Tổng quát giải tích hàm số lớp 12

Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Để các em thuận tiện trong việc ôn luyện thi Đại học và Cao đẳng năm 2009 . Chúng tôi gởi tặng các em bài 
viết nhỏ mang tính tổng quát giải tích hàm số lớp 12 , cũng như một số ứng dụng độc đáo để giải quyết khá 
triệt để những dạng toán từng đề cập các lớp học dưới mà các em còn bỏ ngõ . Tài liệu được đề cập nhiều chủ 
đề chuyên đề phù hợp việc ôn luyện thi cấp tốc chuẩn bị kỳ thi Đại học tháng 7/2009 . 
Trong quá trình biên soạn chắc hẳn còn nhiều chỗ thiếu sót khách quan, chúng tôi rất mong đóng góp quý 
báu của các bạn độc giả gần xa , thư góp ý gởi về email: phukhanh1009@gmail.com . Tài liệu này còn được 
lưu trữ tại hai website :  và  . 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa : 
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là 
• Đồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ < ⇒ < ; 
• Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ . 
• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 
Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý Lagrange): 
Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại ít nhất một điểm ( );c a b∈ sao 
cho ( ) ( ) ( ) ( )'f b f a f c b a− = − . 
Định lý 2 : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi 
điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : 
• Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I . 
Chú ý : 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng ( );a b thì hàm số f đồng biến trên 
;a b   . 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng ( );a b thì hàm số f nghịch biến 
trên ;a b   . 
• Ta có thể mở rộng định lí trên như sau : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu '( ) 0f x ≥ với x I∀ ∈ 
( hoặc '( ) 0f x ≤ với x I∀ ∈ ) và '( ) 0f x = tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc 
nghịch biến) trên I . 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. 
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . 
Xét chiều biến thiên của hàm số ( )y f x= ta thực hiện các bước sau: 
• Tìm tập xác định D của hàm số . 
• Tính đạo hàm ( )' 'y f x= . 
• Tìm các giá trị của x thuộc D để ( )' 0f x = hoặc ( )'f x không xác định 
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). 
• Xét dấu ( )' 'y f x= trên từng khoảng x thuộc D . 
• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. 
Ví dụ 1 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 
3 22. 3 2y x x= − + 
3 23. 3 3 2y x x x= + + + 
Giải: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + . 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
Bảng xét dấu của 'y 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y − 0 + 0 − 
( )' 0, 4;2y x y> ∈ − ⇒ đồng biến trên khoảng ( )4;2− , 
( ) ( )' 0, ; 4 , 2;y x y> ∈ −∞ − +∞ ⇒ nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ); 4 , 2;−∞ − +∞ . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
Bảng biến thiên 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y − 0 + 0 − 
y 
+∞ 
 −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;2− , nghịch biến trên các khoảng ( ); 4−∞ − và ( )2;+∞ . 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
3 22. 3 2y x x= − + 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có : 2' 3 6 3 ( 2)y x x x x= − = − 
0
' 0 3 ( 2) 0
2
x
y x x
x
 =
= ⇔ − = ⇔ 
=
Bảng biến thiên. 
x −∞ 0 2 +∞ 
'y + 0 − 0 + 
y 
Vậy hàm đồng biến trên mỗi khoảng( ;0)−∞ và(2; )+∞ , nghịch biến(0;2) . 
3 23. 3 3 2y x x x= + + + 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có: ( ) ( )22' 3 6 3 3 1f x x x x= = + = + 
( )' 0 1f x x= ⇔ = − và ( )' 0f x > với mọi 1x ≠ − 
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ −  và )1;− +∞ nên hàm số đồng biến trên 
 . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
x −∞ 1− +∞ 
'y + 0 + 
y 
−∞ 
1 
 +∞ 
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ −  và )1;− +∞ nên hàm số đồng biến trên 
 . 
Ví dụ 2 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
4 211. 2 1
4
y x x= − + − 
4 22. 2 3y x x= + − 
4 23. 6 8 1y x x x= − + + 
Giải: 
4 211. 2 1
4
y x x= − + − . 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có: ( )3 2' 4 4y x x x x= − + = − − 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
( )2 0' 0 4 0
2
x
y x x
x
 =
= ⇔ − − = ⇔ 
= ±
Bảng biến thiên 
x −∞ 2− 0 2 +∞ 
'y + 0 − 0 + 0 − 
y 
+∞ 
 −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( ); 2−∞ − , ( )0;2 và nghịch biến 
 trên các khoảng ( )2;0− , ( )2;+∞ . 
4 22. 2 3y x x= + − 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có: ( )3 2' 4 4 4 1y x x x x= + = + 
Vì 2 1 0,x x+ > ∀ ∈ 
 nên ' 0 0y x= ⇔ = . 
Bảng biến thiên 
x −∞ 0 +∞ 
'y − + 
y 
+∞ +∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;+∞ và nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ . 
4 23. 6 8 1y x x x= − + + 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có: 3 2' 4 12 8 4( 1) ( 2)y x x x x= − + = − + 
2
2
' 0 4( 1) ( 2) 0
1
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − + = ⇔ 
=
Bảng biến thiên: 
x −∞ 2− 1 +∞ 
'y − 0 + 0 + 
y 
Vậy,hàm đồng biến trên khoảng ( 2; )− +∞ và nghịch biến trên khoảng( ; 2)−∞ − . 
Nhận xét: 
* Ta thấy tại 1x = thì 0y = , nhưng qua đó 'y không đổi dấu. 
* Đối với hàm bậc bốn 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng 
nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
không thể đơn điệu trên 
 . 
Ví dụ 3 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2 1
1.
1
x
y
x
−
=
+
2
2.
1
x
y
x
+
=
−
2 2 1
3.
2
x x
y
x
− + −
=
+
2 4 3
4.
2
x x
y
x
+ +
=
+
Giải: 
2 1
1.
1
x
y
x
−
=
+
. 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − +∞ . 
Ta có: 
( )2
3
' 0, 1
1
y x
x
 = > ∀ ≠ −
+
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )1;− +∞ . 
2
2.
1
x
y
x
+
=
−
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞ . 
Ta có: 
( )2
3
' 0, 1
1
y x
x
 -= < ∀ ≠
−
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ . 
2 2 1
3.
2
x x
y
x
− + −
=
+
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); 2 2;−∞ − ∪ − +∞ . 
Ta có: 
( )
2
2
4 5
' , 2
2
x x
y x
x
− − +
= ∀ ≠ −
+
5
' 0
1
x
y
x
 = −
= ⇔ 
=
Bảng biến thiên : 
x −∞ 5− 2− 1 +∞ 
'y − 0 + + 0 − 
y 
+∞ +∞ 
 −∞ 
 −∞ 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( )5; 2− − và ( )2;1− , nghịch biến 
 trên các khoảng ( ); 5−∞ − và ( )1;+∞ . 
2 4 3
4.
2
x x
y
x
+ +
=
+
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); 2 2;−∞ − ∪ − +∞ . 
Ta có: 
( )
2
2
4 5
' 0, 2
2
x x
y x
x
+ +
= > ∀ ≠ −
+
Bảng biến thiên : 
x −∞ 2− +∞ 
'y + + 
y 
−∞ 
+∞ 
 −∞ 
 +∞ 
Vậy , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ); 2−∞ − và ( )2;− +∞ . 
Nhận xét: 
* Đối với hàm số ( . 0)
ax b
y a c
cx d
+
= ≠
+
 luôn đồng biến hoặc luôn nghịch 
biến trên từng khoảng xác định của nó. 
* Đối với hàm số 
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
 luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu. 
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên
 . 
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. | 2 3 |y x x= − − 
2 32. 3y x x= − 
Giải: 
21. | 2 3 |y x x= − − 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có: 
2
2
2 3 khi 1 3
2 3 khi 1 3
x x x x
y
x x x
 − − ≤ − ∪ ≥
= 
− + + − < <
2 2 khi 1 3
' ' 0 1
2 2 khi 1 3
x x x
y y x
x x
 − ⇒ = ⇒ = ⇔ =
− + − < <
Hàm số không có đạo hàm tại 1x = − và 3x = . 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 1− 1 3 +∞ 
'y − 0 + 0 − 0 + 
y 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1)− và (3; )+∞ , nghịch biến trên( ; 1)−∞ − 
 và (1;3) . 
2 32. 3y x x= − 
Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ( ;3]−∞ 
Ta có: 
2
2 3
3(2 )
' , 3, 0
2 3
x x
y x x
x x
−
= ∀ < ≠
−
. 
3, 0 : ' 0 2x x y x∀ < ≠ = ⇔ = 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 3x x= = . 
Bảng biến thiên: 
x 
−∞ 0 2 3 +∞ 
'y − || + 0 − || 
y 
Hàm đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên ( ;0)−∞ và (2;3) . 
Ví dụ 5 : 
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( ) sinf x x= trên khoảng ( )0;2pi . 
Giải: 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( )0;2pi . 
Ta có : ( ) ( )' cos , 0;2f x x x pi= ∈ . 
( ) ( ) 3' 0, 0;2 ,
2 2
f x x x x
pi pi
pi= ∈ ⇔ = = 
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x 0 
2
pi
3
2
pi
 2pi 
( )'f x + 0 − 0 + 
( )f x 1 0 
 0 1− 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 0;
2
pi 
 
 
và 
3
;2
2
pi
pi
 
 
 
, nghịch biến trên khoảng 
3
;
2 2
pi pi 
 
 
. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 211. 3 8 2
3
y x x x= − + − 
2 2
2.
1
x x
y
x
−
=
−
2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 2 3 1y x x= + + 
4 22. 2 5y x x= − − 
3 24 23. 6 9
3 3
y x x x= − + − − 
24. 2y x x= − 
3. Chứng minh rằng hàm số: 
1. 24y x= − nghịch biến trên đoạn 0;2   . 
2. 3 cos 4y x x x= + − − đồng biến trên 
 . 
3. cos2 2 3y x x= − + nghịch biến trên 
 . 
4. Cho hàm số = +2sin cosy x x . 
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 
pi 
 
 
0;
3
và nghịch biết trên đoạn
pi
pi
 
 
 
;
3
. 
)b Chứng minh rằng với mọi ( )∈ −1;1m , phương trình + =2sin cosx x m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 
pi  0; . 
Hướng dẫn 
1. 
3 211. 3 8 2
3
y x x x= − + − 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có ( ) 2' 6 8f x x x= − + 
( )' 0 2, 4f x x x= ⇔ = = 
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x −∞ 2 4 +∞ 
( )'f x + 0 − 0 + 
( )f x +∞ 
 −∞ 
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );2−∞ và ( )4;+∞ , nghịch biến trên khoảng ( )2;4 
2 2
2.
1
x x
y
x
−
=
−
Hàm số đã cho xác định trên tập hợp { }\ 1
 . 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Ta có ( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
1 12 2
' 0, 1
1 1
xx x
f x x
x x
− +− +
= = > ≠
− −
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x −∞ 1 +∞ 
( )'f x + + 
 +∞ +∞ 
( )f x 
 −∞ −∞ 
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ 
2. 
3 21. 2 3 1y x x= + + 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có ( ) 2' 6 6f x x x= + 
( ) ( ) ( ) ( )' 0, ; 1 , 0;f x x f x> ∈ −∞ − +∞ ⇒ đồng biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )0;+∞ . 
( ) ( ) ( )' 0, 1;0f x x f x< ∈ − ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;0− . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải ( )' 0f x = , tìm ra hai nghiệm 1, 0x x= − = , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. 
4 22. 2 5y x x= − − 
Hàm số đã cho xác định trên 
 . 
Ta có ( ) 3' 4 4f  ...  hai nghiệm khác 
1 , hay phương trình 2 2 3 0mx mx m+ − − = có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là 
( ) ( )2
2
00 4
44 2 3 0 *3
3 01 1 2 3 0 0
m
m
m
m m m m
mm m m m
 ≠ ≠  ⇔ ⇔ + − − ≠ > 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Giả sử ( ) ( )1 1 1 2 2 2; , ;M x y M x y , hai cạnh hình chữ nhật 1 2M PM Q có độ dài là 
2
2
1 2 1 1 2 1
9 12
, 9 12
m m
M P x x MQ y y m m
m
+
= − = = − = + 
Hình chữ nhật 
1 2
M PM Q trở thành hình vuông khi và chỉ khi 
( )( )
2
2
1 1
9 12
9 12 1 1 *
m m
M P MQ m m m m do
m
+
= ⇔ = + ⇔ = ⇔ = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Cho hàm số ( ) 3 22 3 1f x x x= + + có đồ thị ( )C và parabol ( ) ( ) 2: 2 1P g x x= + 
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Tùy theo giá trị của m , giải và biện luận phương trình 
3 22 3 0x x m+ − = 
)b Chứng tỏ rằng trong số tiếp tuyến của đồ thị ( )C thì thiếp tuyến tại điểm uốn I có hệ số góc nhỏ nhất . 
Viết phương trình tiếp tuyến đó. Chứng tỏ I là tâm đối xứng của đồ thị ( )C . 
)c Gọi ,A B là giao điểm của đồ thị ( )C và parabol ( )P . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C và parabol 
( )P tại các giao điểm của chúng . 
)d Xác định trên khoảng đó ( )C nằm phía trên hoặc phía dưới ( )P . 
Hướng dẫn : 
)c ( )1 3; , 0;1
2 2
A B
 
− 
 
. Tiếp tuyến ( )C tại ,A B là 3 3 , 1
2 4
y x y= − + = .Tiếp tuyến ( )P tại ,A B là 
1
2 , 1
2
y x y= − + = . 
)d Xét ( ) ( ) ( ) 3 22h x f x g x x x= − = + . Lập bảng xét dấu : ( ) 10, ;
2
h x x
 
< ∈ −∞ − ⇒ 
 
( )C nằm phía dưới 
( )P . ( ) ( )10, ;0 , 0;
2
h x x
 
> ∈ − +∞ ⇒ 
 
( )C nằm phía trên ( )P . 
2. Cho hàm số ( ) 3 3 1f x x x= − + 
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn 
I của nó . Chứng minh rằng trong số tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến tại I có hệ số góc nhỏ nhất . 
)b Gọi ( )md là đường thẳng đi qua điểm I có hệ số góc m . Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng ( )md 
cắt đồ thị đã cho tại ba điểm phân biệt. 
Hướng dẫn : 
)a 3 1y x= − + )b 3m > − 
3. Cho hàm số ( ) ( )4 21f x x m x m= − + + 
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với 2m = . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn 
của đồ thị . 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
)b Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm , tạo thành ba đoạn thẳng có 
độ dài bằng nhau . 
Hướng dẫn : 
)b ( ) ( ) ( )4 2 2 21 0 1 0x m x m x x m− + + = ⇔ − − = . Để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân 
biệt , tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau khi 0 1m< ≠ . 
( )
( )
1, 1 1 1 9
1
0 1,1
9
m m m
m m m m m
• > − = − − ⇔ =
• < < − = − − ⇔ =
Ngoài cách giải trên các bạn có thể dùng cấp số cộng ( lớp 11) để giải . 
4. 
)a Với giá trị nào của m , đường thẳng y m= cắt đường cong 4 22 3y x x= − − tại 4 điểm phân biệt?. 
)b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng ( ) :md y x m= − cắt đường cong 
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
 tại 
hai điểm phân biệt. 
)c Tìm k để đường thẳng 1= +y kx cắt đồ thị hàm số 
2 4 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
 tại 2 điểm phân biệt ,A B . Tìm 
quỹ tích trung điểm I của AB . 
5. Cho hàm số ( )
2 2 2
,
1
x x
y C
x
− +
=
−
. 
)a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C . 
)b Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt : 2 2 1 2x x m x− = − − . 
)c Tìm m để đường thẳng ( ) :d y x m= − + cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm ,A B đối xứng với nhau qua đường 
thẳng 3= +y x . 
)d Chứng minh rằng qua điểm ( )1;0E ta không thể kẻ được một tiếp tuyến nào đến đồ thị hàm số. 
6. Cho hàm số ( ) 2
2 1
x
f x
x
+
=
+
có đồ thị ( )G 
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
)b Chứng minh rằng đường thẳng ( ) : 1md y mx m= + − luôn đi qua điểm cố định của đường cong ( )G khi 
m thay đổi . 
)c Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong ( )G tại hai điểm thuộc cùng một 
nhánh của ( )G . 
Hướng dẫn: 
)b ( )1; 1M − − là điểm cố định mà ( )md đi qua khi m biến thiên và ( ) ( )1; 1M G− − ∈ . 
)c Cách 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1: 2 3 1 3 0, *
2m
d G g x mx m x m x∩ = + − + − = ≠ − . Để ( ) ( )md G∩ tại hai điểm 
thuộc cùng một nhánh nếu và chỉ nếu 
0
3 01
0
2
m
g
∆ >

⇔ − ≠ < 
− > 
 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Cách 2 : ( ) ( ) ( ) 2 1: 1 1 ,
2 1 2m
x
d G m x x
x
+
∩ + − = ≠ −
+
( ) ( ) 11 2 3 0,
2
x mx m x⇔ + + − = ≠ − 
( )
1
1
2
2 3 0
x
k x mx m

= − < −⇔ 
= + − =
Hai nhánh của ( )G nằm về hai bên của tiệm cận đứng 1
2
x = − . Đường thẳng ( ) ( )md G∩ tại hai điểm thuộc 
cùng một nhánh của đồ thị khi phương trình ( ) 2 3 0k x mx m= + − = có nghiệm 1
2
x < − và 1x ≠ − , khi đó 
ta có 
( )
0 0
3 03 1 3
0 3 0
32 2 2
3 01 0
m m
mm
x m
mm m
mk
 ≠ ≠
  − < <− 
= < − ⇔ < ⇔ ⇔ − ≠ <  < −  − − ≠− ≠  
Bài 8 :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG 
Ví dụ 1 :Tìm tất cả các điểm trên trục hoành những điểm M mà qua đó vẽ 
được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( ) 3 2: 3C y x x= + mà trong đó có 2 tiếp 
tuyến vuông góc với nhau . 
Giải : 
Gọi ( );0M m Ox∈ , đường thẳng ( )t đi qua M và có hệ số góc ( ) ( ):k t y k x m⇒ = − . 
( )t tiếp xúc với ( )C khi hệ sau có nghiệm : 
2
2
3 ( ) (1)
3 6 (2)
x x k x a
x x k
 + = −

+ =
3
Từ (1) ,(2) suy ra : 2 2 23 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0x x x x x a x a x ax+ = + − ⇔ + − − =3 3 
0
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0 (3)
x
x x a x a
x a x a
=
  ⇔ − − − = ⇔  − − − =
2
2 
0 0 1x k• = ⇒ = ⇒ tiếp tuyến. 
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đến đồ thị ( )C mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau . 
Khi đó (3)có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
, 0x x ≠ và 
1 2
1k k = − 
2
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
00
0 9( 1) 48 0
(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1
aa
a a
x x x x x x x x x x x x
  ≠≠ 
 
⇔ ∆ > ⇔ − + > 
 
+ + = − + + + = −  
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
1 2 1 2
1
3
3 1
3 12 381 81 ( 1) 108 1 0
27
3( -1)
( vì = - 3 ; = )
2
a a
a a a
a a a a a
a
a
x x a x x
 − ≠
 − ≠ 
⇔ − − − + = ⇔ ⇔ = 
  +

vaø a 0
vaø 0
-27 + 1 = 0
Vậy 
1
( ,0)
27
M Ox∈ thỏa bài toán . 
Ví dụ 2 : Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của 
hàm số : 
2
1
x
y
x
=
−
 hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 045 . 
Giải : 
Gọi ( )0;0M Ox M x∈ ⇒ , đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , phương trình có dạng : 
( ) ( )0:d y k x x= − . 
( )d là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ sau có nghiệm : 
( )
( )
2
0
2
2
1
2
1
x
k x x
x
x x
k
x

= −
−
 −
=
 −
( )
( ) ( )
2 2
0 0 02
2
1 2 0
1 1
x x x
x x x x x x
x x
−  = − ⇔ + − = − −
0
0
0
0
2
, 1
1
x
x
x x
x
 =

⇔  = ≠ −
 +
• 
( )
2
2
2
0 0
1
x x
x k
x
−
= ⇒ = =
−
. 
• 
( )
0 0
2
0
0
2 4
1 1
x x
x k
x x
−
= ⇒ =
+ +
• Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị của hàm số : 
2
1
x
y
x
=
−
 hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 045 khi và chỉ 
khi 
( )
0 1 2 0
02
1 2
0
4
tan 45 1 3 2 2
1 1
k k x
x
k k x
−
= ⇒ = ⇒ = ±
+ +
. 
Vậy ( ) ( )3 2 2;0 , 3 2 2;0M − + 
Ví dụ 3 : Cho hàm số 
22
1
x
y
x
=
−
.Tìm 0;
2
pi
α  ∈  
 
 sao cho điểm 
( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của 
( )C tại điểm M cắt hai tiệm cận của ( )C tại hai điểm ,A B đối xứng nhau qua 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
điểm M . 
Giải : 
Vì ( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C nên: 
( )2 2
1
sin2 1 sin
29 2 sin 5 sin 2 0
1 sin 1 sin 2
αα
α α
α α
 =+ = ⇔ − + = ⇔
+ − =
Vì 0;
2
pi
α  ∈  
 
 nên 
1 3
sin ;9
2 6 2
M
pi
α α  = ⇒ = ⇒  
 
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: 
3 3
' 9
2 2
y y x   = − +   
   
hay ( ) : 6 18d y x= − + . 
Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận đứng 1x = tại: ( )1;12A 
Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm 
( );x y hệ phương trình: ( )
6 18 2
2;6
2 2 6
y x x
B
y x y
= − + =  ⇔ ⇒ = + =  
Dễ thấy: 
3
2 2
9
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+ = =
 + = =

Suy ra, ,A B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm). 
Cho hàm số : 
4
2 53
2 2
x
y x= − + có đồ thị là ( )C . Giả sử ( )M C∈ có 
hoành độ a . Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của ( )C tại M cắt ( )C tại 
2 điểm phân biệt khác M . 
Giải : 
Vì ( )M C∈ nên 
4
2 5; 3
2 2M
a
M a y a
 
= − + 
 
Tiếp tuyến tại M có hệ số góc ' 32 6
M
y a a= − 
Tiếp tuyến tại M có dạng : ( )
4
' 3 2 5( ) : (2 6 )( ) 3
2 2Mx M M
a
y y x x y d y a a x a a= − + ⇒ = − − + − + 
Tiếp tuyến ( )d của ( )C tại M cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khác M khi phương trình sau có 3 nghiệm 
phân biệt : 
4 4
2 3 25 53 (2 6 )( ) 3
2 2 2 2
x a
x a a x a a− + = − − + − + hay phương trình 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
2 2 3( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a− + + − = có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình 
( ) 2 32 3 6 0g x x ax a= + + − = có hai nghiệm phân biệt và khác a . 
' 2 2 2
( )
2 2
(3 6) 0 3 0 3
( ) 6 6 0 1 1
g x
a a a a
g a a a a
 ∆ = − − > − < <  
⇔ ⇔ ⇔  
= − ≠ ≠ ≠ ±    
Vậy giá trị a cần tìm 
3
1
a
a
 <

≠ ±
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. 
)a Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( )
2
1
ax bx
f x
x
−
=
−
đi qua điểm 
5
1;
2
A
 
− 
 
 và tiếp tuyến tại ( )0;0O có 
hệ số góc bằng 3− . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với giá trị ,a b vừa tìm được. 
)b Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( ) 22f x x ax b= + + tiếp xúc với hypebol )a Tìm ,a b biết rằng đồ 
thị của hàm số 
1
y
x
= tại điểm 
1
;2
2
M
 
 
 
2. 
)a Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm ( )1; 2A − và tiếp xúc với parabol 2 2y x x= − 
)b Chứng minh hai đường cong 3 2
5
2, 2
4
y x x y x x= + − = + − tiếp xúc nhau tại M , viết phương trình tiếp 
tuyến chung của hai đường cong đó . 
)c Chứng minh rằg các đồ thị của ba hàm số ( ) ( )2 3 23 6, 4,f x x x g x x x= − + + = − + 
( ) 2 7 8h x x x= + + tiếp xúc nhau tại điểm ( )1;2A − . 
)d Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số ( ) ( )
2 3 3
,
2 2 2
x x
f x x g x
x
= + =
+
tiếp xúc nhau . Xác định tiếp 
điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . 
)e Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số ( ) ( )3 2, 1f x x x g x x= − = − tiếp xúc nhau . Xác định tiếp 
điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . 
Hướng dẫn : 
1. 
)a 
( ) ( )
( )
2
1 1 5 2
1 1 2 3
' 0 3
a a
b
f
 − − −  = − = ⇔ − − = − = −
)b 
9
6,
2
a b= − = 
2. )a ( ) ( ) ( ) ( ): 1 2 2 2 4 , 2 2d y m x m y x m y x= − − ⇒ = = − = − = − 
)b 
1 5 9
; , 2
2 4 4
M y x
 
− = − 
 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
)c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2, ' 1 ' 1 ' 1 5f g h f g h− = − = − = − = − = − = , chứng tỏ tại ( )1;2A − các đồ thị của ba hàm 
số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các đồ thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại điểm ( )1;2A − . 
)d ( ) 30;0 ,
2
O y x= 
Chúc các em thi đỗ đạt kết quả cao nhất . 
Tác giả : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt và Nguyễn Tất Thu – Đồng Nai.