Tự ôn luyện thi Đại học môn Toán

NGUYỄN ðỨC TUẤN 
TỰ ÔN LUYỆN THI 
MÔN TOÁN 
Hà nội, 1 - 2005 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 1 
Chương 1: Phương trình và bất phương trình 
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 
I. Cách giải 
 1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b ∈IR. 
• Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - 
a
b
. 
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. 
• Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈IR. 
2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. 
• Nếu ∆= b2 – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm. 
• Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép == 21 xx - 
a2
b
. 
• Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt =2,1x 
a2
b ∆±−
. 
II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm 
 1) ðịnh lí Viét : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm 21 x,x thì 
 S = =+ 21 xx - 
a
b
 và P = =21 x.x 
a
c
. 
 2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm: 
Trái dấu ⇔ 0
a
c
< Cùng dấu ⇔ 




>
≥∆
0
a
c
0
Cùng dương 









>−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
 Cùng âm 









<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai 
 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có 
 1. ðịnh lí thuận: 
• Nếu ∆ = b2 – 4ac 0 với ∀ x. 
• Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - 
a2
b
. 
• Nếu ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và 
a.f(x) > 0 với x ngoài ]x;x[ 21 . 
a.f(x) < 0 với 21 xxx << . 
2. ðịnh lí ñảo: Nếu tồn tại số α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt 
và số α nằm trong khoảng hai nghiệm ñó: 21 xx <α< . 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 2 
IV. Ứng dụng 
1. ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c không ñổi dấu với mọi x 
 f(x) > 0 với ∀ x 










<∆
>



>
==
⇔
0
0a
0c
0ba
 f(x) ≥ 0 với ∀ x 










≤∆
>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba
 f(x) < 0 với ∀ x 










<∆
<



<
==
⇔
0
0a
0c
0ba
 f(x) ≤ 0 với ∀ x 










≤∆
<



≤
==
⇔
0
0a
0c
0ba
2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α 
• ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và 21 xx <α< là: a.f( α ) < 0. 
• ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm ngoài khoảng hai 
nghiệm: 



>α
>∆
0)(f.a
0
- Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: α<< 21 xx ⇒







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
- Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: 21 xx <<α 







>−=
>α
>∆
⇒
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
• ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm 
nằm ngoài ñoạn [ βα; ] là: f( α ).f(β ) < 0. 
3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x > α : 
• Trường hợp 1: f(x) có nghiệm 21 xx <α< ⇔ a.f( α ) < 0. 
• Trường hợp 2: f(x) có nghiệm 21 xx <<α ⇔ 







<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0
• Trường hợp 3: f(x) có nghiệm 21 xx <=α




<α
=α
⇔
2
S
0)(f
( Làm tương tự với trường hợp x < α và khi xảy ra dấu bằng) 
Ngoài ra ta chú ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục. Khi ñó ñiều kiện ñể 
phương trình f(x) = m có nghiệm là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 3 
Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai 
Nếu 0<∆ 
Nếu 0=∆ 
Nếu 0>∆ 
 a.f(x) > 0 với ∀ x 
a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - 
a2
b
a.f(x) > 0 với x ngoài ]x;x[ 21 
a.f(x) < 0 với 21 xxx << 
Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α 
ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt và 
α nằm giữa khoảng hai nghiệm 
21 xx <α< 
α nằm ngoài khoảng hai nghiệm 



>α
>∆
0)(f.a
0
α<< 21 xx α<< 21 xx 
 a.f( α ) < 0 







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0







>−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
Ví dụ 1. Tìm m ñể phương trình 08mx)4m(2x 22 =+++− có 2 nghiệm dương. 
Ví dụ 2. Xác ñịnh a ñể biểu thức 3a3x)1a(2x)1a( 2 −+−−+ luôn dương 
Ví dụ 3. Tìm m ñể bất phương trình m2xx2 ≥−+ nghiệm ñúng với mọi x. 
Ví dụ 4. Tìm m ñể phương trình m2mxx2 ++ = 0 có hai nghiệm 21 x,x thỏa mãn 
 -1< 21 xx < 
Ví dụ 5. Tìm m ñể phương trình 01m2mx2x 22 =−+− có nghiệm thỏa mãn 
 4xx2 21 ≤≤≤− 
Ví dụ 6. Cho phương trình 2m3x)2m(x 2 −+++ =0 
Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 
Ví dụ 7. Tìm m ñể phương trình 02mmx2x 2 =++− có nghiệm lớn hơn 1 
Ví dụ 8. Tìm m ñể phương trình 02m2m9mx6x 22 =+−+− có nghiệm 3xx 21 ≤≤ 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 4 
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ 
 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI 
I. Phương trình trùng phương 0a,0cbxax 24 ≠=++ (1) 
ðặt t = 2x ≥ 0 phương trình (1) trở thành: at2 + bt + c = 0 (2) 
• PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm không âm. 
• PT (1) có ñúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có ñúng một nghiệm dương. 
• PT (1) có ñúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm bằng 0 và một 
nghiệm dương. 
• PT (1) có ñúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân 
biệt. 
Ví dụ 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0. 
a)Tìm các giá trị của m ñể phương trình vô nghiệm. 
b)Tìm các giá trị của m ñể phương trrình có 4 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 2. Tìm m sao cho ñồ thị hàm số y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8 
cắt trục hoành lần lượt tại 4 ñiểm phân biệt A, B, C, D với AB = BC = CD. 
II. Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối 
1) Các dạng cơ bản: 
| a | = b 



±=
≥
⇔
ba
0b
 | a | = | b | ba ±=⇔ 
| a | ≤ b 



≤
≥
⇔ 22 ba
0b
 | a | ≥ b 








≥
≥
<
⇔
22 ba
0b
0b
| a | ≥ | b | 22 ba ≥⇔ 
Ví dụ 1. Giải phương trình | x2 – 3x + 2 | - 2x = 1. 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình x2 - | 4x – 5 | < 0. 
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x. 
Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. 
Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |. 
2)Phương pháp ñồ thị: 
a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x). 
 - Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và 
phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2). 
- Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị 
(3). 
- ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa 
vẽ. 
 b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng 
nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng 
chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp 
dụng ñịnh lí trên ñể biện luận. 
Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 5 
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
I.Các dạng cơ bản 
Dạng 1: )x()x(f1n2 ϕ=+ , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ )x(ϕ ]2n+1 
Dạng 2: )x()x(fn2 ϕ= , n ∈ N* ⇔ 



ϕ=
≥ϕ
n2)]x([)x(f
0)x(
Dạng 3: 





ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f , 





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f 
 Dạng 4: 










ϕ>
≥ϕ



<ϕ
≥
⇔ϕ>
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f , 










ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f 
Ví dụ 1. Giải phương trình 1x23x2x2 +=+− 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình x12xx 2 <−− 
Ví dụ 3. Giải bất phương trình x26x5x2 2 −>−+ 
Ví dụ 4. Tìm m ñể phương trình có nghiệm 3mxx2mx 2 −+=− 
II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản 
1) Phương pháp lũy thừa hai vế: 
- ðặt ñiều kiện trước khi biến ñổi 
- Chỉ ñược bình phương hai vế của một phương trình ñể ñược phương trình tương ñương 
(hay bình phương hai vế của một bất phương trình và giữ nguyên chiều) nếu hai vế của chúng 
không âm. 
- Chú ý các phép biến ñổi căn thức AA2 = . 
Ví dụ 5. Giải phương trình 4x31x +−=+ 
Ví dụ 6. Giải bất phương trình x78x23x −+−≥+ 
Ví dụ 7. Giải bất phương trình 15x5x3 >+− 
Ví dụ 8. Giải bất phương trình x1x2x ≤+−+ 
Ví dụ 9.Giải phương trình 2x21x6x8x2 22 +=−+++ 
Ví dụ 10.Giải bất phương trình 1x1x3x23x4x 22 −≥+−−+− 
2)Phương pháp ñặt ẩn phụ: 
 - Những bài toán có tham số khi ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới. 
 - Chú ý các hằng ñẳng thức 222 bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba 22 −+=− ,  
Ví dụ 11.Giải bất phương trình x2x71x10x5 22 −−≥++ 
Ví dụ 12.iải phương trình 47x1x7x28x =+−+++++ 
Ví dụ 13.Giải phương trình 4x415x42x2x 2 −+−=−++ 
Ví dụ 14.Giải phương trình 
x
2x2x3
x
4
x9
2
2
2 −+
=+ 
Ví dụ 15.Giải bất phương trình 4
x2
1
x2
x2
5
x5 ++<+ 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 6 
Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG 
I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1 
1)Khái niệm: Là hệ mà mỗi phương trình không ñổi khi ta thay x bởi y và thay y bởi x. 
 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 
 3)Cách giải: 
Biến ñổi hệ phương trình về dạng: Hệ ñã cho ⇔



=
=+
Py.x
Syx
 (1) 
Khi ñó x, y là nghiệm của phương trình: 0PStt2 =+− (2) 
Nếu ∆ = S2 – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm t1 ≠ t2 nên hệ phương trình (1) có hai 
nghiệm phân biệt (t1, t2), (t2, t1). 
Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép t1 = t2 nên hệ (1) có nghiệm duy nhất (t1, t2). 
ðiều kiện ñể hệ (1) có ít nhất một cặp nghiệm (x, y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 





≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S2
Ví dụ 1.Giải hệ phương trình 



=+
=+
26yx
2yx
33 




=+
=+
35yyxx
30xyyx



=++
=−−
1xyyx
3xyyx
22 
Ví dụ 2.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm




+−=+
=−++
6m4myx
m1y1x
2



=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22 
II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2 
 1)Khái niệm: Là hệ phương trình mà trong hệ phương trình ta ñổi vai trò x, y cho nhau 
thì phương trình nọ trở thành phương trình kia. 
 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 
 3)Cách giải: 
 Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta ñược phương trình có dạng: 
 (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 hoặc f(x,y) = 0. 
Ví dụ 3.Giải các hệ phương trình 




=+
=+
x40yxy
y40xyx
23
23




=−
=−
22
22
x4xy
y4yx






+=
+=
x
1
xy2
y
1yx2
2
2
Ví dụ 4.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm: 




=−+
=−+
m1xy2
m1yx2




+−=
+−=
mxxy
myyx
2
2
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 7 
Bà ... og
3
1
3
1
2
3 +>−++− 
Ví dụ 14. Giải phương trình: 1)x7(log)1x(log)1x(log
2
1
2
1
2
1 =−−++− 
Ví dụ 15. Giải phương trình: 25)1x(lg)1x(lg 3224 =−+− 
Ví dụ 16. Giải phương trình: 4)21x23x6(log)x4x129(log 23x227x3 =+++++ ++ 
Ví dụ 17. Tìm m ñể phương trình sau ñây có hai nghiệm trái dấu: 
 01m4)4m2(16)3m( xx =++−++ 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 16 
Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 
Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Sơ ñồ khảo sát hàm số 
 1) Tìm tập xác ñịnh của hàm số (Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có)). 
 2) Khảo sát sự biến thiên hàm số 
 a) Xét chiều biến thiên của hàm số 
• Tính ñạo hàm 
• Tìm các ñiểm tới hạn 
(ðiểm tới hạn thuộc TXð và tại ñó )x(f ′ không xác ñịnh hoặc bằng 0) 
• Xét dấu của ñạo hàm trong các khoảng xác ñịnh bởi các ñiểm tới hạn. 
(Giữa hai ñiểm tới hạn kề nhau thì )x(f ′ giữ nguyên một dấu) 
• Suy ra chiều biến thiên hàm số trong mỗi khoảng 
(ðồng biến nếu )x(f ′ >0, nghịch biến nếu )x(f ′ <0). 
b) Tính các cực trị (suy ra ngay từ phần xét chiều biến thiên) 
c) Tìm các giới hạn của hàm số 
• Khi x dần tới vô cực ( +∞→x và −∞→x ) 
• Khi x dần tới bên trái và bên phải, các giá trị của x tại ñó hàm số không 
xác ñịnh ( oxx +→ , oxx −→ ) 
• Tìm tiệm cận (nếu là hàm số phân thức) 
- Nếu 
∞→x
lim ∞=)x(f thì x = xo là một tiệm cận ñứng của hàm số 
- Tiệm cận xiên: y = ax + b . Trong ñó 
x
)x(flima
x ∞→
= ; ]ax)x(f[limb
x
−=
∞→
 (khi +∞→x ( −∞→x ), oxx +→ ( oxx −→ ) thì ñó là tiệm cận bên phải (trái)) 
d) Xét tính lồi, lõm và tìm ñiểm uốn của ñồ thị hàm số (nếu là hàm số ña thức) 
• Tính ñạo hàm cấp 2 
• Xét dấu của ñạo hàm cấp 2 
• Suy ra tính lồi, lõm và ñiểm uốn của ñồ thị (lập bảng lồi lõm) 
( nếu 0)x(f <′′ với )b;a(x ∈∀ thì ñồ thị hàm số lồi trên khoảng ñó) 
e) Lập bảng biến thiên (ghi tất cả các kết quả tìm ñược vào bảng biến thiên) 
3)Vẽ ñồ thị 
• Chính xác hóa ñồ thị (tìm giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ và nên 
lấy thêm một số ñiểm của ñồ thị, nên vẽ tiếp tuyến ở một số ñiểm ñặc biệt) 
• Vẽ ñồ thị (ñọc lại các ví dụ mẫu SGK từ trang 80 ñến trang 97). 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 17 
BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
I. Tìm giao ñiểm của hai ñường 
 Giả sử hàm số )x(fy = có ñồ thị là (C) và hàm số )x(gy = có ñồ thị là )C( 1 . Rõ ràng 
)y;x(M ooo là giao ñiểm của (C) và )C( 1 khi và chỉ khi )y;x( oo là nghiệm của hệ phương trình 



=
=
x(gy
)x(fy
Do ñó ñể tìm hoành ñộ các giao ñiểm của (C) và )C( 1 ta giải phương trình: )x(g)x(f = (1) 
Số nghiệm của phương trình chính là số giao ñiểm của hai ñồ thị (C) và )C( 1 . 
Nếu ,...x,x 1o là các nghiệm của (1) thì các ñiểm ))...x(f;x(M)),x(f;x(M 111ooo là các 
giao ñiểm của (C) và )C( 1 . 
Bài toán: Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt ñường thẳng tại một số ñiểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 1. Biện luận theo m số giao ñiểm của ñồ thị các hàm số 
2x
3x6xy
2
+
+−
= và mxy −= 
Ví dụ 2. Biện luận số nghiệm của phương trình m2x3x 23 =−+ 
Ví dụ 3. Với giá trị nào của k thì ñường thẳng 2kkxy +−= cắt ñồ thị hàm số 
1x
1xxy
2
−
−+
= 
 tại hai ñiểm phân biệt. 
Ví dụ 4. Tìm k ñể ñường thẳng y = kx + 1 cắt ñồ thị 
2x
3x4xy
2
+
++
= tại hai ñiểm phân biệt 
Ví dụ 5. Tìm m ñể ñường thẳng mxy +−= cắt ñồ thị 
1x
1xxy
2
−
−+
= tại hai ñiểm phân biệt 
Ví dụ 6. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 
1x
mxmxy
2
−
++
= cắt trục hoành tại 2 ñiểm phân biệt có hoành
 ñộ dương. 
Ví dụ 7. Tìm m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số )1x(2
3x3xy
2
−
−+−
= tại hai ñiểm A và B 
sao cho ñộ dài ñoạn AB = 1. 
Ví dụ 8. Tìm m ñể ñồ thị 1mxx3xy 23 +++= cắt ñường thẳng y = 1 tại 3 ñiểm phân biệt. 
Ví dụ 9 . Tìm m ñể ñồ thị 
3
2
mxmxx
3
1y 23 ++−−= cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt. 
Ví dụ 10. Tìm a ñể ñường thẳng 1)1x(ay ++= cắt ñồ thị hàm số 
2x
11xy
+
++= tại hai ñiểm 
có hoành ñộ trái dấu. 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 18 
II. Viết phương trình tiếp tuyến 
 Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) 
 a) Phương trình tiếp tuyến của ñường cong (C) tại ñiểm ))x(f;x(M ooo 
 )xx)(x(fyy ooo −′=− 
 b) Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm )y;x(M 111 và tiếp xúc với (C) 
ðường thẳng d ñi qua )y;x(M 111 có dạng )xx(kyy 11 −=− 11 y)xx(ky +−=⇔ 
ðể cho ñường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm: 



=′
+−=
k)x(f
y)xx(ky 11
Hệ phương trình này cho phép xác ñịnh hoành ñộ ox của tiếp ñiểm và hệ số góc )x(fk ′= 
Chú ý: Hai ñồ thị hàm số )x(fy = và )x(gy = tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ 
phương trình sau ñây có nghiệm: 



′=′
=
)x(g)x(f
)x(g)x(f
c) Phương trình ñường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc (C). 
Phương trình ñường thẳng có hệ số góc k có dạng bkxy += tiếp xúc với ñồ thị (C), ta giải 
phương trình k)x(f =′ tìm ñược hoành ñộ các tiếp ñiểm ,...x,x,x 21o Từ ñó suy ra phương 
trình các tiếp tuyến phải tìm: 
 )xx(kyy ii −=− ( i = 0, 1, ...) 
Bài toán : Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số khi biết phương của tiếp tuyến hoặc ñi qua 
một ñiểm cho trước nào ñó. 
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) của hàm số 22 )x2(y −= biết tiếp 
tuyến ñó ñi qua ñiểm A(0 ; 4) 
Ví dụ 2. Viết phương trình các ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng 3x
4
1y += và tiếp xúc
 với ñồ thị hàm số 2x4x3x)x(fy 23 +−+−== 
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) của hàm số 1x3xy 3 ++−= biết tiếp tuyến
 ñó song song với ñường thẳng 1x9y +−= 
Ví dụ 4. Từ gốc tọa ñộ có thể kẻ ñược bao nhiêu tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 
1x3xy 23 ++= Viết phương trình các tiếp tuyến ñó. 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 19 
Ví dụ 5. Cho hàm số 
2
3
x3x
2
1y 24 +−−= có ñồ thị là (C) 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại các ñiểm uốn. 
b) Tìm tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm )
2
3
;0(A 
Ví dụ 6. Cho hàm số 
2x
2x3y
+
+
= có ñồ thị là (C). 
Chứng minh rằng, không có tiếp tuyến nào của ñồ thị (C) ñi qua giao ñiểm của hai tiệm cận của 
ñồ thị ñó. 
Ví dụ 7. Cho hàm số 
1x
1
xy
+
−= có ñồ thị là (C) 
Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp ñiểm mà tiếp tuyến tại ñó song song với nhau. 
Ví dụ 8. Cho hàm số 
2x
4m2mxxy
2
+
−−+
= có ñồ thị (C) 
 Giả sử tiếp tuyến tại )C(M ∈ cắt hai tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng MP=MQ 
Ví dụ 9. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số 
2x
5x4xy
2
−
+−
= biết rằng tiếp tuyến ñi 
qua ñiểm A(1;1). 
Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị 
1x
1xxy
2
+
−−
= biết tiếp tuyến song song với 
ñường thẳng y = x− . 
Ví dụ 11. Cho hàm số 
1x
1xxy
2
+
−−
= có ñồ thị là (C) 
 Tìm tất cả các ñiểm trên trục tung mà từ ñó có thể kẻ ñược 2 tiếp tuyến với ñồ thị (C) 
Ví dụ 12. Tìm a ñể ñồ thị 
1x
ax3xy
2
+
++
= có tiếp tuyến vông góc với ñường thẳng y = x. 
Ví dụ 13. Tìm m ñể ñồ thị 2223 m4x)1m4(mx2y ++−= tiếp xúc với trục hoành. 
Ví dụ 14. Tìm m ñể ñồ thị 
2x
1m2mx3mxy
2
+
+++
= tiếp xúc với ñường thẳng y = m. 
Ví dụ 15. Tìm a ñể tiệm cận xiên của ñồ thị 
ax
3x)1a(x2y
2
+
−++
= 
 tiếp xúc với parabôn 5xy 2 += . 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 20 
III. Sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số 
 Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên khoảng (a;b) 
a) Hàm số f(x) ñồng biến trên (a;b) 0)x(f ≥′⇔ với )b;a(x ∈∀ 
b) Hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b) 0)x(f ≤′⇔ với )b;a(x ∈∀ 
Bài toán : Yêu cầu tìm m ñể cho hàm số ñồng biến, nghịch biến trong một khoảng nào ñó 
Chú ý: Cần nắm vững các ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai 
Ví dụ 1. Cho hàm số 1x)1m2(3mx3xy 23 +−+−= 
Xác ñịnh m sao cho hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh. 
Ví dụ 2. Cho hàm số 1mmx2x2y 2 −++= 
Xác ñịnh m sao cho hàm số ñồng biến trong khoảng );1( +∞− 
Ví dụ 3. Cho hàm số m4x)1m(x3xy 23 ++++= 
 Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên (-1,1) 
Ví dụ 4. Cho hàm số 
1x
2x)1m(2xy
2
+
+++
= 
 Tìm m ñể hàm số ñồng biến trong khoảng );0( +∞ 
Ví dụ 5. Cho hàm số 2mx)1m2(mxx
3
1y 23 +−−+−= 
 Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên (-2;0). 
Ví dụ 6. Cho hàm số 
1x
mx3x2y
2
−
+−
= 
 Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên ),3( +∞ 
Ví dụ 7. Cho hàm số 1x)2m(m3x)1m(3xy 23 +−+−−= 
 Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho 2x1 ≤≤ 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 21 
IV.Cực ñại và cực tiểu 
 Cho hàm số y = f(x) , xo thuộc tập xác ñịnh của hàm số. Nếu khi x ñi qua xo ñạo hàm ñổi 
dấu thì xo là một ñiểm cực trị của hàm số. 
o Nếu ñổi dấu từ + sang – thì xo là ñiểm cực ñại của hàm số. 
o Nếu ñổi dấu từ - sang + thì xo là ñiểm cực tiểu của hàm số. 
ðể tìm các ñiểm cực trị của hàm số ta có hai quy tắc: 
o Tìm các ñiểm tới hạn sau ñó xét dấu của ñạo hàm )x(f ′ 
o Giải phương trình )x(f ′ = 0. Gọi ix là các nghiệm. Xét dấu của )x(f ′′ 
Bài toán : Tìm m ñể hàm số y = f(x) có cực trị và các ñiểm cực trị thỏa mãn ñiều kiện nào ñó. 
- Tìm ñiều kiện m ñể cho ñạo hàm của hàm số có ñổi dấu (số lần ñổi dấu bằng số cực trị) 
 - Tìm tọa ñộ của các ñiểm cực trị rồi ñặt tiếp ñiều kiện của m ñể thỏa mãn ñiều kiện mà 
bài toán yêu cầu. 
Ví dụ 1. Tìm m ñể hàm số 
mx
1mxxy
2
+
++
= ñạt cực ñại tại x = 2. 
Ví dụ 2. Cho hàm số mmxx3x)2m(y 23 ++++= 
 Với giá trị nào của m, hàm số có cực ñại và cực tiểu. 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số 
2x
mx2xy 2
2
+
++
= luôn có một cực ñại và một cực tiểu. 
Ví dụ 4. Cho hàm số 1x)1m2(3mx3xy 23 +−+−= 
 Xác ñịnh m sao cho hàm số có một cực ñại và một cực tiểu. Tính tọa ñộ của ñiểm cực 
tiểu. 
Ví dụ 5. Cho hàm số 1m2mx2xy 24 +−+−= 
Biện luân theo m số cực trị của hàm số. 
Ví dụ 6. Cho hàm số 
1mx
1m2mxxy
2
+
+++
= 
Xác ñịnh m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của ñồ thị ñi qua gốc tọa ñộ. 
Ví dụ 7. Cho hàm số 
2x
4m2mxxy
2
+
−−+
= 
Xác ñịnh m ñể hàm số có hai cực trị. 
Ví dụ 8. Tìm a và b ñể các cực trị của hàm số 
 bx9ax2xa
3
5y 232 +−+= 
 ñều là những số dương và 
9
5
xo −= là ñiểm cực ñại. 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 22 
Ví dụ 9. Cho hàm số 1mmx2x2y 2 −++= 
 Xác ñịnh m sao cho hàm số có cực trị trong khoảng ),1( +∞− 
Ví dụ 10. Xác ñịnh m sao cho hàm số 
1x
1m4x)m42(mxy
2
−
−+−+
= 
 Có cực trị trong miền x > 0. 
Ví dụ 11. Cho hàm số 
mx
mxmxy
2
+
++
= . 
 Tìm m ñể hàm số không có cực trị. 
Ví dụ 12. Cho hàm số 4x)3m2m(mx3xy 223 +−++−= . 
 Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm ở hai phía trục tung. 
Ví dụ 13. Cho hàm số 
1x
mxxy
2
+
++
= . 
 Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm ở hai phía trục tung 
Ví dụ 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số 
mx
m4mx)3m2(xy
22
+
++++
= có hai 
cực trị và giá trị của ñiểm cực trị tương ứng trái dấu nhau. 
Ví dụ 15. Cho hàm số 
mx
1mx)1m(xy
2
−
+−++
= có hai cực trị và giá trị của ñiểm cực trị tương 
ứng cùng dấu nhau. 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 23