Phương pháp thường gặp để giải một phương trình (PT) lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác “Hợp lí” để đưa về PT quen thuộc đã biết cách giải như: PT cơ bản, PT bậc hai hoặc bậc cao đối với một hàm số lượng giác, PT đối xứng hoặc bậc nhất đối với sinx, cosx . cốt lõi của vấn đề là cần nắm vững, sử dụng thành thạo các công thức lượng giác.
Phương pháp thường gặp để giải một phương trình (PT) lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác “Hợp lí” để đưa về PT quen thuộc đã biết cách giải như: PT cơ bản, PT bậc hai hoặc bậc cao đối với một hàm số lượng giác, PT đối xứng hoặc bậc nhất đối với sinx, cosx ... cốt lõi của vấn đề là cần nắm vững, sử dụng thành thạo các công thức lượng giác. Ta nói biến đổi “Hợp lí” vì các phép biến đổi lượng giác thường rất đa dạng và cho nhiều kết quả khác nhau. Thí dụ: Nếu cần biến đổi , thì tùy thuộc theo đề bài cụ thể, chúng ta sử dụng một trong các kết quả sau: , chẳng hạn: * Với PT thì cần chọn để đưa về PT bậc hai đối với sin2x. * Với PT cần lấy KQ để đưa về PT bậc hai với cos2x. * Với PT cần lấy KQ để đưa về PT bậc nhất với sin4x, cos4x Việc phân loại bài tập dưới đây chỉ mang tính tương đối vì các bài toán PT lượng giác là khá phong phú về thể loại và phương pháp giải. §1. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PT CƠ BẢN: a. Lưu ý *, * Nếu trong PT có chứa các biểu thức dạng thì dùng phép biến đổi sau: , b. Bài tập 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ cosx. cos7x = cos3x. cos5x 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ tg4x + 1 = 16/ 17/ 18/ §2. BIẾN ĐỔI VỀ PT CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC a. Lưu ý: + Ngoài các công thức cơ bản như công thức nhân đôi, hạ bậc, biến tổng thành tích, tích thành tổng ... cần lưu ý thêm một số đồng nhất sau: , + Gặp PT đẳng cấp bậc 2 (bậc 3) với sinx, cosx thì sau khi thực hiện phép chia cho cos2x (hoặc cos3x) ta được PT bậc 2 (bậc 3) của tanx. Lưu ý: PT đẳng cấp bậc hai có dạng a.sin2x + bsinx.cosx +c.cos2x + d = 0, còn PT đẳng cấp bậc 3 là PT có chứa các số hạng sin3x, cos3x, sinx, cosx, sin2x.cosx, cosx.sin2x. b. Bài tập 1/ cos2x + cosx – 2 = 0 2/ 3/ 4/ 5/ 2sin3x + cos2x = sinx 6/ 3(tgx + cotgx) = 2(2 + sin2x) 7/ sin4x + cos4x - sin2(2x) + 2 = 0 8/ 2cos2x – 8cosx + 7 = 9/ 5(sinx + = cos2x + 3 10/ cotgx – tgx + 4sin2x = 11/ sin4x + cos4x + cos( ).sin(3x - ) - = 0 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ cotgx = tgx + 18/ 19/ sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + 5/4.cos2x 20/ sin8x + cos8x =cos22x 21/ 22/ 23/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x 24/ 25/ 26/ 27/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 28/ 3cos4x – 2cos23x = 1, sin23x = 4cos4x +3 29/ cos3x – 4cos2x + 3cosx- 4 = 0 30/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 31/ cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2 32/ 3- tgx (tgx + 2sinx) + 6cosx = 0 33/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 0 34/ 35/ (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 36/ 37/ 3sin2x + 4sin2x + 4cos2x = 3 38/ 4sinx + 6cosx = 39/ sinx + cosx = 40/ 41/ 2sin5x + 2sin3x.cos2x + cos2x – sinx = 0 42/ 4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = 0 43/ cos3x + sinx - 3sin2x.cosx = 0 44/ cos3x - 4sin3x - 3cosx.sin2x + sinx =0 45/ cos3x - sin3x = sinx – cosx 46/ 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 47/ 2cos3x = sin3x 48/ sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x 49/ sinx + cosx - 4sin3x = 0 50/ sin2x(tgx+1) = 3sinx(cosx - sinx)+3 51/ tanx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) 52/ 53/ .sin3(x+) = 2 sinx 54/ 8.cos3(x+) = cos3x 55/ 6sinx - 2cos3x = 56/ 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx §3. PT THƯỜNG GẶP VÀ PT QUY VỀ PT THƯỜNG GẶP Trong phần này ta xét các PT thường gặp dạng sau: - PT bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c. - PT đối xứng bậc nhất với sinx, cosx: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx = c. - PT gần đối xứng bậc nhất với sinx, cosx: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx = c. - PT đẳng cấp bậc hai, bậc 3 với sinx, cosx (đã xét ở trên, phần PT chỉ chứa một hàm số lượng giác). Dưới đây ta lưu ý cả các bài toán PT đối xứng bậc cao với sinx, cosx. Bài tập 1 (PT đối xứng, gần đối xứng) 1/ 4(sinx+cosx) +3sin2x-11=0 2/ sinx.cosx+2(sinx+cosx) = 2 3/ sinx - cosx + 7sin2x = 1 4/ sin2x + sin(x -) = 1 5/ (1-sinx.cosx)( sinx+cosx) = 6/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 7/ sin3x + cos3x = 8/ (sinx+cosx)3+ sinx.cosx-1 = 0 9/ 1+ tgx = 2sinx 10/ sinx.cosx = 6(sinx-cosx-1) 11/ 12/ 13/ sinx+cosx + = 14/ cotgx - tgx = sinx + cosx 15/ sinx + cosx = 16/ (1-sin2x)( sinx + cosx) = 2 cos2x - 1 Bài tập 2 (PT bậc nhất hoặc biến đổi về bậc nhất với sinx, cosx) 1/ sinx + cosx =1 2/ sin3x + cos3x = 3/ sinx - cosx+=0 4/ cos7x -sin7x = -, x 5/ sin2x -cos2x = - 6/ 5sin4x + 3cos4x = 6 7/ 2cos2x + =1 8/ 3sinx+1 = 4sin3x+cos3x 9/ 3sin5x +cos15x = 1 + 4sin35x 10/ 4cos2(x+) + sin2x =1 11/ 12/ 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x+=3 13/ 14/ 15/ T×m m ®Ó các ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : a) m.sin3x+(m+1)cos3x=5 b) m.sin2x+()sin2x+3cos2x=4 16/ T×m gi¸ trÞ Max, Min cña hµm sè sau: a) y = , b) y = Lưu ý: Ngoài cách đặt ẩn phụ đối với PT đối xứng, gần đối xứng, PT đẳng cấp như đã xét ở trên, ta cần lưu ý thêm cách đặt ẩn phụ với các PT có chứa các đại lượng sin2x, cos2x, tan2x, cot2x. Với PT loại này ta có thể sử dụng công thức: “Nếu đặt thì tính được:, , để chuyển PT cần giải thành phương trình đại số ẩn t”. Bài tập 3 1/ sin4x = tgx 2/ 1 +3sin2x = 2tgx 3/ (1 – tgx)(1+sin2x) = 1 + tgx 4/ tgx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 5/ tgx + 2cotg2x = sin2x 6/ sin2x + cos2x + tgx = 2 §4. BIẾN ĐỔI VỀ PT TÍCH a. Lưu ý: Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường gặp (PT chỉ có một hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất với sinx, cosx như đã trình bày ở trên) thì các bài toán sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về PT dạng tích là các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh những năm gần đây. Để biến đổi về PT tích, chúng ta cần tạo ra các nhân tử chung, dưới đây là một số lưu ý: Các biểu thức: 1 + sin2x; cos2x; 1 + tanx; 1 + cotx; cos3x + sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx; có nhân tử chung là: sinx + cosx. Các biểu thức: 1 - sin2x; cos2x; 1 - tanx; 1 - cotx; cos3x - sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx; có nhân tử chung là: sinx - cosx. Các biểu thức: sin3x ; sin2x; tan2x có nhân tử chung là 1- cosx hoặc 1 + cosx. Các biểu thức: cos3x ; cos2x; cot2x có nhân tử chung là 1- sinx hoặc 1 + sinx. Các biểu thức: sin4x; sin3x; sin2x; tanx ... có nhân tử chung là sinx ... Ngoài ra khi nhóm các số hạng của sin hoặc cosin của các góc với nhau, ta cũng cần để ý những góc sao cho tổng hoặc hiệu các góc đó bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung. b. Bài tập 1/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 2/ cosx+cos2x+cos3x+cos4x = 0 3/ 1+cosx+cos2x+cos3x=0 4/ cos2x - cos8x + cos6x = 1 5/ cos4x - sinx = sin7x- cos2x 6/ cos10x - cos8x - cos6x + 1 = 0 7/ sin2x = cos22x + cos23x 8/ sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 9/ cos2x + cos22x+ cos23x + cos24x = 10/ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x 11/ cosx.cos4x + cos2x.cos3x = 0 12/ sin3x - sinx +sin2x = 0 13/ (2sinx-1)(2cos2x+2sinx+1) = 3 - 4cos2x 14/ 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1) 15/ sinx + sin3x + 4cos3x = 0 16/ 1 +sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0 17/ sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x 18/ cosx + cos3x + 2cos5x = 0 19/ 2cos6x + sin4x + cos2x = 0 20/ 2cos3x + cos2x+sinx = 0 21/ a) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 22/ a) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinx.cosx =0 b) cos2x + 3sin2x + 5sinx – 3cosx = 3 b) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 23/ (cosx-sinx)cosx.sinx = cosx.cos2x 24/ sin4x = tgx 25/ cos3x+sin3x=sin2x+sinx+cosx 26/ cos2x + sin3x + cosx = 0 27/ cos3x + cos2x +2sinx-2 = 0 28/ sinx + sin2x + cos3x = 0 29/ 2sin3x-sinx = 2cos3x- cosx+cos2x 30/ 4cos3x +3sin2x = 8cosx 31/ 32/ 2= + 33/ 34/ 35/ 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx 36/ tg4x + tg2x = 4.sin2x 37/ cos5x +sin7x+1/2(cos3x+sin5x)sin2x=sinx+cosx 38/ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x 39/ 1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x 40/ (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx §5. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1/ 2/ 4sin23x.sin2x = 5 + sin3x 3/ sinx + cosx = (2 – sin3x) 4/ sin5x + cos5x + cos2x + sin2x = 1 + . 5/ a) cos2x + cos4x + cos6x = 3, b) cosx + cos = 2 6/ 7/ 8/ 9/ 5cos(2x +) = 4sin(- x) – 9 10/ (cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x BÀI TẬP TỔNG HỢP 1/ sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 2/ sin2x + sin22x + sin23x = 2 3/ 4/ 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2 5/ 1 + sinx + cosx = 6/ 3sin4x + 5cos4x – 3 = 0 7/ sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 3tg3x – tgx + = 0 17/ 18/ 19/ cotx + sinx 20/ 2sin22x + sin7x – 1 = sinx 21/ 22/ 23/ cos23x.cos2x - cos2x = 0 24/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x -1) + 2sin3x = 0 25/ cos3x+sin3x + 2sin2x = 1 26/ 27/ (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 28/ sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2012x 29/ 3cos3x + 4sinx + = 6 30/ 31/ 32/ 33/ 34/ 35/ 36/ 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 37/ 38/ 39/ 40/ 41/ 4(sin4x + cos4x ) + cos4x + sin2x = 0 42/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 43/ sin2x – cos2x + 3sinx - cosx – 1 = 0 44/ 3 – 4sin22x = 2cos2x(1 + 2sinx) 45/ 46/ 47/ tanx + cotx = 4cos22x 48/ 49/ 50/ 51/ 52/ 53/ 54/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 55/ 2(cosx.cos2x.cos3x - sinx.sin2x.sin3x) =1 56/ tan2x - tan2x.sin3x = 1- cos3x 57/ 1 – tanx.tan2x = cos3x 58/ 59/ + 2tan2x + cos2x = 0 60/ sin2x + = 2cos2x 61/ 2sin2(x - ) = 2sin2x - tanx 62/ sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2 63/ 64/ 65/ 66/ 67/ 68/ 69/ 70/ 71/ 72/ sin3x – 3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx -2 = 0 73/ sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x 74/ 75/ 8sin5x – cos4x.sinx + 4cos2x – 3sinx = 0 76/ 77/ 78/ 79/ 80/ 81/ 82/ 83/ tan2x – tanx.tan3x = 2 84/ 85/ 86/ 87/ cotgx - 1 = 88/ 89/ 90/ 91/ sin5x + sin9x + 2sin2x - 1 = 0 92/ (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0 93/ 94/ 95/ 96/ 97/ 98/ 99/ 100/ 101/ 102/
Tài liệu đính kèm: