Tổng hợp ôn thi tốt nghiệp THPT môn Hình học

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
 Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z 
 O y 
 x
O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
Các trục tọa độ: 
Ox : trục hoành.
Oy : trục tung.
Oz : trục cao.
Các mặt phẳng toạ độ: 
(Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau.
 là các véctơ đơn vị lần lượt 
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.
 = (1;0;0), = (0;1;0), = (0;0;1).
 và .
, , .
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
M Ox M(x;0;0)
M Oy M(0;y;0)
M Oz M(0;0;z)
M (Oxy) M(x;y;0)
M (Oyz) M(0;y;z)
M (Oxz) M(x;0;z)
Tọa độ của điểm: 
Tọa độ của vectở: 
CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.
Cho 
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.
2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.
3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.
. Chú ý: .
4. Độ dài vectơ. Bằng 
.
Vectơ không có tọa độ là: .
Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.
7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.
. Chú ý: 
8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz.
 Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB). Khi đó:
Tọa độ vectơ là: .
Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài :
 .
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: 
Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC). 
 Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là: 
 5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
Cho . Khi đó:
Hai vectơ , cùng phương .
Hai vectơ , không cùng phương 
Ba vectơ đồng phẳng .
Ba vectơ không đồng phẳng .
 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
Cách 1:
 và cùng phương . 
Cách 2:
 và cùng phương với
 và cùng phương với 
Cách 3:
 và cùng phương .
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
Cần nhớ
Phương pháp
Ba điểm A, B, C thẳng hàng 
 hai vectơ cùng phương .
Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.
Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Kết luận hai vectơ cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Cần nhớ
Phương pháp
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng 
 hai vectơ không cùng phương 
Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Vậy hai vectơ không cùng phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác.
Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Cần nhớ
Phương pháp
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng 
 đồng phẳng
.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Vậy ba vectơ không đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Chú ý: 
A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Cần nhớ
Phương pháp
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng 
 đồng phẳng
.
Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Vậy ba vectơ đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ
Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ.
Phương pháp
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0)
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các phẳng tọa độ.
Phương pháp
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0)
Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.
Cần nhớ
Phương pháp
Thể tích của khối tứ diện ABCD
 A
 D
 B 
 C
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính 
Bước 3: 
Chú ý: Thể tích không âm.
Vấn đề 5: Diện tích tam giác.
Diện tích tam giác ABC 
 A
 B C
Chú ý: Diện tích không âm.
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Tính .
Bước 4: ADCT 
MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1
Dạng 2
Mặt cầu (S): 
Có tâm I(a;b;c) và bán kính r
Mặt cầu (S): 
Có tâm I(a;b;c) với 
Bán kính: 
Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng 
Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính r=m (với m là số thực).
Phương pháp: 
Bước 1: Pt mặt cầu (S): (*).
Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=m.
Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).
Phương pháp: 
Bước 1: Pt mặt cầu (S): (*).
Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=.
Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.
Phương pháp: 
Pt mặt cầu (S): (*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
Bán kính r=.
Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính r hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính r.
Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB.
Phương pháp: 
Pt mặt cầu (S): (*).
Gọi I trung điểm AB
Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
Bán kính r=.
Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Chú ý: 
Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.
Ta có thể tính r theo 2 cách sau: r= hoặc r=.
Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp: 
Pt mặt cầu (S): (*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c). 
Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: 
Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: .
Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.
Phướng pháp.
Pt mặt cầu (S) có dạng: (*)
Vì A, B, C, D thuộc (S): 
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d. Sau đó thế a, ,b , c, d vào pt (*).
Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Loại 2: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc 
mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phướng pháp.
Pt mặt cầu (S) có dạng: (*)
Vì A, B, C thuộc (S): 
 Ta được hệ pt gồm ba phương trình.
Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ tư. Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d.
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
M
P)
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm và song song hoặc chứa giá của hai vectơ .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là 
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp(P): .
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp: 
Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: 
Ax+By+Cz+m=0, với .
Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và 
pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
P)
Q)
M
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua M.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
M
P)
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua A.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Pt(P): 
C
B
A
B
P)
Q)
A
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Dạng 6: 
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp: 
Chọn điểm M thuộc đt d.
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
.
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp: 
Gọi I là trung điểm AB
Mặt phẳng (P) qua điểm I.
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
P)
A
I
B
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm M.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp: 
Xác định tâm I của mc(S).
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .
Ptmp(P): 
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và tiếp xúc mặt cầu (S).
r = d(I,(P))
I
P)
Phương pháp: 
Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.
Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
 Vì mp(P) có VTPT .
Do mp(P) tiếp xúc mc(S) 
Chú ý: .
Chú ý: Các kết quả thường dùng:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kín mặt cầu (S)
Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kín mặt cầu (S)
Vấn đề 5: Khoảng cách:
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là
Dạng 2(nâng cao): Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d:
Xác định điểm M0 thuộc d và vtcp của d . 
ADCT: 
Dạng 3(nâng cao): Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 :
Trước tiên ta xác định: 
1 có vtcp và đi qua điểm M1
2 có vtcp và đi qua điểm M2
d(1;2) = 0
VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp: 
Đường thẳng d đi qua điểm A.
Đường thẳng d có VTCP: .
Pt tham số:.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP: .
Pt tham số:.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp: 
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP: .
Pt tham số: .
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp: 
Gọi H là giao điểm của d và (P).
Tọa đ ...  của mặt phẳng (P).
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và 
vuông góc với mặt phẳng (P).
Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC. Tính thể tích tứ 
diện OABC.
HD: Để xác định chân đường cao ta có 2 cách: Cách 1: Viết pt đt BC, H thuộc BC suy ra tọa độ điểm H, áp dụng . Cách 2: Viết pt đt BC, viết pt mp(Q) qua A và vuông góc với BC, tìm giao điểm H của đt BC và mp(Q).
Bài 19: HVNH TPHCM 99: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
Viết pt tham số đường thẳng BC. Hạ AH vuông góc BC. Tìm tọa độ điểm H.
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt 
phẳng (BCD).
Bài 20: ĐHBK HN 98. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y-2z+1=0.
Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng 
(P) bằng 1.
Gọi K là điểm đối xứng với của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d. Xác định tọa độ 
điểm K.
Bài 21: ĐHBK 97. Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng d: .
Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Bài 22: Xác định hình chiếu vuông góc của A(1;2;-1) lên d: .
Bài 23: HV Kỹ Thuật QS 98. Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC). 
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Viết phương trình đường vuông góc chung của AC và BD.
Bài 24: ĐHQG TPHCM 99: Cho điểm A(-2;4;3) và mặt phẳng (P): 2x-3y+6z+19=0
Viết phương trình tổng quát của mp(Q) qua A và song song (P). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Hạ AH vuông góc với (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng AH. Tìm tọa 
độ điểm H.
Bài 25: ĐHBK 99. Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x-2y+z-3=0.
Tìm giao điểm của d và (P).
Tính góc giữa d và (P).
Bài 26: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0.
Tìm giao điểm của d và (P).
Tính góc giữa d và (P).
Bài 27: ĐH NN 97. Cho hai đường thẳng d: và d’: .
Chứng minh d và d’ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song 
song d’.
Tình khoảng cách giữa d và d’.
Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
Bài 29: PVBC TPHCM 99. Cho hai đt d: .
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’.
Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
Bài 30: ĐHKTQD 97. Cho hai đường thẳng d: .
Chứng minh d và d’ cắt nhau. Tìm giao điểm của d và d’.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và d’.
Bài 31: ĐHSP Qui Nhơn 99. Cho hai đường thẳng .
Chứng minh d và d’ song song với nhau.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’.
Bài 32: HVBCVT 94. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-1;2;-3) vuông góc với giá vectơ và cắt đường thẳng . ĐS: 
Bài 33: ĐHQG 96. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng d: và cắt đường thẳng d’: .ĐS: .
Bài 34: ĐHDL 97. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;-1;0) và cắt cả hai đường thẳng d: . Chú ý: Chuyển d và d’ về pt tham số với hai tham số khác nhau.
Bài 35: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt cả hai đường thẳng 
d: .
Bài 36: ĐHTCKT 99. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’.
 (P): x-y-z-1=0, d: . 
HD: Ta có: 
Bài 37: ĐHDL 98. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng .
Bài 38: ĐHXD 98. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 
x+y+z=1 và cắt cả hai đường thẳng: .
Bài 39: Viết phương trình đường thẳng l qua điểm A(1;1;0) và cắt cả hai đường thẳng: HD: Gọi B, C là giao điểm của l với d và d’. A, B, C thẳng hàng ..
Bài 40: ĐH Huế 99. Cho ba điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.
Bài 41: HVNH 2000. Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0.
Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng (P).
Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
HD. Gọi . Chú ý: Ta giải hệ pt bằng phương pháp thế.
Bài 42: ĐHKT 97. Cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng d: .
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d.
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.
Bài 43: ĐHTL 99. Cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0.
Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 44: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;2;3), B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+2y+3z+4=0.
Bài 45: Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết.
A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6).
A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4;-1;0).
Bài 46. ĐHCĐ 99. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5).
Bài 47. ĐHDL 97. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0, (R): 3x+2y-12z+5=0.
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC SAU NĂM 2000
Bài 48. KA 2005. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x+y-2z+9=0. Tìm giao điểm A của d và (P). Viết phương trình đường thẳng d’đi qua A nằm trong (P) và vuông góc d’.
Bài 49: KD 2005. Cho hai đường thẳng . Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d, d’ lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).
Bài 50: KD 2006. Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d: và d’: . Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vuông góc với d và cắt d’.
Bài 51: KA 2007. Cho hai đường thẳng , d’: . 
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đt d, d’
Bài 52: KB 08. Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Bài 53: CĐ 08. Cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d: 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.
Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O.
Bài 54. KD 08. Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.
Tìm tọa độ tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 55: KD 08. Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: . Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
Bài 56. KB 09. Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Bài 57. KA09. Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): . Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn.
Bài 58. KD 09. Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp(P): x+y+z-20=0. Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài 58. KD 09. Cho đường thẳng d: và mp(P): x+2y-3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) cắt d và vuông góc với d.
Bài 59. CĐ 09. Cho hai mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0, (Q): 3x+2y-z+1=0 và điểm A(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 59. CĐ 09. Cho tam giác ABC với A(1;1;0), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuông góc mặt phẳng (ABC).
Bài 60. CĐ 10. Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mp(P): x+y+z+4=0.
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng , có tâm thuộc đường thẳng AB 
và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 60. CĐ 10. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y+2z-2=0.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P).
Bài 61: KD 10. Cho hai mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, (Q): x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (R) bằng 2.
Bài 61: KD 10. Cho hai đường thẳng d: và . Xác định M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến d’ bằng 1.
Baøi 62: Trong khoâng gian cho 2 ñöôøng thaúng d: vaø d’: . Haõy vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa d vaø song song d’ . ÑS: MP(P): 2x-z=0 .ÑH KA 02
Baøi 63: Trong khoâng gian cho ba ñieåm A(2;0;1) ,B(1;0;0),C(1;1;1) vaø maët phaúng
 (P) : x+y+z-2=0 
Haõy vieát phöông trình maët caàu ñi qua A,B,C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) . 
ÑH KD 04 . ÑS: .
Baøi 64: Trong khong gian cho ñt d: vaø maët phaúng (P): 2x+y-2z+9=0 . 
Haõy tìm toïa ñoä ñieåm I thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø I ñeán maët phaúng (P)
baèng 2 . ÑH KA 05 . ÑS: I(-3;5;7),I’(3;-7;1) .
Baøi 65: Trong khoâng gian cho 2 ñt d: vaø d’: 
	1/ Chöùng minh d vaø d’ song song vôùi nhau .
	2/ Vieát phöông trình maët phaúng chöùa caû d vaø d’ . ÑS : 15x+11y-17z-10=0 .
 ÑH KD 05 .
Baøi 66:Trong khoâng gian cho ñieåm A(0;1;2) vaø 2 ñt d: vaø d’: . Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua A , ñoàng thôøi song song vôùi d vaø d’ . ÑS : x+3y+5z-13=0 .
Baøi 67: Trong khoâng gian cho ñieåm A(1;2;3) vaø ñt d: . Haõy tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua d . ÑS : A’(-1;-4;1) .
Baøi 68: Cho 2 ñt d: vaø d’: .
	1/ Chöùng minh d vaø d’ cheùo nhau .
	2/ Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua goác toïa ñoä , ñoàng thôøi song song vôùi d vaø d’ .
Baøi 69: Trong khoâng gian cho hai ñieåm A(1;4;2),B(-1;2;4) vaø ñt d: . Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng d’ ñi qua troïng taâm cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi mp(OAB) .ÑS : . 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho d: và mp(P): 2x-y-2z+1=0. 
Tìm các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3.
Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm của d và (P) và gốc tọa độ.
Bài 2: Cho hai điểm A(0;0;4), B(2;0;0) và mp(P): 2x+y-z+5=0.
Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AB.
Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm O, A, B, biết khoảng cách từ tâm I đến mp(P) 
bằng .
Bài 3: Cho hai điểm A(0;0;1), B(2;0;1). Tìm điểm C nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho cho tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 4: Cho hai điểm A(3;0;2), B(1;-1;0) và mp(P): x-2y+2z-3=0. Tìm điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC cân tại B.
Bài 5: Cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) .
1. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với BC. Tìm giao điểm của đường thẳng AC và mp(P).
2. Chứng minh tam giác ABC vuông. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Bài 6: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1), (P): 3x-8y+7z-1=0. Tìm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 7: Cho hai điểm A(6;0;0), B(0;3;0) và mp(P): x+2y-3z-6=0 
1. Lập phương trình đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với AB tại A.
2. Tìm C thuộc (P) sao tam giác ABC vuông tại A.
Bài 8: Cho và (P): x+3y+2z+2=0. Viết phương trình đường thẳng d song song với (P) đi qua điểm M(2;2;4) và cắt d.
Bài 9: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0.
Bài 10: Cho hai điểm A(1;-3;-1), B(-2;1;3) và đường thẳng d: .
	1/ Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng d.
	2/ Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Bài 11: Cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P): 2x-2y+z-1=0.
Tính khoảng cách từ A đến (P).
Viết phương trình mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
Bài 12: Cho M(1;2;3) và mp(P): 2x-3y+6z+35=0. Tính khoảng cách từ M đến (P). Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mp(P).