Tuyển tập đề thi học sinh giải thpt cấp tỉnh môn toán

© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
TUYỂN TẬP 
Đ THI HC SINH GII THPT CP TNH 
MÔN TOÁN 


 
ĐỒNG THÁP 
T NM HC 2000-2001 
 ĐN NM HC 2008-2009 
Nguyn Đ	c Tun 
( NDTuanMAT ) 
Tháng 9 Năm 2009 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2000 - 2001 
Ngày thi: 25 tháng 11 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Cho dãy số xác định như sau: 
( ) ( )( )1
1
1 2 3
n
n
i
u
i i i i=
=
+ + +∑ ; n∀ ∈Ν và 1n ≥ . 
Tìm lim n
x
u
→+∞
. 
Bài 2: Cho phương trình: 3 2
1
9 11 0
3
y y y− + − = (1) 
a. Chứng minh rằng 2 0tan 10 ; 2 0tan 50 ; 2 0tan 70 là 3 nghiệm phân biệt của phương 
trình (1). 
b. Tính 6 0 6 0 6 0tan 10 tan 50 tan 70P = + + . 
Bài 3: Tìm tất cả các đa thức ( )P x có hệ số nguyên sao cho ta có: 
. ( 20) ( 2000). ( )x P x x P x− = − ; x∀ ∈Ζ . 
Bài 4: Cho hình chóp .S ABC đỉnh S ; SA x= ; SB y= ; SC z= . 
a. Chứng minh rằng . . ' ' '. . .S ABC S A B CV x y zV= ; với ' ' ' 1SA SB SC= = = đơn vị dài. 
'; '; 'A B C nằm tương ứng trên các tia ; ;SA SB SC . 
b. Xác định , ,x y z để diện tích xung quanh của hình chóp .S ABC bằng 23k ( k là 
số thực cho trước) và thể tích của nó lớn nhất. 
Bài 5: Cho , ,a b c là 3 số thực dương và ab bc ca abc+ + = . 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 22 2 2
3
a b b c c a
ab bc ca
+ + +
+ + ≥ . 
1 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2001 - 2002 
Ngày thi: 24 tháng 11 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Cho 3 số thực dương , ,a b c thỏa điều kiện 1abc = . 
Chứng minh rằng: 
2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1 18ab bc ca
c a b a b c
+ + +
+ + ≥
+ +
. 
Bài 2: Cho ,x y là 2 số thỏa mãn điều kiện: 
2 1 0
3 6 0
2 2 0
x y
x y
x y
− − ≤

+ − ≤
 + − ≥
a. Chứng minh: 2 2 10x y+ ≤ . 
b. Tìm tất cả các giá trị của ,x y để: 2 2 10x y+ = . 
Bài 3: Cho phương trình: 1 2 2... 1 0n n nx x x x x− −+ + + + + − = (1), n nguyên dương. 
a. Chứng minh rằng với mỗi n thì phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất nx . 
b. Tìm lim n
x
x
→+∞
. 
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC CA AB> > . Gọi D là một điểm nằm trên đoạn BC . 
Trên phần nối dài của BA về phía A chọn điểm E . Biết rằng BD BE CA= = . Gọi P là 
giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD với cạnh AC . Gọi Q là giao điểm 
thứ hai của BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng: 
a. Tam giác AQC và tam giác EPD là hai tam giác đồng dạng. 
b. Ta có: BP AQ CQ= + . 
Bài 5: Cho 3 tia , ,Ox Oy Oz vuông góc với nhau đôi một tạo thành góc tam diện Oxyz . 
Điểm M cố định nằm trong góc tam diện. Một mặt phẳng ( )α qua M cắt , ,Ox Oy Oz 
lần lượt tại , ,A B C . Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng ( ) ( ) ( ), ,OBC OCA OAB 
lần lượt là , ,a b c . 
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn. 
b. Tính , ,OA OB OC theo , ,a b c để thể tích tứ diện OABC là nhỏ nhất. 
2 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2002 - 2003 
Ngày thi: 24 tháng 11 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: 
a. Cho 4 số thực dương , , ,a b c d . Chứng minh rằng: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 4
a b c d a b c d
a b a b b c b c c d c d d a d a
+ + +
+ + + ≥
+ + + + + + + +
. 
b. Cho 6 số thực dương , , , , ,a b c d e f . Chứng minh rằng: 
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2a b c d e f a d b e c f+ + + + + ≤ + + + + + . 
Bài 2: Kí hiệu *Ν là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm : * *f Ν → Ν thỏa 
mãn đồng thời hai điều kiện sau: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
: 1
: 2002, *
i f n f n
ii f f n n n
+ >
= + ∀ ∈Ν
Bài 3: Cho dãy { }na , *n∈Ν được xác định bởi: 
1 2 3
2. 1
3
1; 2
n n
n
n
a a a
a a p
a
a
+ +
+
= = =

+ =

 với *p∈Ν . 
Định p để mọi số hạng của dãy { }na đều là số nguyên. 
Bài 4: Cho đa thức ( ) 1 21 2 ...n n n nf x x a x a x a− −= + + + + là đa thức bậc 2n ≥ có các 
nghiệm thực 1 2, ,..., nb b b . Cho , 1...ix b i n> ∀ = . Chứng minh: 
( ) 2
1 2
1 1 1
1 ... 2
n
f x n
x b x b x b
 
+ + + + ≥ − − − 
. 
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có các cạnh xuất phát từ A đôi một vuông góc với nhau. Gọi 
a là cạnh lớn nhất xuất phát từ A và r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. Chứng 
minh rằng: 
( )3 3a r≥ + . 
3 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2003 - 2004 
Ngày thi: 23 tháng 11 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Giải phương trình sau: 
( ) ( )3 32 21 1 1 1 2 1x x x x + − − − + = + −  
. 
Bài 2: 
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ( )x y z+ + biết: 2 2 231
2
y yz z x+ + = − . 
b. Tìm các số nguyên , ,a b c thỏa mãn bất đẳng thức: 
2 2 2 3 3 2a b c ab b c+ + + < + + . 
Bài 3: Trong tam giác ABC ta dựng các đường phân giác trong ', ', 'AA BB CC ; giao 
điểm ', ', 'A B C lần lượt thuộc các cạnh , ,BC CA AB . Các giao điểm này lập thành tam 
giác ' ' 'A B C . Chứng minh rằng: 
( ) ( ) ( )
' ' ' 2A B C
ABC
S abc
S a b b c c a
=
+ + +
. 
Bài 4: Cho Ζ là tập các số nguyên. Cho hàm :f Ζ → Ζ thỏa mãn các điều kiện: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
: 1 1
: 2 2
i f f
ii f x f y f x xy f y xy
− =
+ = + + −
với mọi ,x y∈Ζ . 
a. Chứng minh ( ) ( )f n f n− = , n∀ ∈Ν . 
b. Tìm tất cả các hàm f có tính chất nói trên. 
4 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2004 - 2005 
Ngày thi: 14 tháng 11 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Với 3 số thực , ,x y z tùy ý, ta đặt: 
S x y z= + + ; P xy yz zx= + + ; Q xyz= . 
a. Chứng minh: 3 3 3 3 3 3x y z S SP Q+ + = − + . 
b. Hãy biểu diễn 4 4 4x y z+ + theo ,S P và Q . 
Bài 2: Tìm đa thức ( )f x có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 9 và 
thỏa mãn ( )9 2004f = . 
Bài 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh AB là cạnh chung. Hai mặt phẳng 
( )ABCD và ( )ABEF vuông góc với nhau. Tìm vị trí đường vuông góc chung của hai 
đường thẳng AE và BD . 
Bài 4: Với số nguyên dương 1 2... ka a a a= , *k∈Ν , ta đặt: 
( ) 1 2 ... kT a a a a= + + + ( tổng các chữ số của a ) 
Dãy số { }nx , *n∈Ν xác định như sau: 
( )( )
( )( )
2004
1
2004
1
2004
n n
x T
x T x −
 =

=
Chứng minh rằng dãy { }nx , *n∈Ν bị chặn. 
Bài 5: Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Cho 
; ;AB c BC a CA b= = = . Chọn I là điểm bất kì trong tam giác ABC ; gọi , ,x y z là các 
khoảng cách từ I đến các cạnh , ,BC CA AB . Chứng minh: 
2 2 2
2
a b c
x y z
R
+ +
+ + ≤ . 
5 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2005 - 2006 
Ngày thi: 9 tháng 10 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Tính tổng: 
0 0 0 0 0 0t an1 . t an2 t an2 .t an3 ... t an2004 . t an2005S = + + + . 
Bài 2: 
a. Cho ( )P x là đa thức với hệ số nguyên sao cho: 
( ) ( ) ( ) 1P a P b P c= = = với , ,a b c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng 
minh phương trình ( ) 0P x = không có nghiệm nguyên. 
b. Tìm một đa thức ( )f x bậc 5 sao cho ( ) 1f x − chia hết cho ( )31x − và ( )f x 
chia hết cho 3x . 
Bài 3: 
a. Tổng của 2 số nguyên dương bằng 2310. Chứng minh rằng tích của hai số này 
không chia hết cho 2310. 
b. Tìm nghiệm nguyên ( ),x y của phương trình ( )22 2 2 1 8y x y x y x= + + + + . 
Bài 4: 
a. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O . Các đường thẳng vẽ qua , ,A B C 
đôi một song song, cắt đường tròn ( )O tại các điểm 1 1 1, ,A B C ( khác với 
, ,A B C ). Chứng minh rằng trực tâm các tam giác 1 1 1, ,ABC BCA C AB thẳng hàng. 
b. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2 đơn vị dài. Đường thẳng ( )d không đi qua 
bất kì đỉnh nào của tam giác. Gọi , ,α β γ là góc giữa ( )d và theo thứ tự với các 
đường thẳng đi qua các cạnh , ,BC CA AB của tam giác đều ABC . Tính: 
2 2 2 2 2 2sin .sin .sin cos .cos .cosM α β γ α β γ= + . 
Bài 5: Cho dãy { }nu , n nguyên dương, xác định như sau: 
1
2
1
2
2005
n n
n n
u
u u
u u+
=

 −
= +
. Đặt 
1 1 1
n
i
n
i i
u
S
u= +
=
−∑ . 
Tìm lim n
x
S
→+∞
. 
6 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2006 - 2007 
Ngày thi: 22 tháng 10 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Tìm tổng của các số nguyên dương từ m đến n , kể cả m và n ( )m n< , suy ra 
tổng các số giữa 1000 và 2000 mà không chia hết cho 5. 
Bài 2: Tìm tất cả các số thực x sao cho 
2
2
4 5
x
k
x x
+
=
+ +
 là số nguyên. 
Bài 3: Chứng minh rằng nếu , ,a b c là 3 cạnh của một tam giác tương ứng với các đỉnh 
, ,A B C thì: 
2 2 2
0
sin sin sin
2 2 2
a b c b c a c a b
C A B
+ − + − + −
+ + ≥ . 
Bài 4: Tìm tất cả các đa thức dạng ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + , với , ,a b c là các số nguyên, 
sao cho , ,a b c là nghiệm của ( )f x . 
Bài 5: Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1, 2 1F F F n F n F n= = + = + + và hàm số ( ) 1
1
f x
x
=
+
. 
Đặt: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )... ... ...nG x x f x f f x f f f x= + + + + , trong số hạng sau cùng f lặp 
lại n lần. Chứng minh: ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 1
1 ...
2 3 2n
F F F n
G
F F F n
+
= + + +
+
. 
Bài 6: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn cho trước kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường 
tròn lần lượt tại A và B . Chọn điểm S nằm trên dây cung AB . Tia PS cắt cung nhỏ 
AB tại R và cắt cung lớn AB tại Q . Chứng minh: 
2 .PR PQ
PS
PR PQ
=
+
. 
Bài 7: Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n tùy ý luôn biểu diễn dưới dạng tổng 
của các số hạng 2 3r s với ,r s là các số nguyên không âm. 
7 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2007 - 2008 
Ngày thi: 14 tháng 10 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: 
a. Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình ( )2 2 3 1 0x m m x m+ − − + = có 
một nghiệm nguyên. 
b. Giải bất phương trình: ( ) ( )2 2log 2 1 3 1 log 2 1 2
x x
− + + − + ≤ . 
Bài 2: 
a. Giải phương trình: ( )2 24sin 5 4sin 2 sin 6 s in4 1 0x x x x− + + + = . 
b. Cho các số thực 1 2, ,..., nx x x thỏa mãn 
2 2 2
1 2sin 2sin ... sin nx x n x a+ + + = , với n 
là số nguyên dương, a là số thực cho trước, 
( )1
0
2
n n
a
+
≤ ≤ . Xác định các giá trị 
của 1 2, ,..., nx x x sao cho tổng 1 2s in2 2s in2 ... s in2 nS x x n x= + + + đạt giá trị lớn 
nhất và tìm giá trị lớn nhất này theo a và n . 
Bài 3: 
a. Cho 3 số thực , ,a b c thỏa 1abc = . Chứng minh: 
( ) ( ) ( )6 2 2 6 2 2 6 2 2
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
. 
b. Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn điều kiện: 
( )cot cot 2cot
2cot cot
22cot cot
2
A A B A B
B
A B
B
+ + = − +   + 
 
. Chứng minh tam giác ABC là tam 
giác cân. 
Bài 4: Cho tam giác ABC , trên các cạnh , ,BC CA AB lần lượt lấy các điểm ', ', 'A B C 
sao cho ', 'AA BB và 'CC đồng quy tại điểm M . Gọi 1 2 3, ,S S S lần lượt là diện tích của 
các tam giác , ,MBC MCA MAB và đặt 
' ' '
, ,
MA MB MC
x y z
MA MB MC
= = = . 
Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1 0y z S x z S x y S+ − + + − + + − = . 
8 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
Bài 5: Cho dãy { }nu , n là số nguyên dương, xác định như sau: 
1
2
1
1
1 1
, 0nn n
n
u
u
u u
u
+
=

 + −
= >

. 
Tính nu và chứng minh rằng: 
1
1 2
1
... 1 1
4 2
n
nu u u
pi
−  + + + ≥ + −  
   
. 
Bài 6: Cho đa thức ( ) 3 2f x x ax bx b= + + + có 3 nghiệm 1 2 3, ,x x x và đa thức 
( ) 3 2g x x bx bx a= + + + . Tính tổng: ( ) ( ) ( )1 2 3S g x g x g x= + + theo ,a b . 
9 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
ĐỀ THI NĂM HỌC 2008 - 2009 
Ngày thi: 16 tháng 11 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu 1: Giải phương trình: ( ) 2 22 3 tan cot tan cot 2
3
x x x x− = + − . 
Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi D là trung điểm của cạnh 
AB , E là trọng tâm của tam giác ADC . Chứng minh rằng nếu AB AC= thì IE vuông 
góc với CD . 
Câu 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
2 22 1x y− = . 
Câu 4: Cho dãy số { }nx , *n∈Ν được xác định bởi: 
1
2008
1
1
2008
n
n n
x
x
x x+
=


= +
. Tìm giới hạn của dãy nu với: 
20072007 2007
1 2
2 3 1
... nn
n
xx x
u
x x x +
= + + + . 
Câu 5: Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )2 2 20 1 2...n n n nn nC C C C+ + + = . 
Câu 6: 
a. Cho , , 1x y z ≥ và 
1 1 1
2
x y z
+ + = . Chứng minh rằng: 
1 1 1x y z x y z+ + ≥ − + − + − . 
b. Cho đa thức ( ) 3 3 1f x x x= − − có 3 nghiệm là , ,a b c . Hãy tính: 
1 1 1
1 1 1
a b c
S
a b c
+ + +
= + +
− − −
. 
Câu 7: Cho điểm ( )0;3A và parabol ( ) 2:P y x= . Gọi M là một điểm thuộc ( )P có 
hoành độ Mx a= . Tìm a để độ dài AM là ngắn nhất. Từ đó chứng tỏ rằng nếu đoạn 
AM là ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của ( )P . 
10 
© Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT 
PHỤ LỤC 
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP QUỐC GIA 
NĂM HỌC 2008 – 2009 
Ngày thi: 14 tháng 12 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu 1: Giải phương trình: ( )( ) ( )0 0 01 t an1 1 t an2 ... 1 t an45 2x+ + + = . 
Câu 2: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi , ,AH BI CK là các đường cao của 
tam giác ABC . Chứng minh rằng: 
2 2 21 cos cos cosHIK
ABC
S
A B C
S
= − − − . 
Câu 3: Cho ,a b là hai số nguyên. Chứng minh rằng: 
( )( )2 2 2 2A ab a b a b= + − chia hết cho 30. 
Câu 4: Cho hàm số : * *f Ν → Ν thỏa mãn hai điều kiện: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
. .f a b f a f b
f p q f p f q
=

+ = +
. Trong đó ( ), *, , 1a b a b∈Ν = và ,p q là số nguyên tố. 
Chứng minh rằng: ( )2008 2008f = . 
Bài 5: Chứng minh rằng nếu n chẵn thì 2n chia hết (*) 
0 2 2 2
2 2 2 23 ... 3 ... 3
k k n
n n n nC C C nC+ + + + + . 
Bài 6: Cho 3 số thực , ,a b c . Chứng minh rằng: 
( )( )( ) ( )22 2 21 1 1 1a b c ab bc ca+ + + ≥ + + − . 
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A . Đường tròn ( )C tiếp xúc với đường thẳng ,AB AC 
lần lượt tại ,B C . M là điểm tùy ý nằm trên đường tròn ( )C . Gọi 1 2 3, ,d d d lần lượt là 
các khoảng cách từ M đến các đường thẳng , ,AB AC BC . Chứng minh: 21 2 3.d d d= . 
11 
(*) hiểu là: 0 2 2 2
2 2 2 23 ... 3 ... 3
k k n
n n n n
C C C nC+ + + + + chia hết cho 2n