3.0 điểm) Xác định để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 2: (3.0 điểm) Cho , là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi lần lượt là khoảng cách từ đến cạnh . Chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi nào? là bán kính đường tròn ngoại tiếp .
Câu 3: (2.0 điểm) Tìm tất cả các cặp số với sao cho 
Câu 4: (3.0 điểm) Cho dãy số thỏa mãn điều kiện Tìm 
Câu 5: (3.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên sao cho tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0.
Câu 6: (3.0 điểm) Tìm các hàm thỏa
Câu 7 : (3.0 điểm) Cho hình cầu tâm , bán kính . Từ điểm bất kỳ trên mặt cầu kẻ 3 cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại và đôi một tạo với nhau một góc . Gọi là thể tích của tứ diện . Định để lớn nhất.
ĐÁP ÁN
Câu 1: (3.0 điểm) Xác định để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm.	0.5 điểm
 Điều kiện cần để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất là .
Thay vào hệ, ta được 	0.5 điểm
Từ ta có 
* Xét , hệ trở thành 
 có vô số nghiệm là 	0.5 điểm
* Xét , hệ trở thành 
Dễ dàng có nghiệm là .	0.5 điểm
Giả sử là một nghiệm bất kỳ của . Khi đó:
.	0.5 điểm
Mặt khác 	0.5 điểm
Vậy là nghiệm duy nhất.
Đáp số: 
 Câu 2: (3.0 điểm) Cho , là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi lần lượt là khoảng cách từ đến cạnh . Chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi nào?
 là bán kính đường tròn ngoại tiếp .
Gọi lần lượt là đường cao kẻ từ và lần lượt là diện tích tam giác . Ta có:
	1.0 điểm	
	0.5 điểm
	0.5 điểm	
	0.5 điểm
Dấu bằng xảy ra là trọng tâm tam giác đều.	0.5 điểm
Câu 3: (2.0 điểm) Tìm tất cả các cặp số với sao cho 
Ta có 	
Mặt khác 	0.5 điểm
 hoặc 	
Vậy nếu hoặc thì phương trình vô nghiệm	0.5 điểm
Với 
Với 
Với 	0.5 điểm
Vậy phương trình có ba nghiệm 	0.5 điểm
 Câu 4: (3.0 điểm) Cho dãy số thỏa mãn điều kiện Tìm 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương , ta có
	0.5 điểm
Như vậy, dãy số là dãy đơn điệu tăng	0.5 điểm
Ngoài ra dãy số bị chặn bởi .	0.5 điểm
 Tồn tại giới hạn 	0.5 điểm
Mặt khác 
	0.5 điểm
	0.5 điểm
Vậy 
Câu 5: (3.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên sao cho tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0
Giá trị của phải thỏa mãn việc khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì thừa số 5 xuất hiện 1987 lần. 
Khi đó những số chẵn nhân với 5 thì cho thừa số 10.	0.5 điểm
Gọi là phần nguyên của . Ta có lũy thừa của 5 lớn nhất chia hết được cho bởi.
	0.5 điểm
Trong đó là số lớn nhất mà .
Số nhỏ nhất sao cho rõ ràng là bội của 5 và nó có thể viết dưới dạng
 trong đó 	0.5 điểm
Từ đó: 
Trong đó 	0.5 điểm
Thì . 	0.5 điểm
Ta có thể kết luận rằng
 thỏa mãn 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 7960	0.5 điểm
Câu 6: (3.0 điểm) Tìm các hàm thỏa
* Cho , ta có:	0.5 điểm
* Cho , ta có: 	0.5 điểm
* Cho , ta có:	0.5 điểm
Lấy cộng với : 	0.5 điểm
Từ và , ta có: 	0.5 điểm
Suy ra: 	0.5 điểm
Câu 7: (3.0 điểm)
 Cho hình cầu tâm , bán kính . Từ điểm bất kỳ trên mặt cầu kẻ 3 cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại và đôi một tạo với nhau một góc . Gọi là thể tích của tứ diện . Định để lớn nhất.
* Dễ dàng chứng minh đều.	0.5 điểm
* Đặt ; là hình chiếu của trên .
Ta tính được 	0.5 điểm
	0.5 điểm
Mặt khác 
 ta có : 	0.5 điểm
Thay vào , ta được : 	0.5 điểm
Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 
 khi và chỉ khi 	0.5 điểm
Đáp số : 
ĐỀ SỐ 02
Câu 1) ( 3 điểm ) Giải phương trình 
Câu 2) ( 3 điểm ) Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M’, N’, P’ sao cho mỗi đường thẳng MM’, NN’, PP’ đều chia chu vi tam giác ABC thành hai phần bằng nhau trong đó M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh ba đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng qui tại một điểm.
Câu 3) ( 2 điểm ) Cho số nguyên tố p dạng . Chứng minh rằng không có số nguyên x nào thỏa điều kiện . 
Câu 4) ( 3 điểm ) Cho dãy số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 
Tính .
Câu 5) ( 3 điểm ) Xung quanh bờ hồ hình tròn có 17 cây cau cảnh. Người ta dự định chặt bớt 4 cây sao cho không có 2 cây nào kề nhau bị chặt. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau?
Câu 6) ( 3 điểm ) Tìm tất cả các hàm số liên tục trên R thỏa: 
Câu 7) ( 3 điểm ) Cho 8 số thực Chứng minh rằng trong 6 số sau đây có ít nhất một số không âm: 
ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM:
Câu 1) ( 3 điểm ) Giải phương trình (1)
	Ta thấy không là nghiệm của phương trình (1). (0,5đ)
	Với , 
	 	 (2) (0,5đ)
	Do nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số: ta có:
 	 (1đ)
	Do đó (2) xãy ra khi và chỉ khi: ( do )
	Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất . (1đ)
Câu 2) ( 3 điểm ) 
I
Không mất tính tổng quát ta giả sử: .
	Gọi và I là giao điểm của đường 
thẳng PK với BC.
Ta chứng minh :
Thật vậy giả sử M’ ở ngoài đoạn AC thì :
Nên 
Tương tự ta cũng chứng minh được: (1đ)
Ta lại có:
Suy ra (0,5đ)
Tương tự suy ra tam giác MNM’ cân tại N, tam giác NMN’ cân tại M 
 (0,5đ)
 mà nên MK, NK là các phân giác trong của tam giác MNP. 
 (0,5đ)
Suy ra cân tại M 
Vậy MM1, NN1, PP1 đồng qui tại một điểm. (đpcm). (0,5đ)
Câu 3) ( 2 điểm ) 
Giả sử có số nguyên a để ta có: (0,25đ)
Suy ra hay: (0,5đ)
Nhưng theo định lí Fhec-ma thì: (0,5đ)
Nên (*) mà p là số nguyên tố dạng nên:
 (0,5đ)
Điều vô lí trên suy ra bài toán được chứng minh. (0,25đ)
Câu 4) ( 3 điểm ) 
Ta có dãy là một dãy tăng thực sự, (0,5đ)
Thật vậy: nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho thì do giả thiết ta thu được (do ) và cứ như thế ta được một dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều này không thể xãy ra vì dãy là dãy vô hạn. (1đ)
Do nên theo phương pháp quy nạp ta có ngay .
Suy ra: (0,5đ)
Đặt thì (0,5đ)
Vậy (theo nguyên lí kẹp) (0,5đ)
Câu 5) ( 3 điểm ) 
Chọn 1 cây bất kì trong hàng cây, đánh dấu là cây A. Có hai trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp 1: Cây A không bị chặt. Khi đó xét hàng cây gồm 16 cây còn lại. Ta sẽ chặt 4 cây trong số 16 cây đó sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt. (0,5đ)
	Giả sử đã chặt được 4 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 12 cây (không kể cây A). Việc phục hồi lại hàng cây là đặt 4 cây đã chặt vào 4 vị trí đã chặt, số cách làm này bằng với số cách đặt 4 cây vào 4 trong số 13 vị trí xen kẽ giữa 12 cây (kể cả 2 đầu), nên:
	Số cách chặt 4 cây ở trường hợp 1 là: (cách). (1đ)
Trường hợp 2: Cây A bị chặt. Khi đó hàng cây còn lại 16 cây. Ta sẽ chặt 3 cây trong số 16 cây còn lại sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt ( hai cây ở hai phía của cây A cũng không được chặt). (0,5đ) 
	Giả sử đã chặt được 3 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 13 cây. Do hai cây ở hai phía cây A vừa chặt không được chặt nên ta xét hàng cây gồm 11 cây còn lại.
	Lập luận tương tự như trường hợp 1, ta có số cách chặt cây là: (cách).
	Suy ra: số cách chặt cây thỏa yêu cầu đề bài là: (cách). (1đ)
Câu 6) ( 3 điểm ) 
 ta có: 
 (2) (0,5đ)
Từ (1) ta có: .
Đặt , ta có: (0,5đ)
, g(x) liên tục trên R và (do(2)). (0,5đ)
Suy ra: với , mà g(x) liên tục trên R, nên: . (0,5đ)
Suy ra: (0,5đ)
Thử lại, ta thấy thỏa (1), vậy có duy nhất một hàm số thỏa yêu cầu đề bài. (0,5đ)
Câu 7) ( 3 điểm ) 
Trong mặt phẳng Oxy, đặt ,,,. (0,5đ)
Ta có: 
 (1đ)
Vì trong 4 góc tạo bởi 4 vectơ có ít nhất một góc không vượt quá 900 nên tồn tại cặp vectơ sao cho (1đ)
Suy ra vì vậy ta có điều phải chứng minh. (0,5đ)
ĐỀ SỐ 03
Câu 1 (3đ) : Giải hệ phương trình:	
Câu 2 (3đ): Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy. 
Câu 3 (2đ): Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Câu 4 (3đ): 
 Cho dãy số xác định như sau : 
 Tìm 
Câu 5 (3đ): Cho hai số tự nhiên n, k thỏa : . Chứng minh rằng :
Câu 6 (3đ): Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 7 (3đ): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN
Câu 1 (3đ) : Giải hệ phương trình:	
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số: (1; 3; 4; 1) và (x; y; z; t). Ta có:
. ( 1 đ )
Đẳng thức xảy ra khi : 
Vậy hệ đã cho ( 1 đ )
Bằng cách đặt : , ta suy ra : 
Thay vào (2), ta được: 
Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm : (1 đ )
Câu 2 (3đ): Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy. 
	P
Q
I
N
M
D
C
B
A
Gọi giao điểm của MN với BC và AD lần lượt là I và J. Ta có:
Tương tự, 
Nhưng do 
 Tức là suy ra hay 
Lập luận tương tự đối với PQ. 
Câu 3 (2đ): Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Pt 
Nếu y = -1 thì x nguyên tuỳ ý. (0,5)
Nếu thì là phương trình ẩn y, có 
Phải có là số chính phương. (0,5)
Có các trường hợp :
 a) (0,5)
	 b) 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (0;0), (2;3) , (-2;1), và (m;-1) với m nguyên tùy ý. (0,5đ)
Câu 4 (3đ): 
 Cho dãy số xác định như sau : 
 Tìm 
Đáp án :
Ta có : 
Xét hàm số : 
Ta có : 
Vậy : thì ( 0,5 )
Gọi a là nghiệm của : (0,5)
Ta có : 
Theo định lí La-grăng : 
Do (0,5)
 (1,0)
Mà 
Vậy : (0,5)
Câu 5 (3đ): 
Cho hai số tự nhiên n, k thỏa : . Chứng minh rằng :
Do (1đ)
Mặt khác : với n cố định thì 
Là dãy số giảm theo k, suy ra : (1đ)
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi k = 0.
Câu 6 (3đ):
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Ta có : ( 1 đ )
Áp dụng bất đẳng thức: 
Ta thu được:
	 ( 1 đ )
Đẳng thức xảy ra 
Vậy đạt được khi . ( 1 đ )
Câu 7 (3đ): 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ : A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0),A’(0;0;a), X(x;a;a), Y(0;y;0)
Z(a;0;z) (x,y,z > 0).
Ta có chu vi tam giác XYZ là :
 P = XY+YZ+ZX 
 (0,5)
 (0,5)
 (0,5)
 ( bất đẳng thức Bunhiacopxki) 
Vậy : (1,0)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (0,5) 
ĐỀ SỐ 04
Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình .
Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, CA = b, BC = a. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. Chứng minh rằng .
Câu 3: (2 điểm) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp nhau sao cho tổng bình phương của ba số đó cũng là một số nguyên tố.
Câu 4: (3 điểm) Xét dãy trong đó là nghiệm dương duy nhất của phương trình: 
Dãy số : = .Chứng minh rằng: có giới hạn. Tìm .
Câu 5: (3 điểm) Cho tập hợp (). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại 12 tập con B1, B2, , B12 của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) ;
ii) ;
iii) tổng các phần tử trong mỗi tập Bi () bằng nhau.
Câu 6: (3 điểm) Cho hàm số f liên tục trên và thoả mãn:
Chứng minh rằng: f(x + y) = f(x) + f(y), .
ĐÁP ÁN
Câu 1: (3 điểm) 	(1)
Điều kiện: 
(1) 
	(0,5đ)
Đặt , 
 > 0, 	(0,5đ)
tăng trên 
(1)	(0,5đ)
 (2)
Đặt 
Chứng minh g(u) = 0 chỉ có  ... hữu tỉ, với ( vì ) với (p,q) = 1
Khi đó, 
0,5đ
Vì và là 2 số nguyên dương nên là một số nguyên (*) .
0,5đ
Mà 
< =,
0,5đ
Do q + 2 > 1 nên .
Do đó, 0 <.
Điều này mâu thuẩn với (*). Do đó điều giả sử là sai hay là số vô tỉ.
0,5đ
CÂU 5 : ( 3 điểm ) 
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Giả sử N Đảng phái khác nhau là X1,  , XN và S1 ,, SN lần lượt là tập hợp tất cả các lời hứa của ứng viên của Đảng X1,  , XN . 
Giả sử tập hợp n lời hứa khác nhau của tất cả các ứng viên là P = {x1, x2 , , xn} trong đó x1 là lời hứa sẽ đưa nền kinh tế Mỹ thoát khỏi tình trạng khủng hoảng hiện nay.
Theo giả thiết tất cả các ứng viên đều hứa rằng sẽ đưa nền kinh tế Mỹ thoát khỏi tình trạng khủng hoảng hiện nay nên .
1đ
Đặt , . 
Vì 2 ứng viên bất kì có các lời hứa đưa ra không hoàn toàn giống nhau nhưng có chung ít nhất là 2 lời hứa nên .
Mỗi tập là tập con khác của tập. 
Tập có n – 1 phần tử nên số tập con khác rỗng của tập là .
1đ
Mỗi tập con khác rỗng ( ngoại trừ tập ) đều có phần bù trong khác rỗng. Do đó, số các cặp tập con khác rỗng của có giao bằng rỗng .
Vì vậy, số các tập con của tập thỏa , i , j 
sẽ . Hay N .
1đ
CÂU 6 
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Ta thấy nếu x, y, z > 1 thì x2 + y2 + z2 + xyz > 4 .
Điều này mâu thuẩn với giả thiết x2 + y2 + z2 + xyz = 4 (*) . 
Do vai trò bình đẳng của x, y, z , không mất tính tổng quát ta giả sử . 
Khi đó, xy + yz + zx – xyz yz – xyz = (1 – x)yz 0.
0,5đ
Tiếp theo ta chứng minh xy + yz + zx – xyz.
Nếu x = 0 thì ta có : 4 = y2 + z2 2 yz . Suy ra : xy + yz + zx – xyz = yz.
Vì vậy, do vai trò bình đẳng của x, y, z , không mất tính tổng quát ta xét . 
Đặt x = 2a0, y = 2b > 0 , z = 2c > 0. Khi đó, ( vì )
Hệ thức (*) thành : a2 + b2 + c2 + 2abc = 1 (**)
Từ đây ta có : .
Do đó, ta có thể đặt a = cos A , b = cos B, trong đó .
0,5đ
Khi đó, từ hệ thức (**) ta có : 
cos2A + cos2B + c2 + 2cos A.cosB.c = 1 
( vì nên . 
 do đó > 0 ( vì c > 0 ) ).
0,5đ
Mặt khác, vì nên . Đặt . 
Khi đó ta có : và . 
Và 
0,5đ
Như vậy, và . 
Áp dụng BĐT Jensen cho hàm f(x) = cos x trên khoảng ta có :
 Suy ra : 
Mặt khác, 2cosB.cosC = cos(B – C) + cos(B + C)= cos(B – C) – cosA 
Và cosA = a
0,5đ
Do đó, xy + yz + zx – xyz = 4(ab + bc + ca – 2abc) 
 = 4(cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA – 2cosA.cosB.cosC)
 = 
 ( đpcm )
0,5đ
CÂU 7 : 
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Trước tiên ta có 2 nhận xét sau :
Nhận xét 1 : Cho O là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Khi đó :
.
Thật vậy, đặt .
Đặt .
Khi đó, 
= 
0,5đ
Tương tự, . 
Mà không cùng phương nên 
. Từ đây ta có đpcm.
0,5đ
Nhận xét 2 : Cho M là điểm bất kì nằm trong tứ diện A1A2A3A4. Gọi lần lượt là thể tích của các tứ diện MA2A3A4,MA1A3A4,MA1A2A4,MA1A2A3
Khi đó ta có : .
Thật vậy, gọi O là giao điểm của MA4 và mp(A1A2A3). 
Do M nằm trong tứ diện nên O nằm trong tam giác A1A2A3.
Theo nhận xét 1 ta có : 
 (1)
trong đó S1,S2,S3 lần lượt là diện tích các 
Mặt khác, 
0,5đ
Tương tự , . Do đó, . Từ (1) suy ra : 
 (2) 
Mà 
 (3) 
Từ (2) & (3) suy ra : .
0,5đ
Trở lại bài toán, ta sử dụng hệ tọa độ Đềcác xiên góc Sxyz bằng cách chọn đỉnh S của tứ diện SABC làm gốc tọa độ, nghĩa là S(0;0;0) và , với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)
Theo nhận xét 2 ta có : ( với VS = VMABC )
Vì vậy .
0,5đ
Giả sử phương trình mặt phẳng : ax + by + cz + d = 0 (với a2+ b2+ c2+ d2 > 0 )
Và (xo;0;0),(0;yo;0),(0;0;zo) với xo = > 0, yo = > 0, zo = > 0.
Khi đó, axo = byo = czo = – d ( do đó a, b, c, d )
Vì nên 
Do đó, = axo = byo = czo
 ( đpcm ).
0,5đ
ĐỀ SỐ 13
Câu 1: Giải phương trình: .
Câu 2 : Cho tam giác ABC có BC=a; AC=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 3 : Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x,y) của phương trình:
Câu 4 (3 điểm): Cho dãy số () xác định bởi: . Tìm 
Câu 5 : (3điểm) Trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, ta vẽ một số đường tròn có tổng các chu vi bằng 10. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 4 đường tròn trong các đường tròn trên.
Câu 6 (3 điểm) : Cho 3 số thực dương x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 	
Câu 7 : (3 điểm) : 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB=a, cạnh bên SA=b. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB và SC. Một mặt phẳng thay đổi quay xung quanh MN cắt các cạnh SA và BC theo thứ tự ở P và Q không trùng với S.
	1) Chứng minh rằng 
	2) Xác định tỉ số sao cho diện tích MPNQ nhỏ nhất
ĐÁP ÁN
Câu 1 : (3 điểm)
Đặt 
Ta thấy X=2 không phải là nghiệm của (2)
Xét X≠2:
(0.5điểm)
X là nghiệm của (3) khi đó:
(3) (0.5điểm)
Xét X>2:
(4) vô nghiệm.
Xét đặt X=2cost (0<tp)
(4) 
 	 (0.5điểm)
	(0.5điểm)
Vì nên (0.5điểm)
Do nên (1) có 5 nghiệm
I
M
P
N
A
B
C
	 (0.5điểm)
 Câu 2 : (3 điểm) 
Ta có:
Vậy 	
Tương tự:	
	(0.5điểm)
Do đó:	
Tương tự:	
Nên	(0.5điểm)
Theo bất đẳng thức Côsi:
Cộng (2), (3), (4):	(0.5điểm)
Tương tự:	
Từ (1), (5), (6) suy ra:
(0.5điểm)
Theo bất đẳng thức Côsi:
Cộng (7), (8), (9):	(0.5điểm)
Từ (*) và (10) suy ra: 
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c đều (0.5điểm)	
Câu 3 : (2đ)
	Nếu (x,y) là nghiệm của (1) thì p=y+1 là số nguyên tố. Thật vậy nếu p là hợp số thì tồn tại ước d của p thỏa 1<d<p=y+1
 nên từ (1):
	 vô lí
	Vậy p nguyên tố (p=y+1)	(0,5đ)
	Phương trình trở thành: 
	* Nếu : Chia 2 vế của (2) cho (p-1):
	(2) 
Vế phải của (3) chia hết cho 
	(Do với và )
Mặt khác:
	(0,5đ)
	Do đó: 	
	 vế trái của (3) không chia hết cho p-1	(0,5đ)
	Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương với 
* Nếu p<7:
p=2: (1) trở thành 
p=3: (1) trở thành 
p=5: (1) trở thành 
Vậy (1) có 3 nghiệm nguyên dương là: 
	(1;1); (1;2); (2;4)	(0,5đ)
Câu 4 : (3đ)
Chứng minh bằng quy nạp ta được:	(0,5 đ)
Xét hàm số 
Với x>0, ta có: 
Theo bất đẳng thức Côsi: 	(do x>0)	(0,5đ)
 	(0,5đ)
Xét hàm số với x>0
 nghịch biến trên và g(2)=0
Do đó phương trình g(x)=0 có nghiệm duy nhất x=2 trên	(0,5đ)
hay phương trình có nghiệm duy nhất x=2 trên
Theo giả thiết: 	
	Theo định lí Lagrang: hàm số liên tục trên và có đạo hàm trong 
	Nên sao cho: 	(0,5đ)
	Từ (1), (2):	
	(0,5đ)
Câu 5 : (3đ)
Theo đề bài, tổng chu vi của các đường tròn là 10 nên số đường tròn	(0,5đ)
Giả sử các đường tròn đã vẽ là (O1,R1); (O2,R2),, (On,Rn) 
Chiếu tất cả các đường tròn lên cạnh AB của hình vuông ABCD. Khi đó hình chiếu của các đường tròn là các đoạn có độ dài 	(0,5đ)
Tổng độ dài các hình chiếu của các đường tròn là:
	(0,5đ)
Theo nguyên lí Đi-rich-lê tồn tại điểm M là điểm chung trong của ít nhất 4 đoạn con.	(0,5đ)
B
M
A
C
D
Qua M ta kẻ đường thẳng d vuông góc với AB thì d cắt ít nhất 4 đường tròn có hình chiếu là 4 đoạn nói trên 	(1đ)
Câu 6 : (3 điểm) Theo bất đẳng thức Cô-Si cho 4 số dương:
Cộng từng vế (1),(2),(3):
Đặt 
Khi đó: 
Từ (4),(5) suy ra:	
Đẳng thức xảy ra khi: 	
Vậy MaxP= khi x=4;	y=1;	z=2009
Câu 7 : (3 điểm)
1) 	Ÿ Nếu dễ thấy khi đó P, Q lần lượt là trung điểm SA và BC
 	(0,25 điểm)
	Ÿ Nếu SB: khi đó, (SAB); (SBC) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến MP,NQ,SB đồng quy tại D.
D
S
I
G
R
O
K
A
B
P
Q
M
N
C
Theo định lí Mê-nê-la-uýt cho và
	(0,25điểm)
Chia (1) cho (2) vế với vế:
	(0,5điểm)
b) Đặt ta có
Gọi R,G,I lần lượt là trung điểm PQ,MN,SBG là trọng tâm SABC. Ta có:
 thẳng hàng (0,5điểm)
	(Đặt )
 (0,5điểm)
Ÿ Gọi O là tâm và kẻ tại K
Ta có: 
Mặt khác: 
Mà IN//BC 
Từ (1),(2): 
 Vậy GK là đoạn và góc chung của SA, MN
 (0,5điểm)
* Ta xác định 
	~
(0,5điểm)	
ĐỀ SỐ 14
Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình (1)
Bài 2: (3 điểm) Tứ giác lồi nội tiếp có đường tròn nội tiếp tâm . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng .
Bài 3: (2 điểm) Tìm các số nguyên tố thỏa mãn các điều kiện sau: và .
Bài 4: (3 điểm) Cho dãy số được xác định bởi : 
 . Đặt 
 Tính 
Bài 5: (3 điểm) Cho hai hàm số 
Tìm m để hàm số tích có giá trị nhỏ nhất là 0 với mọi .	
Bài 6: (3 điểm) Xác định tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện và với mọi , ta luôn có .
Bài 7: (3 điểm) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, lấy một điểm M sao cho và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy một điểm S với . Giả sử . Xác định vị trí của M để hình chóp S.ABCM có thể tích lớn nhất.
ĐÁP ÁN
Bài 1: (3 điểm)
Điều kiện 
(1) Û 
 Û 
Đặt Þ 
 	 Þ 1+23t=32t
 	 Û (2)
Xét hàm , ta thấy hàm nghịch biến , lại có nên là nghiệm duy nhất của (2)
Dễ thấy khi đó nghiệm duy nhất của phương trìnhđã cho là 
Bài 2: (3 điểm) 
Gọi là bán kính đường tròn tâm . Giả sử rằng lần lượt là tiếp điểm của đường tròn tâm với các cạnh . Đặt
.
Ta có . Do đó .
Sử dụng định lý cosin cho tam giác , ta có
.
Suy ra 
.
Tương tự ta cũng chứng minh được
.
Do đó
Bài 3: (2 điểm).
 Ta có , do đó .
	Mặt khác, từ điều kiện , ta được , do đó , hay . 
	Vì nên hoặc . Xét hai trường hợp
	(1) và , khi đó hoặc .
	(2) và , không tồn tại vì .
	Nếu thì , suy ra (loại) 
	Nếu thì , suy ra (nhận).
	Vậy ba số nguyên tố cần tìm là .
Bài 4: (3 điểm) 
Vậy là dãy tăng
Mặt khác nếu dãy bị chặn trên thì nó sẽ có giới hạn 
Giả sử 
Điều này không thể xảy ra vì 
Vậy 
Ta có 
Do đó 
Vậy 
Bài 5: (3 điểm) 
h ( 1 ) .f ( 1 ) = 0. f( 1 ) = 0 
Bài toán đặt ra trở thành .Tìm m để cho h( x ).f ( x ) ; 
Xét bất đẳng thức 
Khi x = 1 bất đẳng thức được thỏa 
Vậy ta chỉ cần xác định m để 
 x 0 1
 	+
 0
 h (x )
Ta có h ( 1 ) = 0 
Đến đây bài toán trở thành .Tìm m để f ( x ) 
Đặt 
Đặt 
 x 1 2 6
 - 0 +
 g( x ) 1/2
 Vậy 
Bài 6:. Với , ta có . Với , ta có , suy ra là một hàm lẻ. Từ , ta có hay
.
Đặt , từ điều kiện , ta có
.
Sử dụng phép thế , ta có được 
.
Thử lại, ta nhận thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 7: 
	Ta có: 
Do từ 
Nên 
Trên đoạn , xét hàm số: 
Ta có: 
Trong đoạn , 
	x	0	 a
	f’	+	0	-
	CĐ
f	 
	Vậy, 
ĐỀ SỐ 15
Câu 1: (3 điểm)
Cho hàm số 
1. Tìm để hàm số (1) có cực trị .
2. Khi hàm số (1) có cực trị , hãy tìm để điểm Anằm trên đường thẳng đi qua các
điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Câu 2: (3 điểm)
Cho các số nguyên dương a và b thỏa mãn . Hãy so sánh hai số: và 
Câu 3: (4 điểm) 
1. Cho hàm số 
 Tính đạo hàm của hàm số tại .
 2. Giải phương trình: 
Câu 4: (2 điểm)
Cho các số thực x , y , z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 5: (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M và hai đường thẳng , . Gọi A là giao điểm của và .
1. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên , đi qua điểm M và tiếp xúc với.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt , lần lượt ở B và C sao cho 
ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB.
Câu 6: (3 điểm) 
Cho tứ diện ABCD có ABa , ACb , ADc và . 
 1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo .
2. Cho thay đổi luôn thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD.
Câu 7: (2 điểm)
Giải hệ phương trình :