Tuyển tập Đại số tổ hợp

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
4 
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) 
 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 
5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác 
có mặt 1 lần. 
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) 
 Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số 
của mỗi số là một số chẵn. 
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) 
 Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó 
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. 
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) 
 Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người 
làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người 
thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? 
26. (ĐH GTVT 2000) 
 Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao 
nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao 
cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp. 
27. (HV Quân y 2000) 
 Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau 
vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: 
 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 
 2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh 
nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? 
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) 
 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9? 
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) 
 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000? 
30. (CĐSP Nha Trang 2000) 
 Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự 
nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0. 
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 
 Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em 
nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò 
chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
32. (ĐH An ninh khối D 2001) 
 Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số 
có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
1 
Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM 
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) 
 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và 
không chứa 2. 
 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau 
lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123. 
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) 
 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn 
sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu 
cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn 
sách cùng môn được xếp kề nhau? 
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999) 
 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người 
ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường 
B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp 
sau: 
 1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác 
trường với nhau. 
 2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. 
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) 
 Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 
chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong 
mỗi trường hợp sau: 
 1. n là số chẵn. 
 2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1. 
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) 
 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta 
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số 
bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? 
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) 
 Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh 
nhau. 
 1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? 
 2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ 
riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? 
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
2 
 Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp 
thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. 
 1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? 
 2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành? 
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999) 
 Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số 
còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: 
 1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau. 
 2. Các chữ số được xếp tuỳ ý. 
9. (ĐH Hàng hải 1999) 
 Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một 
chiếc ghế dài sao cho: 
 1. Bạn C ngồi chính giữa. 
 2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế. 
10. (HV BCVT 1999) 
 Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu 
số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 
0 và 1. 
11. (ĐHQG HN khối B 2000) 
 Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số 
khác nhau và không chia hết cho 5. 
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000) 
 Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn 
sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 
6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 
 1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn 
sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? 
 2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 
ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn? 
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) 
 Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được 
chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau 
nếu: 
 1) phải có ít nhất là 2 nữ. 
 2) chọn tuỳ ý. 
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) 
 Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
3 
được: 
 1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau 
từng đôi một. 
 2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác 
nhau từng đôi một. 
 3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác 
nhau từng đôi một. 
15. (ĐH Y HN 2000) 
 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập 
một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán 
học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? 
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000) 
 Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số 
trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi 
 1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. 
 2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6. 
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) 
 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có 
bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: 
 1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 
 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. 
18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) 
 Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 
chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên. 
19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) 
 Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số 
là một số lẻ. 
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) 
 Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một 
khác nhau. 
 1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi 
đỏ. 
 2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số 
bi đỏ. 
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) 
 Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 
5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao 
cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau. 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
8 
 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. 
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về 
giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. 
61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1) 
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự 
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng 
chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. 
62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1) 
 Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu 
cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó 
phải có ít nhất 3 nữ. 
63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2) 
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự 
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 
số 1, 5. 
64. (ĐH khối D 2006) 
 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, 
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần 
chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc 
không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? 
65. (CĐ GTVT III khối A 2006) 
 Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh 
khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và 
đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn. 
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) 
 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt 
đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân 
biệt? 
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) 
 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng 
của tất cả các số đó. 
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Trên đường thẳng d1 
cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt. 
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác 
lấy từ 18 điểm đã cho. 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
5 
3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần. 
33. (ĐH Cần Thơ 2001) 
 Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao 
nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 
học sinh nam phải đứng liền nhau. 
34. (HV Chính trị quốc gia 2001) 
 Một đội văn nghe ... 2005 2005
C C
(k N)
C C
 Û 
ì ³ï - + -ï
í
ï ³
ï - - -ỵ
2005! 2005!
k!(2005 k)! (k 1)!(2004 k)!
2005! 2005!
k!(2005 k)! (k 1)!(2006 k)!
 Û 
+ ³ -ì
í
- ³ỵ
k 1 2005 k
2006 k k
 Û 
³ì
í
£ỵ
k 1002
k 1003
 Û 1002 ≤ k ≤ 1003, k Ỵ N. 
 Û k = 1002 hoặc k = 1003. 
59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2) 
 Ta có: 2Pn + 6 -2 2n n nA P A = 12 (n Ỵ N, n > 1) 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
49 
 = (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (đpcm) 
45. (CĐ Giao thông II 2003) 
 Do = =0 nn nC C 1 nên ta có: 
-=0 1 n 1 2 n 1n n n n n nC C ...C C C ...C 
 Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
--
- ỉ ư+ + +£ ç ÷
è - ø
n 11 2 n 1
1 2 n 1 n n n
n n n
C C ... CC C ...C
n 1
 Áp dụng khai triển (a + b)n = -
=
å
n
k k n k
n
k 0
C a b với a = b = 1, ta có: 
 + + + +0 1 2 nn n n nC C C ... C = 2
n Þ -+ + +1 2 n 1n n nC C ... C = 2
n – 2 
 Suy ra: 
-
- ỉ ư-£ ç ÷
è - ø
n 1n
1 2 n 1
n n n
2 2C C ...C
n 1
 (đpcm). 
46. (CĐ Giao thông III 2003) 
 1. Ta có: (1 + x)n = + + + + +0 1 2 2 3 3 n nn n n n nC C x C x C x ... C x 
 Đạo hàm 2 vế, ta được: 
 n(1 + x)n–1 = -+ + + +1 2 3 2 n n 1n n n nC 2C x 3C x ... nC x 
 Cho x = –1 
 0 = -- + - + + -1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) nC 
 Vậy S = 0. 
 2. Ta có: (1 + x)n = + + + + +0 1 2 2 3 3 n nn n n n nC C x C x C x ... C x 
 Þ ( )+ = + + + + +ị ị
1 1
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
(1 x) dx C C x C x C x ... C x dx 
 Þ 
+
++ ỉ ư= + + + +ç ÷
= +è ø
1 1n 1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
00
(1 x) 1 1 1C x C x C x ... C x
n 1 2 3 n 1
 Þ 
+ -
= + + + +
+ +
n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 1 1 1C C C ... C
n 1 2 3 n 1
 Do đó: T = 
+ -
+
n 12 1
n 1
 Ta có: - -+ + =n n 1 n 2n n nC C C 79 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
+ + =ïỵ
n N, n 2
n(n 1)1 n 79
2
 Û n = 12 
 Vậy: T = -
132 1
13
. 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
50 
47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003) 
 Vế trái = - - -- - - -+ + +
k k 1 k 1 k 2
n 2 n 2 n 2 n 2C C C C = 
-
- -+
k k 1
n 1 n 1C C = 
k
nC . 
48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị) 
 Điều kiện: n Ỵ Z, n ≥ 0. 
 BPT Û £3 (2n)! (3n)!(n!) . . 720
n!n! (2n)!n!
 Û (3n)! ≤ 720 
 Ta thấy (3n)! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)! 
 Do đó: BPT có nghiệm 
£ £ì
í
Ỵỵ
0 n 2
n Z
. 
49. (CĐ Công nghiệp HN 2003) 
 P(x) = (16x – 15)2003 = -
=
-å
2003
k 2003 k k
2003
k 0
C (16x) ( 15) 
 = - -
=
-å
2003
k 2003 k k 2003 k
2003
k 0
C (16) ( 15) x 
 Các hệ số trong khai triển đa thức là: ak = - -k 2003 k k2003C (16) ( 15) 
 Vậy: S = -
= =
= -å å
2003 2003
k 2003 k k
k 2003
k 0 k 0
a C (16) ( 15) = (16 – 15)2003 = 1 
50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) 
 Điều kiện: n Ỵ N, n ≥ 3. 
 PT Û + =
- -
n! n!2 16n
(n 3)! 2!(n 2)!
 Û n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n 
 Û n2 – 2n – 15 = 0 Û 
=é
ê = -ë
n 5
n 3 (loại)
 vậy: n = 5. 
51. (CĐ Nông Lâm 2003) 
 Ta có: ỉ ư+ç ÷
è ø
151 2 x
3 3
 = 
-
= =
ỉ ư ỉ ư =ç ÷ ç ÷
è ø è øå å
15 k k15 15
k k k k
15 15 15
k 0 k 0
1 2 2C x C x
3 3 3
 Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển: 
 ak = k k1515
1 C .2
3
; k = 0, 1, 2, , 15. 
 Xét sự tăng giảm của dãy ak: 
 ak–1 < ak Û - - <k 1 k 1 k k15 15C .2 C .2 Û 
- <k 1 k15 15C 2C 
 Û k < 32
3
, k = 0, 1,.., 15 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
51 
 Từ đó: a0 < a1 < a2 <  < a10 
 Đảo dấu BĐT trên ta được: 
 ak–1 > ak Û k > 
32
3
 Þ a10 > a11 >  > a15. 
 Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = =
10 10
10
1515 15
2 2C 3003.
3 3
. 
52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) 
 Ta có: 
 (1 – x)2n = - -- + - + - - +0 1 2 2 3 3 4 4 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C x C x C x C x ... C x C x 
 Đạo hàm 2 vế theo x, ta có: 
 –2n(1 – x)2n–1 = 
 = - - -- + - + - - - +1 2 3 2 4 3 2n 1 2n 2 2n 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2nC 2C x 3C x 4C x ... (2n 1)C x 2nC x 
 Thế x = 1 vào đẳng thức trên, ta có: 
 0 = -- + - + - - - +1 2 3 4 2n 1 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC 2C 3C 4C ... (2n 1)C 2nC 
 Vậy: -+ + + - = + + +1 3 2n 1 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n1C 3C ... (2n 1)C 2C 4C ... 2nC . 
53. (ĐH khối A 2004) 
 Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = + - + - + -0 1 2 2 4 2 3 6 38 8 8 8C C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) + 
 + - + - + - + - + -4 8 4 5 10 5 6 12 6 7 14 7 8 16 88 8 8 8 8C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) 
 Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng 
cuối lớn hơn 8. 
 Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng 
là: 3 2 4 08 3 8 4C .C ; C .C 
 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238. 
54. (ĐH khối D 2004) 
 Ta có: ỉ ư+ç ÷
è ø
7
3
4
1x
x
 = ( ) -
=
ỉ ư
ç ÷
è ø
å
k7 7 kk 3
7 4
k 0
1C x
x
 = 
-
=
å
28 7k7
k 12
7
k 0
C x 
 Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Ỵ Z, 0 ≤ k ≤ 7) 
thoả mãn: - =28 7k 0
12
 Û k = 4 
 Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: 47C = 35. 
55. (ĐH khối A 2005) 
 Ta có: (1 + x)2n+1 = + ++ + + + ++ + + + +
0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C x C x C x ... C x 
 Đạo hàm 2 vế ta có: 
 (2n + 1)(1 + x)2n = ++ + + ++ + + + +
1 2 3 2 2n 1 2n
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2C x 3C x ... (2n 1)C x 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
56 
 (a + b)n = -+ + +0 n 1 n 1 n nn n nC a C a b ... C b 
 · Với a = 3, b = – 1 Þ 2n = (3 – 1)n = -- + + -0 n 1 n 1 n nn n nC 3 C 3 ... ( 1) C 
 · Với a = 1, b = 1 Þ 2n = (1 + 1)n = + + +0 1 nn n nC C ... C 
 Vậy: -- + + - = + + +0 n 1 n 1 n n 0 1 nn n n n n nC 3 C 3 ... ( 1) C C C ... C 
71. (CĐ KT Y tế 1 2005) 
 ĐK: x Ỵ N, x ≥ 2 
 BPT Û + + - <
- -
(x 1)! x!2 3 20 0
2!(x 1)! (x 2)!
 Û x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 Û 2x2 – x – 10 < 0 Û – 2 < x < 5
2
 Kết hợp điều kiện Þ x = 2. 
72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Số hạng tổng quát: --k k 45 2k k15C ( 1) x y 
 Þ 
- =ì
í
=ỵ
45 2k 29
k 8
 Û k = 8 
 Vậy hệ số của x29y8 là: 815C = 6435. 
73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = -k k knC ( 2) x 
 Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û - +0 1 2n n nC 2C 4C = 71 
 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
- + =ïỵ
n N, n 2
n(n 1)1 2n 4 71
2
 Û 
Ỵ ³ìï
í
+ - =ïỵ
2
n N, n 2
n 2n 35 0
 Û n = 7. 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
53 
 Û 2n! + - =
- -
6.n! n!n! 12
(n 2)! (n 2)!
 Û - - - =
-
n! (6 n!) 2(6 n!) 0
(n 2)!
 Û 
- =é
ê
ê - =
ê -ë
6 n! 0
n! 2 0
(n 2)!
 Û 
=é
ê - - =ë
n! 6
n(n 1) 2 0
 Û 
=é
ê
- - =êë
2
n 3
n n 2 0
 Û 
=é
ê = ³ë
n 3
n 2 (vì n 2)
 Vậy: n = 2 hoặc n = 3. 
60. (ĐH khối A 2006) 
 · Từ giả thiết suy ra: + + + ++ + + + =
0 1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2 (1) 
 Vì + -+ ==
k 2n 1 k
2n 1 2n 1C C , "k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên: 
 ( )++ + + + + + + ++ + + + = + + + +0 1 2 n 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11C C C ... C C C C ... C2 (2) 
 Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra: 
 + + ++ + + ++ + + + = + =
0 1 2 2n 1 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2 (3) 
 từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 Û n = 10. 
 · Ta có: ( )- - -
= =
ỉ ư+ = =ç ÷
è ø
å å
10 10 10k7 k 4 10 k 7 k 11k 40
10 104
k 0 k 0
1 x C (x ) x C x
x
 Hệ số của x26 là k10C với k thoả mãn: 11k–40 = 26 Û k = 6 
 Vậy hệ số của x26 là 610C = 210. 
61. (ĐH khối B 2006) 
 Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng knC . Từ giả thiết suy ra: 
 =4 2n nC 20C Û n
2 – 5n – 234 = 0 Û n = 18 (vì n ≥ 4) 
 Do 
+ -
= >
+
k 1
18
k
18
C 18 k 1
k 1C
 Û k < 9, nên: < < <1 2 918 18 18C C ... C 
 Þ > > >9 10 1818 18 18C C ... C 
 Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9. 
62. (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006) 
 ĐK: x Ỵ N, y Ỵ N*, x ≤ y. 
 Từ phương trình thứ hai suy ra x = 4 
 Thay vào phương trình thứ nhất ta được: 
 y2 – 9y + 8 = 0 Û 
=é
ê =ë
y 1(loại)
y 8
. Vậy: x = 4; y = 8. 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
54 
63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) 
 ĐK: n Ỵ N, n ≤ 4 
 - =n n n
4 5 6
1 1 1
C C C
 Û - - -- =n!(4 n)! n!(5 n)! n!(6 n)!
4! 5! 6!
 Û n2 – 17n + 30 = 0 Û 
=é
ê =ë
n 15 (loại)
n 2
 Vậy: n = 2. 
64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) 
 · + + =0 1 2n n nC C C 211 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
+ + =ïỵ
n N,n 2
n(n 1)1 n 211
2
 Û 
Ỵ ³ìï
í
+ - =ïỵ
2
n N,n 2
n n 420 0
 Û n = 20 
 · 
+
+ +
= =
+
k k
kn n
n1
k 1
(k 1).C (k 1)C
C
(k 1)!A
k!
 (k = 1, 2, , n) 
 Do đó: với n = 20 ta có: S = + + +0 1 2020 20 20C C ... C = 2
20. 
65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = -k k knC ( 2) .x 
 Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û - + =0 1 2n n nC 2C 4C 71 
 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
- + =ïỵ
n N, n 2
n(n 1)1 2n 4 71
2
 Û 
Ỵ ³ìï
í
+ - =ïỵ
2
n N, n 2
n 2n 35 0
 Û n = 7 
 Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là: 
 a5 = -5 57C ( 2) = – 672. 
66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006) 
 Ta có: + =1 3n nC C 13n Û 
- -
+ =
n(n 1)(n 2)n 13n
6
 Û n2 – 3n – 70 Û 
=é
ê = -ë
n 10
n 7 (loại)
 Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là: 
 Tk+1 = - - -=k 2 10 k 3 k k 20 5k10 10C (x ) (x ) C x 
 Tk+1 không chứa x Û 20 – 5k = 0 Û k = 4 
 Vậy số hạng không chứa x là: T5 = 410C = 210. 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
55 
67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) 
 · Cách 1: Ta có: + ++ + + ++ + + + =
0 1 2 4n 2 4n 2
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2 
 + ++ + + ++ + + + =
0 2 4 4n 2 4n 1
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2 
 + + + ++ + + + =
0 2 4 2n 4n
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2 
 Vậy có: 24n = 256 Û n = 2 
 · Cách 2: Đặt Sn = + + + ++ + + +
0 2 4 2n
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 
 Thì Sn+1 = + + + ++ + + +
0 2 4 2n
4n 6 4n 6 4n 6 4n 6C C C ... C 
 Vì + +³
2k 2k
4n 6 4n 2C C (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1 > Sn Þ dãy (Sn) tăng. 
 Khi n = 2 thì S2 = + +0 2 410 10 10C C C = 256 
 Vậy Sn = 256 Û n = 2. 
68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) 
 A = ỉ ư ỉ ư- + -ç ÷ç ÷ è øè ø
20 10
3
2
1 1x x
xx
 = ( ) ( ) ( )
-- - -
= =
- + -å å
20 10k 10 k nk k 20 k 2 n n 3 1
20 10
k 0 n 0
( 1) C x x ( 1) C x x 
 = ( ) ( )- -
= =
- + -å å
20 10k nk 20 3k n 30 4n
20 10
k 0 n 0
1 C x 1 C x 
 Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n Û 10 – n = 3(n – k) 
 Vì 0 ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số của 3 nên n = 4 hay n= 7 hay n= 
10 
 Þ có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống 
nhau. 
 Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm: 
 21 + 11 – 3 = 29 số hạng. 
69. (CĐ KT Y tế I 2006) 
 Ta có: 42n = (1 + 3)2n = - -+ + + + +0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 C 3 
 22n = (1 – 3)2n = - -- + - - +0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 C 3 
 Þ 42n + 22n = ( )+ + +0 2 2 2n 2n2n 2n 2n2 C C 3 ... C 3 
 Þ 42n + 22n = 2.215(216 + 1) 
 Þ (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 0 
 Þ 22n = 216 Þ n = 8. 
70. (CĐ Xây dựng số 2 2006) 
 Theo khai triển nhị thức Newton ta có: