Tuyển chọn các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2010 - 2011

 1 
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN 
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
(Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới thiệu) 
Bài 1. 
1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1x x x x       . 
2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2x x x      
 (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) 
Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 211 25 14 0x x x x x      
(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y
  

   
 (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) 
Bài 4. Giải hệ phương trình sau 
1 3 3
12 8
x x y
y
x y
y

    


   
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) 
Bài 5. Giải hệ phương trình 
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y xy
   

  
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) 
Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực 
4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x
  

 
(Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) 
 2 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
3 2 1
1
2 4
y
x y x
xx y
y
    

   

(Đề thi HSG Hà Tĩnh) 
Bài 8. Giải phương trình 23 6 7 1x x x     
(Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng) 
Bài 9. Giải hệ phương trình 
2 2
1 1
2 0
x x y
y x y x y x
    

   
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) 
Bài 10. 
1/ Giải bất phương trình 2 2( 4 ) 2 3 2 0x x x x    . 
2/ Giải hệ phương trình sau 
2
2
7
12
xy y x y
x x
y
   


 

(Đề thi HSG Điện Biên) 
Bài 11. Giải hệ bất phương trình 
6 8 10
2007 2009 2011
1
1
x y z
x y z
   

  
. 
(Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) 
Bài 12. 
1/ Giải phương trình 1 1
21 3
x x
x x

 
  
2/ Giải hệ phương trình 
2
2
2
2
x x y
y y x
  

 
(Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) 
 3 
Bài 13. 
1/ Giải phương trình 2 4 3 5x x x    . 
2/ Giải phương trình 3 2 3 1 2 2x x x x     trên [ 2, 2] 
(Đề thi HSG tỉnh Long An) 
Bài 14. Giải hệ phương trình sau 
2 2
1 2 2
1 1 3 3( )
y x
x yx
y x x

  


   
(Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định). 
Bài 15. Giải hệ phương trình sau 
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
   

  
 (Đề thi chọn đội tuyển Nha Trang, Khánh Hòa) 
Bài 16. 
1/ Giải phương trình 22 7 2 1 8 7 1x x x x x         
2/ Giải hệ phương trình 
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y
    

   
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc) 
Bài 17. Giải phương trình sau 
2
4 3 2 3 12 2 2 1 ( ) xx x x x x x
x

      
(Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh) 
Bài 18. Giải phương trình 2 2 3 2 2 5 0sin sin cosx x x    . 
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) 
Bài 19. 
1/ Giải phương trình 2 24 2 4x x x x     . 
 4 
2/ Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y
  

 
(Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) 
Bài 20. Giải phương trình 23 6 7 1x x x     . 
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) 
Bài 21. Giải hệ phương trình 
5( ) 6( ) 4
6 5
6( ) 4( ) 5
4 6
4( ) 5( ) 6
5 4
x y x z
x y xy x z xz
z y x y
z y zy x y xy
x z y z
x z xz y z yz
  
     
  
 
   
  
 
   
(Đề chọn đội tuyển trường PTNK, TPHCM) 
Bài 22. 
1/ Giải phương trình 12 1 3 2 ( 11)
2
x y z x y z        
2/ Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1212 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y

  

      
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam) 
Bài 23. 
1/ Tìm tất cả các giá trị của ,a b để phương trình 
2
2
2
2 1
x ax b m
bx ax
 

 
có hai nghiệm phân biệt với 
mọi tham số m. 
2/ Giải hệ phương trình 
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
   

 
(Đề thi HSG vòng tỉnh Bình Phước) 
Bài 24. 
 5 
1/ Giải hệ phương trình 
2 2 2 2
3 3 3 3
2010
2010
x y z
x y z
   

  
2/ Giải phương trình 
3 32 2 2 33 3 3 2 0x x x x x x       
(Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) 
Bài 25. 
1/ Giải bất phương trình sau 
2
2
2 1 2( 1) 2(2 )
4 1 17 0
x y x x x y
y x x
       

   
2/ Với n là số nguyên dương, giải phương trình 1 1 1 1... 0
sin 2 sin 4 sin8 sin 2nx x x x
     . 
(Đề thi HSG tỉnh Khánh Hòa) 
Bài 26. 
1/ Giải phương trình sau 3 sin 2 cos 2 5sin (2 3) cos 3 3 1
2cos 3
x x x x
x
     


. 
2/ Giải phương trình 23 2
2 1log 3 8 5
( 1)
x x x
x

  

(Đề thi HSG tỉnh Thái Bình) 
Bài 27. 
1/ Giải hệ phương trình 
2 2
2
1
2
1
x y xy y
yx y
x
    


   
2/ Giải phương trình lượng giác 2 2 2 2sin 2
tan cot 2
x
x x

 

(Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ) 
Bài 28. Giải phương trình 2 1 124 60 36 0
5 7 1
x x
x x
    
 
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh) 
 6 
Bài 29. Giải phương trình 3 2 3 2 23 2 2 3 2 1 2 2 2x x x x x x x          
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 
Bài 30. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 3 4 2 3 4 18
7 6 14 0
( )( )x x y y
x y xy x y
     

     
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 
Bài 31. Giải hệ phương trình 
32 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
( ) ( )x x y y
x y
      

   
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) 
Bài 32. Giải hệ phương trình 
4 3 3 2 2
3 3
9 9
7( )
x x y y y x x y x
x y x
     

 
(Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên) 
Bài 33. Giải hệ phương trình 
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
     

   
(Đề thi chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) 
Bài 34. Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
35
2 3 4 9
x y
x y x y
  

  
(Đề thi HSG tỉnh Yên Bái) 
Bài 35. Giải phương trình 3 232 2 1 27 27 13 2x x x x     
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) 
Bài 36. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1 2( )
2
1 1
2
x y
x y
y x
x y
   

   

(Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ninh) 
 7 
Bài 37. Giải hệ phương trình 
3
3
3
3 12 50
12 3 2
27 27
x x y
y y z
z x z
   

  
  
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) 
Bài 38. Giải phương trình 
9 2
3
9 1 2 1
3
x x x    
(Đề thi chọn đội tuyển Phú Yên) 
Bài 39. 
1/ Giải phương trình sau 21 1 2 2x x x x       
2/ Giải hệ phương trình sau 
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
     

    
(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An) 
Bài 40. 
1/ Giải hệ phương trình 
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
   

   
2/ Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm 2011 3 3 2( 1) 2( 1) 3 3 2x x x x x       . 
(Đề dự bị thi HSG tỉnh Nghệ An) 
Bài 41. Giải hệ phương trình sau 
3
3
3
3 12
4 6
9 2 32
x y x
y z y
z x z
   

   
   
(Đề thi chọn đội tuyển KHTN, vòng 1) 
Bài 42. Giải hệ phương trình 
2 2
2
2
2 2
1
1
3 2 6 2 2 1log ( ) log ( )
y x xe
y
x y x y
 

      
 8 
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) 
Bài 43. Giải phương trình sau 
2 2
2
2 2
2 1
1 2 1 4
x x x x x
x x x x
  
  
       
(Đề thi HSG tỉnh Bình Phước) 
Bài 44. 
1/ Giải phương trình 3 23 3 4 3 2x x x x     
2/ Tìm số nghiệm của phương trình 
2011 2009 4 2011 2009 2 2(4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0x x x x x x x       
(Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du) 
Bài 45. Giải hệ phương trình sau 
2 2 2 2 2
(2 )(1 2 )(2 )(1 2 ) 4 10 1
2 2 1 0
x x y y z
x y z xz yz x y
      

      
(Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) 
Bài 46. 
1/ Giải phương trình sau 22010 ( 1 ) 1x x x   . 
2/ Giải hệ phương trình 
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
y x
x y
    

  
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam) 
Bài 47. Giải hệ phương trình 
11 10 22 12
4 4 2 237 13 8 2 (3 3 1)
x xy y y
y x y x x y
   

    
(Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM) 
Bài 48. Giải hệ phương trình 
2
2
2
2009 2010 ( )
2010 2011 ( )
2011 2009 ( )
x y x y
y z y z
z x z x
   

  
   
(Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước) 
 9 
Bài 49. Giải hệ phương trình sau 
2 2
2
1
5
574 3 (3 1)
25
x y
x x y x
  

     

(Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An) 
Bài 50. Cho các tham số dương , ,a b c . Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau : 
2 2 24
x y z a b c
xyz a x b y c z abc
    

   
(Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) 
Bài 51. Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực 
2 2
2 2
3 3
3 0
x yx
x y
x yy
x y
   

  
 
(Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) 
Bài 52. Giải hệ phương trình 
4 4
2 2 3
2
3( )
x x y y
x y
   

 
(Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 
Bài 53. Giải phương trình 2 3 532 .sin .cos 2 1 1x x x x x x x x       
(Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) 
Bài 54. Giải hệ phương trình 
2 2
2
2 2
( 2) ( 3) ( 3)( 2)
5 9 7 15 3
8 18 18 18 84 72 24 176
x y y x z
x x z y yz
x y xy yz x y z
        

     
        
(Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) 
Bài 55. 
Tìm , ,x y z thỏa mãn hệ 
2 2
2 2
2 2
2 ( ) 1
1 2 2 2
(3 1) 2 ( 1)
z x y x y
y z xy zx yz
y x x x
    

    
    
(Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) 
 10 
LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT 
Bài 1. 
1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1x x x x       . 
2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2x x x      
 (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) 
Lời giải. 
1/Điều kiện 1x  . Phương trình đã cho tương đương với 
2 2( 1 1) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1x x x x             (*) 
-Nếu 1 1x   thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1x x x x               , loại. 
-Nếu 1 1 2 2 5x x      thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 1 1x x         , luôn đúng. 
-Nếu 1 2x   thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2x x x x              , loại. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là mọi x thuộc  2;5 . 
2/ Điều kiện 5
2
x  . Phương trình đã cho tương đương với 
2
2
1 5 2 6
(1 ) ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6
(1 )( 5 2 ) 5 (1 )( 5 2 ) 10 25
7 30 0 3 10
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x
     
          
            
        
Thử lại, ta thấy chỉ có 3x   là thỏa mãn. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 3x   . 
Nhận xét. Các dạng toán phương trình vô tỉ này khá cơ bản và quen thuộc, chúng hoàn toàn có 
thể giải bằng cách bình phương để khử căn mà không cần lo ngại về tính giải được của phương 
trình hay không. Để đơn giản trong việc xét điều kiện, ta có thể giải xong rồi thử lại cũng được. 
 11 
Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 211 25 14 0x x x x x      
(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) 
Lời giải. 
Phương trình đã cho tương đương với 
5 4 4 3 3 2 2
4 3 2
4 3 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 9 18 ) (7 14) 0
( 2)( 9 7) 0
2
9 7 0
x x x x x x x x x
x x x x x
x
x x x x
          
      

 
    
Phương trình thứ hai ở trên có thể viết lại là 
4 3 2 4 3 3 2 2
2 2
( 9 6) 1 0 ( 2 2 3 3 6 6)  ...  0
cos cos sin sin 0
x y z yz u zx v xy u v u v
x v y u x v y u z
x v y u x v y u z
     
     
     
Ta tính được sin sin
22 2 2
a yb x a b a bz x v y u z
zx yz z
 
       
Tương tự, ta cũng có ,
2 2
c a b cy x   . 
 61 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( , , ) ( , , )
2 2 2
b c c a a bx y z    . 
Nhận xét. Đây là bài toán trong IMO Shortlist, đề bài và lời giải thực sự rất hay, là một kết hợp 
đẹp giữa đại số và lượng giác. Ta cũng có thể giải bằng biến đổi đại số nhờ cách đặt ẩn phụ 
, ,
2 2 2
b c c a a bx u y v z w        và đánh giá bằng bất đẳng thức. 
Bài 51. Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực 
2 2
2 2
3 3
3 0
x yx
x y
x yy
x y
   

  
 
(Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) 
Lời giải. 
Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng số phức. 
Nhân phương trình thứ hai của hệ với i (đơn vị ảo 2 1i   ) rồi cộng với phương trình thứ nhất, 
ta có 2 2 2 2 2 2
3 3 3( ) ( )3 ( ) 0x y xi yi x yi i x yix yi x yi
x y x y x y
    
       
  
Đặt 2 2
1 x yiz x yi
z x y

   

. Đẳng thức ở trên được viết lại là 
23 3 (1 2 )0 3 3 0 2 1
2
i iz z z i z z i z i
z
  
               . 
-Nếu 2z i  , suy ra 2 2, 1x yi i x y      . 
-Nếu 1z i  , suy ra 1 1, 1x yi i x y       . 
Thử lại ta thấy thỏa. 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( , ) (2,1), (1, 1)x y   . 
Nhận xét. Dạng toán này cũng khá phổ biến và đều chung ý tưởng là giải quyết bằng số phức. 
Các bài toán tương tự 
2 2
2 2
3 10 1
10 3 2
x yx
x y
x yy
x y
   

  
 
, 
2 2
2 2
2 2
2 0
x yx
x y
x yy
x y
   

  
 
 (Đề chọn đội tuyển Hà Nội 2007) 
 62 
Trên thực tế, ta cũng có thể giải bằng cách dùng biến đổi đại số, nhân x và y thích hợp vào từng 
vế của các phương trình rồi trừ lại để thu được quan hệ đơn giản hơn giữa các biến này. 
Bài 52. Giải hệ phương trình: 
4 4
2 2 3
2
3( )
x x y y
x y
   

 
(Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 
Lời giải. 
Đặt 33, ,x y a x y b c     . 
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có  3 3ab c ab c   . 
Ta có 
2 2
,a b a bx y   . Suy ra 
2 2
4 4 2 2 2 2
2 2 2
( )( )( ) ( )a b a b abx y x y x y x y ab a b
     
            
     
, hơn nữa: 
332
2 2 2
( )( ) a b a b a c bx y a b         
Do đó, phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với 
3
2 2 2 2 3
2 2
( ) ( )ab a c ba b c a b a c b      
Ta có hệ mới là 
2 2 3 2 4
2 4 3 3 4 3 3
2 1 0
( ) ( ) ( )( )c a b a c b c cc a a ca c a ac ca a c
aaab c
   
           

1a a c
c
    . 
Suy ra hệ này có hai nghiệm là 211( , ) ( , );( , )a b c c
c
 . 
 63 
Xét hai trường hợp 
- Nếu 1,a c b  thì 
3 31 3 1 3 1
2 2 2
,cx y     . 
- Nếu 21 ,a b c
c
  thì 
3 3
2 2
3 3
1 1 1 2 1 1 1 1
2 2 2 23 3
,c cx c y c
c c c c
     
          
   
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: 
3 3
3 3
3 1 3 1 2 1
2 2 3 3
( , ) , , ,x y
     
        
. 
Bình luận. Đây là một hệ phương trình rất đẹp, hình thức của nó dễ làm chúng ta bối rối khi 
không thể nhẩm được nghiệm nào cũng như tìm được một hàm số nào đó để khảo sát như ý 
tưởng thông thường. Lời giải thuần túy đại số và cách đặt ẩn phụ như đề bài cần phải chú ý, nó 
từng xuất hiện trong đề VMO 2005 
3 2
2 2
3 49
8 6 17
x xy
x xy y y x
   

   
Một bài toán tương tự như trên cũng có lời giải rất thú vị 
4 4
2 2 5
3 1
4 2
( ) 5 0
x y
y x
x y
   

   
Bài 53. Giải phương trình 2 3 532 .sin .cos 2 1 1x x x x x x x x       
(Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) 
Lời giải. 
Ta thấy phương trình không có nghiệm 1
2
x   nên ta chỉ xét 1
2
x   . 
Xét hàm số 2 5 33 1( ) 2 .sin .cos 2 1 1,
2
f x x x x x x x x x x          . 
Ta có 2 4 2
23
2( ) 3 .sin (2 1) cos 5 3 1
3 (2 1)
f x x x x x x x
x
       

Ta sẽ chứng minh đánh giá mạnh hơn là 2 4 23 .sin (2 1) cos 5 3 1 0,x x x x x x x        (*) 
 64 
Ta thấy biểu thức này không thay đổi khi thay x bởi x nên ta chỉ cần xét 0x  . 
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau 
3 2
sin ,cos 1 , 0
6 2
x xx x x x      . 
Xét hàm số 
2
( ) cos 1
2
xg x x   , 0x  , ta có 
( ) sin , ( ) cos 1 0 ( ) sin (0) 0g x x x g x x g x x x g                . Do đó, ( )g x là hàm 
đồng biến trên [0, ) , suy ra 
2 2
( ) (0) 0 cos 1 0 cos 1
2 2
x xg x g x x         . 
Tương tự, ta cũng có 
3
sin
6
xx x  . 
Từ hai đánh giá này, ta có 
3 2
2 4 2 2 4 23 .sin (2 1) cos 5 3 1 3 ( ) (2 1)(1 ) 5 3 1
6 2
x xx x x x x x x x x x x             . 
Hơn nữa, ta cũng có 
3 2 4 4 2
2 4 2 2 2 4 4 23 7 33 ( ) (2 1)(1 ) 5 3 1 3 1 5 3 1 0
6 2 2 2 2
x x x x xx x x x x x x x x x                 
nên 2 4 23 .sin (2 1) cos 5 3 1 0,x x x x x x x        . 
Do đó (*) đúng hay ( ) 0,f x x    . Suy ra ( )f x là hàm đồng biến nên phương trình đã cho 
có không quá một nghiệm. Mặt khác (0) 0f  nên 0 là nghiệm của phương trình đã cho. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 0x  . 
Nhận xét. Điểm quan trọng nhất của bài toán là chứng minh ( ) 0f x  , nhưng đó là một biểu 
thức vừa có chứa cả sin ,cosx x và căn thức, đồng thời số hạng tự do của hàm số lại âm nên thật 
sự rất khó dự đoán được phải làm gì trong trường hợp này. Việc bỏ đi biểu thức chứa căn ở trên 
rất quan trọng vì nó giúp ta có được một hàm số chẵn và chỉ cần xét biểu thức trên miền [0, ) ; 
trên miền đó, ta còn có thêm hai đánh giá 
3 2
sin ,cos 1
6 2
x xx x x    nên bài toán đưa về chứng 
minh bất đẳng thức thông thường. Nếu không đưa các yếu tố lượng giác về đa thức thì phải tiếp 
tục đạo hàm và chưa chắc điều này đã khả thi. Bất đẳng thức (*) có thể làm mạnh thêm nữa là 
2 4 23 93 .sin (2 1) cos 1 0,
2 2
x x x x x x x        . 
 65 
Bài 54. Giải hệ phương trình 
2 2
2
2 2
( 2) ( 3) ( 3)( 2)
5 9 7 15 3
8 18 18 18 84 72 24 176
x y y x z
x x z y yz
x y xy yz x y z
        

     
        
(Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) 
Lời giải. 
Đặt 2, 3a x b y    . 
Thay vào từng phương trình của hệ đã cho, ta được 
2 2 2 2 2 2( 2) ( 3) ( 3)( 2) ( 4) 4 0x y y x z a b b a z a ab b bz b                    , 
2 25 9 7 15 3 7 3 0x x z y yz a a b bz           
2 2
2 2
2 2
8 18 18 18 84 72 24 176
8 2 18 72 18 18 30 94 0
8 2 18( 4 ) 30 94 0
x y xy yz x y z
a a b b ab bz z
a a b ab bz b z
       
        
        
Suy ra 
2 2
2
2 2
4 0
7 3 0
8 2 18( 4 ) 30 94 0
a ab b bz b
a a b bz
a a b ab bz b z
     

   
        
(*) 
Từ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba, ta có 
2
2 2 2 5 478 2 18 30 94 0 10 2 30 94 0
15
a aa a a z a a z z               . 
Thay vào phương trình thứ hai, ta có 
2 2 2
2 2
2
5 47 5 12 5( )7 0
5 5 5 12
a a a a a aa a b b b a a b
a a
       
                
. 
Nhân phương trình thứ nhất của hệ (*) với 3 rồi trừ cho phương trình thứ hai, ta được 
2 22 3 3 5 0a a ab b b     
Thay 
25 47
15
a az    và 
2
2
5( )
5 12
a ab
a a


 
 vào phương trình này, ta có 
 66 
22 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
6 5 4 3 2
2 2
15 ( ) 5( ) 25( )2 3 0
5 12 5 12 5 12
(2 )(5 12) 15 ( ) 25( ) (5 12) 75( ) 0
50 70 208 94 482 156 0
( 2)(5 14 13)(5 11 3) 0
0
a a a a a a aa a
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a
   
           
              
      
      
 
11 612
10
a a      
Tương ứng với các giá trị này, ta tìm được bốn nghiệm của hệ đã cho là 
47 4 29 31 61 2 61 28 13 61( , , ) ( 2, 3, ), ( 4, , ), ( , , ),
15 3 15 10 15 15
61 31 2 61 28 39 61( , , )
10 15 15
x y z        
  

Nhận xét. Việc đặt ẩn phụ 2, 3a x b y    đã làm cho hệ đã cho đơn giản đi khá nhiều nhưng 
các liên hệ phức tạp giữa các biến thì vẫn còn. Bài toán ở đây có thể được giải theo một cách 
nhân các phương trình cho một đại lượng thích hợp rồi cộng lại nhưng rõ ràng điều này không 
phải dễ dàng thực hiện được. Việc dùng phép thế tuy phức tạp nhưng lại rất tự nhiên và cũng 
may mắn là phương trình cuối không có chứa căn gì nữa. Ở đây tính toán khá nặng và cũng 
không dễ dàng mà tự tin biến đổi biểu thức nhận được sau phép thế khi chưa chắc gì nó đã có 
nghiệm đẹp mà đánh giá. 
Bài 55. 
Tìm , ,x y z thỏa mãn hệ 
2 2
2 2
2 2
2 ( ) 1
1 2 2 2
(3 1) 2 ( 1)
z x y x y
y z xy zx yz
y x x x
    

    
    
(Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) 
Lời giải. 
Từ phương trình thứ ba của hệ, ta có 
2 3 2 3
2 2 2
2 ( 1) (3 ) 2 ( 1) 3
(3 1) (3 1) 3 1
x x x x x x x xy x y x y
x x x
     
      
  
. 
Đặt tan , ( , ) cos 0
2 2
x         . Ta có 
3
2
tan 3 tantan tan 3 tan
3tan 1
y y   


    

. 
 67 
Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có 
2 2 21 (2 tan tan 3 ).tan 3 1 2 tan .tan 3 tan 3 1
2( ) 2 tan 3 2 tan 3
tan 3 cot 3 1 sin 3 cos3 1tan tan ( ) tan
2 2 cos3 sin 3 sin 6
x yz
x y
     
 
   
  
  
     
  


      
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có 
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2 2 2 1 ( ) 1
1(tan 3 tan tan tan ) 1 tan
sin 6
sin 3 1 1 2sin 3 1 1( tan ) ( tan )
cos3 2sin 3 cos3 cos 2sin 3 cos3 cos
cos6 1 cos 6 cos sin 6 sin( tan ) (
sin 6 cos
x y z xy zx yz x y z x x
    

 
 
      
    

 
           
      

      

    2 2
2
2
1)
sin 6 cos cos
cos5 1( ) cos5 cos sin 6 cos cos5 cos( 6 )
sin 6 cos cos 2
2cos5 cos( 6 ) 5 ( 6 ) 2 , 2
2 2 22 11 2
2cos5 cos( 6 ) 5 ( 6 ) 2 , 2
2 2 22 11 2
kk k
kk k
  
 
     
  
    
       
    
      

        
           
   
            
  
, k







Do ( , )
2 2
 
  nên hai họ nghiệm 2 ,
2
k k     không thỏa mãn. 
Với hai họ nghiệm 2
22 11
k 
    , ta tìm được tất cả 10 giá trị  thỏa mãn là 
3 5 7 9, , , ,
22 22 22 22 22
    
       . 
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là 
1 3 5 7 9( , , ) (tan , tan 3 tan , tan ), , , , ,
sin 6 22 22 22 22 22
x y z         

         . 
Nhận xét. Cách dùng lượng giác ở đây có lẽ là con đường duy nhất để giải bài này bởi vì với các 
nghiệm như trên thì không thể có cách đại số nào mà tìm ra được. Ý tưởng quan trọng nhất này 
xuất phát từ biểu thức của x y hoàn toàn giống hệ số của khai triển tan 3 . Do đó, bài này tuy 
biến đổi phức tạp nhưng ý tưởng cũng khá tự nhiên!